2023-2024學年七年級數學下冊舉一反三系列專題2.4 二元一次方程組全章十類必考壓軸題（人教版）含解析

2023-2024學年七年級數學下冊舉一反三系列專題2.4二元一次方程組全章十類必考壓軸題【人教版】必考點1必考點1由方程組的錯解問題求參數的值1．（2022秋·廣西崇左·七年級統(tǒng)考期末）甲、乙兩人同解方程組ax+by=2,①cx?3y=4．②，甲因看錯c的值解得方程組解為x=1y=1，乙求得正確的解為x=2y=?2，求a，b2．（2022春·浙江寧波·七年級校考期中）甲、乙兩人共同解方程組ax?by=?112①ax+by=5②，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為x=2y=3，乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為x=3y=23．（2022春·河南安陽·七年級統(tǒng)考期中）在解二元一次方程組ax+by=17cx?y=5時，甲同學因看錯了b的符號，從而求得解為x=4y=3，乙同學因看錯了c，從而求得解為x=3y=24．（2022秋·重慶·八年級重慶一中?？计谥校┘住⒁覂赏瑢W同時解方程組mx?3y=12①6x+ny=?5②，甲看錯了方程①中的m，得到的方程組的解為x=?2y=1，乙看錯了方程②中的5．（2022春·江蘇常州·七年級校考期中）甲、乙兩人解方程組4x?by=?1ax+by=5,甲因看錯a,解得x=2y=3,乙將其中一個方程的b寫成了它的相反數,解得必考點2必考點2根據方程組解的個數求參數或參數取值范圍1．（2022春·浙江·七年級期中）已知關于x、y的二元一次方程組3x+5y=63x+ky=10給出下列結論：當k=5時，此方程組無解；若此方程組的解也是方程6x+15y=16的解，則k=10；無論整數k取何值，此方程組一定無整數解（x、y均為整數），其中正確的個數是（

A．0 B．1 C．2 D．32．（2022春·浙江寧波·七年級?？计谥校┤絷P于x，y的方程組x?y=2mx+y=6有非負整數解，則正整數m為（

A．0，1 B．1，3，7 C．0，1，3 D．1，33．（2022秋·廣東江門·八年級新會陳經綸中學校考期中）方程y=2x+ky=(k24．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┮阎P于x、y的方程組2x?y=?1x+2y=5a?8(1)用含有字母a的代數式表示x和y；(2)求a的取值范圍；(3)已知2a?b=1，求a+b的取值范圍．5．（2022春·七年級課時練習）當m，n為何值時，方程組{（1）有唯一解；（2）有無數多個解：（3）無解必考點3必考點3構造二元一次方程組求解1．（2022春·浙江·七年級期末）對于實數x，y，定義新運算x?y=ax+by+1，其中a，b為常數，等式右邊為通常的加法和乘法運算，若3?5=15，4?7=28，則5?9=（

）A．40 B．41 C．45 D．462．（2022春·湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期中）在信息加密傳輸中，發(fā)送方將明文加密成密文傳輸給接收方，接收方收到密文后解密還原為明文，若某種加密規(guī)則為：明文m、n對應的密文為m?3n，2m+3n．例如：明文1、2對應的密文是?5、8．當接收方收到密文是6、3，則解密后得到的明文是_____________．3．（2022春·浙江·七年級期中）已知關于x，y的二元一次方程m+1x+2m﹣1y+2﹣m=04．（2022春·福建龍巖·七年級?？计谥校o論k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，則x，y要滿足的條件是__________．5．（2022秋·重慶榮昌·八年級?？计谥校┤粢粋€四位正整數abcd滿足：a+c=b+d，我們就稱該數是“交替數”，如對于四位數3674，∵3+7=6+4，∴3674是“交替數”，對于四位數2353，∵2+5≠3+3，∴2353不是“交替數”．（1）最小的“交替數”是________，最大的“交替數”是__________．（2）判斷2376是否是“交替數”，并說明理由；（3）若一個“交替數”滿足千位數字與百位數字的平方差是12，且十位數字與個位數的和能被6整除．請求出所有滿足條件的“交替數”．必考點4必考點4整體思想解二元一次方程組1．（2022春·江蘇南通·七年級?？计谥校┮阎P于x，y的方程組a1x+b1y=c1a2x+bA．m=3n=2 B．m=3n=4 C．m=4n=22．（2022春·浙江杭州·七年級?？计谥校┮阎獂+2y=?4m2x+y=2m+1，若x?y=7，則m的值為（）A．1 B．-1 C．2 D．-23．（2022·浙江杭州·七年級期中）已知方程組a1x+y=c1a2x+y=c24．（2022春·山東德州·七年級統(tǒng)考期末）已知關于x、y的方程組{mx+ny=72mx?3ny=4的解為{x=15．（2022春·重慶璧山·七年級校聯考期中）閱讀材料：善于思考的李同學在解方程組3m解：把m+5，n+3成一個整體，設m+5=x，解得：x=1y=2．∴m(1)若方程組2x?3y=45(2)仿照李同學的方法，用“整體換元”法解方程組3x6．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·七年級景德鎮(zhèn)一中校考期中）解方程組：（1）43x?2y（2）3x+my=5x+2y=n（3）2x1+必考點5必考點5二元一次方程組之行程問題1．（2022秋·江蘇無錫·七年級校聯考期末）某景區(qū)游船碼頭派車原定于8點整準時到達景區(qū)入口接工作人員，由于汽車在路上因故障導致8:10時車還未到達景區(qū)入口，于是工作人員步行前往碼頭.走了一段時間后遇到了前來接他的汽車，他上車后汽車立即掉頭繼續(xù)前進.到達碼頭時已經比原計劃遲到了20min.已知汽車的速度是工作人員步行速度的6倍，則汽車在路上因故障耽誤的時間為____min2．（2022秋·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）甲從A地出發(fā)步行到B地，乙同時從B地步行出發(fā)至A地，2小時后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小時．若設甲剛出發(fā)時的速度為a千米/小時，乙剛出發(fā)的速度為b千米/小時．（1）A、B兩地的距離可以表示為千米（用含a，b的代數式表示）；（2）甲從A到B所用的時間是：小時（用含a，b的代數式表示）；乙從B到A所用的時間是：小時（用含a，b的代數式表示）．（3）若當甲到達B地后立刻按原路向A返行，當乙到達A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小時36分鐘又再次相遇，請問AB兩地的距離為多少？3．（2022春·湖南益陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，中國海監(jiān)船46，49在距離釣魚島220海里處，已知兩船的航速如下表所示：最大航速經濟航速海監(jiān)4616節(jié)14節(jié)海監(jiān)4915.2節(jié)14.5節(jié)其中，一節(jié)等于1海里/時，如果海監(jiān)46先以經濟航速行駛若干小時后以最大航速沿圖中箭頭方向航線行駛至釣魚島，共行駛時間15小時，海監(jiān)49比海監(jiān)46遲出發(fā)半小時，以最大航速沿同一路線駛向釣魚島．問：(1)兩船誰先到達釣魚島？說明理由；(2)海監(jiān)46經濟航行和最大航速航行各多少小時？(3)設海監(jiān)46航行時間為t，求兩海監(jiān)船之間的距離S與t之間的函數關系式．4．（2022春·河南新鄉(xiāng)·七年級?？计谥校┮涣锌燔囬L230米，一列慢車長220米，若兩車同向而行，快車從追上慢車時開始到離開慢車，需90秒鐘；若兩車相向而行，快車從與慢車相遇時到離開慢車，只需18秒鐘，問快車和慢車的速度各是多少？5．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，一段鐵路的示意圖，AB段和CD段都是高架橋，BC段是隧道．已知AB=1500m，BC=300m，CD=2000m，在AB段高架橋上有一盞吊燈，當火車駛過時，燈光可垂直照射到車身上，已知火車甲沿AB方向勻速行駛，當火車甲經過吊燈時，燈光照射到火車甲上的時間是10s，火車甲通過隧道的時間是20s，如果從車尾經過點A時開始計時，設行駛的時間為xs，車頭與點B的距離是ym．（1）火車甲的速度和火車甲的長度（2）求y關于x的函數解析式（寫出x的取值范圍），并求當x為何值時，車頭差500米到達D點．（3）若長度相等的火車乙以相同的速度沿DC方向行駛，且火車甲乙不在隧道內會車（會車時兩車均不在隧道內），火車甲先進隧道，當火車甲的車頭到達A點時，火車乙的車頭能否到達D點？若能到達，至多駛過地點多少？若不能到達，至少距離D點多少m？必考點6必考點6二元一次方程組之工程問題1．（2022春·安徽蕪湖·七年級?？计谀┳詠硭畯S的供水池有7個進出水口，每天早晨6點開始進出水，且此時水池中有水15%，在每個進出水口是勻速進出的情況下，如果開放3個進口和4個出口，5小時將水池注滿；如果開放4個進口和3個出口，2小時將水池注滿．若某一天早晨6點時水池中有水24%，又因為水管改造，只能開放3個進口和2個出口，則從早晨6點開始經過____小時水池的水剛好注滿．2．（2022春·重慶·八年級統(tǒng)考期末）今年4月23號，位于重慶兩江新區(qū)的光環(huán)購物公園隆重開業(yè)。該購物公園最具吸引力的就是建跨7層，擁有42米立體垂直景觀的“沐光森林”植物園．假設該植物園擁有6個出入口，每個出入口都是單向的且在單位時間內每個入口和出口經過的游客數量是一定的；并且植物園的最大承載游客數量也是固定的．由于疫情防控和現場安全的原因，目前植物園對外開放最大可承載游客量為設計數量的90％．假設植物園每天早上九點開始接待游客，若開放5個入口，1個出口，2個小時游客數量就將飽和；若開放3個入口，3個出口，4個小時游客數量將達到飽和．開業(yè)當天由于人流量激增，為了安全起見僅開放了2個入口，4個出口，且開業(yè)當天游客最大承載量定為總設計可承載人數的84％．請問從早上9點開始，經過________小時植物園游客數量達到飽和．3．（2022春·新疆烏魯木齊·七年級統(tǒng)考期末）綿陽中學為了進一步改善辦學條件，決定計劃拆除一部分舊校舍，建造新校舍．拆除舊校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，計劃在年內拆除舊校舍與建造新校舍共9000平方米，在實施中為擴大綠化面積，新建校舍只完成了計劃的90%而拆除舊校舍則超過了計劃的10%，結果恰好完成了原計劃的拆、建總面積．(1)求原計劃拆、建面積各是多少平方米？(2)若綠化1平方米需要200元，那么把在實際的拆、建工程中節(jié)余的資金全部用來綠化，可綠化多少平方米？4．（2022春·山東菏澤·七年級期末）一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元．(1)甲、乙兩組工作一天，商店應各付多少元；(2)已知甲單獨完成需12天，乙單獨完成需24天，單獨請哪個組，商店所需費用少？(3)若裝修完后，商店每天可盈利200元，現有如下三種方式裝修：①甲單獨做；②乙單獨做；③甲乙合做，你認為如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）問的條件及結論）5．（2022春·重慶巴南·八年級統(tǒng)考期末）面對某國不斷對我國的打壓，我國自主品牌抗住壓力．以華為手機為例，今年一月份我國某工廠用自主創(chuàng)新的A、B兩種機器人組裝某款華為手機，每小時一臺A種機器人比一臺B種機器人多組裝50個該款華為手機，每小時10臺A種機器人和5臺B種機器人共組裝3500個該款華為手機．（1）今年一月份，該工廠每小時一臺A種機器人、一臺B種機器人分別能組裝多少個該款華為手機？（2）該工廠原有A、B兩種機器人的數量相等，因市場銷售火爆，二月份該工廠增加了一部分A種機器人并淘汰了一部分B種機器人，這樣A種機器人的數量增加了2m%，B種機器人數量減少了m%．同時，該工廠對全部A種機器人進行了升級改造，升級改造后的機器人命名為C種機器人，已知每小時一臺C種機器人組裝該款華為手機的數量比原一臺A種機器人組裝該款華為手機的數量增加了15，每小時C種機器人和B種機器人組裝該款華為手機的數量之和比A種機器人和B種機器人組裝該款華為手機的數量之和提高了20%，求m必考點7必考點7二元一次方程組之商品經濟問題1．（2022春·河南信陽·七年級河南省淮濱縣第一中學校考期末）小明去文具店購買了筆和本子共5件，已知兩種文具的單價均為正整數且本子的單價比筆的單價貴．在付賬時，小明問是不是27元，但收銀員卻說一共48元，小明仔細看了看后發(fā)現自己將兩種商品的單價記反了．小明實際的購買情況是（

）A．1支筆，4本本子 B．2支筆，3本本子C．3支筆，2本本子 D．4支筆，1本本子2．（2022春·重慶銅梁·七年級統(tǒng)考期末）端午節(jié)臨近，某超市熱銷A、B、C三種粽子，其中其每千克B種粽子的成本價比每千克A種粽子的成本價高50%，每千克C種粽子的成本價是每千克A種粽子的成本價的2倍．最近，超市打算將三種粽子混裝配成甲、乙、丙三種禮品盒進行銷售（禮品盒的盒子成本價不計）．其中甲禮品盒有A種粽子3千克、B種粽子2千克、C種粽子2千克；乙禮品盒有A種粽子2千克、B種粽子3千克、C種粽子3千克；丙禮品盒有A種粽子4千克、B種粽子2千克、C種粽子4千克．銷售時，每個丙禮品盒在成本價基礎上提高133．（2022春·重慶巴南·七年級統(tǒng)考期末）某街道為了綠化一塊閑置空地，購買了甲、乙兩種樹木共72棵種植在這個空地上，購買時，已知甲種樹木的單價是乙種樹木的單價的98(1)甲、乙兩種樹木各購買了多少棵？(2)經過一段時間后，種植的這批樹木成活率高，綠化效果好，該街道決定再次購買這兩種樹木來綠化另一塊閑置空地，購買時，發(fā)現甲種樹木的單價比第一次購買時的單價下降了a50，乙種樹木的單價比第一次購買時的單價下降了110，于是，該街道購買甲種樹木的數量比第一次多了15，購買乙種樹的數量比第一次多了a50，且購買甲、乙兩種樹木的總費用比第一次多了4．（2022春·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月20日在北京圓滿閉幕．冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”深受廣大人民的喜愛，某商店購進“冰墩墩”、“雪容融”兩款毛絨玩具進行銷售，“冰墩墩”“雪容融”兩種商品的進價、售價如表：“冰墩墩”“雪容融”進價（元/個）9060售價（元/個）12080請列方程（組）、不等式解答下列各題；(1)2022年2月份，商店用23400元購進這兩款毛絨玩具共300個，并且全部售完，問該商店2月份銷售這兩款毛絨玩具賺了多少錢？(2)2022年3月份，商店又購進了200個“冰墩墩”和100個“雪容融”，3月中旬受疫情影響，在“冰墩墩”售出34，“雪容融”售出12后，店主決定對剩余的“冰墩墩”每個打a折銷售，對剩余的“雪容融”每個降價2a元銷售，又全部售完．如果要保證本月銷售總額為30000元，求(3)2022年4月份，由于受疫情影響，生產廠家減產，限制該商店本月只能采購兩款毛絨玩具共200個，商店在不打折、不降價且全部售完的情況下，“冰墩墩”的利潤不少于“雪容融”的利潤的455．（2022春·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學?？计谀?021年初，隨著重慶本地的一些優(yōu)勢政策的落地，城市經濟發(fā)展狀況越來越好，購房需求有增無減，重慶樓市漲幅明顯，據國家統(tǒng)計局5月17日公布的70城房價數據顯示，4月重慶新房價格環(huán)比上漲1.4%，領漲全國；二手房價格環(huán)比上漲13%，漲幅全國第二．5月份，重慶RC壹號院甄裝大平層璀璨登場，共推出A、B兩種大平層共100套，其中A戶型340萬元/套，B戶型460萬元/套．（1）RC壹號院5月的銷售總額為38800萬元，問5月推出A、B兩種戶型各多少套？（2）近期，關于重慶銀行利率上漲、二手房將停貸等消息在朋友圈被大量轉發(fā)，重慶樓市將要進行調控成為了各大平臺的熱點話題．為年中清盤促銷，地產商調整了營銷方案，對銷售團隊采取獎勵辦法：每銷售一套A戶型按每套售價的a%給予獎勵，每銷售一套B戶型按每套售價的0.5%給予獎勵．獎勵辦法出臺后．A戶型6月份的銷售量比5月份增加了50%；而B戶型6月份的銷售量比5月份減少了54a%，為保證銷售團隊6月份類勵金額不低于152.97萬元，求a6．（2022春·福建泉州·七年級統(tǒng)考期中）（列方程（組）及不等式解應用題）水是人類生命之源．為了鼓勵居民節(jié)約用水，相關部門實行居民生活用水階梯式計量水價政策．若居民每戶每月用水量不超過10立方米，每立方米按現行居民生活用水水價收費（現行居民生活用水水價=基本水價+污水處理費）；若每戶每月用水量超過10立方米，則超過部分每立方米在基本水價基礎上加價100%，每立方米污水處理費不變．甲用戶4月份用水8立方米，繳水費27.6元；乙用戶4月份用水12立方米，繳水費46.3元．（注：污水處理的立方數=實際生活用水的立方數）（1）求每立方米的基本水價和每立方米的污水處理費各是多少元？（2）如果某用戶7月份生活用水水費計劃不超過64元，該用戶7月份最多可用水多少立方米？必考點8必考點8二元一次方程組之調配與配套問題1．（2022春·北京海淀·七年級?？计谥校┠硨W校實踐課準備用圖甲所示的A型正方形板材和B型長方形板材，制作成圖乙所示的豎式和橫式兩種無蓋箱子．(1)若學校現有庫存A型板材50張，B型板材100張，用這批板材制作兩種類型的箱子．①請完成下列表格：x只豎式箱子y只橫式箱子A型板材張數(張)x

B型板材張數(張)

3y②恰好將庫存板材用完時，能制作出豎式和橫式的箱子各多少只．(2)若學校新購得n張規(guī)格為3×3m的C型正方形板材，將其中一張板材切割成了3張A型板材和2張B型板材，余下板材分成兩部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材(不計損耗)，用切割成的板材制作兩種類型的箱子，要求豎式箱子制作20只，且材料恰好用完，則n的最小值是，此時能制作橫式箱子只．2．（2022秋·湖北武漢·七年級?？计谀榱藴蕚洹坝隆眳R演，七（1）班學生分成甲乙兩隊進行幾天排練．其中甲隊隊長對乙隊隊長說：你們調5人來我們隊，則我們的人數和你們的人數相同；乙隊隊長跟甲隊隊長說：你們調5人來我們隊，則我們的人數是你們的人數的3倍．(1)根據甲隊隊長對乙隊隊長交談的內容，設甲隊有m人，則乙隊有

人，求出七（1）班的學生人數；(2)為了增強演出的舞臺效果，全部學生需要租賃演出服裝，班主任到某服裝租賃店了解到可供選擇的收費方式如下：方式一：一套服裝一天收取20元，另收總計120元的服裝清洗費；方式二：在一套服裝一天收取20元的基礎上打九折，一套服裝每天收取服裝清洗費1元，另收每套服裝磨損費5元（不按天計算）；設租賃服裝x天（x為整數）3．（2022春·河北承德·七年級統(tǒng)考期末）某企業(yè)有A，B兩條加工相同原材料的生產線，在一天內，A生產線共加工a噸原材料，加工時間為4a+1小時；在一天內，B生產線共加工b噸原材料，加工時間為2b+3小時．(1)當a=b=1時，兩條生產線的加工時間分別時多少小時？(2)第一天，該企業(yè)把5噸原材料分配到A．B兩條生產線，兩條生產線都在一天內完成了加工，且加工時間相同，則分配到兩條生產線的的噸數是多少？(3)第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結果分配了5噸原材料后，又給A生產線分配了m噸原材料，給B生產線分配了n噸原材料，若兩條生產線都能在一天內加工完各自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則m和n有怎樣的數量關系？若此時m與n的和為6噸，則m和n的值分別為多少噸？4．（2022春·上海嘉定·六年級?？计谥校┝昙墝W生若干人報名參加課外活動小組，男女生人數之比為4：3，后來又報了15名女生，這時女生人數恰好是男生人數的2倍，求最初報名時男生與女生各有多少人？5．（2022秋·湖北襄陽·七年級期末）某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量還多200噸，如用新工藝，則廢水排量比環(huán)保限制的最大量少100噸，新、舊工藝的廢水量之比為2:5，兩種工藝的廢水量各是多少？必考點9必考點9二元一次方程組之圖形與表格問題1．（2022春·全國·七年級專題練習）某校規(guī)劃在一塊長AD為18m、寬AB為13m的長方形場地ABCD上，設計分別與AD，AB平行的橫向通道和縱向通道，其余部分鋪上草皮，如圖所示，若設計三條通道，一條橫向，兩條縱向，且它們的寬度相等，其余六塊草坪相同，其中一塊草坪兩邊之比AM∶AN＝8∶9，問通道的寬是多少？2．（2022·江西贛州·校聯考一模）某校規(guī)劃在一塊長AD為18m，寬AB為13m的長方形場地ABCD上，設計分別與AD，AB平行的橫向通道和縱向通道（通道面積不超過總面積的15（1）如圖1，若設計兩條通道，一條橫向，一條縱向，4塊草坪為全等的長方形，每塊草坪的兩邊之比為3：4，并且縱向通道的寬度是橫向通道寬度的2倍，問橫向通道的寬是多少？（2）如圖2，為設計得更美觀，其中草坪①②③④為全等的正方形，草坪⑤⑥為全等的長方形（兩邊長BN：BM=2：3），通道寬度都相等，問：此時通道的寬度又是多少呢？3．（2022春·浙江紹興·七年級?？计谥校┫卤硎切〖t在某個路口統(tǒng)計20分鐘各種車輛通過情況制成的統(tǒng)計表，其中空格處的字跡已模糊，但小紅還記得7：50～8：00時段內的電瓶車車輛數與8：00～8：10時段內的貨車車輛數之比是7∶2．電瓶車公交車貨車小轎車合計7：50～8：005631338：00～8：1054582合計6730108(1)若在7：50～8：00時段，經過的小轎車數量正好是電瓶車數量的98(2)根據上述表格數據，求在7：50～8：00和8：00～8：10兩個時段內電瓶車和貨車的車輛數；(3)據估計，在所調查的7：50～8：00時段內，每增加1輛公交車，可減少8輛小轎車行駛，為了使該時段內小轎車流量減少到比公交車多13輛，則在該路口應再增加幾輛公交車？4．（2022秋·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）某山區(qū)有23名中、小學生因貧困失學需要資助，已知資助一名中學生的學習費用為a元，資助一名小學生的學習費用為b元．某校學生積極捐助，初中各年級學生捐款數額與用其恰好資助貧困中學生和小學生人數的部分情況如下表：年級捐款數額（元）資助貧困中學生人數（名）資助貧困小學生人數（名）初一年級400024初二年級420033初三年級7400(1)求a、b的值；(2)初三年級學生的捐款恰好解決了其余貧困中小學生的學習費用，求初三年級學生的捐款可資助的貧困中、小學生人數分別為多少．5．（2022秋·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）某居民小區(qū)為了改善小區(qū)環(huán)境，建設和諧家園，準備將一塊周長為76米的長方形空地，設計成全等的9塊小長方形，如圖所示，小長方形的長和寬各是多少米？必考點10必考點10二元一次方程組之優(yōu)化方案問題1．（2022秋·四川達州·八年級?？计谀╇S著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具，某汽車4S店計劃購進一批新能源汽車進行銷售．據了解，購進3輛A型新能源汽車、2輛B型新能源汽車的共需95萬元；購進4輛A型新能源汽車、1輛B型新能源汽車的共需110萬元．(1)問A、B兩種型號的新能源汽車每輛進價分別為多少萬元？(2)若該公司計劃正好用250萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），銷售1輛A型汽車可獲利1.2元，銷售1輛B型汽車可獲利0.8元，假如這些新能源汽車全部售出，問該公司的共有幾種購買方案？最大利潤是多少元？3．（2022秋·黑龍江綏化·八年級?？计谀┪倚榇蛟熘腔坌@，計劃購進希沃和鴻合兩種不同的教學一體機，根據市場調查發(fā)現，若購買希沃2臺、鴻合1臺，共需資金5萬元；若購買希沃1臺、鴻合3臺，共需資金7萬元．(1)求每臺希沃和鴻合教學一體機各多少萬元？(2)若我校計劃購進教學一體機共20臺，其中希沃一體機的數量不大于鴻合一體機的數量，學校至多能夠提供資金34.4萬元，通過計算說明學校共有哪幾種購買方案？4．（2022秋·陜西咸陽·七年級?？计谀楦玫亻_展陽光體育活動，學校準備到某體育用品店購進一批A型籃球和B型籃球．已知A型籃球的標價比B型籃球的標價每個貴30元，購買8個A型籃球和10個B型籃球共需1320元．(1)A型籃球和B型籃球的標價各是多少？(2)該體育用品店推出了以下優(yōu)惠方案：方案一：所有商品按標價的九折銷售；方案二：所有商品按標價購買，總費用超過2000元時，超過部分按七折收費．學校計劃在該店購買20個A型籃球和30個B型籃球，選擇哪種方案更合算？請說明理由．5．（2022春·江蘇·七年級階段練習）已知用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨11噸．某物流公司現有31噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物．根據以上信息，解答下列問題：(1)1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸？(2)請你幫該物流公司設計租車方案（即A、B兩種型號的車各租幾輛，有幾種租車方案）．6．（2022春·上海閔行·七年級統(tǒng)考期末）某生產教具的廠家準備生產正方體教具，教具由塑料棒與金屬球組成（一條棱用一根塑料棒，一個頂點由一個金屬球鑲嵌），并且根據材質優(yōu)劣分為高檔、中檔和低檔三種檔次進行包裝．(1)生產前，要畫直觀圖．現在設計人員僅畫出如圖所示設計圖，請你補全正方體模型的直觀圖．(2)該廠家的一個車間負責生產正方體教具，該車間共有22名工人，每個工人每天可生產塑料棒100根或者金屬球80個，如果你是車間主任，你會如何分配工人成套生產正方體教具？(3)現某中學購買兩種檔次的正方體教具共200套（價格如表所示），若恰好用了2800元，請問該學校應該如何購買該教具？（直接寫出答案即可）品種高檔中檔低檔價格/元201510專題2.4二元一次方程組全章十類必考壓軸題【人教版】必考點1必考點1由方程組的錯解問題求參數的值1．（2022秋·廣西崇左·七年級統(tǒng)考期末）甲、乙兩人同解方程組ax+by=2,①cx?3y=4．②，甲因看錯c的值解得方程組解為x=1y=1，乙求得正確的解為x=2y=?2，求a，b【答案】a=1.5b=0.5【分析】根據x=1y=1是方程①的解，代入可得關于a、b的方程，根據x=2y=?2是方程組的解，把解代入ax+by=2,①cx?3y=4．②【詳解】解：把x=1y=1代入方程①，把x=2a+b=2??①2a?2b=2??②①×2得2a+2b=4

④④+②得4a=6，a=1.5.把a=1.5代入①1得1.5+b=2，b=0.5，解③得c=?1，故答案為：a=1.5b=0.5【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，把解代入，得出關于a、b、c的方程組，代入消元法，得出答案．2．（2022春·浙江寧波·七年級?？计谥校┘?、乙兩人共同解方程組ax?by=?112①ax+by=5②，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為x=2y=3，乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為x=3y=2【答案】a=?12【分析】把x=2y=3代入②中，把x=3y=2代入①中，聯立方程求解可得到a，【詳解】根據題意得：2a+3b=53a?2b=?解得：a=?1∴a2021=a?a=a?(ab)=?1=?【點睛】本題主要考查積的乘方，解二元一次方程組，解答本題的關鍵是對相應知識的掌握與運用．3．（2022春·河南安陽·七年級統(tǒng)考期中）在解二元一次方程組ax+by=17cx?y=5時，甲同學因看錯了b的符號，從而求得解為x=4y=3，乙同學因看錯了c，從而求得解為x=3y=2【答案】8【分析】根據方程組解的定義得出關于a，b，c的方程，求出a，b，c的值即可解決問題．【詳解】解：∵甲同學因看錯了b的符號，從而求得解為x=4y=3∴4a?3b=17①4c?3=5②由②得：c＝2，∵乙同學看錯了c，求得解為x=3y=2∴3a+2b=17③，①×2＋②×3得：17a＝85，解得：a＝5，把a＝5代入①得：20－3b＝17，解得：b＝1，∴a+b+c=5+1+2=8．【點睛】本題考查二元一次方程解的定義，解二元一次方程組，將甲、乙二人的解正確代入方程得到關于a、b、c的方程是求解本題的關鍵．4．（2022秋·重慶·八年級重慶一中?？计谥校┘?、乙兩同學同時解方程組mx?3y=12①6x+ny=?5②，甲看錯了方程①中的m，得到的方程組的解為x=?2y=1，乙看錯了方程②中的【答案】x=【分析】把x=?2y=1代入方程組第二個方程求出n的值，把x=4y=4【詳解】解：mx?3y=12把x=?2y=1代②得：-12+n=-5，即n把x=4y=43代入①得：4m故方程組為4x?3y=12③③×3-②×2得：-23y=46，即y=-2，把y=-2代入③得：x=32則方程組的解為x=3【點睛】本題考查的是二元一次方程的解，解答此題關鍵是將每一個解代入沒有看錯的方程中，分別求m、n的值，再解方程組即可．5．（2022春·江蘇常州·七年級?？计谥校┘?、乙兩人解方程組4x?by=?1ax+by=5,甲因看錯a,解得x=2y=3,乙將其中一個方程的b寫成了它的相反數,解得【答案】a=-2,b=3.【分析】根據二元一次方程組的解的定義，將x=2，y=3分別代入4x-by=-1，可以求出b的值，再將x=-1，y=-2代入求出a的值，據此即可得解．【詳解】解：由于甲看錯了方程組4x?by=?1①ax+by=5②將這組解代入①,可得4×2-3b=-1，解得：b=3，又因為乙將其中一個方程的b寫成了它的相反數，即方程組變?yōu)?x?by=?1①ax?by=5所以①-②消去b和y，得4x-ax=-6，把乙解得的結果x=?1y=?2可得-4+a=-6，求解可得a=-2，即a=-2，b=3.【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解的定義及解一元一次方程，理解題意是解題的關鍵.必考點2必考點2根據方程組解的個數求參數或參數取值范圍1．（2022春·浙江·七年級期中）已知關于x、y的二元一次方程組3x+5y=63x+ky=10給出下列結論：當k=5時，此方程組無解；若此方程組的解也是方程6x+15y=16的解，則k=10；無論整數k取何值，此方程組一定無整數解（x、y均為整數），其中正確的個數是（

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】①將k=5代入，得到方程組3x+5y=63x+5y=10，求解即可做出判斷；②解方程組3x+5y=63x+10y=10得：x=23y=45，把x=23，y=【詳解】解：∵當k=5時，方程組為3x+5y=63x+5y=10∵解方程組3x+5y=63x+10y=10得：x=把x=23，y=4∵解方程組3x+5y=63x+ky=10得：x=2?又∵k為整數，若y是整數，則k?5=4，?4，2，?2，1，?1此時x不是整數，∴x、y不能均為整數，故③正確．故選：D．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數的值．2．（2022春·浙江寧波·七年級?？计谥校┤絷P于x，y的方程組x?y=2mx+y=6有非負整數解，則正整數m為（

A．0，1 B．1，3，7 C．0，1，3 D．1，3【答案】D【分析】根據y的系數互為相反數，利用加減消元法求出方程組的解，再根據解為非負整數列出不等式組求出m的取值范圍，然后寫出符合條件的正整數即可．【詳解】x?y=2①+②得，解得：x=8將x=8m+1代入①得，解得：y=6?2m∵方程組得解為非負整數，∴8m+1解不等式①得：m＞解不等式②得：m≤3，∴?1＜∵x，y是整數，∴m+1是8的因數，∴正整數m是1，3故選：D【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解，解一元一次不等式，根據非負整數解列出不等式組求出m的取值范圍是解題的關鍵，要注意整數的限制條件．3．（2022秋·廣東江門·八年級新會陳經綸中學?？计谥校┓匠蘺=2x+ky=(k2【答案】?3【分析】利用消元法可得(k【詳解】解：y=2x+k①將②代入①得：(k解得(k∵方程y=2x+ky=(∴k利用平方根解得k=±3，當k=3時，方程為y=2x+3，有無數組解，不符題意，舍去；當k=?3時，可知方程(k綜上，實數k的值為?3，故答案為：?3．【點睛】本題考查了二元一次方程組無解、利用平方根解方程等知識點，熟練掌握消元法是解題關鍵．4．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┮阎P于x、y的方程組2x?y=?1x+2y=5a?8(1)用含有字母a的代數式表示x和y；(2)求a的取值范圍；(3)已知2a?b=1，求a+b的取值范圍．【答案】(1)x=a?2，y=2a?3(2)a≥2(3)a+b≥5【分析】（1）將a當做已知，解方程組即可；（2）根據解為非負數得到關于a的不等式組，求解即可；（3）由2a?b=1可得a=1+b2，結合【詳解】（1）解：2x?y=?1①?2×②可得：?5y=?1?10a+16，解得：y=2a?3將y=2a?3代入①中可得：2x?2a?3解得：x=a?2∴x=a?2，y=2a?3（2）因為關于x、y的方程組2x?y=?1x+2y=5a?8可得：a?2≥02a?3≥0解得：a≥2；（3）由2a?b=1，可得：a=1+b可得：1+b2解得：b≥3，∵a≥2，∴a+b≥5．【點睛】本題考查了解二元一次方程組和不等式組，靈活運用所學知識是解題的關鍵．5．（2022春·七年級課時練習）當m，n為何值時，方程組{（1）有唯一解；（2）有無數多個解：（3）無解【答案】（1）m≠6；（2）m=6,n=10；（3）m=6,n≠10【分析】先把①變形得到x=5?3y，代入②使方程變?yōu)橹缓瑈的一元一次方程，根據y的系數討論方程組（1）有唯一一組解；（2）有無窮多組解；（3）無解時m，n的取值即可．【詳解】解：解方程組{由①變形得到x=5?3y代入②得到2(5?3y)+my=n，∴(m?6)y=n?10，（1）當（m-6）≠0，即m≠6，方程有唯一解y=將此y的值代入x=5?3y中，得：x＝5m+3n?60m?6（2）當(m?6)＝0且n?10＝0時，即m=6,n=10時，方程有無窮多個解，因此原方程組有無窮多組解；（3）當(m?6)＝0且n?10≠0時，即m=6,n≠10時，方程無解，因此原方程組無解．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的解法，方程組中未知數的系數較小時可用代入法，當未知數的系數相等或互為相反數時用加減消元法較簡單．必考點3必考點3構造二元一次方程組求解1．（2022春·浙江·七年級期末）對于實數x，y，定義新運算x?y=ax+by+1，其中a，b為常數，等式右邊為通常的加法和乘法運算，若3?5=15，4?7=28，則5?9=（

）A．40 B．41 C．45 D．46【答案】B【分析】根據定義新運算列出二元一次方程組即可求出a和b的值，再根據定義新運算公式求值即可．【詳解】解：∵x?y=ax+by+1，3?5=15，4?7=28，∴15=3a+5b+1解得：a=?37∴5?9=?37×5+25×9+1=41故選B．【點睛】此題考查的是定義新運算和解二元一次方程組，掌握定義新運算公式和二元一次方程組的解法是解決此題的關鍵．2．（2022春·湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期中）在信息加密傳輸中，發(fā)送方將明文加密成密文傳輸給接收方，接收方收到密文后解密還原為明文，若某種加密規(guī)則為：明文m、n對應的密文為m?3n，2m+3n．例如：明文1、2對應的密文是?5、8．當接收方收到密文是6、3，則解密后得到的明文是_____________．【答案】3，－1【分析】明文m、n對應的密文為m-3n，2m+3n，當接收方收到密文是6、3時，實際就是轉化為二元一次方程組求解問題．【詳解】解：由題意，可得m?3n=62m+3n=3解得：m=3n=?1故答案為：3，-1．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，關鍵是理解題意知道傳送密碼和接收密碼的關系列出二元一次方程組求解．3．（2022春·浙江·七年級期中）已知關于x，y的二元一次方程m+1x+2m﹣1y+2﹣m=0【答案】x=?1【分析】將方程整理成關于m的一元一次方程，若無論實數m取何值，此二元一次方程都有一個相同的解，則與m無關，從而令m的系數為0，從而得關于x和y的二元一次方程組，求解即可．【詳解】將（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，因為無論實數m取何值，此二元一次方程都有一個相同的解，所以x+2y?1=0x?y+2=0解得：x=?1y=1故答案為：x=?1y=1【點睛】考查了含參數的二元一次方程有相同解問題，解題關鍵是利用轉化思想．4．（2022春·福建龍巖·七年級?？计谥校o論k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，則x，y要滿足的條件是__________．【答案】x=?4【分析】將等式移項，然后根據等式恒成立得出關于x，y的二元一次方程組，解方程組即可．【詳解】解：∵2x+3y?1?2k∴2x+3y?1=2k∵無論k取何值，等式2x+3y?1?2k∴2x+3y?1=0?4y+x+16=0解得：x=?4y=3故答案為：x=?4y=3【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，根據題意得出關于x，y的二元一次方程組是解答本題的關鍵．5．（2022秋·重慶榮昌·八年級?？计谥校┤粢粋€四位正整數abcd滿足：a+c=b+d，我們就稱該數是“交替數”，如對于四位數3674，∵3+7=6+4，∴3674是“交替數”，對于四位數2353，∵2+5≠3+3，∴2353不是“交替數”．（1）最小的“交替數”是________，最大的“交替數”是__________．（2）判斷2376是否是“交替數”，并說明理由；（3）若一個“交替數”滿足千位數字與百位數字的平方差是12，且十位數字與個位數的和能被6整除．請求出所有滿足條件的“交替數”．【答案】（1）1001，9999；（2）是，理由見解析；（3）滿足條件的“交替數”是4224或4257．【分析】（1）根據新定義，即可得出結論；（2）根據新定義，即可得出結論；（3）根據題意知a+ba?b=12×1=6×2=4×3，求得a和b的值，再根據題意c+d是6的倍數，結合【詳解】（1）根據題意：一個四位正整數abcd滿足：a+c=b+d，我們就稱該數是“交替數”，最小的正整數是1，最大的正整數是9，∵1+0=0+1，9+9=9+9，∴最小的“交替數”是1001，最大的“交替數”是9999，故答案為：1111，9999；（2）是，理由如下：∵2+7=3+6，∴2376是“交替數”；（3）設這個“交替數”為abcd，k為正整數，依題意得：a2?b2=12由a2?b2=12，知a+b即a+b=12a?b=1或a+b=6a?b=2或解得：a=132b=112∵1≤c≤9，1≤d≤9，2≤c+d=6k≤18，∴k取1或2或3，當k取1時，即c+d=6，a=4，b=2，∵a+c=b+d，即4+c=2+d，即c?d=?2，∴c+d=6c?d=?2解得：c=2d=4∴“交替數”是4224；當k取2時，即c+d=12，a=4，b=2，∵a+c=b+d，即4+c=2+d，即c?d=?2，∴c+d=12c?d=?2解得：c=5d=7∴“交替數”是4257；當k取3時，即c+d=18，a=4，b=2，∵a+c=b+d，即4+c=2+d，即c?d=?2，∴c+d=18c?d=?2解得：c=8d=10綜上，滿足條件的“交替數”是4224或4257．【點睛】本題主要考查了新定義，倍數問題，二元一次方程的整數解的求解，平方差公式的應用，理解新定義是解本題的關鍵．必考點4必考點4整體思想解二元一次方程組1．（2022春·江蘇南通·七年級?？计谥校┮阎P于x，y的方程組a1x+b1y=c1a2x+bA．m=3n=2 B．m=3n=4 C．m=4n=2【答案】C【分析】先將關于m,n的方程組變形為a12m?4+b1【詳解】解：關于m,n的方程組可變形為a1由題意得：2m?4=4n?1=1解得m=4n=2故選：C．【點睛】本題考查了求二元一次方程組的解，正確發(fā)現兩個方程組之間的聯系是解題關鍵．2．（2022春·浙江杭州·七年級?？计谥校┮阎獂+2y=?4m2x+y=2m+1，若x?y=7，則m的值為（）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】A【分析】解法一：先將m當作已知數，求解二元一次方程組，然后利用x?y=7求出m的值即可；解法二：用②-①可得x?y=6m?1，然后利用x?y=7求出m的值即可．【詳解】解：x+2y=?4m解法一：由①×2?②，得解得y=?10m?1把y=?10m?13代入①得∵x?y=7，∴8m+23所以m=1，解法二：②?x?y=6m+1，∵x?y=7，∴6m+1=7，∴m=1．故答案為：A．【點睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是解答本題的關鍵．3．（2022·浙江杭州·七年級期中）已知方程組a1x+y=c1a2x+y=c2【答案】x＝2【分析】根據方程組解的定義，把x＝5，y＝10代入即可得出a1，a2，c1，c2的關系，再代入計算即可．【詳解】解：∵方程組a∵解為：x＝5，y＝10，∴5a∴5∵3a∴3a①?②，得3a1x?3a2x＝6a1?6a2，∴x＝2，把x＝2代入①得，y＝5，∴方程組3a1x+2y故答案為：x=【點睛】本題考查了解二元一次方程組，掌握方程組的解法是解題的關鍵．4．（2022春·山東德州·七年級統(tǒng)考期末）已知關于x、y的方程組{mx+ny=72mx?3ny=4的解為{x=1【答案】11【分析】將x=1，y=2代入方程組，可得關于m與n的方程組，相加即可得到答案．【詳解】解：∵關于x，y的方程組{mx+ny=72mx?3ny=4的解為∴{m+2n=7①+②得：3m-4n=11，故答案為：11．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，代數式求值，解決問題的關鍵是熟練掌握方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數的值，用特殊方法解方程組求代數式求值．5．（2022春·重慶璧山·七年級校聯考期中）閱讀材料：善于思考的李同學在解方程組3m解：把m+5，n+3成一個整體，設m+5=x，解得：x=1y=2．∴m(1)若方程組2x?3y=45(2)仿照李同學的方法，用“整體換元”法解方程組3x【答案】(1)a(2)x【分析】（1）根據題意所給材料可得出a+（2）根據題意所給材料可令m=x+y，n=x?y，則原方程組可化為3m?解得：m=2815【詳解】（1）∵方程組2x?3y∴a+解得：a=（2）對于3x+y則原方程組可化為3m?解得：m=∴x+解得：x=【點睛】本題考查二元一次方程組的特殊解法—“整體換元法”．讀懂題干，理解題意，掌握“整體換元法”的步驟是解題關鍵．6．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·七年級景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┙夥匠探M：（1）43x?2y（2）3x+my=5x+2y=n（3）2x1+【答案】（1）x=411y=122；（2）當m≠6【分析】（1）設13x?2y=a，12x?5y=b，方程組變形為關于a與b的方程組，求出解得到a與b的值，即可求出（2）利用加減消元法求解即可；（3）先求出x1+x2+【詳解】解：（1）43x?2y解：設13x?2y=a，12x?5y①×2+②×3得：23a=23，則a=1，把a=1代入①得：b=2，則3x?2y=12x?5y=12①×5-②得：11x=4，即x=4把x=411代入①得：經檢驗，方程組的解為x=4（2）3x+my=5①①－②×3，得(m?6)y=5?3n，當m≠6時，y=5?3n將y=5?3nm?6代入②，得解得x=mn?10∴當m≠6時，原方程組的解為x=mn?10（3）2x①+②+③+④+⑤，得6x則x1④-⑥，得x4⑤-⑥，得x5∴2x【點睛】此題主要考查了解二元一次方程組，利用了換元的思想，熟練加減消元法與代入消元法是解本題的關鍵．必考點5必考點5二元一次方程組之行程問題1．（2022秋·江蘇無錫·七年級校聯考期末）某景區(qū)游船碼頭派車原定于8點整準時到達景區(qū)入口接工作人員，由于汽車在路上因故障導致8:10時車還未到達景區(qū)入口，于是工作人員步行前往碼頭.走了一段時間后遇到了前來接他的汽車，他上車后汽車立即掉頭繼續(xù)前進.到達碼頭時已經比原計劃遲到了20min.已知汽車的速度是工作人員步行速度的6倍，則汽車在路上因故障耽誤的時間為____min【答案】24.【分析】正常8：00到景區(qū)，出故障后，耽誤t分鐘，8點t分到景區(qū)，他在景區(qū)等了10分鐘，車沒來，就走了a分鐘，在8點（10+a）分時遇到了車，他走a分鐘的路程，車走a6分鐘就走完，也就是在8點（t-a6）時遇到了車，得出關系式10+a=t-正常時從景區(qū)到碼頭用b分鐘，在他遇到車的地點到景區(qū)要（b-a6）分鐘，也就是8點（t-a6+b-a6）分鐘到景區(qū)，已知他是8點（b+20）分到的，得出關系式t-a【詳解】正常8：00準時到達景區(qū)入口，汽車在路上因故障，耽誤t分鐘，8點t分到達景區(qū)入口，工作人員步行前往碼頭.走了10分鐘，車沒來，就走了a分鐘，在8點（10+a）分時遇到了車；工作人員走a分鐘的路程，車走a6分鐘就走完，也就是在8點（t-a6）時遇到了車，有10+a=t-t=10+7a6正常時從景區(qū)到碼頭用b分鐘，在他遇到車的地點到景區(qū)要（b-a6也就是8點（t-a6+b-a已知他是8點（b+20）分到的，所以有t-a6+b-at-a3由①②解得：a=12，t=24.則汽車在路上因故障耽誤的時間為24min.故答案為24.【點睛】此題主要考查了二元一次方程的應用，依據題意得出汽車晚到景區(qū)的時間具體原因以及汽車所晚的20分鐘具體原因得出等量關系是解決問題的關鍵.2．（2022秋·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）甲從A地出發(fā)步行到B地，乙同時從B地步行出發(fā)至A地，2小時后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小時．若設甲剛出發(fā)時的速度為a千米/小時，乙剛出發(fā)的速度為b千米/小時．（1）A、B兩地的距離可以表示為千米（用含a，b的代數式表示）；（2）甲從A到B所用的時間是：小時（用含a，b的代數式表示）；乙從B到A所用的時間是：小時（用含a，b的代數式表示）．（3）若當甲到達B地后立刻按原路向A返行，當乙到達A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小時36分鐘又再次相遇，請問AB兩地的距離為多少？【答案】（1）2（a+b）；（2）（2+2ba+1）；（2+2a【分析】（1）根據兩地間的距離=兩人的速度之和×第一次相遇所需時間，即可得出結論；（2）利用時間=路程÷速度結合2小時后第一次相遇，即可得出結論；（3）設AB兩地的距離為S千米，根據路程=速度×時間，即可得出關于（a+b），S的二元一次方程組（此處將a+b當成一個整體），解之即可得出結論．【詳解】（1）A、B兩地的距離可以表示為2（a+b）千米．故答案為：2（a+b）．（2）甲乙相遇時，甲已經走了2a千米，乙已經走了2b千米，根據相遇后他們的速度都提高了1千米/小時，得甲還需2ba+1小時到達B地，乙還需2a所以甲從A到B所用的時間為（2+2ba+1）小時，乙從B到A所用的時間為（2+2a故答案為：（2+2ba+1）；（2+2a（3）設AB兩地的距離為S千米，3小時36分鐘＝185依題意，得：S=2(a+b)2S=令x＝a+b，則原方程變形為S=2x2S=解得：x=18S=36答：AB兩地的距離為36千米．【點睛】本題考查了列代數式以及二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．3．（2022春·湖南益陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，中國海監(jiān)船46，49在距離釣魚島220海里處，已知兩船的航速如下表所示：最大航速經濟航速海監(jiān)4616節(jié)14節(jié)海監(jiān)4915.2節(jié)14.5節(jié)其中，一節(jié)等于1海里/時，如果海監(jiān)46先以經濟航速行駛若干小時后以最大航速沿圖中箭頭方向航線行駛至釣魚島，共行駛時間15小時，海監(jiān)49比海監(jiān)46遲出發(fā)半小時，以最大航速沿同一路線駛向釣魚島．問：(1)兩船誰先到達釣魚島？說明理由；(2)海監(jiān)46經濟航行和最大航速航行各多少小時？(3)設海監(jiān)46航行時間為t，求兩海監(jiān)船之間的距離S與t之間的函數關系式．【答案】(1)海監(jiān)49先到，見解析(2)海監(jiān)46經濟航速航行和最大航速航行時間分別是10小時和5小時(3)S=【分析】（1）求出海監(jiān)49到達釣魚島所用的時間，再比較，即可求解；（2）設海監(jiān)46經濟航速航行和最大航速航行時間分別是x小時，y小時，根據題意，列出方程組，即可求解；（3）先求出監(jiān)46出發(fā)193（1）解：海監(jiān)49先到．∵220÷15.2+0.5=569∴海監(jiān)49先到．（2）解：設海監(jiān)46經濟航速航行和最大航速航行時間分別是x小時，y小時，則由題意得：x+y=15，14x+16y=220，答：海監(jiān)46經濟航速航行和最大航速航行時間分別是10小時和5小時．（3）解：設在海監(jiān)46出發(fā)a小時，海監(jiān)49號追上海監(jiān)46，則由題意得：14a=15.2解得a=當0≤t≤0.5時，S=14t．當0.5≤t≤193時，當193<t≤10時，當10<t≤56938時，當56938<t≤15時，綜上S與t的函數關系式為：S=14t【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，列函數關系式，一元一次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．4．（2022春·河南新鄉(xiāng)·七年級?？计谥校┮涣锌燔囬L230米，一列慢車長220米，若兩車同向而行，快車從追上慢車時開始到離開慢車，需90秒鐘；若兩車相向而行，快車從與慢車相遇時到離開慢車，只需18秒鐘，問快車和慢車的速度各是多少？【答案】快車的速度是15米/秒，慢車的速度是10米/秒.【分析】設快車的速度是x米/秒，慢車的速度是y米/秒，根據題意列方程組求解即可.【詳解】設快車的速度是x米/秒，慢車的速度是y米/秒，90x?90y=220+23018x+18y=220+230解得x=15y=10答：快車的速度是15米/秒，慢車的速度是10米/秒.【點睛】此題考查二元一次方程組的實際應用，正確理解行程中的相遇問題與追及問題是解題的關鍵.5．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，一段鐵路的示意圖，AB段和CD段都是高架橋，BC段是隧道．已知AB=1500m，BC=300m，CD=2000m，在AB段高架橋上有一盞吊燈，當火車駛過時，燈光可垂直照射到車身上，已知火車甲沿AB方向勻速行駛，當火車甲經過吊燈時，燈光照射到火車甲上的時間是10s，火車甲通過隧道的時間是20s，如果從車尾經過點A時開始計時，設行駛的時間為xs，車頭與點B的距離是ym．（1）火車甲的速度和火車甲的長度（2）求y關于x的函數解析式（寫出x的取值范圍），并求當x為何值時，車頭差500米到達D點．（3）若長度相等的火車乙以相同的速度沿DC方向行駛，且火車甲乙不在隧道內會車（會車時兩車均不在隧道內），火車甲先進隧道，當火車甲的車頭到達A點時，火車乙的車頭能否到達D點？若能到達，至多駛過地點多少？若不能到達，至少距離D點多少m？【答案】（1）火車甲的速度是30m/s，火車甲的長是300m；（2）y=1200?30x(x≤40)30x?1200(x>40)，x=100；（3）火車乙車頭不能到達D點，至少距離D【分析】（1）設火車甲的速度是am/s，火車甲的長是bm，由題意列出方程組，解方程組即可；（2）由題意，可分為：當車頭到達B點前；當車頭在B點時；當車頭經過B點后；分別求出解析式，即可得到答案；（3）根據題意，找出等量關系，列出等式進行解題即可．【詳解】解：（1）設火車甲的速度是am/s，火車甲的長是bm由題意得10a=b解得a=30答：火車甲的速度是30m/s，火車甲的長是300m（2）當車頭到達B點前，即x<40時，y=1500?300?30x=1200?30x當車頭在B點時，y=0；當車頭經過B點后，即x>40時y=(x?40)×30=30x?1200綜上y=當車頭差500米未到達D點時，y=1800，即30x?1200=1800解得x=100∴當x=100時，車頭差500米未到達D點；（3）火車甲從車頭到達A點，到車尾離開隧道，共用時(1500+300+300)÷30=70(s)，因此要使兩列火車不在隧道內會車，則當火車甲車頭到達A點時，火車乙的車頭距C點至少要有70s的車程，也就是70×30=2100m∵2100?2000=100∴當火車甲車頭到達A點時，火車乙車頭不能到達D點，至少距離D點100m；【點睛】本題考查了一次函數的應用，二元一次方程組的應用，解二元一次方程，解題的關鍵是掌握題意，找出等量關系，從而進行解題．必考點6必考點6二元一次方程組之工程問題1．（2022春·安徽蕪湖·七年級?？计谀┳詠硭畯S的供水池有7個進出水口，每天早晨6點開始進出水，且此時水池中有水15%，在每個進出水口是勻速進出的情況下，如果開放3個進口和4個出口，5小時將水池注滿；如果開放4個進口和3個出口，2小時將水池注滿．若某一天早晨6點時水池中有水24%，又因為水管改造，只能開放3個進口和2個出口，則從早晨6點開始經過____小時水池的水剛好注滿．【答案】3817【分析】設每個進水口每小時進水量為x，每個出水口每小時出水量為y，根據題意，可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再將其代入1?24%3x?2y【詳解】設每個進水口每小時進水量為x，每個出水口每小時出水量為y，依題意，得：53x?4y解得：x=0.17y=0.085∴1?24%3x?2y故答案為：3817【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．2．（2022春·重慶·八年級統(tǒng)考期末）今年4月23號，位于重慶兩江新區(qū)的光環(huán)購物公園隆重開業(yè)。該購物公園最具吸引力的就是建跨7層，擁有42米立體垂直景觀的“沐光森林”植物園．假設該植物園擁有6個出入口，每個出入口都是單向的且在單位時間內每個入口和出口經過的游客數量是一定的；并且植物園的最大承載游客數量也是固定的．由于疫情防控和現場安全的原因，目前植物園對外開放最大可承載游客量為設計數量的90％．假設植物園每天早上九點開始接待游客，若開放5個入口，1個出口，2個小時游客數量就將飽和；若開放3個入口，3個出口，4個小時游客數量將達到飽和．開業(yè)當天由于人流量激增，為了安全起見僅開放了2個入口，4個出口，且開業(yè)當天游客最大承載量定為總設計可承載人數的84％．請問從早上9點開始，經過________小時植物園游客數量達到飽和．【答案】112【分析】設每個入口1小時進入x人，每個出口1小時外出y人，植物園的設計容量為a．根據題中給出的兩個等量關系，列出方程組，求出x，y的值，從而可計算出開放2個入口，4個出口且承載量為設計可承載人數的84%時的飽和時間．【詳解】解：設每個入口1小時進入x人，每個出口1小時外出y人，植物園的總設計承載人數為a人．根據題意，得，2解得，x=∴84%a÷故答案為：112【點睛】本題考查了二元一次方程組的實際應用，找出題目蘊含的等量關系列出方程組是解題的關鍵．3．（2022春·新疆烏魯木齊·七年級統(tǒng)考期末）綿陽中學為了進一步改善辦學條件，決定計劃拆除一部分舊校舍，建造新校舍．拆除舊校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，計劃在年內拆除舊校舍與建造新校舍共9000平方米，在實施中為擴大綠化面積，新建校舍只完成了計劃的90%而拆除舊校舍則超過了計劃的10%，結果恰好完成了原計劃的拆、建總面積．(1)求原計劃拆、建面積各是多少平方米？(2)若綠化1平方米需要200元，那么把在實際的拆、建工程中節(jié)余的資金全部用來綠化，可綠化多少平方米？【答案】（1）原計劃拆建各4500平方米；（2）可綠化面積1620平方米．【分析】（1）等量關系為：計劃在年內拆除舊校舍面積+計劃建造新校舍面積=9000平方米，計劃建造新校舍面積×90%+計劃拆除舊校舍面積×（1+10%）=9000平方米．依等量關系列方程，再求解．（2）先算出計劃的資金總量和實際所用的資金總量，然后算出節(jié)余的錢，那么可求可綠化的面積．【詳解】解：(1)由題意可設拆舊舍x平方米，建新舍y平方米，則x+y=9000,解得x=4500,答：原計劃拆建各4500平方米．(2)計劃資金y1＝4500×80＋4500×800＝3960000（元），實用資金y2＝1.1×4500×80＋0.9×4500×800＝4950×80＋4050×800＝396000＋324000＝3636000（元），∴節(jié)余資金：3960000－3636000＝324000（元），∴可建綠化面積＝324000200答：可綠化面積1620平方米．【點睛】要分別區(qū)分出計劃和實際所對應的工作面積，然后列出方程組．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．4．（2022春·山東菏澤·七年級期末）一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元．(1)甲、乙兩組工作一天，商店應各付多少元；(2)已知甲單獨完成需12天，乙單獨完成需24天，單獨請哪個組，商店所需費用少？(3)若裝修完后，商店每天可盈利200元，現有如下三種方式裝修：①甲單獨做；②乙單獨做；③甲乙合做，你認為如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）問的條件及結論）【答案】(1)甲組工作一天，商店應付300元，乙組工作一天，商店應付140元(2)單獨請乙組，商店所需費用少(3)安排甲乙合作施工更有利于商店【分析】（1）根據題意建立方程組并求解；（2）將單獨請甲乙組的費用計算出來，再進行比較，得出答案；（3）將三種方案損失費用計算出來進行比較，得出答案．【詳解】（1）設甲組工作一天，商店應付x元，乙組工作一天，商店應付y元，依題意得：8x+8y=35206x+12y=3480解得：x=300y=140答：甲組工作一天，商店應付300元，乙組工作一天，商店應付140元．（2）300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）．∵3600＞3360，∴單獨請乙組，商店所需費用少．（3）選擇①：（300+200）×12＝6000（元）；選擇②：（140+200）×24＝8160（元）；選擇③：（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴安排甲乙合作施工更有利于商店．【點睛】本題考查了二元一次方程組的實際運用，熟練掌握方程組的實際運用是本題解題關鍵．5．（2022春·重慶巴南·八年級統(tǒng)考期末）面對某國不斷對我國的打壓，我國自主品牌抗住壓力．以華為手機為例，今年一月份我國某工廠用自主創(chuàng)新的A、B兩種機器人組裝某款華為手機，每小時一臺A種機器人比一臺B種機器人多組裝50個該款華為手機，每小時10臺A種機器人和5臺B種機器人共組裝3500個該款華為手機．（1）今年一月份，該工廠每小時一臺A種機器人、一臺B種機器人分別能組裝多少個該款華為手機？（2）該工廠原有A、B兩種機器人的數量相等，因市場銷售火爆，二月份該工廠增加了一部分A種機器人并淘汰了一部分B種機器人，這樣A種機器人的數量增加了2m%，B種機器人數量減少了m%．同時，該工廠對全部A種機器人進行了升級改造，升級改造后的機器人命名為C種機器人，已知每小時一臺C種機器人組裝該款華為手機的數量比原一臺A種機器人組裝該款華為手機的數量增加了15，每小時C種機器人和B種機器人組裝該款華為手機的數量之和比A種機器人和B種機器人組裝該款華為手機的數量之和提高了20%，求m【答案】（1）A種機器人每小時組裝250個該款華為手機，B種機器人每小時組裝200個該款華為手機；（2）m的值為6.25．【分析】（1）設A種機器人每小時組裝a個該款華為手機，B種機器人每小時組裝b個該款華為手機，列出方程組解答即可；（2）根據“每小時C種機器人和B種機器人組裝該款華為手機的數量之和比A種機器人和B種機器人組裝該款華為手機的數量之和提高了20%”題意列出方程解答即可．【詳解】解：（1）設A種機器人每小時組裝a個該款華為手機，B種機器人每小時組裝b個該款華為手機，則a=b+50解得：a=250b=200答：A種機器人每小時組裝250個該款華為手機，B種機器人每小時組裝200個該款華為手機；（2）設該工廠原有A、B兩種機器人的數量為a臺，則A種機器人的數量為（1+2m%）a，B種機器人的數量為（1?m%）a，每小時一臺C種機器人組裝250(1+15根據題意得：3001+2m%設m%=x，方程整理得：300+600x+200?200x=300+240?240x，即640x=40，解得：x=0.0625，∴m=6.25．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出相應的方程組．必考點7必考點7二元一次方程組之商品經濟問題1．（2022春·河南信陽·七年級河南省淮濱縣第一中學?？计谀┬∶魅ノ木叩曩徺I了筆和本子共5件，已知兩種文具的單價均為正整數且本子的單價比筆的單價貴．在付賬時，小明問是不是27元，但收銀員卻說一共48元，小明仔細看了看后發(fā)現自己將兩種商品的單價記反了．小明實際的購買情況是（

）A．1支筆，4本本子 B．2支筆，3本本子C．3支筆，2本本子 D．4支筆，1本本子【答案】A【分析】設購買了筆x件，購買了本子(5-x)件，本子的單價為a元，筆的單價為b元，分類討論解方程即可．【詳解】解：設購買了筆x件，購買了本子(5-x)件，本子的單價為a元，筆的單價為b元，列方程組得bx+a(5?x)=48ax+b(5?x)=27當x=1時，原方程組為b+4a=48a+4b=27，解得a=11當x=2時，原方程組為2b+3a=482a+3b=27，解得a=18當x=3時，原方程組為3b+2a=483a+2b=27，解得a=?3當x=4時，原方程組為4b+a=484a+b=27，解得a=4故選：A．【點睛】本題考查了含參數的二元一次方程組的應用，解題關鍵是理解題意，找出等量關系，列出方程組，分類討論解方程組．2．（2022春·重慶銅梁·七年級統(tǒng)考期末）端午節(jié)臨近，某超市熱銷A、B、C三種粽子，其中其每千克B種粽子的成本價比每千克A種粽子的成本價高50%，每千克C種粽子的成本價是每千克A種粽子的成本價的2倍．最近，超市打算將三種粽子混裝配成甲、乙、丙三種禮品盒進行銷售（禮品盒的盒子成本價不計）．其中甲禮品盒有A種粽子3千克、B種粽子2千克、C種粽子2千克；乙禮品盒有A種粽子2千克、B種粽子3千克、C種粽子3千克；丙禮品盒有A種粽子4千克、B種粽子2千克、C種粽子4千克．銷售時，每個丙禮品盒在成本價基礎上提高13【答案】33【分析】設A粽子每千克成本為a元，則可分別表示B、C兩種粽子每千克的成本，從而可表示三種禮品盒的成本及利潤；再設這天售出甲禮品盒x個，乙禮品盒y個，則可得丙禮品盒的個數，根據題意列出方程，求出未知數即可．【詳解】設A粽子每千克成本為a元，則粽子每千克的成本為1.5a元，C粽子每千克成本為2a元；則甲禮品盒成本為3a+2×1.5a+2×2a=10a(元)，利潤為：20%乙禮品盒成本為2a+3×1.5a+3×2a=12.5a(元)，利潤為：20%丙禮品盒成本為4a+2×1.5a+4×2a=15a(元)，利潤為：13設這天售出甲禮品盒x個，乙禮品盒y個，則丙禮品盒售出（25-x）個，由題意得：2ax+2.5ay+5a(25?x)=25%∵a≠0，∴方程兩邊除以a，并整理得：14x+5y=250，∴y=50?14∵甲禮品盒不低于12個，∴x只能取15，此時y=8，∴該超市當天售出甲禮品盒15個，乙禮品盒8個，則丙禮品盒售出10個，共售出33個．故答案為：33．【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，理解題意，正確列出方程是關鍵．3．（2022春·重慶巴南·七年級統(tǒng)考期末）某街道為了綠化一塊閑置空地，購買了甲、乙兩種樹木共72棵種植在這個空地上，購買時，已知甲種樹木的單價是乙種樹木的單價的98(1)甲、乙兩種樹木各購買了多少棵？(2)經過一段時間后，種植的這批樹木成活率高，綠化效果好，該街道決定再次購買這兩種樹木來綠化另一塊閑置空地，購買時，發(fā)現甲種樹木的單價比第一次購買時的單價下降了a50，乙種樹木的單價比第一次購買時的單價下降了110，于是，該街道購買甲種樹木的數量比第一次多了15，購買乙種樹的數量比第一次多了a50，且購買甲、乙兩種樹木的總費用比第一次多了【答案】(1)甲種樹木購買了40棵，乙種樹木購買了32棵(2)a的值為5【分析】(1)根據題意可得等量關系∶①甲、乙兩種樹木共72棵；②共用去資金6160元，根據等量關系列出方程，再解即可；(2)用a表示出甲種樹木單價，求出乙種樹木單價為72元，再根據總費用比第一次多了0，列出一元-次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設甲種樹木購買了x棵，乙種樹木購買了y棵，由題意得：x+y=729解得∶x=40y=32答∶甲種樹木購買了40棵，乙種樹木購買了32棵；（2）解：由題意得∶甲