2021年遼寧省盤錦市中考數學試卷

2021年遼寧省盤錦市中考數學試卷一、選擇題（本題包括10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）3的相反數是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．2．（3分）如圖中的三視圖對應的三棱柱是（）A． B． C． D．3．（3分）下列運算正確的是（）A．a2+a3＝a5 B．m﹣2＝﹣m2 C．（2m）2＝2m2 D．ab2÷ab＝b4．（3分）空氣是由多種氣體混合組成的，為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計圖是（）A．條形圖 B．扇形圖 C．折線圖 D．直方圖5．（3分）下列命題正確的是（）A．同位角相等 B．相等的圓心角所對的弧相等 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半6．（3分）下列調查中，適宜采用抽樣調查的是（）A．調查某班學生的身高情況 B．調查亞運會100m游泳決賽運動員興奮劑的使用情況 C．調查某批汽車的抗撞擊能力 D．調查一架“殲20”隱形戰(zhàn)斗機各零部件的質量7．（3分）如圖，已知直線AB和AB上一點C，過點C作直線AB的垂線，步驟如下：第一步：以點C為圓心，以任意長為半徑作弧，交直線AB于點D和點E；第二步：分別以點D和點E為圓心，以a為半徑作弧，兩弧交于點F；第三步：作直線CF，直線CF即為所求．下列關于a的說法正確的是（）A．a≥DE的長 B．a≤DE的長 C．a＞DE的長 D．a＜DE的長8．（3分）“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古代數學著作《九章算術》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由示意圖獲得，設井深為x尺，所列方程正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝9．（3分）甲、乙、丙、丁四人10次隨堂測驗的成績如圖所示，從圖中可以看出這10次測驗平均成績較高且較穩(wěn)定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．（3分）如圖，四邊形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，對角線AC與BD相交于點O，線段BD沿射線AD方向平移，平移后的線段記為PQ，射線PQ與射線AC交于點M，連接PC，設OM長為x，△PMC的面積為y，下列圖象能正確反映出y與x的函數關系的是（）A． B． C． D．二、填空題（本題包括8小題，每小題3分，共24分）11．（3分）建黨100周年期間，我市人社系統(tǒng)不斷提升服務能力和水平，讓我市約1300000參保人員獲得更高質量的社會保障福祉，數據1300000用科學記數法表示為．12．（3分）分解因式：2x2﹣2＝．13．（3分）計算：|﹣2|+＝．14．（3分）從不等式組的所有整數解中任取一個數，它是偶數的概率是．15．（3分）如圖，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且半徑都等于2，則圖中三個扇形（即陰影部分）的面積之和為．（結果保留π）16．（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸負半軸上，點B在y軸正半軸上，⊙D經過A，B，O，C四點，∠ACO＝120°，AB＝4，則圓心點D的坐標是．17．（3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以點B為圓心，BC的長為半徑作弧交AD于點E，分別以點C，E為圓心、大于CE的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線BP交AD的延長線于點F，∠CBE＝60°，BC＝6，則BF的長為．18．（3分）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝2，AD＝2，點P為邊AB上一點，以DP為折痕將△DAP翻折，點A的對應點為點A′，連接AA′，AA′交PD于點M，點Q為線段BC上一點，連接AQ，MQ，則AQ+MQ的最小值是．三、解答題（第19題8分，第20題14分，共22分）19．（8分）先化簡，再求值：÷﹣，其中x＝+4．20．（14分）某校七、八年級各有500名學生，為了解該校七、八年級學生對黨史知識的掌握情況，從七、八年級學生中各隨機抽取15人進行黨史知識測試，統(tǒng)計這部分學生的測試成績（成績均為整數，滿分10分，8分及8分以上為優(yōu)秀），相關數據統(tǒng)計整理如下：七年級抽取學生的成績：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．七、八年級抽取學生的測試成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數88眾數a7中位數8b優(yōu)秀率80%60%（1）填空：a＝，b＝．（2）根據以上數據，你認為該校七、八年級中，哪個年級的學生黨史知識掌握得較好？請說明理由（寫出一條即可）．（3）請估計七、八年級學生對黨史知識掌握能夠達到優(yōu)秀的總人數；（4）現從七、八年級獲得10分的4名學生中隨機抽取2人參加市黨史知識競賽，請用列表法或畫樹狀圖法，求出被選中的2人恰好是七、八年級各1人的概率．四、解答題（本題10分）21．（10分）如圖，直線y＝x﹣交x軸于點M，四邊形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點A，EA的延長線交直線y＝x﹣于點D．（1）求反比例函數的解析式；（2）若點B在x軸上，且AB＝AD，求點B的坐標．五、解答題（第22題10分，第23題12分，共22分）22．（10分）如圖，小華遙控無人機從A處飛行到對面大廈MN的頂端M，無人機飛行方向與水平方向的夾角為37°，小華在A點測得大廈底部N的俯角為31°，兩樓之間一棵樹EF的頂點E恰好在視線AN上，已知樹的高度為6m，且＝，樓AB，MN，樹EF均垂直于地面，問：無人機飛行的距離AM約是多少米？（結果保留整數．參考數據：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）23．（12分）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點D作DG∥BC，DG交線段AC于點G，交AB于點E，交⊙O于點F，連接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求證：BD與⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的長．六、解答題（本題14分）24．（14分）某工廠生產并銷售A，B兩種型號車床共14臺，生產并銷售1臺A型車床可以獲利10萬元；如果生產并銷售不超過4臺B型車床，則每臺B型車床可以獲利17萬元，如果超出4臺B型車床，則每超出1臺，每臺B型車床獲利將均減少1萬元．設生產并銷售B型車床x臺．（1）當x＞4時，完成以下兩個問題：①請補全下面的表格：A型B型車床數量/臺x每臺車床獲利/萬元10②若生產并銷售B型車床比生產并銷售A型車床獲得的利潤多70萬元，問：生產并銷售B型車床多少臺？（2）當0＜x≤14時，設生產并銷售A，B兩種型號車床獲得的總利潤為W萬元，如何分配生產并銷售A，B兩種車床的數量，使獲得的總利潤W最大？并求出最大利潤．七、解答題（本題14分）25．（14分）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點E在BC上，點F在CD上，N為EF的中點，連接NA，以NA，NF為鄰邊作?ANFG，連接DG，DN，將Rt△ECF繞點C順時針旋轉，旋轉角為α（0°≤α≤360°）．（1）如圖1，當α＝0°時，DG與DN的關系為．（2）如圖2，當0°＜α＜45°時，（1）中的結論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（3）在Rt△ECF的旋轉過程中，當?ANFG的頂點G落在正方形ABCD的邊上，且AB＝12，EC＝5時，連接GN，請直接寫出GN的長．八、解答題（本題14分）26．（14分）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+6與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線y＝x﹣2與y軸交于點D，與x軸交于點E，與直線BC交于點F．（1）點F的坐標為；（2）如圖1，點P為第一象限拋物線上的一點，PF的延長線交OB于點Q，PM⊥BC于點M，QN⊥BC于點N，若＝，求點P的坐標；（3）如圖2，點S為第一象限拋物線上的一點，且點S在射線DE上方，動點G從點E出發(fā)，沿射線DE方向以每秒4個單位長度的速度運動，當SE＝SG，且tan∠SEG＝時，求點G的運動時間t．

2021年遼寧省盤錦市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題包括10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）3的相反數是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．【分析】根據相反數的性質，互為相反數的兩個數和為0，采用逐一檢驗法求解即可．【解答】解：根據概念，3的相反數在3的前面加﹣，則3的相反數是﹣3．故選：A．【點評】本題考查了相反數的意義，一個數的相反數就是在這個數前面添上“﹣”號：一個正數的相反數是負數，一個負數的相反數是正數，0的相反數是0．2．（3分）如圖中的三視圖對應的三棱柱是（）A． B． C． D．【分析】利用俯視圖可淘汰A、C、D選項，根據主視圖的側棱為實線可淘汰A，從而判斷B選項正確．【解答】解：由俯視圖得到正三棱柱兩個底面在水平方向，由主視圖得到有一條側棱在正前方，于是可判定B選項正確．故選：B．【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體：由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應分別根據主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀．由物體的三視圖想象幾何體的形狀是有一定難度的，可以從以下途徑進行分析：根據主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀，以及幾何體的長、寬、高；從實線和虛線想象幾何體看得見部分和看不見部分的輪廓線．3．（3分）下列運算正確的是（）A．a2+a3＝a5 B．m﹣2＝﹣m2 C．（2m）2＝2m2 D．ab2÷ab＝b【分析】利用合并同項類，負整數指數冪的運算法則，積的乘方的法則，單項式除以單項式的法則對各選項進行運算即可．【解答】解：A、a2和a3不是同類項，不能合并，故A不符合題意；B、m﹣2＝，故B不符合題意；C、（2m）2＝4m2，故C不符合題意；D、ab2÷ab＝b，故D符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查合并同類項，積的乘方，負整數指數冪，單項式除以單項式，解答的關鍵是對合并同類項的法則，積的乘方的法則，負整數指數冪的法則，單項式除以單項式的法則的掌握與運用．4．（3分）空氣是由多種氣體混合組成的，為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計圖是（）A．條形圖 B．扇形圖 C．折線圖 D．直方圖【分析】條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目中的具體數目，易于比較數據之間的差別；用扇形的面積表示部分在總體中所占的百分比，易于顯示每組數據相對于總數的大??；折線統(tǒng)計圖能清楚地反映事物的變化情況，顯示數據變化趨勢；直方圖在數量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，不利于分析數據分布的總體態(tài)勢．【解答】解：條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目中的具體數目，易于比較數據之間的差別，故A選項不符合題意；扇形統(tǒng)計圖中用扇形的面積表示部分在總體中所占的百分比，易于顯示每組數據相對于總數的大小，故B選項符合題意；折線統(tǒng)計圖能清楚地反映事物的變化情況，顯示數據變化趨勢，故C選項不符合題意；直方圖在數量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，不利于分析數據分布的總體態(tài)勢，故D選項不符合題意．故選：B．【點評】本題考查統(tǒng)計圖的選擇及頻數（率）分布直方圖，應充分掌握各種統(tǒng)計圖（條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖及折線統(tǒng)計圖）的優(yōu)缺點以及頻數（率）分布直方圖中各量的意義．5．（3分）下列命題正確的是（）A．同位角相等 B．相等的圓心角所對的弧相等 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半【分析】根據平行線的性質、圓周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性質分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、兩直線平行，同位角相等，故原命題錯誤，不符合題意；B、同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故原命題錯誤，不符合題意；C、對角線相等的平行四邊形是矩形，故原命題錯誤，不符合題意；D、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正確，符合題意；故選：D．【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解平行線的性質、圓周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性質等知識，難度不大．6．（3分）下列調查中，適宜采用抽樣調查的是（）A．調查某班學生的身高情況 B．調查亞運會100m游泳決賽運動員興奮劑的使用情況 C．調查某批汽車的抗撞擊能力 D．調查一架“殲20”隱形戰(zhàn)斗機各零部件的質量【分析】根據普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似解答．【解答】解：A．調查某班學生的身高情況，適合全面調查，故本選項不符合題意；B．調查亞運會100m游泳決賽運動員興奮劑的使用情況，適合全面調查，故本選項不符合題意；C．調查某批汽車的抗撞擊能力，適合抽樣調查，故本選項符合題意；D．調查一架“殲20”隱形戰(zhàn)斗機各零部件的質量，適合全面調查，故本選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查的是抽樣調查和全面調查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用普查．7．（3分）如圖，已知直線AB和AB上一點C，過點C作直線AB的垂線，步驟如下：第一步：以點C為圓心，以任意長為半徑作弧，交直線AB于點D和點E；第二步：分別以點D和點E為圓心，以a為半徑作弧，兩弧交于點F；第三步：作直線CF，直線CF即為所求．下列關于a的說法正確的是（）A．a≥DE的長 B．a≤DE的長 C．a＞DE的長 D．a＜DE的長【分析】根據過直線外一點作已知直線的垂線的步驟，結合三角形三邊關系判斷即可．【解答】解：由作圖可知，分別以點D和點E為圓心，以a為半徑作弧，兩弧交于點F，此時a＞DE，故選：C．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．8．（3分）“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古代數學著作《九章算術》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由示意圖獲得，設井深為x尺，所列方程正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】如圖，設AD交BE于K．利用相似三角形的性質求解即可．【解答】解：如圖，設AD交BE于K．∵DK∥BC，∴△EKD∽△EBC，∴＝，∴＝，故選：A．【點評】本題考查相似三角形的應用，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題．9．（3分）甲、乙、丙、丁四人10次隨堂測驗的成績如圖所示，從圖中可以看出這10次測驗平均成績較高且較穩(wěn)定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】利用平均數和方差的意義進行判斷．【解答】解：由折線統(tǒng)計圖得：丙、丁的成績在92附近波動，甲、乙的成績在91附近波動，∴丙、丁的平均成績高于甲、乙，由折線統(tǒng)計圖得：丙成績的波動幅度小于丁成績的波動幅度，∴這四人中丙的平均成績好又發(fā)揮穩(wěn)定，故選：C．【點評】本題考查了方差：一組數據中各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，叫做這組數據的方差．方差是反映一組數據的波動大小的一個量．方差越大，與平均值的離散程度越差，穩(wěn)定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．也考查了折線統(tǒng)計圖．10．（3分）如圖，四邊形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，對角線AC與BD相交于點O，線段BD沿射線AD方向平移，平移后的線段記為PQ，射線PQ與射線AC交于點M，連接PC，設OM長為x，△PMC的面積為y，下列圖象能正確反映出y與x的函數關系的是（）A． B． C． D．【分析】由四邊形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，可求出AC、AO、OC的長，再設OM＝x，利用解直角三角形表示出PM，分點M在線段OC上（不含點O）時和當點M'在線段OC延長線上時兩種情況分別表示出y再結合函數圖象即可判斷出正確答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝2，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴＝60°，∴△DAC是等邊三角形，∴AD＝AC＝2，∴AO＝CO＝＝1，設OM＝x，∵AC⊥BD，PQ為BD平移而來，∴∠AOD＝∠AMP＝90°，∴△AMP為直角三角形，∴PM＝AM?tan∠PAM＝（1+x），①當點M在線段OC上（不含點O）時，即0≤x＜1，此時CM＝1﹣x，則y＝（1﹣x）×（1+x）＝﹣x2+，∴0≤x＜1，函數圖象開口應朝下，故B、C不符合題意，②當點M'在線段OC延長線上時，即x＞1，如圖所示：此時CM'＝x﹣1，則y＝（x﹣1）×＝，∴只有D選項符合題意，故選：D．【點評】本題考查了菱形的性質，三角形面積，解直角三角形，二次函數圖象等知識，熟練掌握上述知識并能分點M在線段OC上（不含點O）時和當點M'在線段OC延長線上時兩種情況分別表示出y再結合函數圖象進行判斷是解題的關鍵．二、填空題（本題包括8小題，每小題3分，共24分）11．（3分）建黨100周年期間，我市人社系統(tǒng)不斷提升服務能力和水平，讓我市約1300000參保人員獲得更高質量的社會保障福祉，數據1300000用科學記數法表示為1.3×106．【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于或等于10時，n是正整數；當原數的絕對值小于1時，n是負整數．【解答】解：數據1300000用科學記數法表示為1.3×106．故答案為：1.3×106．【點評】此題考查了科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．12．（3分）分解因式：2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1）．【分析】先提取公因式2，再根據平方差公式進行二次分解即可求得答案．【解答】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．故答案為：2（x+1）（x﹣1）．【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進行二次分解，注意分解要徹底．13．（3分）計算：|﹣2|+＝2+．【分析】直接利用絕對值的性質以及二次根式的性質分別化簡得出答案．【解答】解：原式＝2﹣+2＝2+．故答案為：2+．【點評】此題主要考查了實數的性質，正確化簡各數是解題關鍵．14．（3分）從不等式組的所有整數解中任取一個數，它是偶數的概率是．【分析】首先求得不等式組的所有整數解，然后由概率公式求得答案．【解答】解：∵，由①得：x≥1，由②得：x≤5，∴不等式組的解集為：1≤x≤5，∴整數解有：1，2，3，4，5；∴它是偶數的概率是．故答案為．【點評】此題考查了概率公式的應用以及不等式組的解集．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．15．（3分）如圖，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且半徑都等于2，則圖中三個扇形（即陰影部分）的面積之和為2π．（結果保留π）【分析】】根據三個扇形的半徑都是2，由扇形的面積公式即可求出陰影部分的面積．【解答】解：∵三個扇形的半徑都是2，三個圓心角的和是180°，∴圖中的三個扇形（即三個陰影部分）的面積之和為＝2π．故答案為：2π．【點評】考查了扇形面積的計算，因為三個扇形的半徑相等，所以不需知道各個扇形的圓心角的度數，只需知道三個圓心角的和即可．16．（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸負半軸上，點B在y軸正半軸上，⊙D經過A，B，O，C四點，∠ACO＝120°，AB＝4，則圓心點D的坐標是（﹣，1）．【分析】先利用圓內接四邊形的性質得到∠ABO＝60°，再根據圓周角定理得到AB為⊙D的直徑，則D點為AB的中點，接著利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OB＝2，OA＝2，所以A（﹣2，0），B（0，2），然后利用線段的中點坐標公式得到D點坐標．【解答】解：∵四邊形ABOC為圓的內接四邊形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB為⊙D的直徑，∴D點為AB的中點，在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，∴OB＝AB＝2，∴OA＝OB＝2，∴A（﹣2，0），B（0，2），∴D點坐標為（﹣，1）．故答案為（﹣，1）．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了坐標與圖形性質．17．（3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以點B為圓心，BC的長為半徑作弧交AD于點E，分別以點C，E為圓心、大于CE的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線BP交AD的延長線于點F，∠CBE＝60°，BC＝6，則BF的長為6．【分析】利用基本作圖得到BE＝BC＝6，BF平分∠CBE，則∠CBF＝∠EBF＝30°，再根據平行四邊形的性質和平行線的性質證明∠F＝∠EBF＝30°，所以BE＝FE，過E點作EH⊥BF于H，如圖，則BH＝FH，然后利用含30度的直角三角形三邊的關系求出BH，從而得到BF的長．【解答】解：由作法得BE＝BC＝6，BF平分∠CBE，∴∠CBF＝∠EBF＝∠CBE＝30°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠F＝∠CBF，∴∠F＝∠EBF＝30°，∴BE＝FE，過E點作EH⊥BF于H，如圖，則BH＝FH，在Rt△BEH中，∵EH＝BE＝3，∴BH＝EH＝3，∴BF＝2BH＝6．故答案為6．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的性質．18．（3分）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝2，AD＝2，點P為邊AB上一點，以DP為折痕將△DAP翻折，點A的對應點為點A′，連接AA′，AA′交PD于點M，點Q為線段BC上一點，連接AQ，MQ，則AQ+MQ的最小值是4．【分析】如圖，作點A關于BC的對稱點T，取AD的中點R，連接BT，QT，RT，RM，MT．想辦法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根據QA+QM＝QM+QT≥MT，可得結論．【解答】解：如圖，作點A關于BC的對稱點T，取AD的中點R，連接BT，QT，RT，RM，MT．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠RAT＝90°，∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，∴RT＝＝＝5，∵A，A′關于DP對稱，∴AA′⊥DP，∴∠AMD＝90°，∵AR＝RD，∴RM＝AD＝，∵MT≥RT﹣RM，∴MT≥4，∴MT的最小值為4，∵QA+QM＝QT+QM≥MT，∴QA+QM≥4∴QA+QM的最小值為4．故答案為：4．【點評】本題考查翻折變換，矩形的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是求出MT的最小值，屬于中考常考題型．三、解答題（第19題8分，第20題14分，共22分）19．（8分）先化簡，再求值：÷﹣，其中x＝+4．【分析】先化除法為乘法，分子、分母分別進行因式分解；然后通過約分化簡；最后代入求值．【解答】解：原式＝?﹣＝﹣＝．把x＝+4代入，原式＝＝2．【點評】本題考查了分式的化簡求值，分式求值題中比較多的題型主要有三種：轉化已知條件后整體代入求值；轉化所求問題后將條件整體代入求值；既要轉化條件，也要轉化問題，然后再代入求值．20．（14分）某校七、八年級各有500名學生，為了解該校七、八年級學生對黨史知識的掌握情況，從七、八年級學生中各隨機抽取15人進行黨史知識測試，統(tǒng)計這部分學生的測試成績（成績均為整數，滿分10分，8分及8分以上為優(yōu)秀），相關數據統(tǒng)計整理如下：七年級抽取學生的成績：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．七、八年級抽取學生的測試成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數88眾數a7中位數8b優(yōu)秀率80%60%（1）填空：a＝8，b＝8．（2）根據以上數據，你認為該校七、八年級中，哪個年級的學生黨史知識掌握得較好？請說明理由（寫出一條即可）．（3）請估計七、八年級學生對黨史知識掌握能夠達到優(yōu)秀的總人數；（4）現從七、八年級獲得10分的4名學生中隨機抽取2人參加市黨史知識競賽，請用列表法或畫樹狀圖法，求出被選中的2人恰好是七、八年級各1人的概率．【分析】（1）由眾數和中位數的定義求解即可；（2）七、八年級的平均數和中位數相同，七年級的優(yōu)秀率大于八年級的優(yōu)秀率，即可求解；（3）由七、八年級的總人數分別乘以優(yōu)秀率，再相加即可；（4）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，被選中的2人恰好是七、八年級各1人的結果有6種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）由眾數的定義得：a＝8，八年級抽取學生的測試成績的中位數為8（分），故答案為：8，8；（2）七年級的學生黨史知識掌握得較好，理由如下：∵七年級的優(yōu)秀率大于八年級的優(yōu)秀率，∴七年級的學生黨史知識掌握得較好；（3）500×80%+500×60%＝700（人），即估計七、八年級學生對黨史知識掌握能夠達到優(yōu)秀的總人數為700人；（4）把七年級獲得10分的學生記為A，八年級獲得10分的學生記為B，畫樹狀圖如圖：共有12種等可能的結果，被選中的2人恰好是七、八年級各1人的結果有6種，∴被選中的2人恰好是七、八年級各1人的概率為＝．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表、中位數、眾數等知識；利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．四、解答題（本題10分）21．（10分）如圖，直線y＝x﹣交x軸于點M，四邊形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點A，EA的延長線交直線y＝x﹣于點D．（1）求反比例函數的解析式；（2）若點B在x軸上，且AB＝AD，求點B的坐標．【分析】（1）由S矩形OMAE＝4，根據反比例函數系數k的幾何意義可求出k的值，確定反比例函數關系式；（2）根據一次函數的關系式求出點D的坐標，得出AD的長，于是分兩種情況進行解答，即點B在點M的左側和右側，由勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵S矩形OMAE＝4，即|k|＝4，又∵k＞0，∴k＝4，∴反比例函數的關系式為y＝；（2）當y＝4時，即4＝x﹣，解得x＝6，即D（6，4），而A（1，4），∴AD＝DE﹣AE＝6﹣1＝5，由于AB＝AD＝5，AM＝4，點B在x軸上，在Rt△AMB中，由勾股定理得，MB＝＝3，①當點B在點M的左側時，點B的橫坐標為1﹣3＝﹣2，∴點B（﹣2，0），②當點B在點M的右側時，點B的橫坐標為1+3＝4，∴點B（4，0），因此點B的坐標為（﹣2，0）或（4，0）．【點評】本題考查一次函數、反比例函數圖象上點的坐標特征，理解一次函數、反比例函數圖象的意義是解決問題的前提，將點的坐標代入是常用的方法．五、解答題（第22題10分，第23題12分，共22分）22．（10分）如圖，小華遙控無人機從A處飛行到對面大廈MN的頂端M，無人機飛行方向與水平方向的夾角為37°，小華在A點測得大廈底部N的俯角為31°，兩樓之間一棵樹EF的頂點E恰好在視線AN上，已知樹的高度為6m，且＝，樓AB，MN，樹EF均垂直于地面，問：無人機飛行的距離AM約是多少米？（結果保留整數．參考數據：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】過A作AC⊥MN于C，zm△EFN∽△ABN，得AB＝3EF＝18（m），則CN＝18m，再由銳角三角函數定義求出AC≈30（m），然后在Rt△ACM中，由銳角三角函數定義求出AM的長即可．【解答】解：過A作AC⊥MN于C，如圖所示：則CN＝AB，AC＝BN，∵＝，∴＝，由題意得：EF＝6m，AB⊥BN，EF⊥BN，∴AB∥EF，∴△EFN∽△ABN，∴＝＝，∴AB＝3EF＝18（m），∴CN＝18m，在Rt△ACN中，tan∠CAN＝＝tan31°≈0.60＝，∴AC≈CN＝×18＝30（m），在Rt△ACM中，cos∠MAC＝＝cos37°≈0.80＝，∴AM＝AC＝×30≈38（m），即無人機飛行的距離AM約是38m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，相似三角形的應用等知識，正確作出輔助線構造直角三角形，證明△EFN∽△ABN是解題的關鍵．23．（12分）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點D作DG∥BC，DG交線段AC于點G，交AB于點E，交⊙O于點F，連接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求證：BD與⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的長．【分析】（1）如圖1，延長DB至H，證明∠ABD＝90°，根據切線的判定可得BD與⊙O相切；（2）解法一：如圖2，連接OF，先根據垂徑定理證明OF⊥AB，再證明△EFO∽△EDB，列比例式可得OF＝4，即⊙O的半徑為4，根據勾股定理可得DE的長．解法二：如圖2，先得半徑為2OA，計算∠OEF的正切可得BE的長，根據勾股定理可得DE的長．【解答】（1）證明：如圖1，延長DB至H，∵DG∥BC，∴∠CBH＝∠D，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠CBH，∵AB是⊙O的直徑∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠CBH+∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°，∴BD與⊙O相切；（2）解：解法一：如圖2，連接OF，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴，∴OF⊥AB，∵BD⊥AB，∴OF∥BD，∴△EFO∽△EDB，∴，∵AE＝OE，∴，∴＝，∴OF＝4，∴BE＝OE+OB＝2+4＝6，∴DE＝＝＝6．解法二：如圖2，連接OF，∵AE＝OE，∴OA＝OF＝2OE，Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝2，Rt△BED中，tan∠OEF＝＝＝2，∴BE＝6，由勾股定理得：DE＝＝＝6．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質，切線的判定，垂徑定理，勾股定理等知識，解答本題需要我們熟練掌握切線的判定，第2問關鍵是證明△EFO∽△EDB．六、解答題（本題14分）24．（14分）某工廠生產并銷售A，B兩種型號車床共14臺，生產并銷售1臺A型車床可以獲利10萬元；如果生產并銷售不超過4臺B型車床，則每臺B型車床可以獲利17萬元，如果超出4臺B型車床，則每超出1臺，每臺B型車床獲利將均減少1萬元．設生產并銷售B型車床x臺．（1）當x＞4時，完成以下兩個問題：①請補全下面的表格：A型B型車床數量/臺14﹣xx每臺車床獲利/萬元1021﹣x②若生產并銷售B型車床比生產并銷售A型車床獲得的利潤多70萬元，問：生產并銷售B型車床多少臺？（2）當0＜x≤14時，設生產并銷售A，B兩種型號車床獲得的總利潤為W萬元，如何分配生產并銷售A，B兩種車床的數量，使獲得的總利潤W最大？并求出最大利潤．【分析】（1）①由題意得，生產并銷售B型車床x臺時，生產并銷售A型車床（14﹣x）臺，當x＞4時，每臺B型車床可以獲利[17﹣（x﹣4）]＝（21﹣x）萬元，②由題意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，解得x1＝10，x2＝21（舍去）；（2）當0＜x≤4時，W＝10（14﹣x）+17x，整理得，W＝7x+140，因為7＞0，故當x＝4時總利潤W最大為7×4+140＝168（萬元）；當x≥＞4時，W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，整理得W＝﹣x2+11x+140，因為﹣1＜0，所以當x＝﹣＝5.5時總利潤W最大，又由題意x只能取整數，所以當x＝5或x＝6時，總利潤W最大為﹣52+11×5+140＝170（萬元）【解答】解：（1）①由題意得，生產并銷售B型車床x臺時，生產并銷售A型車床（14﹣x）臺，當x＞4時，每臺B型車床可以獲利[17﹣（x﹣4）]＝（21﹣x）萬元．故答案應為：14﹣x，21﹣x；②由題意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，解得x1＝10，x2＝21（舍去），答：生產并銷售B型車床10臺；（2）當0＜x≤4時，總利潤W＝10（14﹣x）+17x，整理得，W＝7x+140，∵7＞0，∴當x＝4時總利潤W最大為7×4+140＝168（萬元）；當x＞4時，總利潤W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，整理得W＝﹣x2+11x+140，∵﹣1＜0，∴當x＝﹣＝5.5時總利潤W最大，又由題意x只能取整數，∴當x＝5或x＝6時，∴當x＝5時，總利潤W最大為﹣52+11×5+140＝170（萬元）又∵168＜170，∴當x＝5或x＝6時，總利潤W最大為170萬元，而14﹣5＝9，14﹣6＝8，答：當生產并銷售A，B兩種車床各為9臺、5臺或8臺、6臺時，使獲得的總利潤W最大；最大利潤為170萬元．【點評】此題考查了一元一次方程方程、一元二次方程、一次函數及二次函數的實際問題應用能力，關鍵是能根據實際問題列出合適的方程或函數式，并進行討論解決．七、解答題（本題14分）25．（14分）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點E在BC上，點F在CD上，N為EF的中點，連接NA，以NA，NF為鄰邊作?ANFG，連接DG，DN，將Rt△ECF繞點C順時針旋轉，旋轉角為α（0°≤α≤360°）．（1）如圖1，當α＝0°時，DG與DN的關系為DG⊥DN，DG＝DN．（2）如圖2，當0°＜α＜45°時，（1）中的結論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（3）在Rt△ECF的旋轉過程中，當?ANFG的頂點G落在正方形ABCD的邊上，且AB＝12，EC＝5時，連接GN，請直接寫出GN的長．【分析】（1）如圖1中，連接AE，AF，CN．證明△GAD≌△NCD（SAS），推出DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，推出∠GDN＝∠ADC＝90°，可得結論；（2）如圖2中，作直線EF交AD于J，交BC于K，連接CN．證明△GAD≌△NCD（SAS），推出DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，推出∠GDN＝∠ADC＝90°，可得結論；（3）分兩種情形：如圖3﹣1中，當點G落在AD上時，如圖3﹣2中，當點G落在AB上時，分別利用勾股定理求出GN即可．【解答】解：（1）如圖1中，連接AE，AF，CN．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CB＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，∵CE＝CF，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，∵EN＝NF，∴AN⊥EF，CN＝NF＝EN，∵CE＝CF，EN＝NF，∴CN⊥EF，∴A，N，C共線，∵四邊形ANFG是平行四邊形，∠ANF＝90°，∴四邊形ANFG是矩形，∴AG＝FN＝CN，∠GAN＝90°，∵∠DCA＝∠DAC＝45°，∴∠GAD＝∠NCD＝45°，∴△GAD≌△NCD（SAS），∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，∴∠GDN＝∠ADC＝90°，∴DG⊥DN，DG＝DN．故答案為：DG⊥DN，DG＝DN；（2）結論成立．理由：如圖2中，作直線EF交AD于J，交BC于K，連接CN．∵四邊形ANFG是平行四邊形，∴AG∥KJ，AG＝NF，∴∠DAG＝∠J，∵AJ∥BC，∴∠J＝∠CKE，∵CE＝CF，EN＝NF，∴CN＝NE＝NF＝AG，CN⊥EF，∴∠ECN＝∠CEN＝45°，∴∠EKC+∠ECK＝∠ECK+∠DCN，∴∠DCN＝∠CKE，∴∠GAD＝∠DCN，∵GA＝CN，AD＝CD，∴△GAD≌△NCD（SAS），∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，∴∠GDN＝∠ADC＝90°，∴DG⊥DN，DG＝DN；解法二：連接CN