第八章 模型2圓錐曲線中的斜率模型 （含解析）2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺考點歸納

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁模型2圓錐曲線中的斜率模型【問題背景】近年來新高考中有一種常見的熱點問題，在圓錐曲線綜合題中有一類涉及斜率和、斜率積的試題，常常與定點、定值、最值問題交匯在一起，各種條件錯綜復(fù)雜，難以入手．如果沒有成型的解題模型，解題時就會茫然失措，毫無章法．其實，這類題型有其解題模型，解題過程也是有章可循的．【解決方法】【典例1】（2024海南海口嘉勛高級中學(xué)8月模擬）已知橢圓的左、右焦點分別為軸上存在一點（點在橢圓左頂點的左側(cè)），過的直線與橢圓交于點和點（異于橢圓左、右頂點），且與互為補角，求面積的最大值．【套用模型】第一步：做好解題準備工作．由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，則，由消去并整理得關(guān)于的方程，由，可得①，【?黑板】點在橢圓外，所以要保證直線與橢圓有兩個交點，必須滿足設(shè)，則．第二步：由斜率列出表達式．與互為補角，，則，【建立敏感度】解析幾何涉及角的關(guān)系，要立刻聯(lián)想到直線的傾斜角，進而聯(lián)系到斜率，得到斜率之間的關(guān)系，如斜率相等、斜率和為0等第三步：得到相關(guān)參數(shù)關(guān)系．解得直線的方程為，且由①可得，即．第四步：求解題干問題．點到直線的距離，．令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，面積的最大值為．【典例2】（試題調(diào)研原創(chuàng)）已知為坐標原點，橢圓．直線與橢圓交于兩點，直線的斜率為，直線的斜率為，且，求的取值范圍．【套用模型】第一步：做好解題準備工作．設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，由消去得關(guān)于的方程，，則．第二步：由斜率列出表達式．因為，所以，則，第三步：得到相關(guān)參數(shù)關(guān)系．整理得，則且恒成立．第四步：求解題干問題．，又且，故．當(dāng)直線的斜率不存在時，，【易遺漏】涉及直線斜率的問題，直線斜率可能不存在，不要遺漏，所得結(jié)果取并集則，又，得，則．綜上，的取值范圍為．【典例3】（2024四川宜賓第四中學(xué)8月開學(xué)考試）如圖1，已知拋物線的焦點為，，點是在第一象限內(nèi)且在上的一個動點，當(dāng)與軸垂直時，，過點作與相切的直線交軸于點，過點作直線的垂線交拋物線于兩點．圖1（1）求的方程．（2）延長，交拋物線于點．設(shè)直線（其中為坐標原點）的斜率分別為，證明：為定值．（1）當(dāng)與軸垂直時，，則由拋物線的定義可得，解得，所以的方程為．（2）【套用模型】第一步：做好解題準備工作．設(shè)，對于，當(dāng)時，，所以，直線的斜率為．當(dāng)直線的斜率存在時，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去并化簡，得，易得，設(shè)，則，所以．【抓條件】直線與拋物線的另一個交點是點，這是一個直白的、但容易燈下黑的條件，這里根據(jù)“”可以直接求出把點的縱坐標代入，得，所以．第二步：列出斜率表達式．因為直線與切線垂直，所以，而，所以．又為坐標原點，所以．第三步：求解題干問題．所以．當(dāng)直線的斜率不存在時，，此時，所以．綜上，為定值2．（2024·重慶·二模）1．已知拋物線，過點作兩條斜率為，的直線與拋物線的準線分別相交于點，．分別過，作的垂線交拋物線于點，，當(dāng)時，則點到直線的距離的最大值是（

）A．1 B． C． D．（23-24高三下·黑龍江鶴崗·開學(xué)考試）2．已知橢圓的右焦點為，且離心率為．三角形的三個頂點都在橢圓上，設(shè)它的三條邊AB、BC、AC的中點分別為D、E、M、且三條邊所在直線的斜率分別為、、，且、、均不為0，O為坐標原點．若直線OD、OE、OM的斜率之和為1，則（

）A．－1 B．C． D．（2024·河南·模擬預(yù)測）3．已知橢圓的右焦點為外的一點滿足（為坐標原點），過點的直線與交于兩點，且，若直線的斜率之積為，則．（2024·貴州黔東南·一模）4．已知拋物線：的焦點為，準線為，過點作直線交于，兩點，過，分別作的垂線交于，兩點，設(shè)，的斜率分別為，，則的最小值為．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）5．已知橢圓的兩個頂點在直線上，分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上異于長軸兩個端點的任一點，過點作橢圓的切線與直線交于點，設(shè)直線，的斜率分別為，則的值為．（2024高三·全國·專題練習(xí)）6．在平面直角坐標系中，已知兩定點，，M是平面內(nèi)一動點，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且．(1)求動點M的軌跡；(2)設(shè)過的直線交曲線于C，D兩點，Q為平面上一動點，直線QC，QD，QP的斜率分別為，，，且滿足．問：動點Q是否在某一定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，請說明理由．（23-24高三下·湖南·階段練習(xí)）7．如圖，已知橢圓：經(jīng)過點，離心率，直線的方程為.（1）求橢圓的方程；（2）是橢圓經(jīng)過定點的任意一條弦(不經(jīng)過點)，設(shè)直線與直線相交于點，記直線，，的斜率依次為，，，問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（23-24高三上·湖北武漢·開學(xué)考試）8．已知橢圓，過點且與軸平行的直線與橢圓恰有一個公共點，過點且與軸平行的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)過點的動直線與橢圓交于兩點，為軸上的一點，設(shè)直線和的斜率分別為和，若為定值，求點的坐標.（23-24高三上·湖北·期中）9．已知橢圓：的離心率為，橢圓的短軸長等于4．(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)，，過且斜率為的動直線與橢圓交于，兩點，直線，分別交：于異于點的點，，設(shè)直線的斜率為，直線，的斜率分別為．①求證：為定值；②求證：直線過定點.（23-24高三上·內(nèi)蒙古包頭·開學(xué)考試）10．已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程，并說明是什么曲線；(2)過坐標原點的直線交曲線于，兩點，點在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)并延長交曲線于點.（?。┳C明：直線與的斜率之積為定值；（ⅱ）求面積的最大值.（23-24高三上·湖北武漢·開學(xué)考試）11．已知橢圓：的離心率為，點是橢圓短軸的一個四等分點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)過點A且斜率為的動直線與橢圓交于，兩點，且點，直線，分別交：于異于點的點，，設(shè)直線的斜率為，求實數(shù)，使得，恒成立.（2024高三·全國·專題練習(xí)）12．已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經(jīng)過橢圓的左焦點F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．(1)求橢圓的標準方程；(2)當(dāng)時，求的值；(3)設(shè)，延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為，求證：為定值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】設(shè)，，直線，與拋物線聯(lián)立，得到韋達定理，由求得a的值.則直線過定點，則到直線的最大距離即MN.【詳解】解：設(shè)，，直線，由，得．則．，∴，得．∴直線過定點，則到直線的距離．當(dāng)，即，或，時取等號．故選：C．2．C【分析】根據(jù)橢圓的右焦點為，且離心率為，求出橢圓方程，由三角形的三個頂點都在橢圓上，利用點差法求解.【詳解】因為橢圓的右焦點為，且離心率為，所以，，解得，所以橢圓方程為，設(shè)，則，兩式相減得：，即，即，同理，，，又直線??的斜率之和為1，所以，，故C正確.故選：C.3．【分析】取線段的中點為，利用邊長比值關(guān)系可得，進而借助點差法求解的值.【詳解】解：如圖，取線段的中點為，連接，

則由題意可得，，又，所以．因為直線的斜率之積為，所以．設(shè)，則，兩式相減可得，整理得，即，所以，所以．故答案為：．4．2【分析】將直線與拋物線方程聯(lián)立，再利用韋達定理表示出，利用換元法以及基本不等式即可求解.【詳解】由已知可設(shè)，代入得：．設(shè)，則，由，得．，，由題意得：，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即取到最小值為．故答案為：25．【分析】根據(jù)題意求出，進而寫出橢圓方程，設(shè)點的切線方程為，與橢圓聯(lián)立，由得到，然后依次表示出相關(guān)點的坐標，利用斜率公式表示出，進而化簡整理即可求出結(jié)果?！驹斀狻恳驗闄E圓的兩個頂點在直線上，所以，所以橢圓方程為，所以,設(shè)點的切線方程為，，聯(lián)立，消去得，因為直線與橢圓相切，所以，所以，所以，所以點，又，所以，所以，設(shè)點，又在切線上，所以，所以，所以，故答案為：【點睛】解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，注意不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.6．(1)(2)在定直線y＝8（x≠0）上．【詳解】（1）設(shè)，則，由題意知－4＜x＜4．∵，∴，即，故動點M的軌跡為．（2）存在滿足題意的Q，在定直線y＝8（x≠0）上．理由如下：當(dāng)直線CD的斜率存在時，設(shè)直線CD的方程為y＝kx＋1．設(shè)，，，則，，，由此知．將y＝kx＋1代入，得，于是，．①條件即，也即．將，代入得．顯然不在直線y＝kx＋1上，∴，從而得，即．將，代入得．將式①代入得，解得．當(dāng)直線CD的斜率不存在時，經(jīng)檢驗符合題意．因此存在滿足題意的Q，在定直線y＝8（x≠0）上．【反思】由于關(guān)于橢圓的極線是直線y＝8，若恒成立，由命題5知點Q在極線y＝8上，因此存在滿足題意的Q，其軌跡為y＝8（x≠0）．本題實質(zhì)是命題5的逆向應(yīng)用．7．（1）；（2）存在，.【分析】（1）根據(jù)點在橢圓上以及離心率列出關(guān)于的方程組，結(jié)合求解出的值，則橢圓方程可求；（2）先假設(shè)存在，然后設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，得到對應(yīng)坐標的韋達定理，根據(jù)結(jié)合韋達定理進行化簡，同時計算出坐標，表示出，由此可判斷出與的倍數(shù)關(guān)系，則可求.【詳解】（1）由題意可知：，所以，所以橢圓；（2）假設(shè)存在滿足題意，顯然直線的斜率存在，設(shè)，因為，所以，所以，因為，所以，所以，又因為，所以，所以，即，所以存在滿足題意.8．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到橢圓的下頂點為和橢圓過點求解；（2）設(shè)點坐標為，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為，與聯(lián)立，由，結(jié)合韋達定理求解；當(dāng)直線斜率不存在時驗證即可.【詳解】（1）解：由題意，橢圓的下頂點為，故.由對稱性，橢圓過點，代入橢圓方程有，解得：.故橢圓的標準方程為：.（2）設(shè)點坐標為.當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為，與聯(lián)立得：.設(shè)，則.，，，為定值，即與無關(guān)，則，此時.經(jīng)檢驗，當(dāng)直線斜率不存在時也滿足，故點坐標為.9．(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得到方程組，解之即可求出結(jié)果；（2）①設(shè)出直線MN的方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達定理得到，化簡整理即可求出結(jié)果；②設(shè)PQ的方程，與聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求出的值，進而可以求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意解得所以橢圓的標準方程為：；（2）①設(shè)MN的方程為，與聯(lián)立得：，設(shè)，，則，②設(shè)PQ的方程為，與聯(lián)立，設(shè)，則由，即此時，的方程為，故直線恒過定點.【點睛】求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．10．(1)，為中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點；(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）.【分析】（1）直接利用斜率公式即可求解；（2）（i）設(shè)直線的方程為聯(lián)立橢圓方程可得點坐標，設(shè)，根據(jù)坐標之間的聯(lián)系可得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立運用韋達定理求出的坐標，再利用斜率公式求出，進而即得；（ii）由題可得，再利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）因為，，，所以，所以，化解得，

所以為中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點；（2）（?。┰O(shè)直線的斜率為，則其方程為，由，得，記，則，，，

于是直線的斜率為，方程為，由，得①，設(shè)，則和是方程①的解，故，由此得，從而直線的斜率，所以，即直線與的斜率之積為定值；（ⅱ）由（?。┛芍?，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以面積的最大值為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.11．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)點是橢圓短軸的一個四等分點，求得b，再根據(jù)離心率和，即可求得a，從而得出答案；（2）設(shè)，直線MN的方程為，則直線BM的方程為，與聯(lián)立，利用韋達定理可求得點，的坐標，從而得出直線的斜率，整理可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）因為點是橢圓短軸的一個四等分點，所以，又，且，則，所以，，所以橢圓的標準方程為；（2）設(shè)，直線MN的方程為，則直線BM的方程為，與聯(lián)立，得：，由，且點在上，得，又，即，代入上式得，，即點，同理，則，將代入上式，得，所以時，，恒成立.【點睛】本題考查了根據(jù)離心率求橢圓的標準方程及直線與橢圓、圓的位置關(guān)系，考查了計算能力和邏輯推理能力，難度較大.12．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程，解