2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題8.5 二元一次方程組章末題型過關(guān)卷（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列第8章二元一次方程組章末題型過關(guān)卷【人教版】考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022秋·山東日照·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若等式2x|m|+(m?1)y=3，是關(guān)于x，y的二元一次方程，則mA．±1 B．1 C．?1 D．±22．（3分）（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax?by=12ax+by=3的解為A．-2 B．2 C．3 D．-33．（3分）（2022秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若x=1,y=?2,x=?2,y=1,是方程mx+ny=6的兩個(gè)解，則m?n的值為（A．0 B．-2 C．-12 D．124．（3分）（2022秋·廣東東莞·七年級(jí)?？计谥校┬×燎蟮梅匠探M2x+y=?2x?y=12的解為x=5y=★，由于不小心，滴上了兩滴墨水，剛好遮住了兩個(gè)數(shù)●和★，請(qǐng)你幫他找回這兩個(gè)數(shù)，“●”“★”表示的數(shù)分別為（A．5，2 B．?8，2 C．8，?2 5．（3分）（2022秋·江蘇南通·七年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x,y的二元一次方程組ax+y=72x?y=5和x+y=43x+by=?2有相同的解，則a?b的值是（A．13 B．9 C．?9 D．?136．（3分）（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x、y的二元一次方程m?2x+m?3y+2m?3=0，當(dāng)mA．x=3y=?1 B．x=1y=?3 C．x=?1y=37．（3分）（2022秋·重慶長(zhǎng)壽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)x,y,z滿足x?y+4z=1x?2y+3z=3，則x+y+6z=（

A．?3 B．0 C．3 D．不能確定值8．（3分）（2022秋·安徽蕪湖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）二元一次方程2x+3y＝18的正整數(shù)解有（）A．2組 B．3組 C．4組 D．無數(shù)組9．（3分）（2022春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）某班學(xué)生分組搞活動(dòng)，若每組7人，則余下4人；若每組8人，則有一組少3人．設(shè)全班有學(xué)生x人，分成y個(gè)小組，則可得方程組（

）A．7x+4=y8x?3=y B．7y=x?48y=x+3 C．7y=x?48y+3=x10．（3分）（2022秋·浙江舟山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若方程組a1x+b1y=c1A．x=?1y=1 B．x=?1y=?1 C．x=5二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022秋·廣東湛江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）把方程3x?y=1寫成用含x的式子表示y的形式______．12．（3分）（2022秋·湖北鄂州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x，y的方程組x+3y=4?ax?y=?3a，其中x，y的值互為相反數(shù)，則a13．（3分）（2022秋·山東臨沂·七年級(jí)校考期末）對(duì)x，y定義一種新運(yùn)算“?”，規(guī)定：x?y=mx+ny（其中m，n均為非零常數(shù)），若1?1=4，1?2=3．則2?1的值是____．14．（3分）（2022秋·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在解方程組ax+5y=154x=by?2時(shí)，由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組中的a，而得到解x=2y=1，乙看錯(cuò)了方程組中的b，而得到解為x=5y=415．（3分）（2022春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）我國(guó)的經(jīng)濟(jì)總量己居世界第二，人民富裕了，很多家庭都擁有多種車型．小明家有A、B、C三種車型，已知3輛A型車的載重量與4輛B型車的載重量之和剛好等于2輛C型車的載重量；4輛B型車的載重量與1輛C型車的載重量之和剛好等于6輛A型車的載重量．現(xiàn)有一批貨物，原計(jì)劃用1輛C型車5次可全部運(yùn)完，由于C型車另有運(yùn)輸任務(wù)，現(xiàn)在安排1輛A型車單獨(dú)裝運(yùn)9次，余下的貨物由1輛B型車單獨(dú)裝運(yùn)剛好可以全部運(yùn)完，則B型車需單獨(dú)裝運(yùn)____次(每輛車每次都滿載重量)．16．（3分）（2022秋·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）甲、乙兩人玩摸球游戲，從放有足夠多球的箱子中摸球，規(guī)定每人最多兩種取法，甲每次摸4個(gè)或（3－k）個(gè)，乙每次摸5個(gè)或（5－k）個(gè)(k是常數(shù)，且0＜k＜3)；經(jīng)統(tǒng)計(jì)，甲共摸了16次，乙共摸了17次，并且乙至少摸了兩次5個(gè)球，最終兩人所摸出的球的總個(gè)數(shù)恰好相等，那么箱子中至少有球__________個(gè).三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022秋·廣東惠州·七年級(jí)惠州市第九中學(xué)?？计谀┙夥匠探M：(1){x?2y=?8(2){3x+2y?z=1118．（6分）（2022秋·廣西玉林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+3y=1x?2y=4（1）解該方程組；（2）若上述方程組的解是關(guān)于x，y的二元一次方程ax+by＝2的一組解，求代數(shù)式2b﹣4a的值．19．（8分）（2022秋·河北秦皇島·七年級(jí)校聯(lián)考期末）有關(guān)于x，y的方程kx?y=k?1．（1）當(dāng)k=1和k=2時(shí)，所得方程組成的方程組是x?y=02x?y=1，它的解是______（2）當(dāng)k=?1和k=?2時(shí)，所得方程組成的方程組是______它的解是______；（3）猜想：無論k取何值，關(guān)于x，y的方程kx?y=k?1一定有一個(gè)解是______．（4）猜想：無論k取何值，關(guān)于x，y的方程kx?y=3k?4一定有一個(gè)解是______．20．（8分）（2022春·湖南株洲·七年級(jí)株洲二中?？计谀╇S著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車銷售公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批新能源汽車嘗試進(jìn)行銷售，據(jù)了解2輛A型汽車、3輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)80萬元；3輛A型汽車、2輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)95萬元．(1)求A、B兩種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)分別為多少萬元？(2)若該公司計(jì)劃正好用100萬元購(gòu)進(jìn)以上兩種型號(hào)的新能源汽車（兩種型號(hào)的汽車均購(gòu)買），請(qǐng)問A、B兩種型號(hào)的汽車各購(gòu)買多少輛？21．（8分）（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期末）閱讀下列材料：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)遇到了這樣一個(gè)問題：解方程組2x+3y4+2x?3y3=7令m=2x+3y，n=2x?3y．原方程組化為m4解得m=60n=?24把m=60n=?24代入m=2x+3y，n=2x?3y得2x+3y=602x?3y=?24解得x=9y=14∴原方程組的解為x=9y=14請(qǐng)你參考小明同學(xué)的做法解方程組：(1)2(x+1)+3(y?2)=1(2)x+y22．（8分）（2022秋·北京懷柔·七年級(jí)?？计谀┪覀冎婪匠探M的解與方程組中每個(gè)方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)有聯(lián)系，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)經(jīng)過一系列變形、運(yùn)算就可以求出方程組的解．因此，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高等代數(shù)學(xué)科將系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排成一個(gè)表的形式，規(guī)定：關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1(1)填空：將y?5=4x3x?2y?3=0寫成矩陣形式為：_(2)若矩陣a?5?3?4b?3所對(duì)應(yīng)的方程組的解為x=123．（8分）（2022春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期中）若在意一個(gè)三位數(shù)M，滿足各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的2倍之和等于十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的2倍之和，則稱這個(gè)三位數(shù)M為“雙增數(shù)”．對(duì)于一個(gè)“雙增數(shù)”M=abc，規(guī)定：s=a+c，t=b+c，F(xiàn)例如，M=243，因?yàn)?+2×4=4+2×3，故M是一個(gè)“雙增數(shù)”，s=2+3=5，t=4+3=7，則FM(1)請(qǐng)判斷365，597是不是“雙增數(shù)”，說明理由．若是，請(qǐng)求出FM(2)若三位數(shù)N為“雙增數(shù)”，N的百位數(shù)字為x?1，個(gè)位數(shù)字為y（其中x，y是正整數(shù)，且3≤y≤7），當(dāng)N各數(shù)位上的數(shù)字之和與FN的和能被17整除時(shí)，求所有滿足條件的“雙增數(shù)”N第8章二元一次方程組章末題型過關(guān)卷【人教版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022秋·山東日照·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若等式2x|m|+(m?1)y=3，是關(guān)于x，y的二元一次方程，則mA．±1 B．1 C．?1 D．±2【答案】C【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，得|m|=1，m-1≠0，計(jì)算判斷即可．【詳解】∵等式2x|m|+(m?1)y=3，是關(guān)于x∴|m|=1，m-1≠0，解得m=-1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程即含有兩個(gè)未知數(shù)且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1的整式方程，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax?by=12ax+by=3的解為A．-2 B．2 C．3 D．-3【答案】B【分析】把方程組的解代入二元一次方程組得到關(guān)于a、b的方程組，兩式相減得結(jié)論．【詳解】解：把x=1y=?1②-①，得a?2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組解的意義是解決本題的關(guān)鍵．3．（3分）（2022秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）若x=1,y=?2,x=?2,y=1,是方程mx+ny=6的兩個(gè)解，則m?n的值為（A．0 B．-2 C．-12 D．12【答案】A【分析】根據(jù)方程的解的定義，得m-2n=6，-2m+n=6，故m=-6，n=-6，進(jìn)而求得m-n．【詳解】解：∵x=1y=?2，x=?2y=1是方程mx+∴m-2n=6，-2m+n=6．∴m=-6，n=-6．∴m-n=-6-（-6）=0．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查方程的解的定義以及解二元一次方程組，熟練掌握方程的解的定義以及解二元一次方程組是解決本題的關(guān)鍵．4．（3分）（2022秋·廣東東莞·七年級(jí)校考期中）小亮求得方程組2x+y=?2x?y=12的解為x=5y=★，由于不小心，滴上了兩滴墨水，剛好遮住了兩個(gè)數(shù)●和★，請(qǐng)你幫他找回這兩個(gè)數(shù)，“●”“★”表示的數(shù)分別為（A．5，2 B．?8，2 C．8，?2 【答案】C【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x=5代入2x?y=12，求得y的值，進(jìn)而求出●的值，即可得到答案．【詳解】解：把x=5代入2x?y=12，可得10?y=12，解得y=把x=5，y=?2則“●”“★”表示的數(shù)分別為8，?2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解，掌握二元一次方程組的解能夠滿足各個(gè)方程是解題的關(guān)鍵．5．（3分）（2022秋·江蘇南通·七年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x,y的二元一次方程組ax+y=72x?y=5和x+y=43x+by=?2有相同的解，則a?b的值是（A．13 B．9 C．?9 D．?13【答案】A【分析】先解方程組x+y=42x?y=5求出該方程組的解，然后把這個(gè)解分別代入ax+y=7與3x+by=?2即可求出a、b【詳解】解方程組x+y=42x?y=5得x=3y=1把x=3y=1代入ax+y=7得3a+1=7，解得：a=2，把x=3y=1代入3x+by=?2得9+b=?2，解得：b=﹣11，∴a－b=2－（﹣11）=13．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程組的知識(shí)，正確理解題意、熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題關(guān)鍵．6．（3分）（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x、y的二元一次方程m?2x+m?3y+2m?3=0，當(dāng)mA．x=3y=?1 B．x=1y=?3 C．x=?1y=3【答案】D【分析】把原方程整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根據(jù)“當(dāng)m每取一個(gè)值時(shí)就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解”，可知這個(gè)公共解與m無關(guān)，得到關(guān)于x和y的二元一次方程組，解之即可．【詳解】解：原方程可整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根據(jù)題意得：x+y+2=0解得x=?3y=1故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解以及解二元一次方程組，正確掌握解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2022秋·重慶長(zhǎng)壽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)x,y,z滿足x?y+4z=1x?2y+3z=3，則x+y+6z=（

A．?3 B．0 C．3 D．不能確定值【答案】A【分析】方程①乘以3得到方程③，方程②乘以2得到方程④，③-④即可得答案．【詳解】x?y+4z=1①①×3得：3x?3y+12z=3③，②×2得：2x?4y+6z=6④，③-④得：x+y+6z=-3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三元一次方程組，把兩個(gè)方程正確變形是解題關(guān)鍵．8．（3分）（2022秋·安徽蕪湖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）二元一次方程2x+3y＝18的正整數(shù)解有（）A．2組 B．3組 C．4組 D．無數(shù)組【答案】A【分析】由方程變形得x＝9?32y，根據(jù)x、y都是正整數(shù)，且y是2的倍數(shù)確定y的值，由此得到【詳解】由2x+3y＝18，得x＝9?32∵x，y都是正整數(shù)，∴y＝2，4；相應(yīng)的x＝9，3；故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了求二元一次方程的正整數(shù)解，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握把二元一次方程變形為用一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示為另一個(gè)未知數(shù)，根據(jù)方程的解的要求賦值計(jì)算．9．（3分）（2022春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）某班學(xué)生分組搞活動(dòng)，若每組7人，則余下4人；若每組8人，則有一組少3人．設(shè)全班有學(xué)生x人，分成y個(gè)小組，則可得方程組（

）A．7x+4=y8x?3=y B．7y=x?48y=x+3 C．7y=x?48y+3=x【答案】B【分析】此題中的關(guān)鍵性的信息是：①若每組7人，則余下4人；②若每組8人，則有一組少3人．據(jù)此即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組．【詳解】解：根據(jù)若每組7人，則余下4人，得方程7y=x?4；根據(jù)若每組8人，則有一組少3人，得方程8y=x+3．可列方程組為7y=x?48y=x+3故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．10．（3分）（2022秋·浙江舟山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若方程組a1x+b1y=c1A．x=?1y=1 B．x=?1y=?1 C．x=5【答案】A【分析】將3a1x+2b1y=a1?c1【詳解】解：將3a1x+2設(shè)-3x+1=x’，-2y=y’，則原方程變形為：a1因?yàn)榉匠探Ma1x+b所以?3x+1=4?2y=?2，解得：x=?1所以方程組3a1x+2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022秋·廣東湛江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）把方程3x?y=1寫成用含x的式子表示y的形式______．【答案】y=3x?1##y=?1+3x【分析】對(duì)二元一次方程通過移項(xiàng)變形可得y＝3x﹣1．【詳解】解：∵2x﹣y＝5，∴﹣y＝1﹣3x，∴y＝3x﹣1，故答案為：y＝3x﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程，正確的利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2022秋·湖北鄂州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x，y的方程組x+3y=4?ax?y=?3a，其中x，y的值互為相反數(shù)，則a【答案】1【分析】先根據(jù)二元一次方程組的解法求出x和y，再根據(jù)x，y的值互為相反數(shù)列出關(guān)于a的方程求解．【詳解】解：在x+3y=4?a①由②-①得?4y=?3a?4+a，解得y=1+把y=1+a2∵x，y的值互為相反數(shù)，∴1+a解得a=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組解，求出方程組的解，利用x與y互為相反數(shù)列出關(guān)于a的方程是解答關(guān)鍵．13．（3分）（2022秋·山東臨沂·七年級(jí)校考期末）對(duì)x，y定義一種新運(yùn)算“?”，規(guī)定：x?y=mx+ny（其中m，n均為非零常數(shù)），若1?1=4，1?2=3．則2?1的值是____．【答案】9【分析】由已知條件，根據(jù)所給定義可得到關(guān)于m、n的方程組，則可求得m、n的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵1?1=4，1?2=3，∴m+n=4,解得：m=5,n=?1,則x?y=5x?y，∴2?1=2×5?1=9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．14．（3分）（2022秋·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在解方程組ax+5y=154x=by?2時(shí)，由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組中的a，而得到解x=2y=1，乙看錯(cuò)了方程組中的b，而得到解為x=5y=4【答案】9【分析】將x=2y=1代入方程4x=by?2求b，將x=5y=4代入方程ax+5y=15求【詳解】解：解：將x=2y=1代入方程4x=by?2，得：8=b?2∴b=10，將x=5y=4代入方程ax+5y=15，得：5a+20=15∴a=?1，∴a+b=?1+10=9．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了方程組的解和解一元一次方程．解題的關(guān)鍵是將所求出的解代準(zhǔn)確代入對(duì)應(yīng)的方程中．15．（3分）（2022春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）我國(guó)的經(jīng)濟(jì)總量己居世界第二，人民富裕了，很多家庭都擁有多種車型．小明家有A、B、C三種車型，已知3輛A型車的載重量與4輛B型車的載重量之和剛好等于2輛C型車的載重量；4輛B型車的載重量與1輛C型車的載重量之和剛好等于6輛A型車的載重量．現(xiàn)有一批貨物，原計(jì)劃用1輛C型車5次可全部運(yùn)完，由于C型車另有運(yùn)輸任務(wù)，現(xiàn)在安排1輛A型車單獨(dú)裝運(yùn)9次，余下的貨物由1輛B型車單獨(dú)裝運(yùn)剛好可以全部運(yùn)完，則B型車需單獨(dú)裝運(yùn)____次(每輛車每次都滿載重量)．【答案】8．【分析】設(shè)每輛A型車滿載重量為a，設(shè)每輛B型車滿載重量為b，設(shè)每輛C型車滿載重量為c，原計(jì)劃用C型車5次可全部運(yùn)完，由于C型車另有運(yùn)輸任務(wù)，現(xiàn)在安排A型車單獨(dú)裝運(yùn)9次，余下的貨物由B型車單獨(dú)裝運(yùn)剛好可以全部運(yùn)完，則B型車需單獨(dú)裝運(yùn)x次，根據(jù)題意列出方程組解得x便可．【詳解】解：設(shè)每輛A型車滿載重量為a，設(shè)每輛B型車滿載重量為b，設(shè)每輛C型車滿載重量為c，原計(jì)劃用C型車5次可全部運(yùn)完，由于C型車另有運(yùn)輸任務(wù)，現(xiàn)在安排A型車單獨(dú)裝運(yùn)9次，余下的貨物由B型車單獨(dú)裝運(yùn)剛好可以全部運(yùn)完，則B型車需單獨(dú)裝運(yùn)x次，根據(jù)題意得，3a②﹣①，得9a＝3c，∴a＝13c把a(bǔ)＝13c代入②，得b＝14把a(bǔ)＝13c，b＝143c+14cx﹣5c∴cx＝8c，∵c≠0，∴x＝8．故答案為8．【點(diǎn)睛】本題考查方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出正確的方程組并求解．16．（3分）（2022秋·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）甲、乙兩人玩摸球游戲，從放有足夠多球的箱子中摸球，規(guī)定每人最多兩種取法，甲每次摸4個(gè)或（3－k）個(gè)，乙每次摸5個(gè)或（5－k）個(gè)(k是常數(shù)，且0＜k＜3)；經(jīng)統(tǒng)計(jì)，甲共摸了16次，乙共摸了17次，并且乙至少摸了兩次5個(gè)球，最終兩人所摸出的球的總個(gè)數(shù)恰好相等，那么箱子中至少有球__________個(gè).【答案】110【詳解】設(shè)甲取了x次4個(gè)球，取了（16-x）次（3-k）個(gè)球，乙取了y次5個(gè)球，取了（17-y）次（5-k）個(gè)球，依題意k=1，2，當(dāng)k=1時(shí)，甲總共取球的個(gè)數(shù)為4x+2（16-x）=2x+32，乙總共取球的個(gè)數(shù)為5y+4（17-y）=y+68，當(dāng)k=2時(shí)，甲總共取球的個(gè)數(shù)為4x+（16-x）=3x+16，乙總共取球的個(gè)數(shù)為5y+3（17-y）=2y+51，根據(jù)最終兩人所摸出的球的總個(gè)數(shù)恰好相等可得：①2x+32=y+68，即y=2x-34，由x≤16，2≤y≤17且x、y為正整數(shù)，不合題意，舍去；②2x+32=2y+51，即2x+2y=19，因x≤16，2≤y≤17且x、y為正整數(shù)，不合題意，舍去；③3x+16=y+68，即y=3x-52，因x≤16，2≤y≤17且x、y為正整數(shù)，不合題意，舍去；④3x+16=2y+51，即x=2y+353，因x≤16，2≤y≤17且x、y為正整數(shù)，可得x=13，y=2或x=15，y=5；所以當(dāng)x=13，y=2，球的個(gè)數(shù)為3×13+16+2×2+51=110個(gè)；當(dāng)x=15，【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的整數(shù)解，解題時(shí)根據(jù)實(shí)際情況先確定k的值，然后表示出甲取得球的數(shù)目和乙取得球的數(shù)目，根據(jù)最終兩人所摸出的球的總個(gè)數(shù)恰好相等列出二元一次方程，求整數(shù)解即可，注意分4種情況.三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022秋·廣東惠州·七年級(jí)惠州市第九中學(xué)?？计谀┙夥匠探M：(1){x?2y=?8(2){3x+2y?z=11【答案】(1){(2){【分析】（1）先把方程組整理為{x?2y=?8（2）先消去未知數(shù)z，得到4x+3y=17④，5x+y=13（1）解：∵{x?2y=?8整理得：{x?2y=?8①+②得：x=5,②-①得：y=13∴方程組的解為：{（2）{①+②得：4x+3y=17④①+③得：5x+y=13⑤⑤×3?④得：把x=2代入⑤得：y=3,把x=2,y=3代入③得：z=1,∴方程組的解為：{【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組，三元一次方程組的解法，掌握“方程組的解法”是解本題的關(guān)鍵．18．（6分）（2022秋·廣西玉林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+3y=1x?2y=4（1）解該方程組；（2）若上述方程組的解是關(guān)于x，y的二元一次方程ax+by＝2的一組解，求代數(shù)式2b﹣4a的值．【答案】（1）x=2y=?1；（2）【分析】（1）根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可；（2）結(jié)合（1）把x＝2，y＝﹣1代入方程ax+by＝2，可得2a﹣b＝2，然后兩邊乘以﹣2即可求代數(shù)式2b﹣4a的值．【詳解】解：（1）{2x+3y=1①②×2﹣①得，7y＝﹣7，y＝﹣1，把y＝﹣1代入②，得x＝2，∴原方程組的解為{x=2（2）∵上述方程組的解是關(guān)于x，y的二元一次方程ax+by＝2的一組解，∴把x＝2，y＝﹣1代入，得2a﹣b＝2，∴﹣4a+2b＝﹣4，則代數(shù)式2b﹣4a的值為﹣4．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解、二元一次方程的解、解二元一次方程組，解決本題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程組的解法．19．（8分）（2022秋·河北秦皇島·七年級(jí)校聯(lián)考期末）有關(guān)于x，y的方程kx?y=k?1．（1）當(dāng)k=1和k=2時(shí)，所得方程組成的方程組是x?y=02x?y=1，它的解是______（2）當(dāng)k=?1和k=?2時(shí)，所得方程組成的方程組是______它的解是______；（3）猜想：無論k取何值，關(guān)于x，y的方程kx?y=k?1一定有一個(gè)解是______．（4）猜想：無論k取何值，關(guān)于x，y的方程kx?y=3k?4一定有一個(gè)解是______．【答案】（1）x=1y=1；（2）?x?y=?2?2x?y=?3，x=1y=1；（3）x=1【分析】（1）利用加減消元法進(jìn)行求解即可；（2）將k=?1和k=?2分別代入方程kx?y=k?1，得打方程組，再利用加減消元法進(jìn)行求解即可；（3）將含有k的項(xiàng)合并，得到kx?1（4）同（3），將含有k的項(xiàng)合并，得到kx?3【詳解】有關(guān)于x，y的方程kx?y=k?1．（1）當(dāng)k=1和k=2時(shí)，所得方程組成的方程組是x?y=02x?y=1，它的解是x=1（2）當(dāng)k=?1和k=?2時(shí)，所得方程組成的方程組是?x?y=?2?2x?y=?3，它的解是x=1（3）kx?y=k?1，變形整理得kx?1當(dāng)x=1時(shí)，y=1，則方程kx?y=k?1一定有一個(gè)解是x=1y=1（4）kx?y=3k?4，變形整理得kx?3當(dāng)x=3時(shí)，y=4，則方程kx?y=3k?4一定有一個(gè)解是x=3y=4【點(diǎn)睛】本題主要考查解二元一次方程（組），解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握加減消元法或代入消元法.20．（8分）（2022春·湖南株洲·七年級(jí)株洲二中?？计谀╇S著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車銷售公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批新能源汽車嘗試進(jìn)行銷售，據(jù)了解2輛A型汽車、3輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)80萬元；3輛A型汽車、2輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)95萬元．(1)求A、B兩種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)分別為多少萬元？(2)若該公司計(jì)劃正好用100萬元購(gòu)進(jìn)以上兩種型號(hào)的新能源汽車（兩種型號(hào)的汽車均購(gòu)買），請(qǐng)問A、B兩種型號(hào)的汽車各購(gòu)買多少輛？【答案】(1)A、B兩種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)分別為25萬元、10萬元；(2)A種型號(hào)的汽車購(gòu)買2輛，B種型號(hào)的汽車購(gòu)買5輛；【分析】（1）根據(jù)2輛A型汽車、3輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)80萬元；3輛A型汽車、2輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)95萬元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和該公司計(jì)劃正好用100萬元購(gòu)進(jìn)以上兩種型號(hào)的新能源汽車（兩種型號(hào)的汽車均購(gòu)買），可以得到相應(yīng)的二元一次方程，然后求解即可；（1）解：（1）設(shè)A種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)為a萬元，B種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)為b萬元，由題意可得2a+3b=803a+2b=95解得a=25b=10答：A、B兩種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)分別為25萬元、10萬元；（2）解：設(shè)購(gòu)買A型號(hào)的汽車m輛，B種型號(hào)的汽車n輛，,由題意可得25m+10n=100，且m＞0，n＞0，∴m=2n=5∴A種型號(hào)的汽車購(gòu)買2輛，B種型號(hào)的汽車購(gòu)買5輛；【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．21．（8分）（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期末）閱讀下列材料：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)遇到了這樣一個(gè)問題：解方程組2x+3y4+2x?3y3=7令m=2x+3y，n=2x?3y．原方程組化為m4解得m=60n=?24把m=60n=?24代入m=2x+3y，n=2x?3y得2x+3y=602x?3y=?24解得x=9y=14∴原方程組的解為x=9y=14請(qǐng)你參考小明同學(xué)的做法解方程組：(1)2(x+1)+3(y?2)=1(2)x+y【答案】(1)x=1(2)x=?6【分析】(1)令m=x+1，n=y?2，原方程組變形為2m+3n=1m?2n=4，解得m=2n=?1，還原方程組得(2)令p=x+y，【詳解】（1）令m=x+1，n=y?2，方程組2(x+1)+3(y?2)=1x+1?2(y?2)=4變形為解得m=2n=?1所以x+1=2y?2=?1解得x=1∴原方程組的解為x=1y=1（2）令p=x+y原方程組化為p解得p=?2q=?10把p=?2q=?10代入得x+y=?2x?y=?10解得x=?6y=4【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解方程組，熟練掌握換元法解方程組的意義是解題的關(guān)鍵．22．（8分）（2022秋·北京懷柔·七年級(jí)?？计谀┪覀冎婪匠探M的解與方程組中每個(gè)方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)有聯(lián)系，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)經(jīng)過一系列變形、運(yùn)算就可以求出方程組的解．因此，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高等代數(shù)學(xué)科將系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排成一個(gè)表的形式，規(guī)定：關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1(1)填空：將y?5=4x3x?2y?3=0寫成矩陣形式為：_(2)若矩陣a?5?3?4b?3所對(duì)應(yīng)的方程組的解為x=1【答案】(1)?4(2)a=2【分析】（1）根據(jù)題意中的定義將方程組轉(zhuǎn)換為：?4x+y=53x?2y=3（2）根據(jù)矩陣形式寫成方程組的形式，將題目告知的解x=1y=1代入方程組，解得系數(shù)a、b【詳解】（1）解：整理方程得，?4x+y=53x?2y=3因此矩陣形式為：?41（2）根據(jù)矩陣形式得到方程組為：ax?5y=?3?4x+by=?3將x=1y=1代入上述方程得，a?5=?3解得：a=2b=1【點(diǎn)睛】本題是二元一次方程組求解題，解題關(guān)鍵在于正確理解題意并計(jì)算．23．（8分）（2022春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期中）若在意一個(gè)三位數(shù)M，滿足各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的2倍之和等于十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的2倍之和，則稱這個(gè)三位數(shù)M為“雙增數(shù)”．對(duì)于一個(gè)“雙增數(shù)”M=abc，規(guī)定：s=a+c，t=b+c，F(xiàn)例如，M=243，因?yàn)?+2×4=4+2×3，故M是一個(gè)“雙增數(shù)”，s=2+3=5，t=4+3=7，則FM(1)請(qǐng)判斷365，597是不是“雙增數(shù)”，說明理由．若是，請(qǐng)求出FM(2)若三位數(shù)N為“雙增數(shù)”，N的百位數(shù)字為x?1，個(gè)位數(shù)字為y（其中x，y是正整數(shù)，且3≤y≤7），當(dāng)N各數(shù)位上的數(shù)字之和與FN的和能被17整除時(shí)，求所有滿足條件的“雙增數(shù)”N【答案】(1)365不是“雙增數(shù)”；597是“雙增數(shù)”，F(xiàn)597(2)354，825【分析】（1）根據(jù)“雙增數(shù)”的概念判斷即可；（2）根據(jù)條件，建立關(guān)于x，y的方程求解．【詳解】（1）解：365不是“雙增數(shù)”，597是“雙增數(shù)”，理由如下：∵3+2×6=15，6+2×5=16，∴3+2×6≠6+2×5，∴365不是“雙增數(shù)”；∵5+2×9=23，9+2×7=23，∴5+2×9=9+2×7，∴597是“雙增數(shù)”，∴s=5+7=12，t=9+7=16，∴F597（2）設(shè)N的十位數(shù)字是a，∵N是“雙增數(shù)”，∴x?1+2a=a+2y，∴a=2y?x+1，∴s=x?1+y，t=a+y=3y?x+1，∴F=x+9y?1，∴N各數(shù)位上的數(shù)字之和與FN的和：=x?1+2y?x+1+y+x+9y?1=x+12y?1，∵N各數(shù)位上的數(shù)字之和與FN的和能被17整除，且3≤y≤7∴當(dāng)y=4，x=4符合題意，此時(shí)N=354，當(dāng)y=5，x=9符合題意，此時(shí)N=825．∴所有滿足條件的“雙增數(shù)”N的值為354，825．【點(diǎn)睛】本題考查用新定義解題，一次不定方程．理解新定義是求解本題的關(guān)鍵．專題9.1不等式及不等式的基本性質(zhì)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不等式的概念及意義】 1【題型2取值是否滿足不等式】 2【題型3根據(jù)實(shí)際問題列出不等式】 2【題型4在數(shù)軸上表示不等式】 2【題型5利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】 3【題型6利用不等式性質(zhì)比較大小】 4【題型8利用不等式性質(zhì)證明（不）等式】 5【題型9利用不等式性質(zhì)求取值范圍或最值】 6【題型10不等關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用】 6【知識(shí)點(diǎn)1認(rèn)識(shí)不等式】定義：用符號(hào)“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”連接而成的式子，叫做不等式。用符號(hào)這些用來連接的符號(hào)統(tǒng)稱不等式.【題型1不等式的概念及意義】【例1】（2022春?郟縣期中）在數(shù)學(xué)表達(dá)式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（）A．1個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式1-1】（2022春?蒼溪縣期末）下列式子是不等式的是（）A．x+4y＝3 B．x C．x+y D．x﹣3＞0【變式1-2】（2022春?平泉市期末）某種牛奶包裝盒上表明“凈重205g，蛋白質(zhì)含量≥3%”．則這種牛奶蛋白質(zhì)的質(zhì)量是（）A．3%以上 B．6.15g C．6.15g及以上 D．不足6.15g【變式1-3】（2022春?曲陽縣期末）學(xué)校組織同學(xué)們春游，租用45座和30座兩種型號(hào)的客車，若租用45座客車x輛，租用30座客車y輛，則不等式“45x+30y≥500”表示的實(shí)際意義是．【題型2取值是否滿足不等式】【例2】（2022春?臥龍區(qū)期中）下列數(shù)值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的個(gè)數(shù)有個(gè)．【變式2-1】（2022春?瀘縣期末）x＝3是下列哪個(gè)不等式的解（）A．x+2＜4 B．13x＞3 C．2x﹣1＜3 D．3x【變式2-2】（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．3【變式2-3】（2022春?夏津縣期中）請(qǐng)寫出滿足下列條件的一個(gè)不等式．（1）0是這個(gè)不等式的一個(gè)解：；（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解：；（3）0不是這個(gè)不等式的解：.【題型3根據(jù)實(shí)際問題列出不等式】【例3】（2022春?川匯區(qū)期末）小麗和小華先后進(jìn)入電梯，當(dāng)小華進(jìn)入電梯時(shí)，電梯因超重而警示音響起，且這個(gè)過程中沒有其他人進(jìn)出，已知當(dāng)電梯乘載的重量超過300公斤時(shí)警示音響起，且小麗、小華的體重分別為40公斤，50公斤，若小麗進(jìn)入電梯前，電梯內(nèi)已乘載的重量為x公斤，則所有滿足題意的x可用下列不等式表示的是（）A．210＜x≤260 B．210＜x≤300 C．210＜x≤250 D．250＜x≤260【變式3-1】（2022?南京模擬）據(jù)深圳氣象臺(tái)“天氣預(yù)報(bào)”報(bào)道，今天深圳的最低氣溫是25℃，最高氣溫是32℃，則今天氣溫t（℃）的取值范圍是（）A．t＜32 B．t＞25 C．t＝25 D．25≤t≤32【變式3-2】（2022春?玉田縣期末）用不等式表示“a是負(fù)數(shù)”應(yīng)表示為．【變式3-3】（2022秋?婺城區(qū)校級(jí)期末）某種藥品的說明書上貼有如圖所示的標(biāo)簽，一次服用藥品的劑量設(shè)為x，則x的取值范圍是．【題型4在數(shù)軸上表示不等式】【例4】（2022?嘉善縣模擬）數(shù)軸上所表示的關(guān)于x的不等式組的解集為．【變式4-1】（2022春?永豐縣期中）不等式x≥a的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則a＝．【變式4-2】（2022秋?衢州期中）在數(shù)軸上表示下列不等式（1）x＜﹣1（2）﹣2＜x≤3．【變式4-3】（2022?防城港模擬）在數(shù)軸上表示﹣2≤x＜1正確的是（）A． B． C． D．【知識(shí)點(diǎn)2不等式的基本性質(zhì)】性質(zhì)1：若a＜b，b＜c，則a＜c.這個(gè)性質(zhì)叫做不等式的傳遞性.性質(zhì)2：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變。若a＞b，則a±c＞b±c.性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。若a＞b，c＞0，則ac＞bc，ac＞若a＞b，c＜0，則ac＜bc，ac＜【題型5利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】【例5】（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期中）如果有理數(shù)a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（）A．3﹣a＞3﹣b B．a(chǎn)2＜ab C．2a＜2b D．?【變式5-1】（2022?禪城區(qū)校級(jí)三模）下列結(jié)論中，正確的是（）A．若a＞b，c≠0，則ac＞bc B．若ab＜0，則a＞0，b＜0 C．若a＞0，b＜0，則ab＜0 D．若ab＞1，則a【變式5-2】（2022春?大埔縣期末）下列結(jié)論正確的有（填序號(hào)）．①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果【變式5-3】（2022春?天津期末）判斷以下各題的結(jié)論是否正確（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）．（1）若b﹣3a＜0，則b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，則ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，則a＞b；（5）若a＞b，則a（c2+1）＞b（c2+1）（6）若a＞b＞0，則1a＜1b．【題型6利用不等式性質(zhì)比較大小】【例6】（2022春?閔行區(qū)期中）如果7x＜4時(shí)，那么7x﹣31．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．【變式6-1】（2022春?輝縣市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空（1）a﹣4b﹣4（2）a5（3）﹣2a﹣2b．【變式6-2】（2022春?饒平縣校級(jí)期末）要比較兩個(gè)數(shù)a、b的大小，有時(shí)可以通過比較a﹣b與0的大小來解決：（1）如果a﹣b＞0，則a＞b；（2）如果a﹣b＝0，則a＝b；（3）如果a﹣b＜0，則a＜b．若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，試比較x、y的大?。咀兪?-3】（2022春?濉溪縣期中）如果a＞b，那么a（a﹣b）b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）【題型7利用不等式性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式】【例7】（2022秋?余杭區(qū)期中）利用不等式的性質(zhì)解不等式：﹣5x+5＜﹣10．【變式7-1】（2022秋?郴州校級(jí)月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）2x+5＞3；（2）﹣6（x﹣1）＜0．【變式7-2】（2022秋?余杭區(qū)期中）試依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，把下列不等式化為x＞a或x＜a的形式（a為常數(shù)）．（1）13x＞?23x﹣2（2）12x【變式7-3】（2022秋?湖州期中）根據(jù)不等式的性質(zhì)把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9（2）6x＜5x﹣3（3）15【題型8利用不等式性質(zhì)證明（不）等式】【例8】（2022春?西城區(qū)校級(jí)期中）閱讀下列材料，解決問題：【問題背景】小明在學(xué)習(xí)完不等式的性質(zhì)之后，思考：“如何利用不等式的性質(zhì)1和2證明不等式的性質(zhì)3呢？”在老師的啟發(fā)下，小明首先把問題轉(zhuǎn)化為以下的形式：①已知：a＞b，c＜0．求證：ac＜bc．②已知：a＞b，c＜0．求證：ac【問題探究】（1）針對(duì)①小明給出如下推理過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并填寫依據(jù)：∵c＜0，即c是一個(gè)負(fù)數(shù)∴c的相反數(shù)是正數(shù)，即﹣c＞0∵a＞b∴a?（﹣c）＞b?（﹣c）（依據(jù)：）即﹣ac＞﹣bc不等式的兩端同時(shí)加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依據(jù)：）合并同類項(xiàng)可得：bc＞ac即：ac＜bc得證．（2）參考（1）的結(jié)論或證明方法，完成②的證明．【變式8-1】（2022春?武侯區(qū)期末）求證：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．【變式8-2】（2022春?江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求證：b＜a．【變式8-3】（2022春?夏津縣期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．求證：（1）a＞c；（2）﹣2＜b【題型9利用不等式性質(zhì)求取值范圍或最值】【例9】（2022春?龍鳳區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥﹣2y，則x+y+z的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式9-1】（2022春?郫都區(qū)校級(jí)期中）若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，則a的取值范圍是．【變式9-2】（2022?天門校級(jí)自主招生）已知正數(shù)a、b、c滿足a2+c2＝16，b2+c2＝25，則k＝a2+b2的取值范圍為．【變式9-3】（2022春?朝陽區(qū)校級(jí)期中）已知a，b，c為整數(shù)，且a+b＝2006，c﹣a＝2005，若a＜b，求a+b+c的最大值．【題型10不等關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用】【例10】（2022春?饒平縣校級(jí)期末）有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字為a，十位上的數(shù)字為b，如果把這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，得到的兩位數(shù)大于原來的兩位數(shù)，那么a與b哪個(gè)大？【變式10-1】（2022春?鞏義市期末）如圖所示，A，B，C，D四人在公園玩蹺蹺板，根據(jù)圖中的情況，這四人體重從小到大排列的順序?yàn)椋ǎ〢．D＜B＜A＜C B．B＜D＜C＜A C．B＜A＜D＜C D．B＜C＜D＜A【變式10-2】（2022春?蘭山區(qū)期末）根據(jù)等式和不等式的基本性質(zhì)，我們可以得到比較兩數(shù)大小的方法：若a﹣b＞0，則a＞b；若a﹣b＝0，則a＝b；若a﹣b＜0，則a＜b．反之也成立．這種方法就是求差法比較大?。?qǐng)運(yùn)用這種方法解決下面這個(gè)問題：制作某產(chǎn)品有兩種用料方案，方案一：用4塊A型鋼板，8塊B型鋼板；方案二：用3塊A型鋼板，9塊B型鋼板．每塊A型鋼板的面積比每塊B型鋼板的面積小．方案一總面積記為S1，方案二總面積記為S2，則S1S2（填“＞，＜或＝”）．【變式10-3】（2022?蘇州自主招生）5名學(xué)生身高兩兩不同，把他們按從高到低排列，設(shè)前三名的平均身高為a米，后兩名的平均身高為b米．又前兩名的平均身高為c米，后三名的平均身高為d米，則（）A．a(chǎn)+b2＞c+d2 B．c+d2專題9.1不等式及不等式的基本性質(zhì)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不等式的概念及意義】 1【題型2取值是否滿足不等式】 3【題型3根據(jù)實(shí)際問題列出不等式】 4【題型4在數(shù)軸上表示不等式】 6【題型5利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】 8【題型6利用不等式性質(zhì)比較大小】 10【題型8利用不等式性質(zhì)證明（不）等式】 14【題型9利用不等式性質(zhì)求取值范圍或最值】 17【題型10不等關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用】 19【知識(shí)點(diǎn)1認(rèn)識(shí)不等式】定義：用符號(hào)“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”連接而成的式子，叫做不等式。用符號(hào)這些用來連接的符號(hào)統(tǒng)稱不等式.【題型1不等式的概念及意義】【例1】（2022春?郟縣期中）在數(shù)學(xué)表達(dá)式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（）A．1個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】主要依據(jù)不等式的定義──用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子是不等式來解答．【詳解】解：因?yàn)槌踴＝3；④x2+xy+y2；之外，式子①﹣3＜0；②4x+3y＞0；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中都含不等號(hào)，都是不等式，共4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的識(shí)別，一般地，用不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類題關(guān)鍵是要識(shí)別常見不等號(hào)：＞,＜,≤,≥,≠．【變式1-1】（2022春?蒼溪縣期末）下列式子是不等式的是（）A．x+4y＝3 B．x C．x+y D．x﹣3＞0【分析】根據(jù)不等式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、x+4y＝3是等式，不是不等式，故此選項(xiàng)不符合題意；B、x，沒有不等號(hào)，不是不等式，故此選項(xiàng)不符合題意；C、x+y，沒有不等號(hào)，不是不等式，故此選項(xiàng)不符合題意；D、x﹣3＞0是不等式，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的定義，注意：用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫不等式，不等號(hào)有：＞，＜，≤，≥，≠等．【變式1-2】（2022春?平泉市期末）某種牛奶包裝盒上表明“凈重205g，蛋白質(zhì)含量≥3%”．則這種牛奶蛋白質(zhì)的質(zhì)量是（）A．3%以上 B．6.15g C．6.15g及以上 D．不足6.15g【分析】根據(jù)蛋白質(zhì)含量大于或等于3%判斷即可．【詳解】解：∵205×3%＝6.15（g），蛋白質(zhì)含量≥3%，∴這種牛奶蛋白質(zhì)的質(zhì)量是6.15g及以上，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的定義，掌握≥表示大于或等于是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022春?曲陽縣期末）學(xué)校組織同學(xué)們春游，租用45座和30座兩種型號(hào)的客車，若租用45座客車x輛，租用30座客車y輛，則不等式“45x+30y≥500”表示的實(shí)際意義是租用x輛45座的客車和y輛30座的客車總的載客量不少于500人．【分析】主要依據(jù)不等式的定義：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子是不等式來判斷．【詳解】解：不等式“45x+30y≥500”表示的實(shí)際意義是租用x輛45座的客車和y輛30座的客車總的載客量不少于500人．故答案為：租用x輛45座的客車和y輛30座的客車總的載客量不少于500人．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的識(shí)別，一般地，用不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類題關(guān)鍵是要識(shí)別常見不等號(hào)：＞、＜、≤、≥、≠．【題型2取值是否滿足不等式】【例2】（2022春?臥龍區(qū)期中）下列數(shù)值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的個(gè)數(shù)有4個(gè)．【分析】解得不等式后根據(jù)x的取值范圍確定個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：解1﹣2x＞0，解得：x＜1滿足x＜1故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解集的知識(shí)，解答時(shí)也可以將x的值代入看能否滿足不等式，滿足可以，否則不可以．【變式2-1】（2022春?瀘縣期末）x＝3是下列哪個(gè)不等式的解（）A．x+2＜4 B．13x＞3 C．2x﹣1＜3 D．3x【分析】根據(jù)解不等式的方法，可得不等式的解集，根據(jù)不等式的解集，可得答案．【詳解】解：A、x＜2，故A不是不等式的解；B、x＞9，故B不是不等式的解；C、x＜2，故C不是不等式的解；D、x＞83，故故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解集，先解不等式，再選出答案．【變式2-2】（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．3【分析】根據(jù)不等式解集的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵不等式x＞2的解集是所有大于2的數(shù)，∴3是不等式的解．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022春?夏津縣期中）請(qǐng)寫出滿足下列條件的一個(gè)不等式．（1）0是這個(gè)不等式的一個(gè)解：x＜1；（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解：x＜2；（3）0不是這個(gè)不等式的解：x＜0．【分析】根據(jù)不等式的解集，即可解答．【詳解】解：（1）x＜1，（答案不唯一）（2）x＜2，（答案不唯一）（3）x＜0，（答案不唯一）故答案為：（1）x＜1，（2）x＜2，（3）x＜0．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解集，解決本題的關(guān)鍵是熟記不等式的解集．【題型3根據(jù)實(shí)際問題列出不等式】【例3】（2022春?川匯區(qū)期末）小麗和小華先后進(jìn)入電梯，當(dāng)小華進(jìn)入電梯時(shí)，電梯因超重而警示音響起，且這個(gè)過程中沒有其他人進(jìn)出，已知當(dāng)電梯乘載的重量超過300公斤時(shí)警示音響起，且小麗、小華的體重分別為40公斤，50公斤，若小麗進(jìn)入電梯前，電梯內(nèi)已乘載的重量為x公斤，則所有滿足題意的x可用下列不等式表示的是（）A．210＜x≤260 B．210＜x≤300 C．210＜x≤250 D．250＜x≤260【分析】由題意可得，小麗的重量為40公斤，且進(jìn)入電梯后，警示音沒有響起，小華的重量為50公斤．且進(jìn)入電梯后，警示音響起，分別列出不等式即可求解．【詳解】解：由題意可知：當(dāng)電梯乘載的重量超過300公斤時(shí)警示音響起，小麗進(jìn)入電梯前，電梯內(nèi)已乘載的重量為x公斤，由圖可知：小麗的重量為40公斤，且進(jìn)入電梯后，警示音沒有響起，所以此時(shí)電梯乘載的重量x+40≤300，解得x≤260，因?yàn)樾∪A的重量為50公斤．且進(jìn)入電梯后，警示音響起，所以此時(shí)電梯乘載的重量x+40+50＞300，解得x＞210，因此210＜x≤260．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到不等關(guān)系．【變式3-1】（2022?南京模擬）據(jù)深圳氣象臺(tái)“天氣預(yù)報(bào)”報(bào)道，今天深圳的最低氣溫是25℃，最高氣溫是32℃，則今天氣溫t（℃）的取值范圍是（）A．t＜32 B．t＞25 C．t＝25 D．25≤t≤32【分析】根據(jù)今天的最低氣溫是25℃可得：t≥25，根據(jù)最高氣溫是32℃可得：t≤32，再找出t的公共解集即可．【詳解】解：根據(jù)今天的最低氣溫是25℃可得：t≥25，根據(jù)最高氣溫是32℃可得：t≤32，則氣溫范圍是：25≤t≤32，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問題列不等式，關(guān)鍵是抓住關(guān)鍵詞“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超過”等這些詞語出現(xiàn)的地方．所以重點(diǎn)理解這些地方有利于自己解決此類題目．【變式3-2】（2022春?玉田縣期末）用不等式表示“a是負(fù)數(shù)”應(yīng)表示為a＜0．【分析】根據(jù)題意可得，負(fù)數(shù)小于0，由此列出不等式即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得a＜0．故答案為：a＜0．【點(diǎn)睛】本題考查列不等式，所考查的知識(shí)點(diǎn)是：負(fù)數(shù)小于0．【變式3-3】（2022秋?婺城區(qū)校級(jí)期末）某種藥品的說明書上貼有如圖所示的標(biāo)簽，一次服用藥品的劑量設(shè)為x，則x的取值范圍是7.5≤x≤40．【分析】若每天服用3次，則所需劑量為10﹣40mg之間，若每天服用4次，則所需劑量為7.5﹣30mg之間，所以，一次服用這種藥的劑量為7.5﹣40mg之間．【詳解】解：若每天服用3次，則所需劑量為10﹣40mg之間，若每天服用4次，則所需劑量為7.5﹣30mg之間，所以，一次服用這種藥的劑量為7.5﹣40mg之間，所以7.5≤x≤40．故答案為：7.5≤x≤40．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的意義、有理數(shù)的除法運(yùn)算．解題的關(guān)鍵是理解題意的能力，首先明白每天要服用的藥量，然后根據(jù)分幾次服用，可求出最小藥量和最大藥量．【題型4在數(shù)軸上表示不等式】【例4】（2022?嘉善縣模擬）數(shù)軸上所表示的關(guān)于x的不等式組的解集為﹣1≤x＜2．【分析】數(shù)軸的某一段上面，表示解集的線的條數(shù)，與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．實(shí)心圓點(diǎn)包括該點(diǎn)，空心圓圈不包括該點(diǎn)，＞向右＜向左．兩個(gè)不等式的公共部分就是不等式組的解集．【詳解】解：由圖示可看出，從﹣1出發(fā)向右畫出的折線且表示﹣1的點(diǎn)是實(shí)心圓，表示x≥﹣1；從2出發(fā)向左畫出的折線且表示2的點(diǎn)是空心圓，表示x＜2，不等式組的解集是指它們的公共部分．所以這個(gè)不等式組的解集是：﹣1≤x＜2．故答案為：﹣1≤x＜2．【點(diǎn)睛】此題主要考查不等式組的解法及在數(shù)軸上表示不等式組的解集．不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個(gè)就要幾個(gè)．在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．【變式4-1】（2022春?永豐縣期中）不等式x≥a的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則a＝2．【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示的解集確定出a的值即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸上的解集得：a＝2，故答案為：2【點(diǎn)睛】此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個(gè)就要幾個(gè)．在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．【變式4-2】（2022秋?衢州期中）在數(shù)軸上表示下列不等式（1）x＜﹣1（2）﹣2＜x≤3．【分析】（1）根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示方法可畫出圖示．（2）根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示方法可畫出圖示．【詳解】解：（1）將x＜﹣1表示在數(shù)軸上如下：（2）將不等式組﹣2＜x≤3表示在數(shù)軸上如下：【點(diǎn)睛】本題主要考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，不等式的解集在數(shù)軸上表示出來的方法：“＞”空心圓點(diǎn)向右畫折線，“≥”實(shí)心圓點(diǎn)向右畫折線，“＜”空心圓點(diǎn)向左畫折線，“≤”實(shí)心圓點(diǎn)向左畫折線．【變式4-3】（2022?防城港模擬）在數(shù)軸上表示﹣2≤x＜1正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)﹣2是實(shí)心點(diǎn)，方向向右，1是空心點(diǎn)，方向向左畫出圖形即可得到答案．【詳解】解：﹣2是實(shí)心點(diǎn)，方向向右，1是空心點(diǎn)，方向向左，如圖所示：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，掌握“兩定”：一是定界點(diǎn)，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可．定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)2不等式的基本性質(zhì)】性質(zhì)1：若a＜b，b＜c，則a＜c.這個(gè)性質(zhì)叫做不等式的傳遞性.性質(zhì)2：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變。若a＞b，則a±c＞b±c.性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。若a＞b，c＞0，則ac＞bc，ac＞若a＞b，c＜0，則ac＜bc，ac＜【題型5利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】【例5】（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期中）如果有理數(shù)a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（）A．3﹣a＞3﹣b B．a(chǎn)2＜ab C．2a＜2b D．?【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴3﹣a＞3﹣b，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵a＜b，∴a2＜ab（a＞0），a2＞ab（a＜0），或a2＝ab（a＝0），∴選項(xiàng)B符合題意；∵a＜b，∴2a＜2b，∴選項(xiàng)C不符合題意；∵a＜b，∴?a∴選項(xiàng)D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變；（3）不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變．【變式5-1】（2022?禪城區(qū)校級(jí)三模）下列結(jié)論中，正確的是（）A．若a＞b，c≠0，則ac＞bc B．若ab＜0，則a＞0，b＜0 C．若a＞0，b＜0，則ab＜0 D．若ab＞1，則a【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷A，D選項(xiàng)；根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷B，C選項(xiàng)．【詳解】解：A選項(xiàng)，當(dāng)c＜0時(shí)不成立，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，也可能是a＜0，b＞0，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，若a＞0，b＜0，則ab＜0，故該選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)，當(dāng)b＜0時(shí)不成立，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022春?大埔縣期末）下列結(jié)論正確的有①④（填序號(hào)）．①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．可得答案．【詳解】解：①∵c＜d，∴﹣c＞﹣d，∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣d，故①正確．②當(dāng)b＜0時(shí)，ab故②錯(cuò)．③若a＝2，b＝﹣1，滿足a＞b，但1a故③錯(cuò)．④∵ac∴c2＞0，∴a＜b，故④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)睛】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)．注意：在不等式兩邊同乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)時(shí)，不僅要考慮這個(gè)數(shù)不等于0，而且必須先確定這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向必須改變．【變式5-3】（2022春?天津期末）判斷以下各題的結(jié)論是否正確（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）．（1）若b﹣3a＜0，則b＜3a；√（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；×（3）若a＞b，則ac2＞bc2；×（4）若ac2＞bc2，則a＞b；√（5）若a＞b，則a（c2+1）＞b（c2+1）．√（6）若a＞b＞0，則1a＜1【分析】利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：（1）若由b﹣3a＜0，移項(xiàng)即可得到b＜3a，故正確；（2）如果﹣5x＞20，兩邊同除以﹣5不等號(hào)方向改變，故錯(cuò)誤；（3）若a＞b，當(dāng)c＝0時(shí)則ac2＞bc2錯(cuò)誤，故錯(cuò)誤；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正確；（5）若a＞b，根據(jù)c2+1，則a（c2+1）＞b（c2+1）正確．（6）若a＞b＞0，如a＝2，b＝1，則1a故答案為：√、×、×、√、√、√．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，兩邊同乘以或除以一個(gè)不為零的負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變．【題型6利用不等式性質(zhì)比較大小】【例6】（2022春?閔行區(qū)期中）如果7x＜4時(shí)，那么7x﹣3＜1．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．【分析】直接根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵7x＜4，∴7x﹣3＜4﹣3，即7x﹣3＜1．故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題考查的是不等式的性質(zhì)，熟知不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022春?輝縣市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空（1）a﹣4＜b﹣4（2）a5＜（3）﹣2a＞﹣2b．【分析】（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，兩邊同時(shí)﹣4，不等號(hào)的方向不變即可解答：（2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，兩邊同時(shí)除以5，不等號(hào)的方向不變解答即可：（3）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，兩邊同時(shí)乘以﹣2，不等號(hào)的方向改變即可解答．【詳解】解：（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1可得：a﹣4＜b﹣4；（2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2可得：a5（3）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3可得：﹣2a＞﹣2b，故答案為＜，＜，＞．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)．不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式6-2】（2022春?饒平縣校級(jí)期末）要比較兩個(gè)數(shù)a、b的大小，有時(shí)可以通過比較a﹣b與0的大小來解決：（1）如果a﹣b＞0，則a＞b；（2）如果a﹣b＝0，則a＝b；（3）如果a﹣b＜0，則a＜b．若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，試比較x、y的大?。痉治觥坷米鞑罘杀容^x、y的大?。驹斀狻拷猓河捎趚﹣y＝2a2+3b﹣（a2+3b﹣1）＝a2+1＞0，即x﹣y＞0．所以x＞y．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)．（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式6-3】（2022春?濉溪縣期中）如果a＞b，那么a（a﹣b）＞b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】解：∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴a（a﹣b）＞b（a﹣b）．故答案是：＞．【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式的基本性質(zhì)是本題的關(guān)鍵，不等式的基本性質(zhì)是：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【題型7利用不等式性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式】【例7】（2022秋?余杭區(qū)期中）利用不等式的性質(zhì)解不等式：﹣5x+5＜﹣10．【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，將兩邊不等式同時(shí)減去5，不等號(hào)的方向不變．利用不等式的基本性質(zhì)，將兩邊不等式同時(shí)除以﹣5，不等號(hào)的方向改變．【詳解】解：根據(jù)不等式的性質(zhì)1，在不等式的兩邊同時(shí)減去5，得﹣5x＜﹣15，根據(jù)不等式的性質(zhì)3，在不等式﹣5x＜﹣15的兩邊同時(shí)除以﹣5，得x＞3．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或整式不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)不等號(hào)的方向不變；（3）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)的方向改變．【變式7-1】（2022秋?郴州校級(jí)月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）2x+5＞3；（2）﹣6（x﹣1）＜0．【分析】（1）根據(jù)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，可得答案；（2）根據(jù)去括號(hào)、移項(xiàng)、系數(shù)化為1，可得答案．【詳解】解：（1）移項(xiàng)，得2x＞3﹣5，合并同類項(xiàng)，得2x＞﹣2，系數(shù)化為1，得x＞﹣1；（2）去括號(hào)，得，﹣6x+6＜0，移項(xiàng)，得﹣6x＜﹣6，系數(shù)化為1，得x＞1．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，利用了解不等式的一般步驟，不等式的兩邊都除以同一負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式7-2】（2022秋?余杭區(qū)期中）試依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，把下列不等式化為x＞a或x＜a的形式（a為常數(shù)）．（1）13x＞?23x﹣2（2）12x【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變作答．【詳解】解：（1）利用不等式的基本性質(zhì)1，在不等式的兩邊都加上23x，得13x+23x＞?即x＞﹣2；（2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2，在不等式的兩邊都乘以2，得12x×2≤12即x≤6﹣x，①再由不等式的基本性質(zhì)1，在不等式①的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)整式x，得2x≤6，②最后利用不等式的性質(zhì)2，在不等式的兩邊同時(shí)除以2，得x≤3．【點(diǎn)睛】主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式7-3】（2022秋?湖州期中）根據(jù)不等式的性質(zhì)把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9（2）6x＜5x﹣3（3）15【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)對(duì)各不等式進(jìn)行逐一分析解答即可．【詳解】解：（1）根據(jù)不等式性質(zhì)1，不等式兩邊都減7，不等號(hào)的方向不變，得x+7﹣7＞9﹣7，即x＞2；（2）根據(jù)不等式性質(zhì)1，不等式兩邊都減去5x，不等號(hào)的方向不變，得6x﹣5x＜5x﹣5x﹣3，即x＜﹣3；（3）根據(jù)不等式性質(zhì)2，不等式兩邊同乘以5，不等號(hào)的方向不變，得x＜2；【點(diǎn)睛】本題考查的是不等式的基本性質(zhì)，需熟練掌握．（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【題型8利用不等式性質(zhì)證明（不）等式】【例8】（2022春?西城區(qū)校級(jí)期中）閱讀下列材料，解決問題：【問題背景】小明在學(xué)習(xí)完不等式的性質(zhì)之后，思考：“如何利用不等式的性質(zhì)1和2證明不等式的性質(zhì)3呢？”在老師的啟發(fā)下，小明首先把問題轉(zhuǎn)化為以下的形式：①已知：a＞b，c＜0．求證：ac＜bc．②已知：a＞b，c＜0．求證：ac【問題探究】（1）針對(duì)①小明給出如下推理過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并填寫依據(jù)：∵c＜0，即c是一個(gè)負(fù)數(shù)∴c的相反數(shù)是正數(shù)，即﹣c＞0∵a＞b∴a?（﹣c）＞b?（﹣c）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變）即﹣ac＞﹣bc不等式的兩端同時(shí)加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)整式，不等號(hào)不變）合并同類項(xiàng)可得：bc＞ac即：ac＜bc得證．（2）參考（1）的結(jié)論或證明方法，完成②的證明．【分析】（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行分析即可；（2）仿照（1）的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）∵c＜0，即c是一個(gè)負(fù)數(shù)∴c的相反數(shù)是正數(shù)，即﹣c＞0∵a＞b∴a?（﹣c）＞b?（﹣c）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變），即﹣ac＞﹣bc，不等式的兩端同時(shí)加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)整式，不等號(hào)不變），合并同類項(xiàng)可得：bc＞ac，即：ac＜bc，得證．故答案為：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)整式，不等號(hào)不變；（2）∵c＜0，即c是一個(gè)負(fù)數(shù)∴c的相反數(shù)是正數(shù)，即﹣c＞0∵a＞b∴a?c即?a不等式的兩端同時(shí)乘以﹣1可得：?ac×即：ac【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記不等式的基本性質(zhì)．【變式8-1】（2022春?武侯區(qū)期末）求證：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．【分析】根據(jù)不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，不等式的兩邊都加同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變，可得答案．【詳解】證明：∵a＞b，c＞0，∴﹣ac＜﹣bc．f﹣ac＜f﹣bc．∵e＞f，∴e﹣bc＞f﹣bc．∴f﹣ac＜e﹣bc．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，注意不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式8-2】（2022春?江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求證：b＜a．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)得出2b＜a+1，1+a＜2a，根據(jù)不等式的傳遞性從而得出結(jié)論．【詳解】證明：因?yàn)閎＜c，所以2b＜b+c，由b+c＜a+1，得2b＜a+1，由1＜a，得1+a＜2a，所以2b＜1+a＜2a，∴b＜a成立．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，要學(xué)會(huì)充分利用不等式的基本性質(zhì)，按照一定的邏輯順序來展開推理論證．【變式8-3】（2022春?夏津縣期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．求證：（1）a＞c；（2）﹣2＜b【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)可得3a+2b+c＝（a+b+c）2a+b＝2a+b＞0，由a+b+c＝0可得b＝﹣a﹣c，再代入2a+b＞0解答即可；（2）由b＝﹣a﹣c，c＞0，由不等式的性質(zhì)可得b＜﹣a，再根據(jù)2a+b＞0可得﹣2a＜b，所以﹣2a＜b＜﹣a，再由a＞0，結(jié)合不等式的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）∵a+b+c＝0，3a+2b+c＞0，∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，又