第1講 集合的概念（學(xué)生版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第1課集合的概念

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.元素與集合

(1)理解元素與集合的概念，知道常用

數(shù)集的概念及其記法.

(2)了解“屬于"關(guān)系的意義.

1.通過集合語言的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.

(3)了解有限集、無限集、空集的意義.

2.通過實(shí)例能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉

2.集合的表示方法

法或描述法)來描述不同的具體問題，感受集合語言的意

掌握集合的兩種常用表示方法(列舉

義和作用.

法、描述法).

3元.素的性質(zhì)

理解集合元素的三個(gè)性質(zhì)：確定性、

無序性、互異性.

生'知識(shí)點(diǎn)01集合的概念

1.集合與元素

一般地，我們把統(tǒng)稱為元素，用小寫拉丁字母a,be…表示.把組成的總體叫

做集合，用大寫拉丁字母…表示.

2.元素與集合的關(guān)系

如果。是集合A的元素，就說。屬于集合A，記作：如果。不是集合A中的元素，就說。不

屬于集合A,記作.

3.集合中元素的特征

(1)：集合中的元素是否屬于這個(gè)集合是確定的，即任何對(duì)象都能明確它是或不是某個(gè)集

合的元素，兩者必居其一.這是判斷一組對(duì)象是否構(gòu)成集合的標(biāo)準(zhǔn).

(2)：給定集合的元素是互不相同的.即對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不

同的.

(3)：集合中各元素間無先后排列的要求，沒有一定的順序關(guān)系.

【微點(diǎn)撥】1.組成集合的元素可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式，也可以是人或物等.

2.aeA與aeA取決于元素。是否是集合A中的元素.根據(jù)集合中元素的確定性可知，對(duì)任何元素“

與集合月，aeA與這兩種情況中必有一種且只有一種成立.

【知識(shí)拓展】集合的概念與特征

判斷指定的對(duì)象的全體能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，

都能確定它是否是給定集合中的元素.注意：構(gòu)成集合的元素除常見的數(shù)、式、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對(duì)象外，還可

以是其他任意確定的對(duì)象.

【即學(xué)即練1】用符號(hào)或填空:

(1)設(shè)A為所有亞洲國家組成的集合，則中國______________A，美國A，印度A,

英國_____________A；

(2)若4={x|f=x},則-IA；

(3)若8={幻％2+%-6=0},則3B；

(4)若。={X61\|1轟!k10},貝IJ8C,9.1C.

'蔓,知識(shí)點(diǎn)02集合的分類：

1.集合的元素的個(gè)數(shù)是有限個(gè)的集合稱為.

2.集合的元素的個(gè)數(shù)是無限個(gè)的集合稱為.

3.集合中不含任何元素的集合稱為.

【微點(diǎn)撥】集合的分類是以集合中元素的個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的.

【即學(xué)即練2】用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并判斷是有限集，還是無限集？

(1)方程(x+l)(x—|)2(x2—2)(x2+1)=0的有理根組成的集合A；

(2)被3除余1的自然數(shù)組成的集合；

(3)坐標(biāo)平面內(nèi)，不在第一，三象限的點(diǎn)的集合；

（4）自然數(shù)的平方組成的集合.

妥、知識(shí)點(diǎn)03常用的數(shù)集及其記法

1.全體組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；

2.所有組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N*或N+；

3.全體組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；

4.全體組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；

5.全體組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記作R.

【即學(xué)即練3】已知集合〃={刈工€附，則（）

A.OGMB.

C.垃sMD.

妥、知識(shí)點(diǎn)04集合的表示方法

1.列舉法

把集合的元素___________出來，并用花括號(hào)”{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

注意：（1）用列舉法表示的集合，集合中的元素之間用“，”隔開，另外，集合中的元素必須滿足確定性、

互異性、無序性.

（2）“{}”含有“所有”的含義，因此用{R}表示所有實(shí)數(shù)是錯(cuò)誤的，應(yīng)是R.

2.描述法

用集合所含元素的表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集

合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的

【微點(diǎn)撥】用描述法表示集合應(yīng)寫清楚該集合中的代表元素，即代表元素是數(shù)、有序?qū)崝?shù)對(duì)、集合，還是

其他形式.

【即學(xué)即練4】（I）集合{xCN+lx—3<2}用列舉法可表示為（）

A.{0,123,4}B.{1,2,3,4}

C.{0,1,2,34,5}D.{1,2,3,4,5}

（2）由大于-3且小于II的偶數(shù)所組成的集合是（）

A.(x|—3<x<l1,xGZ)

B.{x|-3<x<ll}

C.{x|-3<x<ll,x=2k,keN}

D.{x|—3<x<lI,x=2k,kGZ}

c能力拓展

考法01

集合的概念與特征

判斷指定的對(duì)象的全體能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，都

能確定它是否是給定集合中的元素.注意：構(gòu)成集合的元素除常見的數(shù)、式、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對(duì)象外，還可以

是其他任意確定的對(duì)象.

【典例1］現(xiàn)有以下說法，其中正確的是（）

①接近于o的數(shù)的全體構(gòu)成一個(gè)集合；

②正方體的全體構(gòu)成一個(gè)集合；

③未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；

④不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合.

A.①②B.②③

C.③④D.②④

考法02

元素與集合之間的關(guān)系

元素與集合之間有且僅有“屬于（e）”和“不屬于（魚）“兩種關(guān)系，且兩者必居其一.判斷一個(gè)對(duì)象是

否為集合中的元素，關(guān)鍵是看這個(gè)對(duì)象是否具有集合中元素的特征.

若集合是用描述法表示的，則集合中的元素一定滿足集合中元素的共同特征，可據(jù)此列方程（組）或不

等式（組）求解參數(shù)；若aeA,且集合A是用列舉法表示的，則〃一定等于集合A的其中一個(gè)元素，

由此可列方程（組）求解.

【典例2】1）已知集合&={（》，y）|x2+VW3,xeZ,yeZ},則A中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.9B.8

C.5D.4

2)【多選題】集合A=｛x|ax2+2x+i=()｝中有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.1B.-1C.0D.2

考法03

集合的表示方法

對(duì)于元素較少的集合宜采用列舉法表示，用列舉法表示集合時(shí)，要求元素不重復(fù)、不遺漏、不計(jì)次序；

對(duì)于元素較多的集合宜采用描述法表示.

但是對(duì)于有些元素較多的集合，如果其中的元素具有規(guī)律性，那么也可以用列舉法表示，常用省略號(hào)表

示多個(gè)元素.但要注意不要忽略集合中元素的代表形式.

【典例3】1)用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

(1)小于5的自然數(shù)構(gòu)成的集合；

(2)直角坐標(biāo)系內(nèi)第三象限的點(diǎn)集；

(3)偶數(shù)集.

2)試說明下列集合各表示什么？

A==8=｛x|y=4-2尤卜C=“尤,y)|y=g｝

0=[(尤=11;￡=｛x=O,y=l｝；F=｛x+y=l,x-y=-l｝.

3)【多選題】下列說法中不正確的是()

A.0與｛0｝表示同一個(gè)集合

B.集合｛3,4｝與"=｛(3,4)｝表示同一個(gè)集合

C.方程(x-l)2(x—2)=0的所有解的集合可表示為｛1,1,2｝

D.集合｛x|4<x<5｝不能用列舉法表示

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.下列命題中正確的（）

①o與{0}表示同一個(gè)集合；

②由1,2,3組成的集合可表示為{1,2,3}或（3,2,11;

③方程（尤一1）2。-2）=0的所有解的集合可表示為{1,1,2};

④集合{.r|4<x<5}可以用列舉法表示.

A.只有①和④B.只有②和③

C.只有②D.以上語句都不對(duì)

2.若集合4={xGNa65},a=2y[2,則下面結(jié)論中正確的是（）

A.{a}QAB.aQA

C.[a}SAD.a^A

x+y=2

3.方程組〈.八的解構(gòu)成的集合是（）

x-y=0

A.{1}B.（1,1）

C.{（1,1）}D.{1,1}

4.集合{3,x,中，x應(yīng)滿足的條件是（）

A.x^-1B.#0

C.#一1且存0且*3D./一1或?qū)?或#3

5.已知集合A={1,2,3},集合8={z|z=尤一則集合8中元素的個(gè)數(shù)為

A.4B.5

C.6D.7

6.已知集合A=[x￡Z士WZ則集合A中的元素個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3

C.4D.5

7.已知集合4={工|"2+21+1=0,?！?1}只有一個(gè)元素，則。的取值集合為（）

A.{1}B.{0}C.{0-1,1)D.{0,1}

8.M={xe/?|（l+Z:2）x<A:4+4},對(duì)任意的ZeR,總有（）

A.B.2GA/,0GMC.2eD.2^M,0GA/

2x+y=0

9.（多選）有下面四種表示方法：其中能正確表示方程組〈。八的解集的是（）

x-y+3=0

工——]

A.{（x,y）|x=—l或y=2}B.「2>

C.{x=-l,y=2}D.{（-1,2））

xyz\^yz\

10.（多選）已知x，y，z為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式門+吉+1+j的值所組成的集合是M，則下列判斷正確

nIX|z|町Z

的是（）

A.Q^MB.2eM

C.-4?MD.41M

題組B能力提升練

1.集合A={白eZkeN*）,用列舉法可以表示為（）

A.{3,6}B.{1,2,4,5,6,9}

C.{-6,-3,-2,-1,3,6}D.{-6,-3,-2,-1,2,3,6）

2.（多選題）當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集G滿足“如果4,。GG，則a+A,a-。"心eG,且岳口）時(shí),@GG”時(shí),我們稱G就

h

是一個(gè)數(shù)域，以下關(guān)于數(shù)域的說法:①0是任何數(shù)域的元素;②若數(shù)域G有非零元素，則2019eG;③集合

P={x|x=24/eZ}是一個(gè)數(shù)域;④有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域;⑤任何一個(gè)有限數(shù)域的元素個(gè)數(shù)必為奇數(shù).其中

正確的選項(xiàng)有

A.①②B.②③C.③④D.④⑤

3.（多選題）設(shè)集合M={a|a=d-y2,x,y?Z},則對(duì)任意的整數(shù)”，形如4〃,4〃+1,4〃+2,4〃+3

的數(shù)中，是集合“中的元素的有()

A.4〃B.4〃+1C.4〃+2D.4〃+3

4.設(shè)集合4={%|3%-1一根<0},若則實(shí)數(shù)次的取值范圍是

5.集合/>={刈℃2+4犬+4=0/€1^}中只含有1個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。的取值是

6.根據(jù)要求寫出下列集合.

(1)已知-5e{x|%2一6一5=。},用列舉法表示集合{x|%2一4》一4=0}.

(2)已知集合A=■{WGN|x€N),用列舉法表示集合A.

x-y+1=0

(3)已知方程組I、?,八，分別用描述法、列舉法表示該集合.

2%+>-4=0

(4)已知集合8={(》，y)|2x+y-5=0,xGN,yGN},用列舉法表示該集合.

(5)用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎咀鴺?biāo)平面內(nèi)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

7.下列三個(gè)集合：

①{如"+]}；

②皿=/+1};

③{(x，y)|y=x2+l).

(1)它們是不