2024一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個專題 524個題型專題7 基本不等式（1）-2024一輪數(shù)學(xué)題型細(xì)分與精練（解析版）

07基本不等式（1）題型一由基本不等式比較大小1．設(shè)，其中，是正實數(shù)，且，，則與的大小關(guān)系是（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，都是正實數(shù)，且，∴，即，又∵，，即，∴，故選B.2．已知，，，，，則，，的大小關(guān)系為（）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，，故，則，即，結(jié)合可得：，兩邊乘以可得：，即.據(jù)此可得：.故選D.3．已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】A．因為，所以，所以，取等號時，故正確；B．因為，取等號時，故正確；C．因為，取等號時，故錯誤；D．因為，所以，取等號時，故正確.故選：ABD.4．設(shè)，，下列不等式恒成立的是（）.A． B．C． D．E.若，則【答案】ABC【解析】解：對于選項A，由于，，故A恒成立；對于選項B，由于，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B恒成立；對于選項C，由于，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C恒成立；對于選項D，當(dāng)時，，故D不恒成立；對于選項E，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故E不恒成立，即不等式恒成立的是ABC，故選ABC.題型二由基本不等式證明不等關(guān)系1．若，，，則下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，因為，所以，所以A不正確；對于B，若，設(shè)，得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以B正確；對于C，因為，由，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以C不正確；對于D，由上面可知，則，得，所以D不正確；故選：B2．已知a,b,c均為正實數(shù),且a+b+c=1,求證：(-1)(-1)(-1)≥8．【答案】證明見解析【解析】主要考查不等關(guān)系與基本不等式．證明：因為a,b,c且a+b+c=1，所以．3．已知a，b，c是互不相等的正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：＋＋>9.【答案】證明見解析【解析】∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝，＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋，≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號，所以＋＋>9.4．已知，，，求證：.【答案】見解析【解析】，.，，.∴成立，故原不等式成立.5．已知,求證:.【答案】見解析【解析】設(shè),則,且.同理,.所以原不等式的左邊.當(dāng)且僅當(dāng),且,即時,等號成立.題型三基本不等式求積的最大值1．如圖，在半徑為4（單位：cm）的半圓形（為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料，其頂點在直徑上，頂點在圓周上，則矩形面積的最大值為（）（單位：cm2）.A．8 B．10C．16 D．20【答案】C【解析】設(shè)BC=x，連結(jié)OC，得OB=，所以AB＝2，所以矩形面積S＝2，x∈（0，4），S＝2．即x2＝16﹣x2，即x＝2時取等號，此時故選：C2．已知為正數(shù)，，則的最大值為（）A． B． C． D．2【答案】D【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值.故選：D3．(1)已知x,,求的最大值;(2)求滿足對a,有解的實數(shù)k的最大值,并說明理由.【答案】(1)(2).見解析【解析】(1)∵x,,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時,對等號,∴當(dāng)時,的最大值為.(2)∵a,,∴設(shè),,,,∴,∵滿足對a,有解的實數(shù)k的最大值,∴,∴,解得,∴滿足對a,有解的實數(shù)k的最大值為.4．我們學(xué)習(xí)了二元基本不等式：設(shè),,,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立利用基本不等式可以證明不等式，也可以利用“和定積最大，積定和最小”求最值.（1）對于三元基本不等式請猜想：設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立（把橫線補全）.(2)利用（1）猜想的三元基本不等式證明：設(shè)求證：(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：設(shè)求的最大值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】（1）通過類比,可以得到當(dāng),,時,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立；（2）證明：,,,由（1）可得,（3）解：由（1）可得,,即,由題,已知,,,,,，,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等,即的最大值為5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且C＝，a＋b＝λ，若△ABC面積的最大值為9，求λ的值．【答案】12【解析】S△ABC＝absinC＝ab，根據(jù)基本不等式,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立,∴S△ABC＝ab≤·，令＝9，解得λ＝12.題型四基本不等式求和的最小值1．設(shè)x，y均為正數(shù)，且xy+x-y-10=0，則x+y的最小值是_______.【答案】【解析】由xy+x-y-10=0，得=，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即y=2時，等號成立．故答案為：.2．若，則的最小值為________．【答案】【解析】由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立，即時等號成立.所以的最小值為.故答案為：3．已知ab＞0，則的最小值為_____.【答案】4.【解析】解：根據(jù)題意，ab＞0，故，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時等號成立，則原式，又由ab＞0，則4ab+1＞1，則有4，當(dāng)且僅當(dāng)4ab+1＝2，即4ab＝1時等號成立，綜合可得：的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時等號成立故答案為：4.4．設(shè)，則的最小值為__________.【答案】4【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時的最小值為．故答案為：.題型五二次與二次（或一次）的商式的最值問題1．若，則當(dāng)取最大值時的值為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】變形，可得，，，原式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因此，取最大值時.故選：D.2．（1）若，且，求的最小值；（2）若，求的最大值．【答案】（1）18；（2）-1.【解析】（1）由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號故當(dāng)，取最小值18.（2）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.即若，的最大值為．3．（1）求當(dāng)時，的最小值；（2）求當(dāng)時，的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)