菱形菱形的判定課件人教版數(shù)學(xué)八年級下冊

第十八章平行四邊形18.2特殊的平行四邊形菱形——菱形的判定菱形的判定方法：方法1(定義法)：有一組________相等的平行四邊形是菱形.

方法2：對角線____________的平行四邊形是菱形.

方法3：四條邊________的四邊形是菱形.

鄰邊

互相垂直

相等自主導(dǎo)學(xué)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

【例1】如圖，?ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點E，F(xiàn).求證：四邊形AFCE是菱形.分析：由已知條件容易得到四邊形AFCE的對角線互相垂直，根據(jù)“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”，只需證明四邊形AFCE是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)可以先證△AOE≌△COF，得到OE＝OF，利用平行四邊形的判定方法即可證明四邊形AFCE是平行四邊形.探究學(xué)習(xí)證明：因為EF垂直平分AC，所以∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝CO.因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AD∥BC.所以∠AEO＝∠CFO.所以△AOE≌△COF.所以O(shè)E＝OF.所以四邊形AFCE是平行四邊形.又AC⊥EF，所以四邊形AFCE是菱形.技巧點撥：先證明四邊形是平行四邊形，再證明該四邊形的對角線互相垂直，即可證明該四邊形為菱形.1.(廣州)下列命題為真命題的是(

).①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②對角線互相垂直的四邊形是菱形；③對角線相等的平行四邊形是菱形；④有一個角是直角的平行四邊形是矩形A.①②B.①④C.②④D.③④B

跟蹤訓(xùn)練

四條邊相等的四邊形是菱形

【例2】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，BF，AE相交于點O，∠BAE＝∠FAE，∠FBA＝∠FBE.求證：四邊形ABEF是菱形.分析：先結(jié)合角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到角相等的關(guān)系，再根據(jù)“等角對等邊”，得到四邊形鄰邊相等，進而得到四邊形的四條邊相等，即可證明是菱形.證明：因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AD∥BC.所以∠AFB＝∠FBE.因為∠FBA＝∠FBE，所以∠AFB＝∠FBA.所以AB＝AF.同理AB＝BE.因為AB＝BE，∠FBA＝∠FBE，所以BF垂直平分線段AE.所以AF＝EF.所以BE＝AB＝AF＝EF.所以四邊形ABEF是菱形.技巧點撥：當(dāng)利用“四條邊相等的四邊形是菱形”判定定理時，一般結(jié)合全等、等腰三角形、幾何變換等相關(guān)知識找到相等的線段，從而證明四條邊相等.2.用兩個邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是(

).A.等腰梯形B.正方形C.矩形D.菱形D跟蹤訓(xùn)練1.在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若增加一個條件，使平行四邊形ABCD成為菱形，下列給出的條件錯誤的是(

).A.AB＝ADB.AC⊥BD

C.AC＝BDD.∠BAC＝∠DACC

提升訓(xùn)練2.下列條件能判定四邊形是菱形的是(

).A.對角線相等且互相垂直B.有一條對角線平分一組對角C.對角線相等且對角相等D.兩組對角分別相等，且每一條對角線平分一組對角D

第3題圖B

4.如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；分別以點A，B為圓心，OA長為半徑畫弧，兩弧交于點C；連接AC，BC，AB，OC.若AB＝2cm，四邊形OACB的面積為4cm2，則OC的長為________cm.

第4題圖4

5.如圖，過?ABCD的對角線交點O作互相垂直的兩條直線EG，F(xiàn)H，與AD，AB，BC，CD分別相交于點E，F(xiàn)，G，H.求證：四邊形EFGH是菱形.證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC，OB＝OD．所以∠ODE＝∠OBG，∠OED＝∠OGB．所以△EOD≌△GOB．所以O(shè)E＝OG．同理，OF＝OH．所以四邊形EFGH是平行四邊形．又EG⊥FH，所以?EFGH是菱形．6.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點E.點F在DE的延長線上，且AF＝CE.求證：四邊形ACEF是菱形.證明：在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，所以∠B＝30°．因為DE垂直平分BC，所以BE＝CE．所以∠B＝∠BCE＝30°．所以∠ACE＝90°－∠BCE＝60°．所以△ACE是等邊三角形．所以CE＝AE＝AC．又因為AF＝CE，所以AF＝AE＝AC．因為DE⊥BC，∠BCA＝90°，所以DF∥AC．所以∠AEF＝∠BAC＝60°．所以△AEF是等邊三角形．所以AF＝EF．所以AC＝AF＝EF＝CE．所以四邊形ACEF是菱形．7.(丹東)如圖，在?ABCD中，O是AD的中點，連接CO并延長，交BA的延長線于點E，連接AC，DE.(1)求證：四邊形ACDE是平行四邊形.(2)若AB＝AC，判斷四邊形ACDE的形狀，并說明理由.

8.(濱州)如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，BE∥AC，AE∥BD.(1)求證：四邊形AOBE是菱形.證明：因為BE∥AC，AE∥BD，所以四邊形AOBE是平行四邊形．因為四邊形ABCD是矩形，所以AC與BD相等且互相平分．所以O(shè)A＝OB．所以四邊形AOBE是菱形．

(2)若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面積.9.如圖①，在?ABCD中，點E，M分別在邊AB，CD上，且AE＝CM.點F，N分別在邊BC，AD上，且DN＝BF.(1)求證：△AEN≌△CMF.(2)如圖②，連接EM，F(xiàn)N，若EM⊥FN，求證：四邊形EFMN是菱形.

10.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，

點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D，E運動的時間是ts(0＜t≤15).過點D作

DF⊥BC于點F，連接DE，EF.(1)求證：AE＝DF.

(2)四邊形AEFD能成為菱形嗎?若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由.解：能