2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專(zhuān)題 524個(gè)題型專(zhuān)題32 利用正、余弦定理解三角形(解析版)-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練

專(zhuān)題32利用正、余弦定理解三角形正弦定理、余弦定理每年高考必考，三角函數(shù)的解答題多數(shù)是在三角形中命題，一般先用正弦定理或余弦定理邊角互化，然后結(jié)合三角函數(shù)的公式或三角函數(shù)的性質(zhì)求解。從近幾年高考命題看，考查考查力度與以往基本相同，與之相關(guān)的題目，難度不大．【題型導(dǎo)圖】類(lèi)型一用余弦定理解三角形例1：（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知4accos2＝a2+c2﹣b2．（1）求B；（2）若c＝3，且AC邊的中線BM＝，求a的值．【答案】（1）；（2）a＝1．【詳解】解：（1）∵4accos2＝a2+c2﹣b2．∴4accos2＝4ac（）＝a2+c2﹣b2．可得：b2＝a2+c2+2accosB﹣2ac，∵由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2accosB，∴2accosB﹣2ac＝﹣2accosB，可得：cosB＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（II）∵c＝3，AC邊的中線BM＝，∴由中線長(zhǎng)定理可得：32+a2＝2[（）2+（）2]，∴整理可得：b2＝2a2+5，又∵B＝，由余弦定理可得：b2＝a2+9﹣3a，∴2a2+5＝a2+9﹣3a，整理可得：a2+3a﹣4＝0，解得：a＝1或﹣4（舍去）．【變式1】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)向量，在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且.（1）求角C；（2）若，邊長(zhǎng)，求的周長(zhǎng)l和面積S的值.【答案】（1）；（2）周長(zhǎng)為，面積.【詳解】（1）由已知可得，所以，所以.（2）由題意可知，可得，所以，由余弦定理可知，則，即，故周長(zhǎng)為，面積.【變式2】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，且周長(zhǎng)為30，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，設(shè)，又因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，可得，解得，所以，由余弦定理，可得，所以，所以的面積為.故選：D.【變式3】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若△ABC的面積是，，a＝2c，則b＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【詳解】解：因?yàn)椤鰽BC的面積是，，a＝2c，所以，解得，可得，由余弦定理可得.故選：C.【痛點(diǎn)直擊】已知三角形的兩邊和一角、三邊可用余弦定理來(lái)解三角形，當(dāng)條件中有邊的平方時(shí)，可選擇用余弦定理來(lái)解三角形。類(lèi)型二已知兩邊一對(duì)角用正弦定理解三角形例2.（2022·廣東·江門(mén)市新會(huì)第二中學(xué)高一月考）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c＝，b＝，C＝30°，解此三角形．【答案】B=60o時(shí)，A=90o，a=；B=120o時(shí)，A=30o，a=c=【詳解】在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得，又因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，.當(dāng)，，所以△ABC為等腰三角形，所以.【變式1】（2022·貴州大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）在中，已知，，，解此三角形．【答案】，，．【詳解】中，∵，，，∴由正弦定理得：，∵，∴，∴，．【變式2】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，已知，求邊b.【答案】或【詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)椋曰?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以或.【變式3】（2022·甘肅·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高一期末）在中，若則（）A．15°或105° B．45°或105°C．15° D．105°【答案】A【詳解】由得，因?yàn)?，所以，又為三角形?nèi)角所以或，由內(nèi)角和為可得或故選：A【痛點(diǎn)直擊】已知三角形的兩邊一對(duì)角用正弦定理解三角形時(shí)，求出另一對(duì)角的正弦值后，應(yīng)根據(jù)兩邊的大小，判斷兩角的大小，進(jìn)而判斷該角有幾個(gè)解。類(lèi)型三用正弦定理、余弦定理判斷三角形的形狀例3.（2022·浙江省蘭溪市第三中學(xué)高一月考）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的形狀一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】利用正弦定理的邊角互化以及兩角和的正弦公式即可判斷.【詳解】∵，由正弦定理得，即∴，即，又∵，∴，∴.∴是等腰三角形.【變式1】（2022·安徽·合肥藝術(shù)中學(xué)高一月考）已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，，則的形狀是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形或等腰三角形【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，所以由正弦定理，得，即在中，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)樵谥校?，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角?故選：D.【變式2】在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則是三角形______（填“銳角”“直角”或“鈍角”）.【答案】直角【詳解】由,得,化簡(jiǎn)得,所以是直角三角形.故答案為:直角【變式3】（2022·浙江·金華市云富高級(jí)中學(xué)高一月考）（1）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，求B；（2）在△ABC中，試判斷三角形△ABC的形狀【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形.【詳解】解：（1）由知，，而，所以；（2）由得，即，所以，即，所以，即，而，所以，即，所以△ABC是直角三角形.【痛點(diǎn)直擊】由三角形中的邊角關(guān)系根據(jù)正弦定理、余弦定理判斷三角形的形狀，可根據(jù)定理將關(guān)系式中都化為角或都化為邊，然后根據(jù)邊的關(guān)系或角的值或關(guān)系，即可判斷三角形的形狀?！鞠迺r(shí)訓(xùn)練】1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，，則角（）A． B． C．或 D．或【答案】D【詳解】在中，由正弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以或，故選：D.2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，則角B的大小為（）A．30° B．45°C．135° D．45°或135°【答案】B【詳解】由正弦定理，得，則sinB=因?yàn)锽C>AC，所以A>B，而A=60°，所以B=45°.故選：B3．（2022·吉林·延邊二中高一期中）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則角的大小為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：在，因?yàn)椋烧叶ɡ砜苫?jiǎn)得，即，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，故選：A.4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1，3，a，則a的范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)角對(duì)應(yīng)的邊為，當(dāng)是最大邊時(shí)，，所以，當(dāng)不是最大邊時(shí)，，所以，所以的取值范圍是，故選：C.5．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為，c﹣a＝2，cosB＝，則b的值為_(kāi)_．【答案】4【詳解】因?yàn)閏osB＝，所以sinB＝＝，因?yàn)椤鰽BC的面積為解得ac＝8，又c﹣a＝2，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝（c﹣a）2+2ac﹣ac＝4+16﹣4＝16，解得b＝4．故答案為：4．6．（2022·安徽·合肥藝術(shù)中學(xué)高一月考）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】【詳解】由題得,因?yàn)?所以，所以,因?yàn)?，所?由正弦定理得.所以,所以的最大值為，此時(shí).故答案為：7．（2022·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）在銳角三角形ABC中，分別是角的對(duì)邊，且.（1）求角C的大??；（2）若，且的面積為，求的值.【答案】（1）；（2）5.【詳解】（1）由正弦定理邊化角得，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以，又，所以，?8．（2022·湖北·大冶市第一中學(xué)高一月考）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知且．（1）求角A的大??；（2）若，求的面積；（3）求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）∵，∴，，，∵，∴，又，∴，，；（2）∵，，∴，∴；（3）由正弦定理可得：，，其中，，，為銳角，因?yàn)闉殇J角三角形，則，從而，得，，所以，，所以，從而的取值范圍為9．（2022·甘肅·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高一期末）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且（1）求外接圓的周長(zhǎng)；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由正弦定理得其中為外接圓的直徑，所以因此外接圓的周長(zhǎng)為（2）根據(jù)余弦定理，將條件代入，可解得于是的面積10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足cosC+cosAcosB=2sinAcosB．（1）求cosB的值;（2）若a+c=2，求b的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)閏osC+cosAcosB=sinAcosB，所以-cos(A+B)+cosAcosB=sin