2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題78 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（解析版）-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練

專題78等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和【題型歸納目錄】題型一：等差數(shù)列的基本運(yùn)算題型二：等差數(shù)列的判定與證明題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)題型四：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)題型五：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值題型六：求數(shù)列的通項(xiàng)題型七：關(guān)于奇偶項(xiàng)問題的討論題型八：對于含絕對值的數(shù)列求和問題題型九：利用等差、等比數(shù)列的單調(diào)性求解題型十：等差數(shù)列中的范圍與最值問題【典例例題】題型一：等差數(shù)列的基本運(yùn)算例1．（2022·河南開封·高二期末（理））已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】解：因?yàn)閿?shù)列，都是等差數(shù)列，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，，所以其公差為，所以則，故選：A例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國秦漢時(shí)期一部杰出的數(shù)學(xué)著作，書中第三章“衰分”有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次變低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增等差數(shù)列，這5個(gè)人各出多少錢?”在這個(gè)問題中，若不更出17錢，則公士出的錢數(shù)為（

）A．10 B．14 C．23 D．26【答案】D【解析】解：設(shè)大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的錢數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列．由題意可知，等差數(shù)列中，前5項(xiàng)和為100，設(shè)公差為，前項(xiàng)和為，則，解得，所以，所以公士出的錢數(shù)為，故選：D．例3．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則（

）A．72 B．74 C．75 D．76【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，.故選：C.例4．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，解得：，.故選：D.例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：由題意得：設(shè)的公差為又又，故選：D例6．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測（文））已知等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．115 B．110 C． D．【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，則由得，解得，．故選：D．【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列基本運(yùn)算的常見類型及解題策略：（1）求公差或項(xiàng)數(shù)．在求解時(shí)，一般要運(yùn)用方程思想．（2）求通項(xiàng)．和是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素．（3）求特定項(xiàng)．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解．（4）求前項(xiàng)和．利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解．【注意】在求解數(shù)列基本量問題中主要使用的是方程思想，要注意使用公式時(shí)的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．在遇到一些較復(fù)雜的方程組時(shí)，要注意運(yùn)用整體代換思想，使運(yùn)算更加便捷．題型二：等差數(shù)列的判定與證明例7．（2022?安徽月考）設(shè)數(shù)列，，，，中的每一項(xiàng)都不為0．證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何，都有．【解析】證明：先證必要性設(shè)數(shù)列的公差為，若，則所述等式顯然成立．若，則．再證充分性：用數(shù)學(xué)歸納法證明：①設(shè)所述的等式對一切都成立，首先在等式①兩端同時(shí)乘，即得，所以，，成等差數(shù)列，記公差為，則．②假設(shè)，②，則有：，將②代入③得，在該式兩端同時(shí)乘，得，把代入后，整理得．由數(shù)學(xué)歸納法原理知對任何，都有．所以，是公差為的等差數(shù)列．例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求正整數(shù)m．【解析】(1)因?yàn)?，所以，即，則．又，，滿足，所以是公差為4的等差數(shù)列．(2)由（1）得，，則．又，所以，化簡得，解得m＝7或（舍）．所以m的值為7．例9．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知首項(xiàng)為2的數(shù)列滿足，記.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前10項(xiàng)和.【解析】(1)，，即故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，.(2)知，，故.例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；【解析】證明：，，，則，即，解得，所以，，即，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，故.例11．（2022·山東濟(jì)寧·二模）已知數(shù)列滿足，(1)設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【解析】(1)由題意，，當(dāng)時(shí)，，所以，則是以1為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列.(2)由題設(shè)，，由（1）知：，則.其中，即，所以，兩式相減得，所以，綜上，.例12．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，由，得或，∵，∴，由，得當(dāng)時(shí)，由，得，整理得，∵，∴≠0，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；(2)由（1）得，，∴．例13．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足：(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)由題設(shè)，，則，所以，整理得，則，所以，即，，所以，故數(shù)列為等差數(shù)列，得證.(2)由，可得，又，結(jié)合（1）結(jié)論知：公差，所以，故，則，所以，且，所以，即，所以，在且上遞減，則，要使對任意恒成立，即，所以.例14．（2022·安徽阜陽·高三期末（文））記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.【解析】(1)證明：因?yàn)椋偎援?dāng)時(shí)，，得或7，又，則.當(dāng)時(shí)，，②①-②得，，，由，得，故，即為等差數(shù)列.(2)由（1）知，為等差數(shù)列且公差為4，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，故的前n項(xiàng)和為.例15．（2022·安徽淮南·一模（文））已知數(shù)列滿足，．(1)求的值并證明數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式并證明：．【解析】(1)解：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；，兩式相除得，整理為：，即，∴為等差數(shù)列，公差；(2)證明：由（1）得，整理得：，∵，又∵單調(diào)遞增，∴，所以.例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，設(shè)數(shù)列(1)求證數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【解析】(1)解：因?yàn)椋?，所以又因?yàn)?，所以，，，（為常?shù)）所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；(2)由（1）知：，所以，所以，.例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列{an}滿足(1)問數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列？說明理由；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】(1)由，解得：，，，，∵a3－a2＝2，a4－a3＝3，∴，∴數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.又∵，，∴，∴數(shù)列{an}也不是等比數(shù)列.(2)證明：∵對任意正整數(shù)n，為偶數(shù)，所以，∴，即，其中，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，從而對?n∈N*，，則.∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是(n∈N*).例18．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三階段練習(xí)（理））已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，且對任意的正整數(shù)，是和的等差中項(xiàng).(1)證明：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】(1)證明：由題知，得，所以是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合題意，所以，又所以.(2)解：由題得，所以，所以所以，又時(shí)符合該式，故.例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，其前n項(xiàng)和滿足：.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若對一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值.【解析】(1)，即，所以，故數(shù)列是等差數(shù)列；(2)（2），令，則，令得，.由令，解得所以數(shù)列中當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增.所以例20．（2022·全國·高三開學(xué)考試（理））已知為數(shù)列的前n項(xiàng)的積，且，為數(shù)列的前n項(xiàng)的和，若（，）.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式.【解析】解：（1）證明：，.，是等差數(shù)列.（2）由（1）可得，.時(shí)，；時(shí)，.而，，，均不滿足上式.（）.【方法技巧與總結(jié)】方法解讀適合題型定義法為同一常數(shù)?是等差數(shù)列解答題中的證明問題等差中項(xiàng)法成立?是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法為常數(shù)）對任意的正整數(shù)都成立?是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問題前項(xiàng)和公式法驗(yàn)證為常數(shù)）對任意的正整數(shù)都成立?是等差數(shù)列【注意】如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項(xiàng)法．判斷時(shí)易忽視定義中從第2項(xiàng)起，以后每項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一常數(shù)，即易忽視驗(yàn)證a2－a1＝d這一關(guān)鍵條件．題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A．74 B．81 C．162 D．148【答案】B【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，即，所以.故選：B例22．（2022·福建省華安縣第一中學(xué)高三期中）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，則m等于（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【解析】是等差數(shù)列又，∴公差，故選：D．例23．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．60 B．75 C．90 D．105【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，故，即，，故.故選：D例24．（2022·海南?？凇ざ＃┰O(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，即，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，又，所以，所以．故選：C.例25．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知等差數(shù)列中，，是方程的兩根，則的前21項(xiàng)的和為（

）A．6 B．30 C．63 D．126【答案】C【解析】，是方程的兩根，由韋達(dá)定理得：，所以等差數(shù)列的前21項(xiàng)的和．故選：C【方法技巧與總結(jié)】如果為等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，．因此，出現(xiàn)等項(xiàng)時(shí)，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與（或其他項(xiàng)）有關(guān)的條件；若求項(xiàng)，可由轉(zhuǎn)化為求am－n＋an＋m的值．題型四：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例26．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測（理））已知項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，最后項(xiàng)和為，所有項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，，兩式相加得，所以，又，所以．故選：B．例27．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測（文））已知等差數(shù)列，，，…，，，前6項(xiàng)和為10，最后6項(xiàng)和為110，所有項(xiàng)和為360，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)（

）A．26 B．30 C．36 D．48【答案】C【解析】由題意知，，兩式相加得，所以，又，所以．故選：C．例28．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，故選：C.例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，所以.故選：A例30．（2022·四川涼山·三模（理））等差數(shù)列滿足且，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列滿足，且，所以，所以，因?yàn)?，所以，同理所以，故選：D例31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．8 B．12 C．14 D．20【答案】D【解析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則，，，構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列則+()+()+()=2+4+6+8=20故選：D例32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，則(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)的公差為d，∵∴，即{}為等差數(shù)列，公差為，由知，故﹒故選：A﹒例33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，.若對于任意的正整數(shù)n都有，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，.則，，所以.故選：B.例34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，若對任意自然數(shù)n都有，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，.故選：C.例35．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，，且，則使恒成立的實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由題意可得．設(shè)，，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，所以．故實(shí)數(shù)的最大值為．故選：B【方法技巧與總結(jié)】在等差數(shù)列中，，…仍成等差數(shù)列；也成等差數(shù)列．題型五：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值例36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且．若存在最大值，則滿足的的最大值為_______．【答案】19【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)橛凶畲笾?，則數(shù)列單調(diào)遞減．又，則，，且．所以，，故的最大值為19．考點(diǎn)：1、等差數(shù)列；2、等差數(shù)列的前項(xiàng)和．【思路點(diǎn)晴】本題考查的是等差數(shù)列的性質(zhì)、前項(xiàng)和最大值問題；解題的關(guān)鍵是由已知及它們的前項(xiàng)和有最大值，靈活運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)和前項(xiàng)和的公式得到，是解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)，本題屬于中檔題．例37．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）設(shè)公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為_______.【答案】9【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差滿足，所以是遞減數(shù)列.又.為負(fù)數(shù).,即,.,,.即時(shí)，；，.所以當(dāng)時(shí)，取最大值.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和例38．（2022·江西·高三單元測試（文））等差數(shù)列中，是它的前項(xiàng)之和，且，，則：①數(shù)列的公差；②一定小于；③是各項(xiàng)中最大的一項(xiàng)；④一定是中的最大值．其中正確的是______________（填入你認(rèn)為正確的所有序號）．【答案】①②④【解析】則等差數(shù)列是遞減數(shù)列,所以并且等差數(shù)列從第8項(xiàng)起為負(fù)數(shù)．所以①④正確,③錯(cuò)誤;因?yàn)?所以②正確．考點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)．例39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，當(dāng)________時(shí)，取到最大值.【答案】5或6【解析】由題意，設(shè)等差數(shù)列為且，公差為，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，即，所以為單調(diào)遞減的等差數(shù)列，即故當(dāng)或時(shí)，最大.故答案為：5或6.例40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則的最小值為______．【答案】【解析】由，，得，解得：，則．故．由于，故當(dāng)或4時(shí)，.故答案為：例41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，則的最小值為______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故當(dāng)或時(shí)，取最小值.綜上，的最小值為.故答案為：.例42．（2022·江西贛州·二模（文））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則使得前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的值為（

）A．2022 B．2021 C．1012 D．1011【答案】D【解析】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，，，所以，所以，，所以，，即等差數(shù)列的公差，所以，時(shí)，；時(shí)，，所以，使得前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的值為.故選：D例43．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.若，則（

）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最小值是【答案】D【解析】由得：，整理可得：，等差數(shù)列為遞增數(shù)列，又，，，當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；有最小值，最小值為.故選：D.例44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．與均為的最小值【答案】C【解析】對于A選項(xiàng)，由可得，A選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，由可得，∴，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，由可得，且，，，所以，當(dāng)且時(shí)，，且，則與均為的最小值，D選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，∵，，當(dāng)時(shí)，，所以，，B選項(xiàng)正確．故選：C．例45．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列中，已知，，則的前項(xiàng)和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵等差數(shù)列中，，∴，即．又，∴的前項(xiàng)和的最小值為．故選：B例46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．8或9【答案】D【解析】由題知，，則，等差數(shù)列的公差d滿足，數(shù)列單減，且，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為8或9故選：D例47．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，，則數(shù)列的最大項(xiàng)為.對于A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，且數(shù)列為遞增數(shù)列，此時(shí)無最大項(xiàng)，A選項(xiàng)不滿足條件；對于B選項(xiàng)，由，可得，故數(shù)列中最大，B選項(xiàng)不滿足條件；對于C選項(xiàng)，，數(shù)列為遞增數(shù)列且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無最大項(xiàng)，C選項(xiàng)不滿足條件；對于D選項(xiàng)，由，可得，故數(shù)列中最大，D選項(xiàng)滿足條件.故選：D.例48．（2022·海南·嘉積中學(xué)高三階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列前項(xiàng)和，，，當(dāng)取得最小值時(shí)（

）．A．2 B．14 C．7 D．6或7【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，，∴，，聯(lián)立解得：，，∴，令，解得．當(dāng)取得最小值時(shí)或7．故選：D．例49．（2022·青海玉樹·高三階段練習(xí)（文））已知等差數(shù)列的公差是d，且，則的最大值為________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，所以，所以?dāng)時(shí)，取最大值，最大值為.故答案為：.例50．（2022·全國·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【解析】(1)解：因?yàn)?，即①，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．(2)解：由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)．例51．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，并解答．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且,．(1)求的最小值；(2)若數(shù)列滿足____________，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．【解析】(1)由題，，，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，選①，由（1），，令，即,所以，所以；選②，由（1），，所以；選③，由（1），，，所以例52．（2022·福建泉州·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列，，，且，是與的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，求的最大值．【解析】(1)由題可知，即，則，∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，∵是與的等差中項(xiàng)，∴，即，解得，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為；(2)由(1)知，∴，∴，∴數(shù)列是一個(gè)公差為－2的遞減等差數(shù)列，且，，故的最大值為.例53．（2022·遼寧葫蘆島·一模）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求，并求的最大值．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.(2)由（1）得：，則當(dāng)時(shí)，.【方法技巧與總結(jié)】求等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的2種方法（1）函數(shù)法：利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．（2）鄰項(xiàng)變號法：①若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；②若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．題型六：求數(shù)列的通項(xiàng)例54．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足，則其通項(xiàng)______．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，令得：，即，令得：則，由，兩式相減得：，即，因?yàn)榈炔顢?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，解得：，代入中，解得：，所以.故答案為：例55．（2022·全國·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【解析】(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項(xiàng)公式；(2)∴例56．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，現(xiàn)有如下三個(gè)條件分別為：條件①；條件②；條件③；請從上述三個(gè)條件中選擇能夠確定一個(gè)數(shù)列的兩個(gè)條件，并完成解答.您選擇的條件是___________和___________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)選①②時(shí)：解法1：由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，又得，得，故，即解法2：由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，又得，則，即選②③時(shí)：由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，由可知，即得，故，即選①③這兩個(gè)條件無法確定數(shù)列.(2)所以例57．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知非零數(shù)列滿足．(1)若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，求它的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：對任意．【解析】(1)解：因?yàn)閿?shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，故設(shè)公差為.又，則，化簡得，又，故，因?yàn)?，則，且所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)解：因?yàn)?，所以，又，則，故，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，故，，則對任意的，，當(dāng)時(shí)等號成立.例58．（2022·江蘇·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）已知數(shù)列各項(xiàng)都不為，且滿足，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，的前n項(xiàng)和為，求取得最小值時(shí)的n的值．【解析】(1)①當(dāng)時(shí)，②①②的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各自成等差數(shù)列且為奇數(shù)），（為偶數(shù)(2)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值例59．（2022·福建·廈門雙十中學(xué)模擬預(yù)測）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)由，為整數(shù)知，等差數(shù)列的公差為整數(shù).又，故，.于是，，解得，因此，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)，于是.題型七：關(guān)于奇偶項(xiàng)問題的討論例60．（2022·山東聊城·高三期末）已知數(shù)列滿足：，，.(1)記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【解析】(1)因?yàn)椋頽取，則，即，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以(2)令n取2n，則，所以，由（1）可知，；；所以例61．（2022·河南·羅山縣教學(xué)研究室高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且.(1)求，；(2)設(shè)，求數(shù)列的前8項(xiàng)和.【解析】(1)解：由原式可得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，兩式作差可得：，所以，又因?yàn)?，則，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，，∴，；(2)解：，即，所以，即數(shù)列的前8項(xiàng)和.例62．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，，，前n項(xiàng)和滿足．（1）證明：為等差數(shù)列；（2）求．【解析】解：（1）∵①∴②①②：③∴④④③：∴∴是以首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，（2）由（1）得是以首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，同理可得是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又，∴前101項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)和為，前101項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)和為，∴．例63．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，兩式相減得，所以，，故，故選：D.例64．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：(1)求、、；(2)將數(shù)列中下標(biāo)為奇數(shù)的項(xiàng)依次取出，構(gòu)成新數(shù)列，①證明：是等差數(shù)列；②設(shè)數(shù)列的前m項(xiàng)和為，求證：．【解析】(1)由題意知：，，

；(2)①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+1為偶數(shù)，，，，當(dāng)時(shí)，，是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．

②由①知，

，

，.例65．（2022·四川成都·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)解：由題意得：，則為等差數(shù)列，首項(xiàng)．∴．(2)∴①∴②①-②得，∴．例66．（2022·天津靜?！じ呷A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，且滿足，等差數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和，，

(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.(3)設(shè)，，的前n項(xiàng)和，求證：.【解析】(1)由題意，，設(shè)公比為q，則有解得或（由于是正數(shù)列，舍），由，，；對于由等差中項(xiàng)可知，設(shè)公差為d，，，；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則有：=

設(shè)…①，…②，①-②得：，K

，；(3)，；綜上，，，的前2n項(xiàng)和=

.例67．（2022·四川·樹德中學(xué)高一階段練習(xí)）數(shù)列滿足，則前項(xiàng)的和______．【答案】【解析】【詳解】設(shè)，因，故由此可算得則前40項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)為，其和；偶數(shù)項(xiàng)為，其和，故所求數(shù)列前項(xiàng)的和為，應(yīng)填答案．例68．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為___________.【答案】330【解析】由題意，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，，故答案為：330【方法技巧與總結(jié)】對于奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一的數(shù)列的求和問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類．題型八：對于含絕對值的數(shù)列求和問題例69．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為，由題意可知：，解得所以(2)由（1）知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以例70．（2022·山西大附中三模（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個(gè)能夠確定一個(gè)數(shù)列的條件，并完成解答．（條件①：；

條件②：；

條件③：.）選擇條件和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，并求數(shù)列的前項(xiàng)的和【解析】(1)選①②，由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，又得，故選②③，由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，由可知，選①③，無法確定數(shù)列.(2)，其中,當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，數(shù)列是從第三項(xiàng)開始，以公差的等差數(shù)列.例71．（2022·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；(2)記，求.【解析】(1)證明：，，，則，即，解得，所以，，即，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，故.(2)解：，所以，.例72．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)公式．(2)的前多少項(xiàng)和最大？(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】(1)解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)也成立，所以；(2)解：令，即，所以，故數(shù)列的前17項(xiàng)大于或等于零．又，故數(shù)列的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大．(3)由（2）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．故．【方法技巧與總結(jié)】由正項(xiàng)開始的遞減等差數(shù)列的絕對值求和的計(jì)算題解題步驟如下：（1）首先找出零值或者符號由正變負(fù)的項(xiàng)（2）在對進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，題型九：利用等差、等比數(shù)列的單調(diào)性求解例73．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且，，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【詳解】∵等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且，∴，又∵，∴，，，，即的取值范圍為，故答案為.例74．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（），則首項(xiàng)的取值范圍為__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，即，又，故，所以數(shù)列是偶數(shù)項(xiàng)以4為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)從起奇數(shù)項(xiàng)也是以4為公差的等差數(shù)列，若數(shù)列單調(diào)遞增，所以需滿足，又，所以，解得，故的取值范圍為.例75．（2022·上海徐匯·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差，表示的前項(xiàng)和，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍是________.【答案】【解析】Sn＝na1．∵數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，∴Sn+1＞Sn，∴（n+1）a13＞na1．化為：a1＞﹣3n，對于?n∈N*都成立．∴a1＞﹣3．故答案為：（﹣3，+∞）．例76．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，，且，若數(shù)列單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，因此有，得：，說明該數(shù)列從第2項(xiàng)起，偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)都成等差數(shù)列，且它們的公差都是2，由可得：，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以有，即，解得：，故選：C例77．（2022·遼寧丹東·高二期末）已知等差數(shù)列的公差為，若為遞增數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】數(shù)列是遞增數(shù)列，則．故選：A．例78．（2022?江西二模）已知函數(shù)若數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】解：已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，，即．例79．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則，即，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”；若等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”.因此，“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.例80．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足若對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，對任意的，都有成立，即，即，又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，，且是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，，即，解得.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】（1）在處理數(shù)列的單調(diào)性問題時(shí)應(yīng)利用數(shù)列的單調(diào)性定義，即“若數(shù)列是遞增數(shù)列，恒成立”．（2）數(shù)列的單調(diào)性與，的單調(diào)性不完全一致．一般情況下我們不應(yīng)把數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性來處理．但若數(shù)列對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則可以借助其單調(diào)性來求解數(shù)列的單調(diào)性問題．即“離散函數(shù)有單調(diào)性連續(xù)函數(shù)由單調(diào)性；連續(xù)函數(shù)有單調(diào)性離散函數(shù)有單調(diào)性”．題型十：等差數(shù)列中的范圍與最值問題例81．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列為遞減數(shù)列，所以，，.故選：D例82．（2022·青?！つM預(yù)測（理））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，若數(shù)列滿足，則m＝（

）A．9 B．10 C．19 D．20【答案】B【解析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，有，，有，顯然數(shù)列是遞減的，且，因，所以.故選：B例83．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（理））數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)的和為，若，，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，則，故數(shù)列為遞增數(shù)列，因?yàn)?，，且?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，滿足當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：C.例84．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是（

）A．2021 B．4044 C．4043 D．4042【答案】D【解析】因?yàn)?，所以和異號，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以使?shù)列的前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是4042，故選：D例85．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列}的前n項(xiàng)和為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得，則，因?yàn)?，可得，則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意可得，可得.即的取值范圍是.故選：C.例86．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和為，且，，則使得的正整數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，又，可得，由，可得，則，，，故使得的正整數(shù)的最小值為19.故選：B.例87．（2022·江西·二模（文））己知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是，若公差，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由,故可知或,可知等差數(shù)列單調(diào)遞增.所以只能是.故可知故選:D例88．（2022·河南·鶴壁高中模擬預(yù)測（文））設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由是等差數(shù)列，得，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為．故選：B．例89．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，，故C正確；若，則公差，此時(shí)，則不合題意，A錯(cuò)誤；若，則，此時(shí)，，故B、D錯(cuò)誤.故選：C．例90．（2022·河南·寶豐縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，，若對任意的正整數(shù)，恒有，則正整數(shù)的值是（

）A．1 B．4 C．7 D．10【答案】A【解析】由，，所以，，所以，，所以的公差，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，，，，，…，所以，又，故為的最小值，故，故選：A.例91．（2022·北京豐臺(tái)·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；，所以，則公差，故B錯(cuò)誤；所以等差數(shù)列為遞增數(shù)列，則，，則，所以，所以，故D正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，。此時(shí)，故C錯(cuò)誤.故選：D.例92．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公差非零的等差數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【解析】因公差非零的等差數(shù)列{an}滿足，則有，有，異號且均不為0，對于A，，A不正確；對于B，，而，此時(shí)，，B不正確；對于C，由選項(xiàng)A知，，即，則，于是得，數(shù)列是遞增數(shù)列，即，，C正確；對于D，由得，則，于是得，數(shù)列是遞減數(shù)列，即，，D不正確.故選：C例93．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，，，則無法判斷正負(fù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)公差為，因?yàn)椋?，可知：，且，，所以，從而，不確定正負(fù)，，故選：B例94．（2022·浙江省杭州第二中學(xué)模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列公差不為0，正項(xiàng)等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列公比為，因?yàn)?，所以，即，所以，又，所以，由得，，，所以時(shí)，，時(shí)，．，，由，，即，（*），令，，（*）式為，其中，且，由已知和是方程的兩個(gè)解，記，且，是一次函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，由一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)它們同增或同減時(shí)，圖象才能有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程才可能有兩解（題中時(shí)，，時(shí)，，滿足同增減）．如圖，作出和的圖象，它們在和時(shí)相交，無論還是，由圖象可得，，，時(shí)，，時(shí)，，因此，，，，即，故選：B例95．（2022·廣東廣州·模擬預(yù)測（理））首項(xiàng)為﹣21的等差數(shù)列從第8項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（

）A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d【答案】D【解析】an＝﹣21+（n﹣1）d．∵從第8項(xiàng)起開始為正數(shù)，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d．故選：D．例96．（2022·湖南師大附中高三階段練習(xí)（理））設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)的積為，并且滿足條件，，，則使成立的最大自然數(shù)的值為（

）A．9 B．10C．18 D．19【答案】C【解析】由，可得一個(gè)大于，另一個(gè)小于，由，可得大于.又其中一個(gè)大于，則都大于，故.若，由，可得均大于，與題意矛盾.故，由，可得：，.因?yàn)?，又，?dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，于是此時(shí).當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而..故當(dāng)時(shí)都有，而是滿足成立的最大自然數(shù).故選：例97．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，給出下列五個(gè)命題：①公差②③④數(shù)列中的最大項(xiàng)為⑤其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】等差數(shù)列中，最大，且，，，①正確；，，，，，，最大，④不正確；，，③⑤正確，②錯(cuò)誤.故選：B．例98．（2022·湖北武漢·高三期末（理））若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，其首項(xiàng)，，，則使成立的最大自然數(shù)是（

）A．198 B．199 C．200 D．201【答案】A【解析】∵，∴和異號；∵，，有等差數(shù)列的性質(zhì)可知，等差數(shù)列的公差，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又，，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可知，使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)是.故選：A．例99．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和是，若，，則在中最大的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，所以可得．這樣，而>0，，所以在中最大的是．故選C．例100．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則此數(shù)列中絕對值最小的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)為（

）．A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng) C．第7項(xiàng) D．無法確定【答案】C【解析】因?yàn)?，，由等差?shù)列的性質(zhì)可得，所以，所以該數(shù)列的公差，所以絕對值最小的項(xiàng)在0附近的項(xiàng)中取得，因?yàn)?，所以，所以絕對值最小的項(xiàng)為，故選：C例101．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．2【答案】B【解析】由題意，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．故選：B．【過關(guān)測試】一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2022·河南·睢縣高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列滿足，，則的前項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為，，，，解得：，，解得：，的前項(xiàng)的和為.故選：C.2．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知等差數(shù)列中，其前5項(xiàng)的和，等比數(shù)列中，則（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】由題意得：，解得：，設(shè)等比數(shù)列的公比是，因?yàn)?，所以，解得：，顯然，所以，所以，所以故選：D3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列中，前4項(xiàng)為1，3，5，7，則數(shù)列前10項(xiàng)的和（

）A．100 B．23 C．21 D．17【答案】A【解析】設(shè)公差為，則，則.故選：A.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在3和9之間插入兩個(gè)正數(shù)后，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個(gè)正數(shù)之和為（

）A． B． C． D．10【答案】B【解析】不妨設(shè)插入兩個(gè)正數(shù)為，即∵成等比數(shù)列，則成等差數(shù)列，則即，解得或（舍去）則故選：B．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，因此，.故選：B.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，，則（

）A．2021 B． C． D．【答案】B【解析】∵，即，則∴數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列則，即∴則故選：B．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．351 B．353 C．531 D．533【答案】B【解析】依題意，，顯然，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有，即有，，…，，令，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，故；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有，即，，…，，于是，，故選：B．8．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，若數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，所以.故，故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若是等差數(shù)列，則下列數(shù)列為等差數(shù)列的有（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】設(shè)等