吉林省白山市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省白山市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：，若該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為19，則（）A.19 B.20 C.21 D.22〖答案〗C〖解析〗這組數(shù)據(jù)有10個(gè)數(shù)，所以，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，故，解得.故選：C.2.若直線與圓交于兩點(diǎn)，則（）A. B.2 C. D.1〖答案〗A〖解析〗圓心到直線的距離，則.故選:A3.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的公差為（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗A〖解析〗設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，，得，故，則.故選：.4.已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.“//”是“”的充分不必要條件B.“”是“”的必要不充分條件C.若異面，則有公共點(diǎn)D.若有公共點(diǎn)，則有公共點(diǎn)〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，由，可得，又，故得，即“//”是“”的必要條件，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，可得或，當(dāng)時(shí)，因，則，當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)和平面內(nèi)一點(diǎn)可確定平面，且，則，由可得，同理可得，即“”是“”的充分條件，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，運(yùn)用反證法說(shuō)明，假設(shè)沒(méi)有公共點(diǎn)，則，又由可得，這與異面矛盾，故假設(shè)不成立，即C項(xiàng)正確；對(duì)于D，由有公共點(diǎn)可得相交，因，則相交或異面，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.5.若，則（）A.-7 B.7 C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，故，則，故.故選：.6.如圖所示，一種兒童儲(chǔ)蓄罐有6個(gè)密碼格，由購(gòu)買(mǎi)者設(shè)定密碼后方可使用，其中密碼的數(shù)字只能在中進(jìn)行選擇，且每個(gè)密碼格都必須設(shè)定數(shù)字，則數(shù)字“1”出現(xiàn)奇數(shù)次的不同密碼個(gè)數(shù)為（）A.172 B.204 C.352 D.364〖答案〗D〖解析〗若數(shù)字“1”出現(xiàn)1次，則有種可能；若數(shù)字“1”出現(xiàn)3次，有種可能；若數(shù)字“1”出現(xiàn)5次，則有種可能，故數(shù)字“1”出現(xiàn)奇數(shù)次的不同密碼個(gè)數(shù)為.故選：D.7.阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計(jì)中用于裝飾燈等.在圓倠曲線中，稱(chēng)圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，斜率為的直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，若為阿基米德三角形，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，設(shè)直線，聯(lián)立，則，解得或，不妨設(shè)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，，，解得，故直線的斜率，故直線，同理可得直線的斜率，故直線，聯(lián)立，解得，即，則.故選：C.8.已知四面體中，，點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，四面體外接球的表面積與四面體外接球的表面積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，四面體中，設(shè)，則，由等面積法可知，.由已知得平面，故；因?yàn)?，故平?故，故.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)四面體外接球的半徑滿(mǎn)足，而四面體外接球的半徑滿(mǎn)足，故所求比值為.故選：C.二?多選題9.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C.在上單調(diào)遞增D.在上有個(gè)零點(diǎn)〖答案〗AD〖解析〗，令，則，故為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故正確；當(dāng)，時(shí)，即，，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，，當(dāng)時(shí)，，所以不存在整數(shù)使得，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；令，所以，令，由，則，當(dāng)，，，時(shí)，，則在上有4個(gè)零點(diǎn)，分別是，，，，故正確.故選：.10.已知為復(fù)數(shù)，則（）A.若，則為實(shí)數(shù)B.C.若，則D.若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)，故為實(shí)數(shù)，故A正確；，故B正確；令，故，但，故C錯(cuò)誤；若，則，故，即或，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)榈膱D象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，則,故A正確；由，可得，則，取得，在中取可得，則，由，得，故B錯(cuò)誤；由，得①②，②-①得，又，故C正確；又由①，故D正確.故選：ACD.三?填空題12.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由題意可知：，因?yàn)?，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.13.已知中，角所對(duì)的邊分別為，其中，則__________；若，則當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，__________.〖答案〗2〖解析〗由正弦定理，，因?yàn)?，故；而，由正弦定理，，由余弦定理，，得，取線段的中點(diǎn)為，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)，則，，因?yàn)?，且，，所以即平行四邊形四條邊的平方和等于對(duì)角線的平方和可得，則有，則，則當(dāng)為邊上的高時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí)，由余弦定理，.故〖答案〗為：；14.已知點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于，的一點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且三點(diǎn)共線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)橐詾橹睆綀A過(guò)點(diǎn)，所以，由題意設(shè)直線（斜率顯然存在，否則點(diǎn)就不存在了），不妨設(shè)點(diǎn)分別在第一象限、第三象限，則直線的斜率；聯(lián)立，解得，則，而，成等比數(shù)列，則，設(shè)，則，從而，而不重合，也就是，解得，則，故直線的斜率，設(shè)，所以，所以，故所求離心率.故〖答案〗為：.四?解答題15.已知函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），因此，而，故所求切線方程為，即；（2）依題意，，故對(duì)任意恒成立.令，則，令，解得.故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取到極大值，也是最大值2.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)，組：組：.先從組數(shù)據(jù)中任取3個(gè)，構(gòu)成數(shù)組，再?gòu)慕M數(shù)據(jù)中任取3個(gè)，構(gòu)成數(shù)組，兩組抽取的結(jié)果互不影響.（1）求數(shù)組的數(shù)據(jù)之和不大于8且數(shù)組的數(shù)據(jù)之和大于8的概率；（2）記，其中表示數(shù)組中最小的數(shù)，表示數(shù)組中最大的數(shù)，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.解：（1）記“數(shù)組的數(shù)據(jù)之和不大于8”為事件，“數(shù)組的數(shù)據(jù)之和大于8”為事件，則，事件包含的數(shù)組有：、、、、、，共組，，故所求概率.（2）依題意，的可能取值為；，，則的分布列為1234則17.如圖在四棱錐中，為菱形.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的正弦值.（1）證明：記交于點(diǎn)，連接.因?yàn)槭橇庑危?，且為的中點(diǎn).因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，且，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）解：取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所以是等邊三角形，所?又因?yàn)?，故平面，所以平?又平面，所以.由（1）知，且，所以平面.不妨設(shè)，則.在中，由，得，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸，過(guò)點(diǎn)作垂直平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面的法向量為，所以，令得；設(shè)平面的法向量為，所以，令得.故，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.18.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，.（1）若，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求直線與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)；（2）探究：的外心是否落在雙曲線在點(diǎn)處的切線上，若是，請(qǐng)給出證明過(guò)程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）依題意，，則直線的斜率為,則直線，即；聯(lián)立，得，解得或，故所求弦長(zhǎng)為.（2）的外心落在雙曲線在點(diǎn)的切線上，證明過(guò)程如下，設(shè)雙曲線在點(diǎn)的切線斜率為，則在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立得，其中，則，而，故，代入上式可得，，解得，故雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，故直線的中垂線方程為，聯(lián)立可得，故外心坐標(biāo)，其滿(mǎn)足，故的外心落在雙曲線在點(diǎn)處的切線上.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿(mǎn)足：①數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限為；②；③，則稱(chēng)數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.（1）若等比數(shù)列為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式；（2）若等差數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請(qǐng)給出證明過(guò)程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）若，則，解得，則，與題設(shè)矛盾，舍去；