解析函數的級數表示法

關于解析函數的級數表示法12復數列收斂的條件那末對于任意給定的就能找到一個正數N,證第2頁,共108頁，2024年2月25日，星期天3從而有所以同理反之,如果第3頁,共108頁，2024年2月25日，星期天4從而有定理一說明:可將復數列的斂散性轉化為判別兩個實數列的斂散性.[證畢]第4頁,共108頁，2024年2月25日，星期天5例4.1

判別下列數列是否收斂？如果收斂，求出其極限：解：先分解，然后分別考察和的極限，再確定數列的收斂性。（1）第5頁,共108頁，2024年2月25日，星期天6（2）（3）故原數列收斂于零。（4）發(fā)散。第6頁,共108頁，2024年2月25日，星期天7例4.2

證明：證：令，有（1）時，，由夾逼定理，可得。第7頁,共108頁，2024年2月25日，星期天8（2）時，，因為和不同時為零，所以（3）時，，（4），，則，，因為與均不存在，所以不存在。第8頁,共108頁，2024年2月25日，星期天94.1.2

級數的概念1.定義表達式稱為復數項無窮級數.級數最前面n

項的和稱為級數的部分和.部分和第9頁,共108頁，2024年2月25日，星期天10收斂與發(fā)散說明:

與實數項級數相同,判別復數項級數斂散性的基本方法是:第10頁,共108頁，2024年2月25日，星期天11定理4.1.3（柯西收斂準則）復級數(4.1）收斂的充要條件為：對任給的，存在正整數，當且為任何正整數時第11頁,共108頁，2024年2月25日，星期天122.復數項級數收斂的條件證因為定理二第12頁,共108頁，2024年2月25日，星期天13說明復數項級數的審斂問題實數項級數的審斂問題(定理二)第13頁,共108頁，2024年2月25日，星期天14解所以原級數發(fā)散.課堂練習第14頁,共108頁，2024年2月25日，星期天15必要條件重要結論:第15頁,共108頁，2024年2月25日，星期天16不滿足必要條件,所以原級數發(fā)散.啟示:判別級數的斂散性時,可先考察?級數發(fā)散;應進一步判斷.第16頁,共108頁，2024年2月25日，星期天173.絕對收斂與條件收斂注意應用正項級數的審斂法則判定.定理三第17頁,共108頁，2024年2月25日，星期天18證由于而根據實數項級數的比較準則,知第18頁,共108頁，2024年2月25日，星期天19由定理二可得[證畢]第19頁,共108頁，2024年2月25日，星期天20非絕對收斂的收斂級數稱為條件收斂級數.說明如果

收斂,那末稱級數

為絕對收斂.定義第20頁,共108頁，2024年2月25日，星期天21所以綜上:第21頁,共108頁，2024年2月25日，星期天22例4.3

判斷下列級數是否收斂：（1）；（2）；解：將級數化為，由兩個實級數的斂散性，確定的收斂性。（1）可化為，發(fā)散。（2）可化為，收斂。第22頁,共108頁，2024年2月25日，星期天23例4.4

下列級數是否收斂？是否絕對收斂？解：（1）可化為，發(fā)散。（2）因，故原級數絕對收斂。第23頁,共108頁，2024年2月25日，星期天24（3）條件收斂，而收斂，故原級數不是絕對收斂。（4）故原級數發(fā)散。第24頁,共108頁，2024年2月25日，星期天25（１）一個絕對收斂的復級數的各項可以任意重排次序，而不致改變其絕對收斂性，亦不致改變其和。（2）兩個絕對收斂的復級數可按對角線方法得出乘積級數。定理4.4第25頁,共108頁，2024年2月25日，星期天264.2冪級數4.2.1復變函數項級數設為一復變函數列，其中各項在區(qū)域D內有定義.表達式

(4.2)稱為復變函數項級數，記作.級數的最前面n項的和稱為級數的部分和.第26頁,共108頁，2024年2月25日，星期天27和函數如果對于D內的某一點，極限存在，則稱級數在收斂，稱為它的和。如果級數在D內處處收斂，則其和是D內的一個和函數：即對任意的，以及給定的，存在正整數，使當時，有第27頁,共108頁，2024年2月25日，星期天28一致收斂性定義4.2.1

對于級數(4.2），如果在點集D上有一個函數，使對任意給定的，存在正整數，當時，對一切的都有則稱級數(4.2）在D上一致收斂于。定理4.2.1(柯西一致收斂準則）級數(4.2)在點集D上一致收斂于某函數的充要條件是：任給存在正整數，使當時，對一切，都有第28頁,共108頁，2024年2月25日，星期天29一致收斂的充分條件（優(yōu)級數準則）：如果有正數列，使對一切都有且正項級數收斂，則在點集D上絕對收斂且一致收斂。例4.5

級數在閉圓上一致收斂。第29頁,共108頁，2024年2月25日，星期天30定理4.2.2

設級數的各項在點集E上連續(xù)，并且在C上一致收斂于，則和函數也在E上連續(xù).定理4.2.3

設級數的各項在曲線C上連續(xù)，并且在C上一致收斂于，則沿C可以逐項積分：定義4.2.2

設函數定義于區(qū)域D內，若級數在D內任意有界閉集上一致收斂，則稱此級數在D內內閉一致收斂。第30頁,共108頁，2024年2月25日，星期天31定理4.2.4(維爾斯特拉斯定理）設（1）函數在區(qū)域D內解析；（2）在D內內閉一致收斂于函數：則（1）函數在區(qū)域D內解析；（2）。

（3）在D內內閉一致收斂于。

第31頁,共108頁，2024年2月25日，星期天324.2.2冪級數或稱為冪級數。阿貝爾（Abel)定理如果級數在收斂，那么對滿足的，級數必絕對收斂，如果在級數發(fā)散，那么滿足的，級數必發(fā)散。第32頁,共108頁，2024年2月25日，星期天33證：第33頁,共108頁，2024年2月25日，星期天34第34頁,共108頁，2024年2月25日，星期天35收斂圓與收斂半徑一個冪級數的收斂情況，可分為以下幾類：第35頁,共108頁，2024年2月25日，星期天36（1）在全平面內處處收斂；（2）僅在原點收斂；（3）在以原點為中心的圓周內，級數絕對收斂；在外，級數發(fā)散，稱為收斂圓，的半徑稱為收斂半徑。收斂圓周上級數的斂散性，根據具體情況分析確定。例1

求冪級數的收斂范圍與和函數。第36頁,共108頁，2024年2月25日，星期天37解：級數的部分和為當時，有；從而有當時，由于時，級數一般項不趨于零，故級數發(fā)散。由阿貝爾定理知級數的收斂范圍為一單位圓域，在此圓域內，級數不僅收斂，而且絕對收斂，收斂半徑為1，并有第37頁,共108頁，2024年2月25日，星期天38冪級數收斂半徑的求法定理2（比值法）如果，則收斂半徑。第38頁,共108頁，2024年2月25日，星期天39第39頁,共108頁，2024年2月25日，星期天40第40頁,共108頁，2024年2月25日，星期天41定理3（根值法）如果，則收斂半徑。例2

求下列冪級數的收斂半徑：1）（并討論在收斂圓周上的情形）；2）（并討論時的情形）；3）。第41頁,共108頁，2024年2月25日，星期天42解：1）R=1；在圓周上，級數收斂，從而原級數絕對收斂。2）R=1；當時，原級數為，收斂；當時，原級數為，發(fā)散。3）因為，所以據比值法可得收斂半徑。第42頁,共108頁，2024年2月25日，星期天43冪級數的運算和性質1）設則其中。2）如果當時，；又在第43頁,共108頁，2024年2月25日，星期天44

時，解析且滿足，則當時，有定理4

設冪級數的收斂半徑為，那么1）它的和函數，即是收斂圓：內的解析函數。2）在收斂圓內的導數可將其冪級數逐項求導得到，即第44頁,共108頁，2024年2月25日，星期天453）在收斂圓內可以逐項積分，即或。例3

設有冪級數與，求的收斂半徑。第45頁,共108頁，2024年2月25日，星期天46解：容易驗證，與的收斂半徑都等于1，但級數的收斂半徑。注意使成立的收斂圓域仍應為，不能擴大。例4

把函數表示成形如的冪級數，其中與是互不相等的復常數。第46頁,共108頁，2024年2月25日，星期天47第47頁,共108頁，2024年2月25日，星期天48第48頁,共108頁，2024年2月25日，星期天494.3解析函數的泰勒展開式本節(jié)主要內容：1.泰勒定理、泰勒級數的相關概念；2.冪級數的和函數在其收斂圓周上的狀況；3.初等函數的泰勒展開法（直接法、間接法）第49頁,共108頁，2024年2月25日，星期天504.3.1泰勒定理定理4.3.1（泰勒定理）設在區(qū)域D內解析，為內的一點，為到內邊界上各點的最短距離，當時，成立，其中。上式稱為在的泰勒展開式。等式右邊稱為在的泰勒級數。當時，級數稱為馬克勞林級數。第50頁,共108頁，2024年2月25日，星期天51證明要點：由柯西積分公式，有然后利用已知冪級數展開式將被積式展開成的冪級數即得。定理4.3.2

函數在區(qū)域D內解析的充要條件是在D內任一點的鄰域內可展開成的冪級數，即泰勒級數。第51頁,共108頁，2024年2月25日，星期天524.3.2冪級數的和函數在其收斂圓周上的狀況定理4.3.3

如果冪級數的收斂半徑，且則在收斂圓周上至少有一奇點，即不可能有這樣的函數存在，它在內與恒等，而在C上處處解析。由以上定理可得一確定收斂半徑R的方法：第52頁,共108頁，2024年2月25日，星期天53如果在解析，則使在的泰勒展開式成立的圓域的半徑就等于從到的距最近一個奇點之間的距離，即。任何一個解析函數在一點的泰勒級數是唯一的。4.3.3一些初等函數的泰勒展開式直接算出各階導數后利用泰勒定理求得函數的泰勒級數的方法稱為直接展開法。借助已知函數展開式，利用冪級數的運算性質和分析性質求得函數的泰勒級數的方法稱為間接展開法。第53頁,共108頁，2024年2月25日，星期天54常用的冪級數展開式：第54頁,共108頁，2024年2月25日，星期天55其中是指主值，是復數。第55頁,共108頁，2024年2月25日，星期天56例1

求下列函數在的泰勒展開式。解：（1）因為在全平面內解析，所以又第56頁,共108頁，2024年2月25日，星期天57故在的泰勒展開式為（2）在從－1向左沿負實軸剪開的平面內是解析的，－1是它的一個奇點，所以它在內可以展開成的冪級數。第57頁,共108頁，2024年2月25日，星期天58由兩邊積分可得（3）函數有一奇點，而在內處處解析，故可在內展開成的冪級數，由兩邊逐項求導，可得第58頁,共108頁，2024年2月25日，星期天59例2

將分別展開為和的冪級數，并求出收斂半徑。解：展開為的冪級數，可得由，可得收斂半徑為。展開為的冪級數，可得第59頁,共108頁，2024年2月25日，星期天60由，可得收斂半徑為。練習：（1）將在展開為泰勒級數。（2）將展開為的泰勒級數。答案：第60頁,共108頁，2024年2月25日，星期天61例3

求冪函數（為復數）的主值：在處的泰勒展開式。第61頁,共108頁，2024年2月25日，星期天62解：法1：待定系數法。對求導可得，設代入上式，并注意到，比較兩邊系數可得所求展開式為第62頁,共108頁，2024年2月25日，星期天63法2：設，則，從而，兩邊求導，得繼續(xù)求導，可得令，得，從而可得展開式如法1中所示。第63頁,共108頁，2024年2月25日，星期天64定義4.4.1

設f(z)在解析區(qū)域D內一點a的值為零,則a為解析函數f(z)的零點.4.4解析函數零點的孤立性及唯一性4.4.1解析函數零點的孤立性如果在|z-a|<R內,解析函數f(z)不恒為零,我們將它在點a展成冪級數,此時,冪級數的系數不必全為零.故必有一正數m(m≥1),使得合乎上述條件的m稱為零點a的級,a成稱f(z)的m級零點.特別是當m=1時,a也稱為f(z)的簡單零點.第64頁,共108頁，2024年2月25日，星期天65定理4.17

不恒為零的解析函數f(z)以a為m級零點的充要條件為:其中在點a的鄰域|z-a|<R內解析,且上式是具有m階零點a的解析函數的解析表達式。例4.4.1

考察函數在原點z=0的性質。例4.4.2

求的全部零點，并指出它們的階。解：由知z=0為的三階零點。其中在點a的鄰域|z-a|<R內解析,且其中在點a的鄰域|z-a|<R內解析,且上式是具有m階零點a的解析函數的解析表達式。例4.4.1

考察函數在原點z=0的性質。例4.4.1

考察函數解：由知z=0為的三階零點。其中在點a的鄰域|z-a|<R內解析,且其中在點a的鄰域|z-a|<R內解析,且其中在點a的鄰域|z-a|<R內解析,且其中在點a的鄰域|z-a|<R內解析,且例4.4.1

考察函數在原點z=0的性質。例4.4.1

考察函數例4.4.1

考察函數例4.4.1

考察函數在原點z=0的性質。例4.4.1

考察函數其中在點a的鄰域|z-a|<R內解析,且其中在點a的鄰域|z-a|<R內解析,且上式是具有m階零點a的解析函數的解析表達式。第65頁,共108頁，2024年2月25日，星期天66解：在z平面上解析，由可知為在z平面上的全部零點。又由可知都是在z平面上的二階零點。第66頁,共108頁，2024年2月25日，星期天67一個實變可微函數的零點不一定是孤立的，例如：都是它的零點。因故不是的孤立零點。但在復變函數中，我們有下述定理第67頁,共108頁，2024年2月25日，星期天68定理4.18

如在|z-a|<R內解析的函數f(z)不恒為零,a為其零點,則必有a的一個鄰域,使得f(z)在其中無異于a的零點.(簡單來說就是,不恒為零的解析函數的零點必是孤立的.)

證設a為f(z)的m級零點,于是,由定理(4.17)其中在點a的鄰域|z-a|<R內解析,且從而在點a連續(xù).于是由例1.28知存在一鄰域|z-a|<r使得于其中恒不為零.故f(z)在其中無異于a的其它零點.第68頁,共108頁，2024年2月25日，星期天69推論4.19

設(1)f(z)在鄰域K:|z-a|<R內解析;(2)在K內有f(z)的一列零點收斂于a,則f(z)在K內必恒為零.證：因為f(z)在點a連續(xù),且,讓n趨于無窮取極限,即得f(a)=0.故a是一個非孤立的零點.由定理4.18知f(z)在K內恒為零.定理4.20

設(1)函數與在區(qū)域D內解析;(2)D內一個收斂于a∈D的點列，在其上與等值,則和在D內恒等.證：令我們只須證明f(z)在D內恒為零就行了.4.4.2唯一性定理第69頁,共108頁，2024年2月25日，星期天70由假設知f(z)在D內解析,且在D內有一系列零點收斂于a∈D.如果D本身就是以a為心的圓,或D就是整個z平面,則由推論4.19,即知.定理就證明了.一般情況下,可用所謂圓鏈法來證明.K0a0=aa1K1a2LKt-1at-1atKtan=bD圖4.2設b是D內任意固定的點(圖4.2).在D內可作一折線L連接a及b,以d表示L與邊界間的最短距離(見第三章定理3.3注,d>0).在L上依次取一串點,使相鄰兩點間的距離小于定數R(0<R<d).顯然,由推論4.19,在圓內.在圓又重復推論4.19,即知內.這樣繼續(xù)下去,第70頁,共108頁，2024年2月25日，星期天71直到最后一個含有點b為止,在該圓內,特別說來,f(b)=0.因為b是D內任意的點,故證明了D內.推論4.21

設在區(qū)域D內解析的函數及在D內的某一子區(qū)域(或一小段弧)相等,則它們在D內恒等.推論4.22

一切在實軸上成立的恒等式(例如等等),在z平面上也成立,只要這個恒等式的兩邊在z平面上都是解析的.定理4.23(最大模原理)

設f(z)在區(qū)域D內解析,則|f(z)|在D內任何點都不能達到最大值,除非在D內f(z)恒等于常數.第71頁,共108頁，2024年2月25日，星期天72一、問題的引入問題1:負冪項部分正冪項部分主要部分解析部分同時收斂收斂4.5洛朗級數第72頁,共108頁，2024年2月25日，星期天73收斂半徑收斂域收斂半徑收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分R第73頁,共108頁，2024年2月25日，星期天74結論:.常見的特殊圓環(huán)域:...第74頁,共108頁，2024年2月25日，星期天75例如，都不解析,但在圓環(huán)域及內都是解析的.而2.問題2:在圓環(huán)域內解析的函數是否一定能展開成級數?第75頁,共108頁，2024年2月25日，星期天76所以即內可以展開成級數.也可以展開成級數：第76頁,共108頁，2024年2月25日，星期天77二、洛朗級數的概念定理C為圓環(huán)域內繞

的任一正向簡單閉曲線.為洛朗系數.第77頁,共108頁，2024年2月25日，星期天78證對于第一個積分:Rr.z..第78頁,共108頁，2024年2月25日，星期天79對于第二個積分:第79頁,共108頁，2024年2月25日，星期天80其中第80頁,共108頁，2024年2月25日，星期天81下面證明第81頁,共108頁，2024年2月25日，星期天82則第82頁,共108頁，2024年2月25日，星期天83如果C為在圓環(huán)域內繞的任何一條正向簡單閉曲線.則可用一個式子表示為:[證畢]第83頁,共108頁，2024年2月25日，星期天84說明:函數在圓環(huán)域內的洛朗展開式在圓環(huán)域內的洛朗(Laurent)級數.

1)2)某一圓環(huán)域內的解析函數展開為含有正、負冪項的級數是唯一的，這就是f(z)的洛朗級數.定理給出了將圓環(huán)域內解析的函數展為洛朗級數的一般方法.第84頁,共108頁，2024年2月25日，星期天85定理4.5.2

洛朗級數在收斂圓環(huán)域內絕對收斂且內閉一致收斂，其和函數是收斂圓環(huán)域內的解析函數，而且可以逐項求積和逐項求導。顯然，泰勒級數是洛朗級數的特殊情形。第85頁,共108頁，2024年2月25日，星期天86三、函數的洛朗展開式常用方法:1.直接法2.間接法1.直接展開法利用定理公式計算系數然后寫出缺點:計算往往很麻煩.第86頁,共108頁，2024年2月25日，星期天87根據正、負冪項組成的的級數的唯一性,可用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開.優(yōu)點:簡捷,快速.2.間接展開法第87頁,共108頁，2024年2月25日，星期天88例1解由定理知:其中第88頁,共108頁，2024年2月25日，星期天89故由柯西–古薩基本定理知:由高階導數公式知:第89頁,共108頁，2024年2月25日，星期天90另解本例中圓環(huán)域的中心z=0既是各負冪項的奇點,第90頁,共108頁，2024年2月25日，星期天91例2內是處處解析的,試把f(z)在這些區(qū)域內展開成洛朗級數.解第91頁,共108頁，2024年2月25日，星期天92oxy1第92頁,共108頁，2024年2月25日，星期天9312oxy由且仍有第93頁,共108頁，2024年2月25日，星期天942oxy由此時第94頁,共108頁，2024年2月25日，星期天95仍有第95頁,共108頁，2024年2月25日，星期天96注意:奇點但卻不是函數的奇點.