2023一輪數學講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型專題92 正態(tài)分布（解析版）-2023一輪數學講義+題型細分與精練

專題92正態(tài)分布題型一正態(tài)曲線的圖象的應用例1．（2022·全國·高二課時練習）設隨機變量的正態(tài)分布密度函數為，，則參數，的值分別是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】【分析】由正態(tài)分布密度函數的概念即得.【詳解】由正態(tài)分布密度函數表達式知，.故選：D.規(guī)律方法利用圖象求正態(tài)分布密度函數的解析式，應抓住圖象的兩個實質性特點：一是對稱軸為x＝μ，二是最大值為eq\f(1,σ\r(2π)).這兩點確定以后，相應參數μ，σ便確定了，代入f(x)中便可求出相應的解析式．例2．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二階段練習）下列是關于正態(tài)曲線性質的說法：①曲線關于直線對稱，且恒位于軸上方；②曲線關于直線對稱，且僅當時才位于軸上方；③曲線對應的正態(tài)密度函數是一個偶函數，因此曲線關于軸對稱；④曲線在處位于最高點，由這一點向左、右兩邊延伸時，曲線逐漸降低；⑤曲線的位置由確定，曲線的形狀由確定.其中說法正確的是（

）A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤【答案】A【解析】【分析】根據正態(tài)密度曲線的特點和性質逐一判斷①②③④⑤的正確性，即可得正確選項.【詳解】正態(tài)曲線關于直線對稱，該曲線總是位于軸上方，故①正確；②不正確；只有當時，正態(tài)密度函數是一個偶函數，曲線關于軸對稱；此時為標準正態(tài)分布，當時，不是偶函數，故③不正確；正態(tài)曲線是一條關于直線對稱，在處位于最高點，且由該點向左、右兩邊延伸并逐漸降低的曲線，故④正確；曲線的位置由對稱軸確定，曲線的形狀由確定，越大，圖象越矮胖，越小，圖象越瘦高，故⑤正確；故①④⑤說法正確.故選：A.例3．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示是一個正態(tài)分布的圖象，試根據該圖象寫出正態(tài)分布密度函數的解析式，求出隨機變量總體的均值和方差．【答案】f(x)＝，，μ＝20，σ2＝2.【解析】【分析】由正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義即可求解.【詳解】解：由圖可知該正態(tài)曲線關于直線x＝20對稱，最大值是，所以μ＝20，由，解得σ＝，所以該正態(tài)分布密度函數的解析式是f(x)＝，，隨機變量總體的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.例4．（2022·全國·高二課時練習）若某種零件的尺寸（單位：）服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數在上單調遞增，在上單調遞減，且.試估計尺寸在72~88的零件占總數的百分之幾.【答案】68.27%.【解析】【分析】由題意可先確定和的值，再由正態(tài)分布的3原則結合題意即可求解【詳解】由于函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以正態(tài)曲線關于直線對稱，且在處取得最大值，因此，，所以.由，，得，，又因此尺寸在72~88的零件大約占總數的68.27%.題型二利用正態(tài)分布的對稱性求概率例5．（2022·全國·高三專題練習）某中學高三（1）班有50名學生，在一次高三模擬考試中，經統計得：數學成績，則估計該班數學得分大于120分的學生人數為（

）（參考數據：）A．16 B．10 C．8 D．2【答案】C【解析】【分析】根據正態(tài)分布的性質，結合題中所給的公式進行求解即可.【詳解】因為數學成績，所以，因此由所以有，估計該班數學得分大于120分的學生人數為，故選：C規(guī)律方法利用正態(tài)分布求概率的兩個方法(1)對稱法：由于正態(tài)曲線是關于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關于直線x＝μ對稱的區(qū)間概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解．例6．（2022·全國·高二學業(yè)考試）已知某年的FRM（金融風險管理）一級測試成績X服從正態(tài)分布，則54分以上的成績所占的百分比約為（

）（附：，）A．2.38% B．1.35% C．0.26% D．0.15%【答案】D【解析】【分析】根據題意，先求出，進而根據正態(tài)分布的對稱性求得答案.【詳解】因為X服從正態(tài)分布，所以，即，所以.故選：D．例7．（2020·江西修水·高二期末（理））隨機變量服從正態(tài)分布，若，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對稱性求解.【詳解】因為，，所以，即，所以.故選：C.例8．（2022·河南鄭州·高二期末（理））2022年5月11日和12日進行了鄭州市第三次質量檢測．對全市的理科數學成績進行統計分析，發(fā)現數學成績近似地服從正態(tài)分布．據此估計：在全市抽取名高三學生的數學成績，恰有名同學的成績超過分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由正態(tài)分布可知抽取名高三學生，數學成績超過分的概率為，由二項分布概率公式可計算得到結果.【詳解】數學成績近似地服從正態(tài)分布，抽取名高三學生，數學成績超過分的概率為，所求概率.故選：D.例9．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高二期末）已知隨機變量，且，，則為（

）A．0.1358 B．0.2716 C．0.1359 D．0.2718【答案】C【解析】【分析】根據正態(tài)分布的對稱性可求概率.【詳解】由題設可得，，故選：C.題型三正態(tài)分布的實際應用例10．（2022·全國·模擬預測）為了深入貫徹黨的十九大和十九屆五中全會精神，堅持以新時代中國特色社會主義思想為指導，落實立德樹人根本任務，著眼建設高質量教育體系，強化學校教育主陣地作用，深化校外培訓機構治理，構建教育良好生態(tài)，有效緩解家長焦慮情緒，促進學生全面發(fā)展、健康成長．教育部門最近出臺了“雙減”政策，即有效減輕義務教育階段學生過重作業(yè)負擔和校外培訓負擔，持續(xù)規(guī)范校外培訓（包括線上培訓和線下培訓）．“雙減”政策的出臺對校外的培訓機構經濟效益產生了嚴重影響．某大型校外培訓機構為了規(guī)避風險，尋求發(fā)展制定科學方案，工作人員對2020年的前200名報名學員消費等情況進行了統計整理，其中消費情況數據如表．消費金額（千元）人數305060203010(1)該大型校外培訓機構轉型方案之一是將文化科主陣地輔導培訓向音體美等興趣愛好培訓轉移，為了深入了解當前學生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費金額為和的學員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進行有獎問卷調查，求抽取的3人中消費金額為的人數的分布列和數學期望；(2)以頻率估計概率，假設該大型校外培訓機構2020年所有學員的消費可視為服從正態(tài)分布，，分別為報名前200名學員消費的平均數以及方差（同一區(qū)間的花費用區(qū)間的中點值替代）．（?。┰嚬烙嬙摍C構學員2020年消費金額為的概率（保留一位小數）；（ⅱ）若從該機構2020年所有學員中隨機抽取4人，記消費金額為的人數為，求的分布列及方差．參考數據：；若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)分布列見解析，(2)（?。?；（ⅱ）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據分層抽樣分別求出消費金額為和抽取的人數，求出隨機變量的可能取值，分別求出相應概率，進而求得分布列和數學期望；（2）（ⅰ）求出，的值，結合正態(tài)分布求出概率；（ⅱ）由（?。┣蟪龆椃植嫉姆植剂屑胺讲?(1)解：由題意得，抽中的5人中消費金額為的人數為，消費金額為的人數為，設消費金額為的人數為，則，所以，，，的分布列為123則；(2)解：（ⅰ）由題意得，所以，所以；（ⅱ）由題意及（?。┑?，所以，，，，，的分布列為01234．規(guī)律方法解題時，應當注意零件尺寸應落在[μ－3σ，μ＋3σ]之內，否則可以認為該批產品不合格．判斷的根據是小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認為這批產品不合格．例11．（2022·全國·模擬預測）自年秋季學期開始中小學全面落實“雙減”工作，為使廣大教育工作者充分認識“雙減”工作的重大意義，某地區(qū)教育行政部門舉辦了一次線上答卷活動，從中抽取了名教育工作者的答卷，得分情況統計如下（滿分：分）．名教育工作者答卷得分頻數分布表分組頻數合計(1)若這名教育工作者答卷得分服從正態(tài)分布（其中用樣本數據的均值表示，用樣本數據的方差表示），求；(2)若以這名教育工作者答卷得分估計全區(qū)教育工作者的答卷得分，則從全區(qū)所有教育工作者中任意選取人的答卷得分，記為這人的答卷得分不低于分且低于分的人數，試求的分布列和數學期望和方差．參考數據：，，，．【答案】(1)(2)分布列見解析，，【解析】【分析】（1）首先根據頻數分布表求樣本數據的平均數和方差，然后利用正態(tài)分布的對稱性和原則求得概率；（2）先求出在一次試驗中事件發(fā)生的概率，確定的所有可能取值，利用獨立重復試驗的概率公式分別求出每個取值的概率，從而得到分布列，最后利用二項分布的數學期望和方差公式求解．(1)解：由頻數分布表可知，，，所以，，所以．因為，則，，所以，.(2)解：從這名教育工作者中任意選取一名，其答卷得分不低于分且低于分的概率為．由題意知，，則，，，，所以的分布列為YP所以，.例12．（2022·全國·高三專題練習）年五一節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”.某路橋公司為掌握五一節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費站點記錄了日上午這一時間段內通過的車輛數，統計發(fā)現這一時間段內共有輛車通過該收費站點，它們通過該收費站點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段記作，記作，記作，記作，例如：，記作時刻.(1)估計這輛車在時間內通過該收費站點的時刻的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代替）(2)為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這輛車中抽取輛，再從這輛車中隨機抽取輛，設抽到的輛車中，在之間通過的車輛數為，求的分布列；(3)根據大數據分析，車輛在每天通過該收費站點的時刻服從正態(tài)分布，其中可用日數據中的輛車在之間通過該收費站點的時刻的平均值近似代替，用樣本的方差近似代替（經計算樣本方差為）.假如日上午這一時間段內共有輛車通過該收費站點，估計在之間通過的車輛數（結果保留到整數）附：；若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】(1)64(2)答案見解析(3)819【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖即能求出這600輛車在時間段內通過該收費點的時刻的平均值．（2）由頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在前通過的車輛數就是位于時間分組，這一區(qū)間內的車輛數，求出其結果為4，從而的可能的取值為0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列．（3）求出，，估計在之間通過的車輛數也就是在，通過的車輛數，由，，即能估計在之間通過的車輛數．(1)這600輛車在時間段內通過該收費點的時刻的平均值為：．(2)由頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在前通過的車輛數就是位于時間分組，這一區(qū)間內的車輛數，即，所以的可能的取值為0，1，2，3，4．所以，，，，．所以的分布列為：01234(3)由（1）得，由已知，所以，估計在之間通過的車輛數也就是在，通過的車輛數，由，得：，所以估計在在之間通過的車輛數為．【同步練習】一、單選題1．（2022·全國·高二專題練習）某物理量的測量結果服從正態(tài)分布，下列結論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D【解析】【分析】利用正態(tài)分布曲線的特點以及曲線所表示的意義對四個選項逐一分析判斷即可．A：越小，概率越集中在對稱軸左右；根據對稱性即可判斷BCD.【詳解】因為某物理量的測量結果服從正態(tài)分布，所以測量的結果的概率分布關于10對稱，且方差越小，則分布越集中，對于A，越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測量結果落在內的概率越大，故選項A正確；對于B，不管取何值，測量結果大于10的概率均為0.5，故選項B正確；對于C，由于概率分布關于10對稱，所以測量結果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項C正確；對于D，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的區(qū)域大于分布在10附近的區(qū)域，故測量結果落在內的概率大于落在內的概率，故選項D錯誤．故選：D．2．（2022·黑龍江實驗中學模擬預測（理））為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取，并測零件的直徑尺寸，根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件直徑尺寸服從正態(tài)分布，若落在內的零件個數為，則可估計所抽取的這批零件中直徑高于的個數大約為（

）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，）.A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據原則可求得，，根據概率計算可得結果.【詳解】由正態(tài)分布可知：，，，，，，直徑高于的個數大約為.故選：D.3．（2022·遼寧·瓦房店市高級中學高二期末）己知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【答案】A【解析】【分析】根據正態(tài)曲線的對稱性即可求得答案.【詳解】由題意，正態(tài)曲線的對稱軸為，則與關于對稱軸對稱，于是.故選：A.4．（2022·安徽省亳州市第一中學高二開學考試）已知隨機變量，，則的值為（

）A．0.24 B．0.26 C．0.68 D．0.76【答案】A【解析】【分析】根據給定條件利用正態(tài)分布的對稱性計算作答.【詳解】因隨機變，，有P(ξ<4)=P(ξ≤4)=0.76，由正態(tài)分布的對稱性得：，所以的值為0.24.故選：A5．（2022·安徽省亳州市第一中學高二期末）已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】A【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對稱性和概率的性質即可【詳解】由，且則有：根據正態(tài)分布的對稱性可知：故選：A6．（2022·黑龍江·鐵力市第一中學校高三開學考試（理））2022年元旦期間，某高速公路收費站的四個高速收費口每天通過的小汽車數（單位：輛）均服從正態(tài)分布，若，假設四個收費口均能正常工作，則這四個收費口每天至少有一個不低于700輛小汽車通過的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據正態(tài)曲線的對稱性結合題意求出每個收費口有不低于700輛小汽車通過的概率，再利用對立事件的概率公式可求得答案【詳解】根據正態(tài)曲線的對稱性，每個收費口有不低于700輛小汽車通過的概率，所以這四個收費口每天至少有一個不低于700輛小汽車通過的概率．故選：D．7．（2022·重慶一中高三階段練習）重慶某中學為測試高三學生的數學水平，組織學生參加了2022年12月考，共有1600名學生參加，其測試成績（滿分150分）服從正態(tài)分布，成績125分及以上者為優(yōu)秀.已知115分及以上的人數為40人，請你通過以上信息，推斷數學成績優(yōu)秀的人數為（

）附：，，.A．8 B．13 C．16 D．32【答案】A【解析】【分析】先根據頻率約等于概率，求出P，再結合題中給的參考數據可得答案.【詳解】，，，，，.故選：A.8．（2022·河南·高三期末（理））若某市高三某次數學測試的成績X（單位：分）服從正態(tài)分布N（96，16），則從該市任選1名高三學生，其這次數學測試的成績在100~108分內的概率約為（

）參考數據：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，．A．0.1573 B．0.34135 C．0.49865 D．0.1359【答案】A【解析】【分析】由X（單位：分）服從正態(tài)分布N（96，16），可得，則，然后根據正態(tài)分布的對稱性可求得結果【詳解】因為數學測試的成績X（單位：分）服從正態(tài)分布N（96，16），所以，因為，，所以，所以，故選：A二、多選題9．（2022·全國·高三開學考試）老張每天17：00下班回家，通常步行5分鐘后乘坐公交車再步行到家，公交車有A，B兩條線路可以選擇．乘坐線路A所需時間單位：分鐘服從正態(tài)分布，下車后步行到家要5分鐘；乘坐線路B所需時間單位：分鐘服從正態(tài)分布，下車后步行到家要12分鐘．下列說法從統計角度認為合理的是（

）參考數據：，則，，A．若乘坐線路B，前一定能到家B．乘坐線路A和乘坐線路B在前到家的可能性一樣C．乘坐線路B比乘坐線路A在前到家的可能性更大D．若乘坐線路A，則在前到家的可能性不超過【答案】BCD【解析】【分析】由已知，設乘坐線路A所需時間為單位：分鐘，到家所需時間為分鐘，乘坐線路B所需時間為單位：分鐘，到家所需時間為分鐘，進而再根據正態(tài)分布依次考慮各選項即可得答案.【詳解】解：由已知，設乘坐線路A所需時間為單位：分鐘，則滿足條件：，到家所需時間為分鐘，乘坐線路B所需時間為單位：分鐘，則滿足條件：，到家所需時間為分鐘.對于A，若乘坐線路B，則到家所需時間大于17分鐘，“前一定能到家”是隨機事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以A錯誤；對于B，由，知，由，知，因為，，可見，所以乘坐線路A在前到家的可能性一樣，所以B正確；對于C，由，知，由，知，因為，，可見，所以乘坐線路B比乘坐線路A在前到家的可能性更大，所以C正確；對于D，由，知：，因為，所以，所以若乘坐線路A，則在前到家的可能性不超過，所以D正確.故選：BCD.10．（2022·重慶·高三開學考試）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究應用與推廣，發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術體系，為我國糧食安全、農業(yè)科學發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻袁老領銜的科研團隊成功攻破水稻超高產育種難題，不斷刷新畝產產量的紀錄，目前超級稻計劃畝產已經實現1100公斤．現有甲、乙兩個試驗田，根據數據統計，甲、乙試驗田超級稻畝產量（分別記為，）均服從正態(tài)分布，其中，．如圖，已知，，，，兩正態(tài)密度曲線在直線左側交于點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】根據正太分布密度曲線的幾何性質即可判斷.【詳解】由圖可知，故A錯誤；由圖可知，故B正確；∵，，由圖可知，∴，故C正確；，，，，，，根據正態(tài)分布曲線的性質，根據原則，應該有，故D不正確.故選：BC.11．（2022·河北·武安市第一中學高二階段練習）設隨機變量X服從正態(tài)分布，且X落在區(qū)間內的概率和落在區(qū)間內的概率相等.若，則下列結論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】【分析】正態(tài)分布關于對稱，得可判斷A，不確定可判斷B，由對稱性知可判斷C，由可判斷D．【詳解】∵正態(tài)分布關于對稱，又落在區(qū)間內的概率和落在區(qū)間內的概率相等，，故A正確；根據所給條件，無法確定，故B錯誤；∵正態(tài)分布關于對稱，∴，故C正確；，則，故D正確；故選：ACD．12．（2022·全國·高二課時練習）醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內、中、外三層．內層為親膚材質（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）．根據國家質量監(jiān)督檢驗標準，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標，根據長期生產經驗，某企業(yè)在生產線狀態(tài)正常情況下生產的醫(yī)用口罩的過濾率，則下列說法正確的是（附：若，則，，）（

）A．B．C．D．假設生產狀態(tài)正常，記表示一天內抽取的50只醫(yī)用口罩中過濾率大于等于的數量，則【答案】ABC【解析】【分析】利用正態(tài)曲線的對稱性可以判定A,B,C，然后再求出一只口罩過濾率小于等于的概率，進而根據獨立事件和對立事件的概率求出.【詳解】由題意可知，，．對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為，，所以根據正態(tài)密度曲線的特點可知，故B正確；對于C，因為，且，所以，故C正確；對于D，一只醫(yī)用口罩過濾率小于的概率約為，所以，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題13．（2022·江蘇·海安市曲塘中學高三期末）設隨機變量，函數沒有零點的概率是，則_____________附：若，則，．【答案】【解析】【分析】根據函數的無零點可得，結合題意易知，再應用正態(tài)分布的三段區(qū)間概率及對稱性求.【詳解】函數沒有零點，二次方程無實根，即，可得，又沒有零點的概率是，，由正態(tài)曲線的對稱性知：，，即，，，，，故答案為:．14．（2022·山東無棣·高二期中）若隨機變量，，若，，則______．【答案】【解析】【分析】解不等式1﹣（1﹣p）3＝0.657得到p＝0.3，再利用正態(tài)分布求解.【詳解】解：∵P（X≥1）＝0.657，∴1﹣（1﹣p）3＝0.657，即（1﹣p）3＝0.343，解得p＝0.3，∴P（0＜Y＜2）＝p＝0.3，∴P（Y＞4）＝＝．故答案為：0.2．15．（2022·全國·高二課時練習）已知服從正態(tài)分布的隨機變量在區(qū)間，，內取值的概率分別為0.683，0.954，0.997.若某種袋裝大米的質量（單位：）服從正態(tài)分布，任意選一袋這種大米，質量在的概率為______.【答案】0.8185【解析】【分析】根據條件結合正態(tài)曲線的對稱性即可解得答案.【詳解】根據題意得到質量在到之間的大米概率為0.954，則小于的大米的概率為；質量在到之間的大米的概率為0.683，故質量大于的大米的概率為.故質量在的大米的概率為.故答案為：0.8185.16．（2022·全國·高二課時練習）下列命題中，正確的命題的序號為__________.①已知隨機變量服從二項分布，若，，則；②將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差恒不變；③設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則；④某人在10次射擊中，擊中目標的次數為，，則當時概率最大.【答案】②③④【解析】【分析】由二項分布的均值與方差公式計算判斷①，由方差的性質判斷②，由正態(tài)分布的對稱性判斷③，由二項分布的概率公式列不等式組求解后判斷④．【詳解】①，解得，①錯；②方差反映的是數據與均值的偏移程度，因此每個數據都加上同一個常數后，每個新數據與新均值的偏移不變，方差恒不變，②正確；③服從正態(tài)分布，，③正確；④，則，由，解得，所以．④正確．故答案為：②③④．四、解答題17．（2022·河南南陽·高三期末（理））學校準備籌建數學建模學習中心，為了了解學生數學建模（應用）能力，專門對高二報名的100名學生進行了數學建模閉卷測試，得分在45~95之間，分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中第三組的頻數為40.(1)請根據頻率分布直方圖估計樣本的平均數和方差（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）；(2)根據樣本數據，可認為參與建模測試的學生分數近似服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數，近似為樣本方差.①求；②學校為鼓勵學生積極參與數學建?；顒?，決定對本次測試中90.8分以上的同學進行表彰.若某班正好有6人參與了這次測試，求這個班至少有1人獲得表彰的概率.參考數據：若，則，，，，，.【答案】(1)，；(2)①；②.【解析】【分析】（1）根據平均數和方差的公式進行求解即可；（2）①根據題中所給的公式進行求解即可；②根據對立事件的概率公式進行求解即可.(1)由頻率分布直方圖可知組距，第三組頻數為40，總共有100人，則第三組頻率=40100=0.4可知第4組的頻率為，所以X=50×0.1+60×0.25+70×0.4+80×0.15+90×0.1=69(2)①，，P(47.2<x<79.9)=P(μ?2σ<x<μ+σ)=②記“6人中至少1人獲得表彰”為事件，則P(x>90.8)=P(x>μ+2σ)=1?P(μ?2σ<x<μ+2σ)所以18．（2022·山東濰坊·高三期末）我國脫貧攻堅經過8年奮斗，取得了重大勝利．為鞏固脫貧攻堅成果，某項目組對某種農產品的質量情況進行持續(xù)跟蹤，隨機抽取了10件產品，檢測結果均為合格，且質量指標分值如下：38，70，50，43，48，53，49，57，60，69．經計算知上述樣本質量指標平均數為53.7，標準差為9.9．生產合同中規(guī)定：所有農產品優(yōu)質品的占比不得低于15%（已知質量指標在63分以上的產品為優(yōu)質品）．(1)從這10件農產品中有放回地連續(xù)取兩次，記兩次取出優(yōu)質品的件數為X，求X的分布列和數學期望．(2)根據生產經驗，可以認為這種農產品的質量指標服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本質量指標平均數，近似為方差，那么這種農產品是否滿足生產合同的要求？請說明理由．附：若，則，．【答案】(1)X的分布列如下：012X的數學期望.(2)這批產品中優(yōu)質品占比滿足生產合同的要求；理由見解析【解析】【分析】（1）由題意可取0，1，2，再分別求概率，再寫出分布列，計算出數學期望；（2）由正態(tài)分布的性質估計，即可得解.(1)因為質量指標分值在63分以上的產品為優(yōu)質品，故優(yōu)質品有2件.由題意可取0，1，2.則；；.所以X的分布列如下：012X的數學期望.(2)這批產品中優(yōu)質品占比滿足生產合同的要求；理由如下：記這種產品的質量指標分值為，由題意可知，，則，因為，所以有足夠的理由判斷這批產品中優(yōu)質品占比滿足生產合同的要求19．（2022·江蘇宿遷·高三期末）為了提高生產效率，某企業(yè)引進一條新的生產線，現要定期對產品進行檢測.每次抽取100件產品作為樣本，檢測新產品中的某項質量指標數，根據測量結果得到如下頻率分布直方圖.(1)指標數不在和之間的產品為次等品，試估計產品為次等品的概率；(2)技術評估可以認為，這種產品的質量指標數服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表），計算值，并計算產品指標數落在內的概率.參考數據：，則，.【答案】(1)(2)，0.9544【解析】【分析】（1）由頻率和為1求參數，結合頻率直方圖求在和的頻率即可得出結果.（2）按平均數公式求解,由，根據公式對比計算即可得出結果.(1)由，解得，樣本中指標數不在和之間的頻率為，所以產品為次等品的概率估計值為.(2)依題意.所以，所以.20．（2022·湖北江岸·高三期末）5G網絡是第五代移動通信網絡的簡稱，是新一輪科技革命最具代表性的技術之一.2020年初以來，我國5G網絡正在大面積鋪開.A市某調查機構為了解市民對該市5G網絡服務質量的滿意程度，從使用了5G手機的市民中隨機選取了200人進行問卷調查，并將這200人根據其滿意度得分分成以下6組：???…，，統計結果如圖所示：(1)由直方圖可認為A市市民對5G網絡滿意度得分Z（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本的標準差s，并已求得.若A市恰有2萬名5G手機用戶，試估計這些5G手機用戶中滿意度得分位于區(qū)間的人數（每組數據以區(qū)間的中點值為代表）；(2)該調查機構為參與本次調查的5G手機用戶舉行了抽獎活動，每人最多有3輪抽獎活動，每一輪抽獎相互獨立，中獎率均為.每一輪抽獎，獎金為100元話費且繼續(xù)參加下一輪抽獎；若未中獎，則抽獎活動結束.現小王參與了此次抽獎活動，求小王所獲話費總額X的數學期望.參考數據：若隨機變量Z服從正態(tài)分布，即，則，.【答案】(1)（人）(2)（元）【解析】【分析】（1）根據正態(tài)分布所提供的數據計算即可；（2）先得X的可能取值，再求概率，然后用數學期望公式計算即可.(1)由題意知樣本平均數為，∴，∵，所以，，而故2萬名5H手機用戶中滿意度得分位于區(qū)間的人數約為（人）(2)由題意可知X的可能取值有0?100?200?300，∴（元）21．（2022·全國·高三專題練習（理））2020年是全面建成小康社會之年，是脫貧攻堅收官之