導(dǎo)數(shù)的概念資料

江蘇省洪澤中學(xué)高二數(shù)學(xué)教學(xué)案導(dǎo)數(shù)主備人邵剛PAGEPAGE5注重歸納，善于思考，勤于練習(xí)，把握細(xì)節(jié)，相信你一定會(huì)學(xué)好數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度的定義，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近”瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度的過程。2.理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵。3.會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)?！拘轮獙?dǎo)學(xué)】1.設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為s=s(t).以t0為起始時(shí)刻，物體在Dt時(shí)間內(nèi)的平均速度為,當(dāng)Dt?0時(shí)，,這個(gè)常數(shù)就是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度.2在求瞬時(shí)加速度時(shí),先利用平均變化率求出,再令,求出瞬時(shí)加速度.3.導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)，當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，比值eq\f(Δy,Δx)＝

無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點(diǎn)處的.5.導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）若對(duì)于區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)，則在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨著自變量的變化而變化，因而也是自變量的函數(shù)，該函數(shù)稱為，記作.【雙基演練】1.已知曲線y＝f(x)＝2x2上一點(diǎn)A(2,8)，則點(diǎn)A處的切線斜率為________.2.一木塊沿一斜面下滑，下滑的水平距離與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為S＝eq\f(1,4)t2(S單位：m)，當(dāng)t＝3s時(shí)，此木塊在水平方向上的瞬時(shí)速度為________．3.函數(shù)y＝x3＋1在x＝1時(shí)的瞬時(shí)變化率是________．4.函數(shù)y＝2x2＋4x在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為________．【范例解讀】【例1】已知質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：cm，時(shí)間單位：s)，(1)該質(zhì)點(diǎn)在前3s內(nèi)的平均速度；(2)當(dāng)時(shí)，求；(3)求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度．【例2】已知曲線上一點(diǎn)A(1，2)，求(1)點(diǎn)A處的切線的斜率；(2)點(diǎn)A處的切線方程．【例3】已知【隨堂測試】1.已知曲線y＝2x2＋4x在點(diǎn)P處的切線斜率為16.則P點(diǎn)坐標(biāo)為___.2.任一作直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝3t－t2，則物體的初速度是_______.3.一質(zhì)點(diǎn)做加速直線運(yùn)動(dòng)，其速度與時(shí)間的關(guān)系是v＝t2＋t＋2(v單位：m/s；時(shí)間單位：s)，則質(zhì)點(diǎn)在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)加速度為_______.4.已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程．解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝(Δx)2＋3Δx＋3；當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，(Δx)2＋3Δx＋3無限趨近于3，所以f(x)在x＝1時(shí)的瞬時(shí)變化率是3.答案34．函數(shù)y＝2x2＋4x在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為________．解析因?yàn)棣＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋16.從而當(dāng)Δx→0時(shí)，2Δx＋16→16.所以函數(shù)f(x)在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為16.答案16【范例解讀】【例1】已知質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：cm，時(shí)間單位：s)，(1)該質(zhì)點(diǎn)在前3s內(nèi)的平均速度；(2)當(dāng)時(shí)，求；(3)求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度．解：∵=4t+2Δt∴(1)當(dāng)t=0，Δt=3時(shí)，=4×0+2×3=6cm/s(2)當(dāng)t=2，Δt=0.001時(shí)，=4×2+2×0.001=8.002cm/s(3)當(dāng)無限趨近于0時(shí)，無限趨近于8，即cm/s．【例2】已知曲線上一點(diǎn)A(1，2)，求(1)點(diǎn)A處的切線的斜率；(2)點(diǎn)A處的切線方程．解：(1)∵∴，，所以點(diǎn)A處的切線的斜率為4．(2)點(diǎn)A處的切線方程是即?！纠?】已知解：∵∴【隨堂測試】1.已知曲線y＝2x2＋4x在點(diǎn)P處的切線斜率為16.則P點(diǎn)坐標(biāo)為__P(3,30)._.2.任一作直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝3t－t2，則物體的初速度是___3_____.3.一質(zhì)點(diǎn)做加速直線運(yùn)動(dòng)，其速度與時(shí)間的關(guān)系是v＝t2＋t＋2(v單位：m/s；時(shí)間單位：s)，則質(zhì)點(diǎn)在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)加速度為___5m/s2._____.4.已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程．【課后作業(yè)】1．若做直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度(單位：m/s)與時(shí)間(單位：s)的關(guān)系為v(t)＝t2－2，則在前4s內(nèi)的平均速度是________，在t＝4s時(shí)的瞬時(shí)速度是________．解析v＝eq\f(v（4）－v（0）,4－0)＝4(m/s)，v＝eq\f(v（4＋Δt）－v（4）,Δt)＝Δt＋8，當(dāng)Δt趨向于0時(shí)，v趨向于8，因此，第4s末的瞬時(shí)速度為8m/s.答案4m/s82．函數(shù)y＝x3＋1在x＝1時(shí)的瞬時(shí)變化率是________．解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝(Δx)2＋3Δx＋3；當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，(Δx)2＋3Δx＋3無限趨近于3，所以f(x)在x＝1時(shí)的瞬時(shí)變化率是3.答案33．已知曲線y＝2x3上一點(diǎn)A(1，2)，則A處的切線斜率為________．解析∵y＝2x3，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2（x＋Δx）3－2x3,Δx)＝eq\f(2（Δx）3＋6x（Δx）2＋6x2（Δx）,Δx)＝2(Δx)2＋6x(Δx)＋6x2.∴當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)無限趨近于6x2，∴點(diǎn)A(1，2)處切線的斜率為6.答案64．已知物體運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系為v(t)＝t2＋2t＋2，則t＝1秒時(shí)的瞬時(shí)加速度為________．解析eq\f(Δv,Δt)＝eq\f([（1＋Δt）2＋2（1＋Δt）＋2]－（12＋2×1＋2）,Δt)＝4＋Δt，則當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，可得瞬時(shí)加速度為4.答案45．已知f(x)＝－x2＋10，則f(x)在x＝eq\f(3,2)處的瞬時(shí)變化率是________．解析∵eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（\f(3,2)＋Δx）－f（\f(3,2)）,Δx)＝－Δx－3，當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，eq\f(Δf,Δx)無限趨近于－3.答案－36．已知曲線y＝eq\f(1,2)x2－2上一點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，則過點(diǎn)P的切線的傾斜角為__45°______．7．在曲線y=x2上的點(diǎn)處的切線的傾斜角為8．已知直線x－y－1＝0與曲線y＝ax2相切，則a＝________.9．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為s＝－4t2＋8t＋10，時(shí)間t的單位為s，路程s的單位為m.(1)計(jì)算[t，t＋Δt]內(nèi)的平均速度；(2)求當(dāng)t＝1s和t＝2s時(shí)的速度．解(1)v＝eq\f(s（t＋Δt）－s（t）,Δt)＝－4Δt＋8－8t；(2)當(dāng)Δt無限趨向于0時(shí)，v無限趨向于8－8t，因此t＝1s時(shí)的速度為0m/s，t＝2s時(shí)的速度為－810．已知曲線y＝2x2＋1上一點(diǎn)A(2，9)，求曲線在點(diǎn)A處的切線斜率．解∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2（x＋Δx）2＋1－2x2－1,Δx)＝4x＋2Δx，∴當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，eq\f(Δy,Δx)無限趨近于4x，∴f(x)在點(diǎn)A(2，9)處的切線斜率為8.11．如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從固定點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)，時(shí)間t的位移(單位：m)函數(shù)為y＝f(t)＝t3＋3，求當(dāng)t＝4s時(shí)的瞬時(shí)速度．解∵質(zhì)點(diǎn)在t＝4s到(4＋Δt)s的位移改變量Δy＝(Δt＋4)3＋3－(43＋3)＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48Δt，∴該時(shí)間段內(nèi)的平均速度v＝eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(（Δt）3＋12（Δt）2＋48Δt,Δt)＝(Δt)2＋12Δt＋48.∴當(dāng)Δt→0時(shí)，v→48.∴質(zhì)點(diǎn)在t＝4s時(shí)的瞬時(shí)速度為48m12.利用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y＝eq\f(1,x2)＋2在點(diǎn)x＝1處的導(dǎo)數(shù)．解∵Δy＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,（x＋Δx）2)＋2