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2016年碩士研究生招生考試試題A參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)科目代碼及名稱：822高等代數(shù)適用專業(yè)：070104應(yīng)用數(shù)學(xué)1、（20）如果，求。解設(shè),則，由題設(shè)知，故為與的公因式，從而1為與的公共根，即有解之得2、（20）計算下列級行列式。1)2)解1)將行列式按第行展開,那么.------------------------------------------6由于,,------------------------------8利用上述遞歸關(guān)系,則有,。---------------------102)將行列式進行擴邊,則有(假設(shè),否則另討論)-------------6---------------103、（20）為何值時，線性方程組有解？解時，求一般解.解對增廣矩陣做初等行變換：所以當(dāng)時方程組有解，有無窮多解，這時方程組的一般解為：4、（15）求正交矩陣使成對角形,其中為:1)解：1）由可得的特征值為對應(yīng)的特征向量為將其正交單位化，可得標(biāo)準(zhǔn)正交基為故所求正交矩陣為且5、（15）證明：如果，那么的根只能是零或單位根。證設(shè)是的任一個根，由知，也是的根，即所以也是的根。以此類推下去，則都是的根。若是次多項式，則最多只可能有個相異的根，于是存在使因此的根或者為0，或者為單位根。6、（15）設(shè)是矩陣，有秩，證明：存在可逆矩陣使的后行全為零。證明秩，存在可逆矩陣使得（為階單位矩陣）設(shè)，故7、（15）設(shè)與分別是齊次方程組的解空間，證明：。證由于的解空間是你維的，其基為而由知其解空間是1維的，令則其基為且即為的一組基，從而又，故。8、（15）設(shè)是線性空間上的可逆線性變換.1)證明:的特征值一定不為0;2)證明:如果是的特征值,那么是的特征值.證1)設(shè)可逆線性變換對應(yīng)的矩陣是,則矩陣可逆,的特征多項式為可逆,故又因為的特征值是的全部根,其積為,故的特征值一定不為0.2)設(shè)是的特征值,那么存在非零向量,使得，用作用之，得，于是，即是的特征值。9、（15）證明：正交矩陣的實特征根為.證 設(shè)正交矩陣,是任一實特征值是,

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