遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期期中（Ⅱ）考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期期中（Ⅱ）考試數(shù)學(xué)試題第I卷一?單項選擇題1.已知是實數(shù)集，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，即，即，解得或，所以或，因，所以，故.故選：A.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對應(yīng)點為，則（）A.2 B.-2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意.故選：C.3.已知為兩條不同的直線，為三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，且，則〖答案〗D〖解析〗長方體如圖所示：對于A，設(shè)分別為直線，平面，此時有平面，但，錯誤；對于B，設(shè)分別為直線，平面，平面，其中分別為的中點，此時有面，平面，但平面平面，故B錯誤；對于C，設(shè)分別為直線，平面，平面，此時面，平面，平面平面，但，故C錯誤；對于D，若，且，則，不妨取交線上一點，作平面的垂線，因為，且點，故，同理可得，故與是同一條直線，因為，故，故D正確.故選：D.4.設(shè)是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為則“”是“對任意的正整數(shù)”的（）A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由題意得，，故必要不充分條件，故選C.5.8月29日，華為在官方網(wǎng)站發(fā)布了Mate60手機，其中大部分件已實現(xiàn)國產(chǎn)化，5G技術(shù)更是遙遙領(lǐng)先，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，位道內(nèi)信號的平均功率以及信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計．按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至5000，則大約增加了（）（參考數(shù)值：）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，，大約增加了，故選：C6.在四面體中，底面，，，點為三角形的重心，若四面體的外接球的表面積為，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)的中點為，因為點是的重心，所以，設(shè)的外心為，由題意可得點在上，令，則有，即，解得：，又平面，所以四面體的外接球的半徑，由題意得，解得：，所以.故選：B.7.設(shè)是雙曲線的左，右焦點，點P在C上，若，且(O為坐標(biāo)原點)，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗不妨設(shè)點P在C的右支上，設(shè)，由雙曲線的定義可知：，因為，所以，即，由余弦定理可知：，而，所以，因此C的漸近線方程為，故選：A.8.已知實數(shù)滿足，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，即，令，則，從而，所以，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以，所以.故選：D.二?多項選擇題9.已知實數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A：，則，正確；B：，則，正確；C：當(dāng)時，，錯誤；D：由（注意等號取不到），則，正確.故選：ABD.10.拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點（點在軸的下方），則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則中點到軸的距離為4B.弦中點的軌跡為拋物線C.若，則直線斜率D.〖答案〗BCD〖解析〗拋物線，則焦點，準(zhǔn)線為，對于A，設(shè)、，則，解得，設(shè)為線段的中點，則，所以點到軸的距離為，故A錯誤；對于B，由題意，直線斜率不為0，設(shè)：，聯(lián)立，得，，則，，，設(shè)線段中點坐標(biāo)為，則，消去可得，故弦中點的軌跡為拋物線，故B正確；對于C，易知，，由，可得，，結(jié)合B選項可知，則，又，可得，，所以直線的斜率，故C正確；對于D，由選項B可知，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，在下列結(jié)論中正確的是（）A.是的一個周期B.的圖象關(guān)于直線對稱C.在區(qū)間上無最大值D.在區(qū)間上有最小值〖答案〗CD〖解析〗對于A，因為，又，，所以不是的一個周期，故A錯誤；對于B，，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，故B錯誤；對于C，D，當(dāng)時，，令，因為，所以，所以，設(shè)，因為在定義域上是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知為增函數(shù)，故在定義域上為增函數(shù)，所以無最大值，最小值為，故C，D正確；故選：CD12.已知四棱錐，底面是正方形，平面，，點在平面上，且，則（）A.存在，使得直線與所成角為B.不存在，使得平面平面C.當(dāng)一定時，點與點軌跡上所有的點連線和平面圍成的幾何體的外接球的表而積為D.若，以為球心，為半徑的球面與四棱琟各面的交線長為〖答案〗BCD〖解析〗對A，如圖，由題意為直線與平面ABCD所成的角，所以與所成的角不小于，故A錯誤；對B，平面，平面，，又，面，面，點要在直線上，因為，所以不存在，故B正確.對C，由題意知，幾何體為圓錐，作圓錐及外接球的軸截面圖，如圖，所以外接球的半徑滿足，解得，所以外接球的表而積為，故C正確；對D，將側(cè)面展開，知球與側(cè)面的交線為以點P為圓心，為半徑的圓與側(cè)面展開圖的交線，即圖中，因為，所以，又，所以，由對稱性知，所以,故的長為，又球與底面交線為以點A為圓心，為半徑的圓與底面ABCD的交線，故長度為，所以球面與四棱琟各面的交線長為，D正確.故選：BCD.第II卷三?填空題13.已知正四棱臺中，，，則其體積為________.〖答案〗〖解析〗如圖正四棱臺中，則，，過點作交于點，過點作交于點，則，又，所以，即正四棱臺的高，所以棱臺的體積.故〖答案〗為：14.若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實數(shù)取值范圍為______〖答案〗〖解析〗由得：，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，于是得在和上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得極小值，因在區(qū)間上存在最小值，而函數(shù)最值不可能在開區(qū)間端點處取得，于是得，且，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：15.已知數(shù)列滿足，設(shè)，其中表示不超過的最大整數(shù)，為數(shù)列的前項和，若，則正整數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以又因為，其中表示不超過的最大整數(shù)，所以，所以，所以，因為，所以，解得，所以，故〖答案〗為：16.歷史上第一位研究圓錐曲線的數(shù)學(xué)家是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì).如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應(yīng)切點的直線，如圖乙，橢圓的中心在坐標(biāo)原點，分別為其左、右焦點，直線與橢圓相切于點（點在第一象限），過點且與切線垂直的法線與軸交于點，若直線的斜率為，，則橢圓的離心率為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，，，其中，所以橢圓的離心率為.故〖答案〗為：.四?解答題17.已知圓的圓心與點關(guān)于直線對稱，且圓與軸相切于原點.（1）求圓M的方程；（2）若在圓中存在弦，且弦中點在直線上，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）設(shè)坐標(biāo)，則，解得，即坐標(biāo)圓與軸相切于圓方程.（2），圓半徑，軌跡是以為圓心，為半徑圓，則其軌跡方程為，又在直線上，直線與圓有公共點，即，.18.已知是的內(nèi)角的對邊，是邊上的中線，設(shè)，且.（1）試判斷的形狀；（2）若，試求的余弦值.解：（1）設(shè)，因為，所以，在中，是邊上的中線，所以，在中，由正弦定理及誘導(dǎo)公式可得，在中，由正弦定理及誘導(dǎo)公式可得，所以，即，在中，，所以或，因此的形狀是等腰三角形或是直角三角形.（2）因為，所以，由（1）可知的形狀是直角三角形.且，所以，所以，在中，由余弦定理可得，所以.19.已知為數(shù)列的前項和，，，記.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知，記數(shù)列的前項和為，求證：.（1）解：由，得，，則，，，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，，.（2）證明：，，，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，由，可知是遞增數(shù)列，，綜上，.20.如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均為正三角形，，點M為線段CD上一點．（1）求證：；（2）若EM與平面ACD所成角為，求平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值．（1）證明：取AC中點O，連接DO、OB，在正和正中，，則，而平面平面ABC，平面平面，平面ACD，平面ABC，于是平面ABC，平面ACD，又平面ABC，即有，而．因此四邊形DOBE是平行四邊形，則，從而平面ABC，平面ADC，所以.（2）解：由（1）知，平面ADC，為EM與平面ADC的所成角，即，在中，，即M為DC中點，由（1）知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，顯然平面DAC的一個法向量為，設(shè)平面MAB的一個法向量為，則，令，得，，所以平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值為．21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P到點的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，記點P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過點F且斜率不為零的直線l交橢圓E：于A，B兩點，交曲線C于M，N兩點，若為定值，求實數(shù)λ的值．解：（1）設(shè)，依題意，，兩邊平方并整理，得，所以曲線C的方程為．（2）設(shè)，，，，依題意，設(shè)直線l的方程為，由消去y并整理，得，而點為橢圓E的右焦點，因此，，則，由（1）知，，若直線l交曲線C于M、N兩點，且，則直線l與相交，由消去y并整理，得，而點為拋物線的焦點，則，于是，從而，要使為定值，則，即，所以實數(shù)λ的值為3．22