河北省多校聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省多校聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式，得，則，由，得，所以.故選：D.2.平面向量滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，在方向上的投影向量為.故選：D.3.若，則（）A. B.C.或 D.〖答案〗A〖解析〗顯然，依題意，是正實(shí)數(shù)，因此，所以.故選：A4.1941年在嚴(yán)重的困難面前，號(hào)召根據(jù)地軍民，自力更生，艱苦奮斗，尤其是通過(guò)開展大生產(chǎn)運(yùn)動(dòng)，最終走出了困境．如圖就是當(dāng)時(shí)纏線用的線拐子，在結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖中線段與所在直線異面垂直，分別為的中點(diǎn)，且，線拐子使用時(shí)將絲線從點(diǎn)出發(fā)，依次經(jīng)過(guò)又回到點(diǎn)，這樣一直循環(huán)，絲線纏好后從線拐子上脫下，稱為“束絲”．圖中，則絲線纏一圈長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，，所以，，，又，所以，所以，同理可得，所以絲線纏一圈長(zhǎng)度為.故選：C.5.定義在上的函數(shù)周期為，且為奇函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.為偶函數(shù)C.為奇函數(shù) D.為奇函數(shù)〖答案〗D〖解析〗定義在上的函數(shù)周期為，所以，又為奇函數(shù)，所以，即，所以為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；所以，則，所以，則為奇函數(shù)，故D正確；由，所以，則關(guān)于對(duì)稱，令，則，滿足函數(shù)周期為，且滿足為奇函數(shù)，但是為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；令，則，滿足函數(shù)周期為，又滿足為奇函數(shù)，但是為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤.故選：D6.現(xiàn)將四名語(yǔ)文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學(xué)教師分配到三所不同學(xué)校，每個(gè)學(xué)校三人，要求每個(gè)學(xué)校既有心理教師又有語(yǔ)文教師，則不同的安排種數(shù)為（）A.216 B.432 C.864 D.1080〖答案〗B〖解析〗求不同的安排種數(shù)需要分成3步，把3名心理教師分配到三所學(xué)校，有種方法，再把4名語(yǔ)文教師按分成3組，并分配到三所學(xué)校，有種方法，最后把2名數(shù)學(xué)教師分配到只有1名語(yǔ)文教師的兩所學(xué)校，有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的安排種數(shù)為.故選：B7.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有零點(diǎn)的和為（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，由，得或或（不符合題意，舍去），函數(shù)是偶函數(shù)，在上的所有零點(diǎn)關(guān)于數(shù)0對(duì)稱，它們的和為0，正弦函數(shù)的周期為，方程在的兩根和為，在上的兩根和為，因此在上的兩根和構(gòu)成首項(xiàng)為，末項(xiàng)為的等差數(shù)列，共有項(xiàng)，所有根的和為.故選：B.8.過(guò)拋物線焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，若為的內(nèi)角平分線，則面積最大值為（）A. B. C. D.16〖答案〗B〖解析〗拋物線焦點(diǎn)，直線的方程為，由，解得，，不妨令，則，由為內(nèi)角平分線，得，設(shè)點(diǎn)，于是，整理得，顯然點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，因此點(diǎn)到直線距離的最大值為2，所以面積最大值為.故選：B二?多選題9.要得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的C.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再將所得圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再將所得圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，所得〖解析〗式為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，所得〖解析〗式為，B正確；對(duì)于C，所得〖解析〗式為，C正確；對(duì)于D，所得〖解析〗式為，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.質(zhì)地均勻的正四面體模型四個(gè)表面分別標(biāo)有四個(gè)數(shù)字，拋擲一次并記錄與地面接觸面上的數(shù)字，記事件“數(shù)字為2的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是5的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是7的倍數(shù)”為事件，則下列選項(xiàng)不正確的是（）A.事件、、兩兩互斥B.事件與事件對(duì)立C.D.事件、、兩兩獨(dú)立〖答案〗ABC〖解析〗依題意拋擲一次可能出現(xiàn)的結(jié)果有、、、，事件包含的基本事件有、，則；事件包含的基本事件有、，則；事件包含的基本事件有、，則；顯然事件與事件，事件與事件，事件與事件均可以同時(shí)發(fā)生，故事件與事件，事件與事件，事件與事件均不互斥，故A錯(cuò)誤；事件包含的基本事件有、、，事件包含的基本事件有，當(dāng)出現(xiàn)時(shí)事件與事件均發(fā)生，故事件與事件不互斥，顯然不對(duì)立，故B錯(cuò)誤；又事件包含的基本事件有，所以，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槭录幕臼录?，所以，所以與相互獨(dú)立；因?yàn)槭录幕臼录?，所以，所以與相互獨(dú)立；因?yàn)槭录幕臼录?，所以，所以與相互獨(dú)立；即事件、、兩兩獨(dú)立，故D正確.故選：ABC11.已知數(shù)列，，滿足，，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由，，所以，又，顯然，所以，所以單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減，即，所以①，由，設(shè)，即、為關(guān)于的方程的兩根，所以，即，則，代入①得，故B正確；當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以，，，，所以，則，所以，所以，故A正確；因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：ABD.三?填空題12.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為__________．〖答案〗16〖解析〗依題意，展開式的常數(shù)項(xiàng)為，含的項(xiàng)為，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：1613.若，則的大小關(guān)系為__________（用“<”號(hào)連接）．〖答案〗〖解析〗令函數(shù)，求導(dǎo)得，即函數(shù)上單調(diào)遞增，，則，即，令函數(shù)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，即，所以的大小關(guān)系為.故〖答案〗為：14.數(shù)學(xué)家GeminadDandelin用一平面截圓錐后，在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐側(cè)面?截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱為丹德林雙球模型）．若圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成角的平面截圓錐所得橢圓的離心率為__________．〖答案〗〖解析〗令兩個(gè)球分別與截面相切于點(diǎn)，在截口曲線上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于，均為球的切線，則，同理，因此，由切點(diǎn)的產(chǎn)生方式知，長(zhǎng)為定值，于是截口曲線上任意點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和為定值，該曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，作出幾何體的軸截面，如圖，設(shè)，依題意，，則，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，半焦距為c，則，因此，所以離心率.故〖答案〗為：四?解答題15.已知函數(shù)在處的切線為軸．（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間．解：（1）因?yàn)?，所以，依題意且，所以，解得.（2）由（1）可得函數(shù)的定義域?yàn)?，又，令，則，所以（）在定義域上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.16.如圖所示，五面體中，，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)在面內(nèi)的投影恰為線段的中點(diǎn)，．（1）求五面體體積；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在面內(nèi)的投影恰為線段的中點(diǎn)，作垂足為，則平面，因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所以，又，所以，過(guò)點(diǎn)作的平行線，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，又四邊形為平行四邊形，所以為三棱柱，則，又三棱錐的體積是三棱柱的體積的，所以五面體的體積是三棱柱的體積的，所以五面體的體積.（2）由（1）知平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又，所以，所以，，又平面的法向量可以為，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面與平面夾角為，則.17.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作斜率相反的兩條直線、，與的右支交與、兩點(diǎn)，與的右支交、兩點(diǎn)，若、相交于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)為定點(diǎn)；（2）設(shè)的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，當(dāng)四邊形的面積等于時(shí)，求四邊形的周長(zhǎng)．（1）證明：易知雙曲線的右焦點(diǎn)，由與的右支交與、兩點(diǎn)，與的右支交、兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，則直線：，由，得，設(shè)，，不妨設(shè)，則，解得或，又與斜率相反，即與關(guān)于軸對(duì)稱，又、相交于點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)稱，則與也關(guān)于軸對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)一定在軸上，設(shè)，又，所以，所以，即，解得，所以直線、相交于點(diǎn).（2）解：依題意四邊形為等腰梯形，為梯形的中位線，設(shè)、與軸的交點(diǎn)分別為、，則，且與互相平分，所以，所以，則四邊形為正方形，所以且斜率為，所以直線：，則，得，解得或，則，，所以，，則，，所以，，，所以四邊形的周長(zhǎng)為.18.2024年初，多地文旅部門用各種形式展現(xiàn)祖國(guó)大美河山，掀起了一波旅游熱潮．某地游樂(lè)園一迷宮票價(jià)為8元，游客從處進(jìn)入，沿圖中實(shí)線游玩且只能向北或向東走，當(dāng)路口走向不確定時(shí)，用拋硬幣的方法選擇，硬幣正面朝上向北走，否則向東走（每次拋擲硬幣等可能出現(xiàn)正反兩個(gè)結(jié)果）直到從號(hào)出口走出，且從號(hào)出口走出，返現(xiàn)金元．（1）隨機(jī)調(diào)查了進(jìn)游樂(lè)園的50名游客，統(tǒng)計(jì)出喜歡走迷宮的人數(shù)如表：

男性女性總計(jì)喜歡走迷宮121830不喜歡走迷宮13720總計(jì)252550判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為喜歡走迷宮與性別有關(guān)？附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.635787910.828（2）走迷宮“路過(guò)路口”記為事件，從“號(hào)走出”記為事件，求和的值；（3）設(shè)每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項(xiàng)目每天收入約為多少？解：（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為喜歡走迷宮與性別有關(guān).（2）依題意當(dāng)路口走向不確定時(shí)，用拋硬幣的方法選擇，所以向北與向東走的概率均為，由到路口需向北走個(gè)，向東走個(gè)路口，則不同路線有條，所以，事件表示從出發(fā)經(jīng)過(guò)路口最后從號(hào)路口走出，則，所以，表示從出發(fā)最后從號(hào)路口走出條件下經(jīng)過(guò)路口的概率，又，，所以.（3）依題意從號(hào)出口走出，返現(xiàn)金元，所以每名游客游玩一次游樂(lè)園收入可能取值為，所以，，，，，，，所以每名游客游玩一次游樂(lè)園收入的期望為：，每天走迷宮的游客為人，則迷宮項(xiàng)目每天收入約為元.19.已知平面內(nèi)定點(diǎn)是以為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．直線與點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）求矩形面積的最大值；（3）設(shè)的軌跡，直線與軸圍成面積為，甲同學(xué)認(rèn)為隨的增大，也會(huì)達(dá)到無(wú)窮大，乙同學(xué)認(rèn)為隨的增大不會(huì)超過(guò)4，你同意哪個(gè)觀點(diǎn)，說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)點(diǎn)，依題意，直線的方程為，，顯然點(diǎn)與不重合，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，連接，由是以為直徑的圓上一點(diǎn)，則，由軸，得∽∽，則，，而，則，于是，即，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，而滿足，所以點(diǎn)的軌跡方程：.（2）由（1）知，點(diǎn)的軌跡方程，顯然，即點(diǎn)的軌跡關(guān)于軸對(duì)稱，不妨令點(diǎn)在第一象限，顯然∽，，，因此，設(shè)矩形的面積為，則，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此，所以當(dāng)時(shí)，矩形面積的最大值為.（3）同意乙同學(xué)的觀點(diǎn)，隨的增大不會(huì)超過(guò)4.