2012年1月自考04184線性代數(shù)經(jīng)管類試題及答案含解析

線性代數(shù)（經(jīng)管類）年月真題

0418420121

1、【單選題】以下關于正定矩陣敘述正確的是（）

正定矩陣的乘積一定是正定矩陣

正定矩陣的行列式一定小于零

A:

正定矩陣的行列式一定大于零

B:

正定矩陣的差一定是正定矩陣

C:

答D:案：C

解析：本題考查正定矩陣的性質。根據(jù)正定矩陣的性質，選擇C。

2、【單選題】

-6

-3

A:

3

B:

6

C:

答D:案：D

解析：

本題考查行列式的性質。＝

3、【單選題】實數(shù)向量空間V={(x,y,z)|3x+2y+5z=0}的維數(shù)是（）

1

2

A:

3

B:

4

C:

答D:案：B

解析：本題考查向量的維數(shù)。向量的維數(shù)不應該只看向量坐標的個數(shù)，應該看獨立坐標的

個數(shù)。本題向量的三個坐標由一個三元方程確定，其中獨立的變量只有兩個，另外一個變

量的取值由這兩個變量的取值來確定，所以獨立的坐標只有兩個。故選擇B.

4、【單選題】

A:

B:

C:

答D:案：B

解析：

本題考查方程組解的定義。（+）＝

+＝+0＝

故選擇B.

5、【單選題】

A:

B:

．2,4,3

C:

答D:案：A

解析：

本題考查特征值的性質及逆矩陣的定義。故選擇A.

6、【單選題】設矩陣A，X為同階方陣，且A可逆，若A（X-E）=E，則矩陣X=（）

E+A-1

A:

E-A

E+A

B:

E-A-1

C:

答D:案：A

解析：

本題考查方陣的方程解法。方程可化為，因為A可逆，所以

故選擇A。

7、【單選題】設矩陣A，B均為可逆方陣，則以下結論正確的是（）

A:

B:

C:

答D:案：D

解析：本題考查分塊矩陣的運算。根據(jù)分塊對角陣的運算性質，選擇D.

8、【單選題】

A:

B:

C:

答D:案：D

解析：本題考查向量組線性相關性。根據(jù)線性無關的定義，選擇D.

9、【單選題】

（0，-2，-1，1）T

A:

（-2，0，-1，1）T

（1，-1，-2，0）T

B:

（2，-6，-5，-1）T

C:

答D:案：A

解析：

本題考查向量的加減法運算。后式減前式得＝（0，－2，－

1，1）T故選擇A.

10、【單選題】

A:

B:

C:

答D:案：B

解析：

本題考察矩陣相似的判定。嚴格說，本題超綱。課本P138，定理5.2.1：相似矩陣必有相

同的特征多項式。因而必有相同的特征值、相同的跡和相同的行列式。在“注意”中指

出，該定理是充分定理，逆定理并不成立。但，課本并沒有介紹判定兩個矩陣相似的充要

條件，而嚴格地說本題需要根據(jù)充要條件定理來判定的。現(xiàn)將充要條件定理介紹如下：矩

陣，相似的充要條件是矩陣與矩陣

等價。但是，由于本題是單選題，根據(jù)充分定理可以判定只有選項B正

確，即，tr（）＝2，而tr＝2。

11、【問答題】設det(A)=-1，det(B)=2，且A，B為同階方陣，則det

((AB)3)=__________．

答案：-8

解析：

本題考查方陣行列式的性質。||＝||3||3＝

－8故填寫－8.

12、【問答題】

答案：-3

解析：

本題考查方程組的解的知識。設B=(b1,b2,b3)，其中b1,b2,b3至少有一個不為零，

則AB=0等價于Ab1＝0，Ab2＝0，Ab3＝0，即線性方程組Ax＝0有非零解等價于方陣A為

奇異矩陣，即|A|＝0，，解得t＝－3故填寫－3.

13、【問答題】設方陣A滿足Ak=E，這里k為正整數(shù)，則矩陣A的逆A-1=__________．

答案：

解析：

本題考查逆矩陣定義。故填寫。

14、【問答題】實向量空間Rn的維數(shù)是__________．

答案：n

解析：

本題考查空間的維數(shù)。故填寫。

15、【問答題】設A是m×n矩陣，r(A)=r,則Ax=0的基礎解系中含解向量的個數(shù)為

__________．

答案：n－r

解析：本題考查線性齊次方程組基礎解系的結構。因為方程組的系數(shù)矩陣A是m×n矩

陣，Ax=0是m個方程組成的n個未知數(shù)的方程組，又r(A)=r，所以，其基礎解系中所含

線性無關向量個數(shù)為n－r。故填寫n－r。

16、【問答題】非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是__________．

答案：r（A）＝r（A，b）

解析：本題考查非齊次線性方程組解的判定。故填寫r（A）＝r（A，b）

17、【問答題】

答案：2b.

解析：

本題驗證方程組解。＝3A+2A＝0+2b＝2b故

填寫2b.

18、【問答題】設方陣A有一個特征值為8，則det（-8E+A）=__________．

答案：0.

解析：本題考查特征值的求法。設A為n階方陣，det（－8E+A）＝det[－(8E－A)]

＝（－1）ndet(8E－A)＝0故填寫0.

19、【問答題】設P為n階正交矩陣，x是n維單位長的列向量，則||Px||=__________．

答案：1.

解析：本題考查正交變換的性質。||Px||2＝（Px，Px）＝（x，x）＝||x||2＝1故填寫

1.

20、【問答題】

答案：3

解析：

本題考查二次型的慣性指數(shù)概念。配方法＝故填寫3.

21、【問答題】

答案：57

解析：

＝＝（－4）（－57/4）＝57

22、【問答題】

答案：

解析：

因為|A|=30，所以A可逆。方程ABA-1=4A-1+BA-1兩端同時右乘A，并整理得AB＝4E

+B，AB－B＝4E，（A－E）B＝4E，B＝4（A－E）－1(A－E)-1＝所以B＝

23、【問答題】

答案：

解析：

用向量組中每個向量為列構成矩陣，并實行初等行變換所

以，此向量組的極大無關組為，，，且

。

24、【問答題】

答案：

解析：

構造矩陣A的特征方程，并求解|E－A|＝＝

解得，，即矩陣A的特征值為0，1，1.當

時，解方程組得；當時，解方

程組得，所以，矩陣A的特征值0，1，1對

應的特征向量為;，。

25、【問答題】

答案：

解析：

方程組的矩陣為A，并施行初等行變換A＝解得基礎解系所

含解線性無關向量為，，方程組的通解為

k1x1+k2x2，其中k1，k2為任意常數(shù)。

26、【問答題】

答案：矩陣A的秩為4.

解析：

A＝所以，矩陣A的秩為4.

27、【問答題】

答案：

解析：

構造齊次線性方程組Ax＝0，即（，，）