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文檔簡(jiǎn)介
2022-2023學(xué)年湖北省襄陽(yáng)市高三年級(jí)期中考試
數(shù)學(xué)試卷
注意事項(xiàng):i.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;如需改動(dòng),
用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在試卷
上無(wú)效。
3.考試結(jié)束后,本試卷和答題卡一并交回。
一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一
個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的)
1.命題“小>0,爐+%2_2<0”的否定為()
A.±>0,e'+x2-2..0B.立,0,ex+x2-2..0C.Vx>0,eA+x2-2..0D.
Vx,,0,e*+—2..0
7*
2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,—2),則一二()
z
3_4.
A._3+1Z-B.3+4.D
55555555
3.已知集合A={x|/+x-2<0},B={x\x+m>0},且4u8={x[x>-2},則
〃,的取值范圍為
A.[-1,2]B.(-1,2]C.[-2,1]D.[-2,1)
4.隨著社會(huì)的發(fā)展,人與人的交流變得便捷,信息的獲取、傳輸和處理變得頻繁,這
對(duì)信息技術(shù)的要求越來(lái)越高,無(wú)線電波的技術(shù)也越來(lái)越成熟.已知電磁波在空間中自由
傳播時(shí)能損耗公式為L(zhǎng)=32.4+20(lgO+lgF),其中£>為傳輸距離(單位:km),F
為載波頻率(單位:MHz),L為傳輸損耗(單位:M3).若載波頻率變?yōu)樵瓉?lái)的100倍,
傳輸損耗增加了6048,則傳輸距離變?yōu)樵瓉?lái)的()
A.100倍B.50倍C.10倍D.5倍
下列結(jié)論正確的是
BFA.CE
433
8.某大學(xué)為了制作“迎新杯”籃球賽創(chuàng)意冠軍獎(jiǎng)杯,在全校學(xué)生中開(kāi)展“迎新杯”籃
球賽獎(jiǎng)杯的創(chuàng)意設(shè)計(jì)征集活動(dòng).同學(xué)甲設(shè)計(jì)的創(chuàng)意獎(jiǎng)杯如圖1所示,從其軸截面中抽象
出來(lái)的平面圖形如圖2所示,若圓。的半徑為IO””,AB=BC=CD,BCHAD,
NA5C=NBC£)=120°.甲在獎(jiǎng)杯的設(shè)計(jì)與制作的過(guò)程中發(fā)現(xiàn),當(dāng)OB越長(zhǎng)時(shí),該獎(jiǎng)杯
圖1圖2
A.lOc/z/B.10A/2CTOC.10V3cmD.5>/6cm
二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題
目要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分。)
9.已知函數(shù)=無(wú)2-4尤,貝]j
A.x=l是/(x)的極小值點(diǎn)B.,(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)C./(x)的極小值為1D./(%)
在[0,2]上的最大值為2
7TTT
10.將函數(shù)/(x)=sin(2x—])的圖象向左平移I個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)g(x)的圖象,
則下列結(jié)論正確的有()
A.直線x=-工是g(x)圖象的一條對(duì)稱軸B.g(x)在(-三,三)上單調(diào)遞增C.若
626
2a仃29笈"TT7T
g(x)在(0,a)上恰有4個(gè)零點(diǎn),則ce(——,——]D.g(x)在[工,工]上的最大值為
121242
]_
2
11.己知正三棱錐5-ABC的底面邊長(zhǎng)為6,體積為66,A,B,C三點(diǎn)均在以S為球
心的球S的球面上,尸是該球面上任意一點(diǎn),下列結(jié)論正確的有()
A.三棱錐ABC體積的最大值為18gB.三棱錐尸-A6C體積的最大值為
276c.若B41.平面ABC,則三棱錐?!矯的表面積為24+9百+3歷D.若
Q4J_平面ABC,則異面直線AB與PC所成角的余弦值為主叵
26
12.已知等差數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S“,且S”<S’.若存在實(shí)數(shù)a",使得a+b=3,
且6"一26—掇lb。ln(a-2&+l),當(dāng)〃=左時(shí),5“取得最大值,則%+2。一人的值可能
為
A.13B.12C.11D.10
三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)
(口-4x0
13.若函數(shù)/(%)=r2'則/(/(-3))=.
x2-x+l,x>0,
14.已知tanc=4,/?滿足①sin4>。,且sin尸=l+cos尸,②tan(2a+/?)=-£
兩個(gè)條件中的一個(gè),則tan(a+/?)的一個(gè)值可以為.
15.最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽,趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股
圓方圖”,他用數(shù)形結(jié)合的方法,給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖,某數(shù)學(xué)探究小組
仿照“勾股圓方圖”,利用6個(gè)全等的三角形和一個(gè)小的正六邊形ABCOE凡拼成一個(gè)
大的正六邊形GHMNPQ,若AB=AG=1,則.
16.已知實(shí)數(shù)x,y滿足2/一3/一孫=1,貝IJ2/+3/的最小值為.
四、解答題(本大題共6題,共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)
+(6!+1)%2+2iZ+4r?,皿
17.已知/(%)=----——-----------是奇函數(shù).
X
(1)求a的值;
(2)求/(%)的值域.
18.在益48。中,內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a",c,已知?sin(5+C)+acos5=c.
(1)求角A的大??;
(2)若,/RC為銳角三角形,且〃=6,求,..ABC面積的取值范圍.
19.如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABC。是正方形,一皿)是等邊三角形,平面
平面A8CQ,E,P分別是PC,A3的中點(diǎn).
(1)證明:PC,平面。所.
(2)求二面角3-?!暌唤锏挠嘞抑?
Ym
20.已知函數(shù)/(x)=——1.
mx
(1)若m=2,求/*)的圖象在x=l處的切線方程;
(2)若證明:/(x)在(0,-8)上只有一個(gè)零點(diǎn).
21.已知數(shù)列{4}滿足2q+224++2"4=〃X2"2_2"+I+2.
(1)求{”“}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)包=3%+?+4證_L.b+b++b,,<-.
2",%八672120
22.已矢口函數(shù)/(工)=4。/+(2-4ae)x-2Inx(a>0).
(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:/(%)..(2-4ae)x4-In?+3.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:存在量詞命題的否定為全稱量詞命題,所以該命題的否定為“Vx>0,
,+/一2..0”.
2.【答案】4
【解析】解:由題意知z=l—2i,5=1+2/,則三=11^=—"+2"—=—°+」j.
z1—2i(1—2z)(l+2z)55
3.【答案】B
【解析】
解:因?yàn)锳={x|-2<x<l},B={x\x>-m},AuB={x|x>-2},所以一幺,一加<1,
即—1</%,2.
4【答案】C
【解析】解:設(shè)〃是變化后的傳輸損耗,產(chǎn)是變化后的載波頻率,是變化后的傳輸距
離,則L'=L+60,戶=100戶,
D'F'
60=-L=20lgDz+20lgFz-20lgD-20lgF=201g—+201g—,則
DF
力'p'力'
201g—=60-20Igy=60-40=20,即1g3■=1,從而D=10。,故傳輸距離變?yōu)?/p>
原來(lái)的10倍.
5.【答案】D
【解析】解:.由圖象可知,該函數(shù)是奇函數(shù),因?yàn)槭桥己瘮?shù),g(x)是奇函數(shù),所以
/(x)土g(x)是非奇非偶函數(shù),A,8不符合題意.因?yàn)楫?dāng)%=0時(shí),y無(wú)意義,所以
g(x)
C不符合題意.故選D
6.【答案】B
E
B
【解析】解:如圖,AF與平面BCE不平行,4錯(cuò)誤.易知BC±平面AEDE,
AOu平面AFOE,:.BC±AD,同理EC_LAD,BCcEC=C,且
6Cu平面BCE,ECu平面BCE,,A。J_平面BCE,B正確.AEL5C,C錯(cuò)誤.BF
與CE不垂直,力錯(cuò)誤.
7.【答案】A
14
【解析】解:由a“a“+]=—1可知N0,得a“+i=1-因?yàn)?=—3,所以生=—,
a”3
14,1
%=4,%=一3,。5=],,所以{4}是以3為周期的數(shù)列,則%05=《3+3x34=?
8.【答案】B
【解析】解:如圖,過(guò)。點(diǎn)作QE-L5C,分別交BC,AO于E,尸兩點(diǎn),設(shè)Z4QF=8,
則。尸=lOcos。,A£>=20sin8,由3C〃A£>,ZABC=NBC。=120°,得
AB=BC=CD=-AD=\Qsm0,則6E=!8C=5sin。,EF=y/3BE=5y/3sin0,
22
OB2=OE2+BE2=25sin26+(5百sin^+10cos^)2=100+50>/3sin26,當(dāng)2。=三,
2
即。=工時(shí),08取得最大值,此時(shí)4O=2Osine=lO0c7〃.
4
9.【答案】ABD
【解析】解:因?yàn)?(x)=V+gx2—4x,所以((x)=3x2+x-4=(x-l)(3x+4).當(dāng)
xe(-?),-1)u(1,+8)時(shí),/,(x)>o;當(dāng)xe(一1,1)時(shí)?,/'(x)<0.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)
間為(-8,-$和(l,”o),單調(diào)遞減區(qū)間為(-21),則/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),B正確;且當(dāng)
x=l時(shí),f(x)取得極小值,A正確;且極小值為/⑴=—|,C錯(cuò)誤.又/(0)=0,〃2)=2,
所以/(x)在[0,2]上的最大值為2,力正確.
10.【答案】AC
77IT
【解析】解:將函數(shù)/(x)=sin(2x-一)的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)
34
TT57rTC37r57r
g(x)=sin(2x+<)的圖象.當(dāng)x=時(shí),2x+-=-—,故直線x=—上是g(x)圖象
66626
的一條對(duì)稱軸,4正確.由x£(-工,1),得2%+]£(―,則g(x)在(—工,5)上不
2666226
單調(diào),8不正確.由xw(O,a),得2x+5£(g,2a+工),因?yàn)間(x)在(0,c)上恰有4個(gè)零
666
jr23乃297rTC冗
點(diǎn),所以4%<2a+—,,5萬(wàn),解得二一<a,,---,C正確.由xe[—,得
6121242
2XH—6[—,—]>則g(x)在]一,一]的最大值為。不正確.
636422
11.【答案】ACD
【解析】解:因?yàn)檎忮FS-ABC的底面邊長(zhǎng)為6,所以三棱錐S-A5C的底面面積為
—x6x6=95/3,底面外接圓的半徑r=2百.又三棱錐S—A5C的體積為6G,則三棱
4
錐S—A5c的高=2,所以球S的半徑爪=5層+/=4,則三棱錐。―A3。
9V3
體積的最大值為:x96x(4+2)=18jiA正確,8不正確.若Q4,平面ABC,則根據(jù)對(duì)
稱性可知,B4=4,PB=PC=2^,SABC=£X?=9上,
SPAB=S%c=;x6x4=12.取8c的中點(diǎn)。,連接PO,則PD=,PB2-BD2=如,
SPBC=;X6XJ石=3歷,故三棱錐P—ABC的表面積為24+96+3屆,C正確?
分別取PA,PB,AC的中點(diǎn)M,N,Q,連接MN,MQ,NQ,
A
Q
D
B
則易得MN=3,MQ=NQ=JR,/NMQ為異面直線AB與PC所成角的大小,且
八…MN3屈十以
cosZ.NMQ=----=-----,。正確.
2MQ26
12.【答案】BC
【解析】解:SH-S7-a^+a9+a^+a^=2(?9+al0)<0,即4+40<°?而
ea-2b_^17in(?-2/7+1),即有e"3+i一掇耳7ln(a—26+1).令%=。一3+1,則有
e'T-啜£7Inx,令函數(shù)/(x)=e'-x—1,則f'(x)="一1.當(dāng)xe(—o,0)時(shí),f\x)<0,
,/(x)單調(diào)遞減;當(dāng)xe(0,xo)時(shí),f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.故/(x)../(0)=0,從而有
/(x-1)=e'-1-(x-1)-1=ex~'-x..0,則有e'T..x,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí),等號(hào)成立.同理
,(1仙)=%-111工一1..0,即山1;,%-1,當(dāng)且僅當(dāng)工=1時(shí),等號(hào)成立,則產(chǎn)-1-叨敢—1Inx,
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立.又"T_1領(lǐng)57Inx,所以e‘T-L,Inx,故有ex-'-\=lnx,
a+b—3,(a=2,
所以尤=1,,7=17%=0,則為=0?從而《解得,,又旬=0,
a-2b+l=1,[0=1.
%+4。<0,所以4。<0.故{%}是單調(diào)遞減數(shù)列,當(dāng)〃=8或〃=9時(shí),S“取得最大值,
所以左+2a-Z?=ll或12.
13.【答案】13
【解析】解:因?yàn)閒(—3)=(g)7—4=4,所以/(/(—3))=/(4)=42—4+1=13.
14.【答案】―工或6(答案只要是一,與6中的一個(gè)即可)
44
【解析】解:若/滿足條件①,因?yàn)閟in?=l+cosa,所以
(1+cosI)?+cos2/7=1+2cos/?+2cos2[3-1,解得cos£=0或cos尸=一1,則
71
sin,=1或sin/?=0(舍去)則,二萬(wàn)+2k兀,kGZ,故
JII|
tan(a+f3)=tan(cr+—)=------=--.若£滿足條件②,則
2tana4
tan(a+/?)=tan[(2a+/?)—a]==6.
1+(一為)x4
15.【答案】1
【解析】解:在正六邊形A8CDEF中,BEA.FD,則8£1?尸。=0,所以
BE,GD=BE?(GF+FD)=BEGF+BE*FD=BEGF.因?yàn)榱呅蜧HMNPQ是正六
邊形,所以NP=60。,且G,F,E,P四點(diǎn)共線,又A8=AG=1,所以GF=EE=1,
所以BEGF=5EFE=|3E||FE|cosNPFQ=lx2x;=l.
6【答案】華
【解析】解:因?yàn)?/—3y2一孫=1,所以(2元一3?。?+y)=1?令加=2%—3、,〃=x+y,
…m+3n2n-m?一
貝ijx=-----,y=------,且=1,
55
2m*2*46+18/+I2mn3m2+12n2-12mnm2+6/?2.其5,當(dāng)且僅當(dāng)
所以2Y+3y2=----------------+----------------=--------
252555
m2=V6,時(shí),等號(hào)成立.
6
17.【答案】解:(1)因?yàn)?(X)=*+①+1)『+2"+4,所以
x
c,a(—x)3+(Q+1)(—X)~+2Q+4CLX^一(Q+DX2-2a—4
J(一%)=--------------------------=----------------------
一XX
又/(%)是奇函數(shù),所以/(—X)=—/(X),即
ax'—(。+l)f—2cl—4—QX^—(a+l)x^一2?!?
XX
則4=0.
x2+44
(2)由⑴可知,/(%)=-----=%+—,尤w0,
XX
44
當(dāng)x>0時(shí),尢+—..2J元?一=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí),等號(hào)成立.
XVx
又/O)是奇函數(shù),所以/(X)的值域?yàn)椋╕O,Y|54,+OO).
22?2
18.【答案】解:(1)因?yàn)榘賐sin(3+C)+acos3=c,所以百Z?sin/+〃?"-----=c
2ac
2222222
則2y/3bcsinA+a+c-b=2cf即a=b+c-2辰csinA
又4=b2+c2—2bccosA,所以>/3sinA=cosA,即tanA=
兀
又A£(0,萬(wàn)),所以A=-.
6
⑵因?yàn)榫?白,所以"需
71
Q<B<-,
因?yàn)锳5C為銳角三角形,所以12解得工<8〈工,則tanJi
八5萬(wàn)八乃32
故竽(竽+3^<66,即加。面積的取值范圍為(竽4百).
19.【答案】解:(1)證明:取A。的中點(diǎn)0,連接0P,
因?yàn)開(kāi)24£)是等邊三角形,所以POLAD
又平面P4Z5_L平面ABC。,平面HAOc平面ABCD=AO,尸Ou平面PAD,所以PO_L
平面ABCD,
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,不妨令4?=2,連接OF,PF,CF,因?yàn)镕是AB的中點(diǎn),所
以0P=6,OF=42,PF=#),CF=s/5.
又E是PC的中點(diǎn),PD=CD,所以DE上PC,EF±PC.
因?yàn)镈EcEF=E,且OE、EFu平面。EF,所以PC_L平面。EE
(2)解:以。為坐標(biāo)原點(diǎn),04的方向?yàn)閤軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則由⑴可得,0(—1,0,0),3(1,2,0),尸(1,1,0),
,P(0,0,V3),C(—l,2,0).08=(2,2,0),DE=
設(shè)平面BDE的法向量m=(玉,x,Z]),
2x}+2y=0,
則《1V3
2%i+y+74=0,
令西=1,得加=
由(1)知n=CP=(1,-2,石)是平面DEF的一個(gè)法向量,
m-n4V42
所以COS=------=—r=------=-----.
|m||n|島2逝7
J42
由圖可知,二面角3-DE—尸為銳角,故二面角3-上一斤的余弦值為
7
x22x—In2-
20.【答案】解:因?yàn)榧?2,所以/(x)=j-1,((幻,「”/.
22
又了⑴T,r⑴=秒畛
所以/(X)的圖象在X=1處的切線方程為丁+萬(wàn)二一^1—(x—1),即
(2-In2)x-2y+In2-3=0.
x'"
(2)證明:當(dāng)0<加<1時(shí),mx>0,則函數(shù)/(x)=——1只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)
m
g(x)=x"'-*只有一個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)?(加<1,所以函數(shù)y=『'在(0,+8)上單調(diào)遞增,函數(shù)y=加,在(0,+oo)上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)g(x)在(0,T8)上單調(diào)遞增.
又g(*=0,所以函數(shù)g(x)在(0,+9。)上只有一個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)/(X)在(0,+8)上只有一
個(gè)零點(diǎn).
21.【答案】解:⑴當(dāng)〃=1時(shí),2]=23-22+2=6,則4=3.
當(dāng)〃..2時(shí),則2"a?=nx2n+2-2n+l+2-(n-l)x2,,+l+2"—2=(2n+l)x2",
則an=2〃+1.
又4=2x1+1,所以{%}的通項(xiàng)公式為4=2〃+l.
(2)證明:由⑴可知,
b,—__________6_/_1_+__1_9__________-----------1------
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