河南省TOP二十名校2024屆高三下學(xué)期質(zhì)檢一數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省TOP二十名校2024屆高三下學(xué)期質(zhì)檢一數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.若，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以．故選：D.2.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A.28 B.56 C.70 D.76〖答案〗A〖解析〗的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，解得，故的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．故選：A.3.若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，則，所以．故選：A.4.已知圓，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.點(diǎn)在圓外 B.直線平分圓C.圓的周長(zhǎng)為 D.直線與圓相離〖答案〗D〖解析〗由可知圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為1．對(duì)于選項(xiàng)A：由點(diǎn)到圓心的距離所以點(diǎn)在圓外，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閳A心在直線上，所以圓關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，圓的周長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以直線與圓相切，故D錯(cuò)誤．故選：D．5.直線經(jīng)過橢圓長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)，交橢圓于另外一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，則該橢圓的焦距為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對(duì)直線方程令，則，令，則，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)?，設(shè)，因?yàn)?，即，則，解得，所以，代入橢圓的方程得，所以，所以橢圓的焦距為．故選：C.6.在與中，已知，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：有唯一解，且，由正弦定理，可得，所以關(guān)于A的方程有唯一解，可知曲線和水平直線必須有唯一的交點(diǎn)，則或，解得或．故選：D.7.如圖是棱長(zhǎng)均為2的柏拉圖多面體，已知該多面體為正八面體，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗連接．由已知得為的中位線，所以，為正三角形的中線，所以，又，所以，所以為直角三角形，所以．因?yàn)?，所以到平面的距離為，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所以，所以．故選：B.8.甲?乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)友誼比賽，賽前每人記入3分．一局比賽后，若決出勝負(fù)，則勝的一方得1分，負(fù)的一方得分；若平局，則雙方各得0分．若干局比賽后，當(dāng)一方累計(jì)得分為6時(shí)比賽結(jié)束且該方最終獲勝．令表示在甲的累計(jì)得分為i時(shí)，最終甲獲勝的概率，若在一局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知：i的取值集合為，且，在甲累計(jì)得分為1時(shí)，下局甲勝且最終甲獲勝的概率為，在甲累計(jì)得分為1時(shí)，下局平局且最終甲獲勝的概率為，在甲累計(jì)得分為1時(shí)，下局甲敗且最終甲獲勝的概率為，根據(jù)全概率公式可得，整理得，變形得，因?yàn)?，則，同理可得，所以是公比為的等比數(shù)列，所以，各項(xiàng)求和得，則，即，解得．故選：C.二、選擇題9.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，，過的直線與的右支交于點(diǎn)，若，則（）A.的漸近線方程為 B.C.直線的斜率為 D.的坐標(biāo)為或〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，，且，解得，又因?yàn)?，故雙曲線的漸近線方程為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)在右支上，則，①又因?yàn)椋瑒t，②聯(lián)立①②可得，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若點(diǎn)在第一象限，則直線的斜率為，若點(diǎn)在第四象限，由對(duì)稱性可知，直線的斜率為.綜上所述，直線的斜率為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，且，可得，所以，解得，則，可得，即點(diǎn)，D對(duì).故選：ABD.10.某質(zhì)點(diǎn)的位移與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系式為的圖象如圖所示，其與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，與直線的相鄰三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，則（）A.B.C.質(zhì)點(diǎn)在內(nèi)的位移圖象為單調(diào)遞減D.質(zhì)點(diǎn)在內(nèi)的平均速率為（平均速率）〖答案〗AC〖解析〗由題意可知：函數(shù)的周期，所以，故A正確；令，即，因?yàn)?，即，且，可得或，又因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，由圖象可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，故C正確；由圖象直接得該質(zhì)點(diǎn)在內(nèi)的路程為，所以該質(zhì)點(diǎn)在內(nèi)的平均速率為，所以D錯(cuò)誤．故選：AC.11.已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，且，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由題意可得，兩式相減可得①，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，A錯(cuò)誤；由②，②式兩邊對(duì)求導(dǎo)可得，可知是偶函數(shù)，以替換①中的可得，可得，所以是周期為4的周期函數(shù)，B正確；因?yàn)椋芍彩侵芷跒?的周期函數(shù)，即，兩邊求導(dǎo)可得，所以，C正確；因?yàn)椋?，則，即，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又因?yàn)槭侵芷跒?的周期函數(shù)，則，由可得，所以，D正確.故選：BCD.三、填空題12.若集合，則__________．〖答案〗〖解析〗由可得．故〖答案〗為：.13.記函數(shù)的圖象為，作關(guān)于直線的對(duì)稱曲線得到，則曲線上任意一點(diǎn)與曲線上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗由題意可知：，設(shè)為曲線上的一點(diǎn)，令過點(diǎn)A的切線斜率為，解得，所以，所以點(diǎn)A到直線的距離為，所以曲線上任意一點(diǎn)與曲線上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為．故〖答案〗為：.14.在四棱錐中，已知平面平面，，若二面角的正切值為，則四棱錐外接球的表面積為__________．〖答案〗〖解析〗分別取、的中點(diǎn)、，連接．因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，平面，平面，所以，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，所以，因，所以，所以三棱錐外接球的球心在直線上，由知在線段的延長(zhǎng)線上．設(shè)，則，即，所以，所以三棱錐外接球的半徑為，表面積為，因?yàn)?，，即，所以、、、四點(diǎn)共圓，所以三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，故四棱錐外接球的表面積為．故〖答案〗為：四、解答題15.近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺(tái)，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，針對(duì)短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長(zhǎng)視頻勢(shì)必成為一種新的技能．某機(jī)構(gòu)在網(wǎng)上隨機(jī)對(duì)1000人進(jìn)行了一次市場(chǎng)調(diào)研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長(zhǎng)視頻的APP，得到如下數(shù)據(jù)：

青年人中年人老年人對(duì)短視頻剪接成長(zhǎng)視頻的APP有需求200對(duì)短視頻剪接成長(zhǎng)視頻的APP無需求150其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計(jì)的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400．（1）求的值；（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)短視頻剪接成長(zhǎng)視頻的APP的需求，青年人與中老年人是否有差異？參考公式：，其中．臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.84166357.87910.828解：（1）由題意可得：，解得．（2）零假設(shè)為：對(duì)短視頻剪接成長(zhǎng)視頻APP的需求，青年人與中老年人沒有差異．由已知得，如下列聯(lián)表：

青年人中老年人合計(jì)對(duì)短視頻剪接成長(zhǎng)視頻的APP有需求300250550對(duì)短視頻剪接成長(zhǎng)視頻的APP無需求100350450合計(jì)4006001000可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，所以對(duì)短視頻剪接成長(zhǎng)視頻的APP有需求，青年人與中老年人有差異．16.如圖，三棱柱中，為底面的重心，．（1）求證：∥平面；（2）若底面，且三棱柱的各棱長(zhǎng)均為6，設(shè)直線與平面所成的角為，求的值．（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接．因?yàn)闉榈酌娴闹匦?，則，又因?yàn)?，則，可知∥，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以∥平面．?）解：取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)榈酌?，且三棱柱的各棱長(zhǎng)均為6，可知射線兩兩垂直，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，可得，所以．17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與拋物線相切．（1）求的值；（2）已知點(diǎn)在拋物線上，分別位于第一象限和第四象限，且，過分別作直線的垂線，垂足分別為，求四邊形面積的最小值．解：（1）因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以方程組有唯一解，所以有唯一解，所以，且，解得．（2）設(shè)直線的方程為，，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，分別位于第一象限和第四象限，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，因?yàn)?，即，整理得，即，解得，可知直線的方程為，可知，，符合題意，則四邊形的面積為．令，所以，因?yàn)椋瑒t，且與在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，所以四邊形面積的最小值為．18.已知函數(shù)，，.（1）判斷是否對(duì)恒成立，并給出理由；（2）證明：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)，時(shí)，.（1）解：恒成立，理由如下:令，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，其中，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即恒成立;（2）證明：①時(shí)，單調(diào)遞增，故，又，故要證，只需證，令，則只需證明，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，故，所以當(dāng)時(shí)，;②由（1）知，，由于，所以，所以19.在正項(xiàng)無窮數(shù)列中，若對(duì)任意的，都存在，使得，則稱為階等比數(shù)列．在無窮數(shù)列中，若對(duì)任意的，都存在，使得，則稱為階等差數(shù)列．（1）若為1階等比數(shù)列，，求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）若為階等比數(shù)列，求證：為階等差數(shù)列；（3）若既是4階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，證明：是等比數(shù)列．（1）解：因?yàn)闉?階等比數(shù)列，