陜西省渭南市澄城縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省渭南市澄城縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.選擇題用2B鉛筆將正確答策涂寫在答題卡上；非選擇題用0.5mm黑色墨水簽字筆答在答題卡的指定答題區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域〖答案〗無效.3.答題前，請將姓名?考號?試卷類型按要求涂寫在答題卡上.第I卷選擇題（共60分）一、選擇題（每小題5分，共40分）1.過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)與直線平行的直線的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以所求直線的方程為.故選：A.2.設(shè)為實(shí)數(shù)，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得.故選：D3.如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（

）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意.故選：B.4.在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A.721 B.-61 C.181 D.-59〖答案〗D〖解析〗=的展開式的通項(xiàng)公式為=，其中的展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時，，，常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時，，，常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時，，，常數(shù)項(xiàng)為；故常數(shù)項(xiàng)為++.故選：D5.現(xiàn)有4名男生和3名女生計劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)附近訂購了一家酒店的5間風(fēng)格不同的房間，并約定每個房間都要住人，但最多住2人，男女不同住一個房間，則女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗3名女生需要住2個房間或3個房間.若3名女生住2個房間，則不同的方法種數(shù)為；若3名女生住3個房間，則不同的方法種數(shù)為.其中，女生甲和女生乙恰好住在同一間房的方法種數(shù)為，所以女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是.故選：C6.已知是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，.故選：D.7.已知貴州某果園中刺梨單果的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且，若從該果園的刺梨中隨機(jī)選取100個單果，則質(zhì)量在的單果的個數(shù)的期望為（）A.20 B.60 C.40 D.80〖答案〗B〖解析〗因(單位)服從正態(tài)分布，且，所以，若從該果園的刺梨中隨機(jī)選取100個單果，則質(zhì)量在的單果的個數(shù)，所以.故選：B8.已知橢圓，點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，的內(nèi)切圓半徑為，取線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，所以，即，所以三點(diǎn)共線，且，則，，，，所以，，則橢圓的離心率為.故選：A.二、多選題（每題5分，共20分.在每小題所給的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全對的得5分，部分對的得2分，有選錯的得0分.）9.下列說法正確的是（）A.到兩定點(diǎn)的距離差的絕對值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.B.方程表示雙曲線.C.到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡為拋物線D.橢圓的離心率e越大，橢圓就越扁〖答案〗BD〖解析〗到兩定點(diǎn)的距離差的絕對值等于正常數(shù),且該常數(shù)小于兩定點(diǎn)的距離的點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故A錯誤；對于方程，若，則表示焦點(diǎn)在橫軸的雙曲線，若，原式可化為，則表示焦點(diǎn)在縱軸的雙曲線，故B正確；根據(jù)拋物線的定義可知:該定點(diǎn)不能在定直線上，否則軌跡不能是拋物線，故C錯誤；橢圓的離心率是焦距與長軸的比值，離心率越大說明焦距與長軸長越接近，則短軸長越短，此時橢圓越扁平，故D正確.故選：BD10.若是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間的一個基底的是（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗設(shè)，所以，無解，所以是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個基底，故A正確；設(shè)，則，所以，無解，所以是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個基底，故B正確；因?yàn)?，所以是共面向量，不能?gòu)成空間的一個基底，故C錯誤；因?yàn)?，所以是共面向量，不能?gòu)成空間的一個基底，故D錯誤．故選：AB．11.圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的歷史.在某次圍棋比賽中，甲，乙兩人進(jìn)入決賽.決賽采用五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，且每局比賽的勝負(fù)互不影響，記決賽中的比賽局?jǐn)?shù)為X，則（）A.乙連勝三場的概率是B.C.D.的最大值是〖答案〗BD〖解析〗乙連勝三場時比賽局?jǐn)?shù)可能是3,4,5，若比賽局?jǐn)?shù)為3時，乙連勝三場的概率是；若比賽局?jǐn)?shù)為4時，乙連勝三場的概率是；若比賽局?jǐn)?shù)為5時，乙連勝三場的概率是；故選項(xiàng)A錯誤；由題意可知，決賽中的比賽局?jǐn)?shù)的可能取值為，則；；故選項(xiàng)B正確；;故選項(xiàng)C錯誤；令，則，因?yàn)椋援?dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，函數(shù)取最大值，所以的最大值是，故選項(xiàng)D正確；故選：BD.12.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則點(diǎn)到軸的距離為B.過點(diǎn)與拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)的直線至多有條C.是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，是直線與的一個交點(diǎn)，若，則D.〖答案〗CD〖解析〗因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，則拋物線，所以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，對于A選項(xiàng)，設(shè)、，則，解得，又為線段的中點(diǎn)，則，所以點(diǎn)到軸的距離為，故A錯誤；對于B選項(xiàng)，若過點(diǎn)的斜率不存在時，則該直線為軸，由圖可知，軸與拋物線相切，若過點(diǎn)的直線的斜率為零，此時，直線的方程為，聯(lián)立，可得，此時，直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線的斜率存在且不為零，設(shè)該直線的方程為，考慮直線與拋物線相切，聯(lián)立，可得，則，解得，即直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，故滿足條件的直線共有三條，B錯；對于C選項(xiàng)，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線段，垂足為，則，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，則，則，所以，即，所以，則，故C正確；對于D：依題意過點(diǎn)的直線的斜率不為，設(shè)過點(diǎn)的直線為，由，消去得，顯然，所以，，則，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故D正確.故選：CD.第II卷非選擇題（共90分）三、填空題（每小題5分，共20分）13.圓與圓的位置關(guān)系是_____．〖答案〗相交〖解析〗由題意圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為，所以圓與圓的圓心坐標(biāo)、半徑分別為，所以，所以圓與圓的位置關(guān)系是相交.14.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是_______．〖答案〗〖解析〗向量在向量上的投影向量為：.故〖答案〗為：15.某人投籃命中的概率為0.3，投籃15次，最有可能命中______次．〖答案〗4〖解析〗投籃命中次數(shù)，設(shè)最有可能命中次，則，，．最有可能命中4次．故〖答案〗為：4.16.若一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和為10，則稱這個三位數(shù)“十全十美數(shù)”，如208，136都是“十全十美數(shù)”，現(xiàn)從所有三位數(shù)中任取一個數(shù)，則這個數(shù)恰為“十全十美數(shù)”的概率是____________〖答案〗〖解析〗所有三位數(shù)個數(shù)為900個.“十全十美數(shù)”有54個列舉如下：①有一位數(shù)字是的，共有個，分別為；②含有兩個相同數(shù)字的，共有個，分別為；③不含0且沒有相同數(shù)字的，共有個，分別為.從所有三位數(shù)中任取一個數(shù)，則這個數(shù)恰為“十全十美數(shù)”的概率.故〖答案〗為:四、解答題（共70分）17.如圖，過圓外一點(diǎn)向圓引切線.（1）求過點(diǎn)P的圓的切線方程；（2）若切點(diǎn)為，，求過切點(diǎn)，的直線方程.解：（1）設(shè)過點(diǎn)P的圓的切線方程為，的圓心為，半徑為；則，解得或，故切線方程為或.（2）解法1：將切線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組，由可得，由可得，即和，故過切點(diǎn)，的直線方程為，整理得.解法2：因?yàn)镺，，P，四點(diǎn)共圓，所以，在以O(shè)P為直徑的圓上，圓心為，半徑為，即方程為與已知圓相減，得過切點(diǎn)，的直線方程為.18.如圖，正四棱柱中，為的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．解：（1）正四棱柱中平面，又四邊形是正方形，得，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：，，因?yàn)?，所以即，又平面，，所以平?（2）,,設(shè)平面的一個法向量為.由得，即，令，則，即，又.由（1）知，是平面的一個法向量，又.所以，.由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值.19.鹽水選種是古代勞動人民的智慧結(jié)晶，其原理是借助鹽水估測種子的密度，進(jìn)而判斷其優(yōu)良．現(xiàn)對一批某品種種子的密度（單位：）進(jìn)行測定，測定結(jié)果整理成頻率分布直方圖如圖所示，認(rèn)為密度不小于的種子為優(yōu)種，小于的為良種．自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為和．（1）估計這批種子密度的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（2）用頻率估計概率，從這批種子（總數(shù)遠(yuǎn)大于）中選取粒在自然情況下種植，設(shè)萌發(fā)的種子數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望（各種子的萌發(fā)相互獨(dú)立）．解：（1）估計種子密度的平均值為；（2）由頻率分布直方圖知優(yōu)種占比為，任選一粒種子萌發(fā)的概率．因?yàn)檫@批種子總數(shù)遠(yuǎn)大于2，所以萌發(fā)的種子數(shù)符合二項(xiàng)分布，所以可取的值為，，，所以，，，所以的分布列為：012所以期望，故期望值為.20.新能源滲透率是指在一定時期內(nèi)，新能源汽車銷量占汽車總銷量的比重.在2022年，新能源汽車的滲透率達(dá)到了，提前三年超過了“十四五”預(yù)定的的目標(biāo).2023年，隨著技術(shù)進(jìn)步，新能源車的滲透率還在繼續(xù)擴(kuò)大.將2023年1月視為第一個月，得到2023年1-10月，我國新能源汽車滲透率如下表：月份代碼12345678910滲透率29323432333436363638（1）假設(shè)自2023年1月起的第個月的新能源滲透率為，試求關(guān)于的回歸直線方程，并由此預(yù)測2024年1月的新能源滲透率；（2）為了鼓勵大家購買新能源汽車，國家在2024年繼續(xù)執(zhí)行新能源車購置稅優(yōu)惠政策：在2024年6月1日前購買的新能源車無需支付購置稅，而燃油車需按照車價支付購置稅.2024年1月小張為自己的客戶代付購置稅，當(dāng)月他的客戶購買了3輛車價格均為20萬元，假設(shè)以（1）中預(yù)測的新能源滲透率作為當(dāng)月客戶購買新能源車的概率，設(shè)小張總共需要代付的購置稅為萬元，求的分布列和期望.附：一組數(shù)據(jù)，，的線性回歸直線方程的系數(shù)公式為：，解：（1）計算得，，所以，，則回歸直線方程為，代入得，所以預(yù)測2024年1月新能源滲透率為；（2）由題意，每個客戶購買新能源車的概率為，燃油車概率為，所有可能取值為，，，，則，，，，所以的分布列為0246所以（萬元）.21.已知橢圓的短半軸為3，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求弦的長度.解：（1）由橢圓的短半軸為，離心率為，可得且，即，因，可得，解得，所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，則，兩式相減得，即，即，所以直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則.22.第18屆亞洲杯將于2024年1月12日在卡塔爾舉行，該比賽預(yù)計會吸引億萬球迷觀看.為了了解某校大學(xué)生喜愛觀看足球比賽是否與性別有關(guān)，該大學(xué)記者站隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計，其中女生喜愛觀看足球比賽的占女生人數(shù)的，男生有10人表示不喜歡看足球比賽.（1）完成下面列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為喜愛觀看足球比賽與性別有關(guān)聯(lián)？男女合計喜愛看足球比賽不喜愛看足球比賽合計60（2）在不喜愛觀看足球比賽的觀眾中，按性別用分層隨機(jī)抽樣的方式抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取2人參加校記者站的訪談節(jié)目，設(shè)抽到的男生