2019-2023年真題分類匯編(新高考)專題03導數(shù)及其應用(原卷版+解析)_第1頁
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五年(2019-2023)年高考真題分項匯編專題03導數(shù)及其應用考點一導數(shù)的運算1.【多選】(2022?新高考Ⅰ)已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為,記.若,均為偶函數(shù),則A. B. C.(4) D.(2)考點二利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程2.(2021?新高考Ⅰ)若過點可以作曲線的兩條切線,則A. B. C. D.3.(2022?新高考Ⅰ)若曲線有兩條過坐標原點的切線,則的取值范圍是.4.(2022?新高考Ⅱ)曲線過坐標原點的兩條切線的方程為,.5.(2021?新高考Ⅱ)已知函數(shù),,,函數(shù)的圖象在點,和點,的兩條切線互相垂直,且分別交軸于,兩點,則的取值范圍是.考點三利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性6.(2023?新高考Ⅱ)已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最小值為A. B. C. D.7.(2023?新高考Ⅰ)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)證明:當時,.8.(2022?浙江)設函數(shù).(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)已知,,曲線上不同的三點,,,,,處的切線都經(jīng)過點.證明:(?。┤?,則(a);(ⅱ)若,,則.(注是自然對數(shù)的底數(shù))9.(2022?新高考Ⅱ)已知函數(shù).(1)當時,討論的單調(diào)性;(2)當時,,求的取值范圍;(3)設,證明:.10.(2021?新高考Ⅱ)已知函數(shù).(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)從下面兩個條件中選一個,證明:恰有一個零點.①,;②,.11.(2021?浙江)設,為實數(shù),且,函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若對任意,函數(shù)有兩個不同的零點,求的取值范圍;(Ⅲ)當時,證明:對任意,函數(shù)有兩個不同的零點,,滿足.(注是自然對數(shù)的底數(shù))12.(2021?新高考Ⅰ)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)設,為兩個不相等的正數(shù),且,證明:.13.(2020?海南)已知函數(shù).(1)當時,求曲線在點,(1)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2)若,求的取值范圍.14.(2019?浙江)已知實數(shù),設函數(shù),.(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)對任意,均有,求的取值范圍.注:為自然對數(shù)的底數(shù).考點四利用導數(shù)研究函數(shù)的極值15.【多選】(2023?新高考Ⅱ)若函數(shù)既有極大值也有極小值,則A. B. C. D.16.【多選】(2022?新高考Ⅰ)已知函數(shù),則A.有兩個極值點 B.有三個零點 C.點是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線17.(2023?新高考Ⅱ)(1)證明:當時,;(2)已知函數(shù),若為的極大值點,求的取值范圍.考點五利用導數(shù)研究函數(shù)的最值18.(2022?新高考Ⅰ)已知函數(shù)和有相同的最小值.(1)求;(2)證明:存在直線,其與兩條曲線和共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.五年(2019-2023)年高考真題分項匯編專題03導數(shù)及其應用考點一導數(shù)的運算1.【多選】(2022?新高考Ⅰ)已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為,記.若,均為偶函數(shù),則A. B. C.(4) D.(2)【解析】為偶函數(shù),可得,關于對稱,令,可得,即(4),故正確;為偶函數(shù),,關于對稱,故不正確;關于對稱,是函數(shù)的一個極值點,函數(shù)在,處的導數(shù)為0,即,又的圖象關于對稱,,函數(shù)在,的導數(shù)為0,是函數(shù)的極值點,又的圖象關于對稱,,關于的對稱點為,,由是函數(shù)的極值點可得是函數(shù)的一個極值點,,進而可得,故是函數(shù)的極值點,又的圖象關于對稱,,關于的對稱點為,,,故正確;圖象位置不確定,可上下移動,即每一個自變量對應的函數(shù)值不是確定值,故錯誤.解法二:構造函數(shù)法,令,則,則,,滿足題設條件,可得只有選項正確,故選:.考點二利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程2.(2021?新高考Ⅰ)若過點可以作曲線的兩條切線,則A. B. C. D.【解析】法一:函數(shù)是增函數(shù),恒成立,函數(shù)的圖象如圖,,即切點坐標在軸上方,如果在軸下方,連線的斜率小于0,不成立.點在軸或下方時,只有一條切線.如果在曲線上,只有一條切線;在曲線上側(cè),沒有切線;由圖象可知在圖象的下方,并且在軸上方時,有兩條切線,可知.故選:.法二:設過點的切線橫坐標為,則切線方程為,可得,設,可得,,,是增函數(shù),,,是減函數(shù),因此當且僅當時,上述關于的方程有兩個實數(shù)解,對應兩條切線.故選:.3.(2022?新高考Ⅰ)若曲線有兩條過坐標原點的切線,則的取值范圍是.【解析】,設切點坐標為,,切線的斜率,切線方程為,又切線過原點,,整理得:,切線存在兩條,方程有兩個不等實根,△,解得或,即的取值范圍是,,,故答案為:,,.4.(2022?新高考Ⅱ)曲線過坐標原點的兩條切線的方程為,.【解析】當時,,設切點坐標為,,,切線的斜率,切線方程為,又切線過原點,,,切線方程為,即,當時,,與的圖像關于軸對稱,切線方程也關于軸對稱,切線方程為,綜上所述,曲線經(jīng)過坐標原點的兩條切線方程分別為,,故答案為:,.5.(2021?新高考Ⅱ)已知函數(shù),,,函數(shù)的圖象在點,和點,的兩條切線互相垂直,且分別交軸于,兩點,則的取值范圍是.【解析】當時,,導數(shù)為,可得在點,處的斜率為,切線的方程為,令,可得,即,當時,,導數(shù)為,可得在點,處的斜率為,令,可得,即,由的圖象在,處的切線相互垂直,可得,即為,,,所以.故答案為:.考點三利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性6.(2023?新高考Ⅱ)已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最小值為A. B. C. D.【解析】對函數(shù)求導可得,,依題意,在上恒成立,即在上恒成立,設,則,易知當時,,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,則.故選:.7.(2023?新高考Ⅰ)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)證明:當時,.【解析】(1),則,①當時,恒成立,在上單調(diào)遞減,②當時,令得,,當時,,單調(diào)遞減;當,時,,單調(diào)遞增,綜上所述,當時,在上單調(diào)遞減;當時,在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增.證明:(2)由(1)可知,當時,,要證,只需證,只需證,設(a),,則(a),令(a)得,,當時,(a),(a)單調(diào)遞減,當,時,(a),(a)單調(diào)遞增,所以(a),即(a),所以得證,即得證.8.(2022?浙江)設函數(shù).(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)已知,,曲線上不同的三點,,,,,處的切線都經(jīng)過點.證明:(?。┤簦瑒t(a);(ⅱ)若,,則.(注是自然對數(shù)的底數(shù))【解析】(Ⅰ)函數(shù),,,由,得,在,上單調(diào)遞增;由,得,在上單調(diào)遞減.(Ⅱ)證明:過有三條不同的切線,設切點分別為,,,,,,,,2,,方程有3個不同的根,該方程整理為,設,則,當或時,;當時,,在,上為減函數(shù),在上為增函數(shù),有3個不同的零點,(e)且(a),,且,整理得到且,此時,,且,此時,,整理得,且,此時,(a),設(a)為上的減函數(shù),(a),.當時,同討論,得:在,上為減函數(shù),在上為增函數(shù),不妨設,則,有3個不同的零點,(a),且(e),,且,整理得,,,,設,則方程即為:,即為,記,則,,為有三個不同的根,設,,要證:,即證,即證:,而,且,,,即證,即證,即證,記,則,在為增函數(shù),,,設,,則,在上是增函數(shù),(1),,即,若,,則.9.(2022?新高考Ⅱ)已知函數(shù).(1)當時,討論的單調(diào)性;(2)當時,,求的取值范圍;(3)設,證明:.【解析】(1)當時,,,,當時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減.(2)令,,,在上恒成立,又,令,則,,①當,即,存在,使得當時,,即在上單調(diào)遞增.因為,所以在內(nèi)遞增,所以,這與矛盾,故舍去;②當,即,,若,則,所以在,上單調(diào)遞減,,符合題意.若,則,所以在上單調(diào)遞減,,符合題意.綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.另解:的導數(shù)為,①當時,,所以在遞增,所以,與題意矛盾;②當時,,所以在遞減,所以,滿足題意;.③當時,.設,,則在遞減,所以,,所以在遞減,所以,滿足題意;④當時,,令,則,,可得遞減,,所以存在,使得.當時,,在遞增,此時,所以當時,,在遞增,所以,與題意矛盾.綜上可得,的取值范圍是,.(3)由(2)可知,當時,,令得,,整理得,,,,,即.另解:運用數(shù)學歸納法證明.當時,左邊成立.假設當時,不等式成立,即.當時,要證,只要證,即證.可令,則,,則需證明,再令,則需證明.構造函數(shù),,,可得在,上遞減,則(1),所以原不等式成立,即時,成立.綜上可得,成立.10.(2021?新高考Ⅱ)已知函數(shù).(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)從下面兩個條件中選一個,證明:恰有一個零點.①,;②,.【解析】(Ⅰ),,①當時,當時,,當時,,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,②當時,令,可得或,當時,當或時,,當時,,在,,上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,時,且等號不恒成立,在上單調(diào)遞增,當時,當或時,,當時,,在,,上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減.綜上所述:當時,在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增;當時,在,和上單調(diào)遞增;在,上單調(diào)遞減;當時,在上單調(diào)遞增;當時,在和,上單調(diào)遞增;在,上單調(diào)遞減.(Ⅱ)證明:若選①,由(Ⅰ)知,在上單調(diào)遞增,,單調(diào)遞減,,上單調(diào)遞增.注意到.在上有一個零點;,由得,,,當時,,此時無零點.綜上:在上僅有一個零點.另解:當,時,有,,而,于是,所以在沒有零點,當時,,于是,所以在,上存在一個零點,命題得證.若選②,則由(Ⅰ)知:在,上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.,,,,,當時,,此時無零點.當時,單調(diào)遞增,注意到,取,,,又易證,,在上有唯一零點,即在上有唯一零點.綜上:在上有唯一零點.11.(2021?浙江)設,為實數(shù),且,函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若對任意,函數(shù)有兩個不同的零點,求的取值范圍;(Ⅲ)當時,證明:對任意,函數(shù)有兩個不同的零點,,滿足.(注是自然對數(shù)的底數(shù))【解析】(Ⅰ),①當時,由于,則,故,此時在上單調(diào)遞增;②當時,令,解得,令,解得,此時在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;綜上,當時,的單調(diào)遞增區(qū)間為;當時,的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(Ⅱ)注意到時,,當時,,由(Ⅰ)知,要使函數(shù)有兩個不同的零點,只需即可,對任意均成立,令,則,即,即,即,對任意均成立,記,則,令(b),得,①當,即時,易知(b)在,單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,此時(b),不合題意;②當,即時,易知(b)在,單調(diào)遞減,此時,故只需,即,則,即;綜上,實數(shù)的取值范圍為,;(Ⅲ)證明:當時,,,令,解得,易知,有兩個零點,不妨設為,,且,由,可得,要證,只需證,只需證,而,則,要證,只需證,只需證,而,,即得證.12.(2021?新高考Ⅰ)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)設,為兩個不相等的正數(shù),且,證明:.【解析】(1)解:由函數(shù)的解析式可得,,,單調(diào)遞增,,,單調(diào)遞減,則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(2)證明:由,得,即,由(1)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以(1),且(e),令,,則,為的兩根,其中.不妨令,,則,先證,即證,即證,令,則在單調(diào)遞減,所以(1),故函數(shù)在單調(diào)遞增,(1).,,得證.同理,要證,(法一)即證,根據(jù)(1)中單調(diào)性,即證,令,,則,令,,,單調(diào)遞增,,,,單調(diào)遞減,又時,,且(e),故,(1)(1),恒成立,得證,(法二),,又,故,,故,,令,,,在上,,單調(diào)遞增,所以(e),即,所以,得證,則.13.(2020?海南)已知函數(shù).(1)當時,求曲線在點,(1)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2)若,求的取值范圍.【解析】(1)當時,,,(1),(1),曲線在點,(1)處的切線方程為,當時,,當時,,曲線在點,(1)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積.(2)方法一:由,可得,即,即,令,則,在上單調(diào)遞增,,即,令,,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,(1),,,故的范圍為,.方法二:由可得,,,即,設,恒成立,在單調(diào)遞增,,,即,再設,,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,(1),,即,則,此時只需要證,即證,當時,恒成立,當時,,此時不成立,綜上所述的取值范圍為,.方法三:由題意可得,,,易知在上為增函數(shù),①當時,(1),,存在使得,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,(1),不滿足題意,②當時,,,,令,,易知在上為增函數(shù),(1),當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,(1),即,綜上所述的取值范圍為,.方法四:,,,,易知在上為增函數(shù),在上為增函數(shù),在0,上為減函數(shù),與在0,上有交點,存在,使得,則,則,即,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,當,時,,函數(shù)單調(diào)遞增,設,易知函數(shù)在上單調(diào)遞減,且(1),當,時,,,時,,設,,,恒成立,在,上單調(diào)遞減,(1),當時,,,.方法五:等價于,該不等式恒成立.當時,有,其中.設(a),則(a),則(a)單調(diào)遞增,且(1).所以若成立,則必有.下面證明當時,成立.設,,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,,,即,把換成得到,,.,當時等號成立.綜上,.14.(2019?浙江)已知實數(shù),設函數(shù),.(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)對任意,均有,求的取值范圍.注:為自然對數(shù)的底數(shù).【解析】(1)當時,,,,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由(1),得,當時,,等價于,令,則,設,,則,當,時,,則,記,,則,列表討論:,10單調(diào)遞減極小值(1)單調(diào)遞增(1),.當時,,令,,,則,故在,上單調(diào)遞增,,由得(1),,,由知對任意,,,,,即對任意,,均有,綜上所述,所求的的取值范圍是,.考點四利用導數(shù)研究函數(shù)的極值15.【多選】(2023?新高考Ⅱ)若函數(shù)既有極大值也有極小值,則A. B. C. D.【解析】函數(shù)定義域為,且,由題意,方程即有兩個正根,設為,,則有,,△,,,,即.故選:.16.【多選】(2022?新高考Ⅰ)已知函數(shù),則A.有兩個極值點 B.有三個零點 C.點是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線【解析】,令,解得或,令,解得,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且,有兩個極值點,有且僅有一個零點,故選項正確,選項錯誤;又,則關于點對稱,故選項正確;假設是曲線的切線,設切點為,則,解得或,顯然和均不在曲線上,故選項錯誤.故選:.17.(2023?新高考Ⅱ)(1)證明:當時,;(2)已知函數(shù),若為的極大值點,求的取值范圍.【解析】(1)證明:設,,則,,在上單調(diào)遞減,,在上單調(diào)遞減,,即,,,,設,,則,在上單調(diào)遞增,,,即,,,,綜合可得:當時,;(2)解:,,且,,①若,即時,易知存在,使得時,,在上單調(diào)遞增,,在上單調(diào)遞增,這顯然與為函數(shù)的極大值點相矛盾,故舍去;②若,即或時,存在,使得,時,,在,上單

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