2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題62 直線的方程-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專題62直線的點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)式方程題型一直線的點(diǎn)斜式方程及辨析1．已知直線過點(diǎn)，且直線的傾斜角為直線的傾斜角的2倍，則直線的點(diǎn)斜式方程為________．【答案】【解析】解：由直線，得斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，設(shè)直線的傾斜角為，斜率為，則，又直線過點(diǎn)，所以直線的點(diǎn)斜式方程為．故答案為：．2．已知直線與軸交于點(diǎn)，與的終邊（始邊為軸正半軸）交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原，若點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，則直線的方程為________．【答案】【解析】由題意知，直線的終邊，交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原，即，又由點(diǎn)橫坐標(biāo)為，可得，所以，又因?yàn)?，則，所以，即，又由，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故答案為：.3．已知直線過點(diǎn)，且與軸和直線圍成的三角形的面積為2，求直線的方程．【答案】或.【解析】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)符合題目要求；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即．當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，得，由三角形的面積為2，得，解得，故直線的方程為，即：，綜上，直線的方程為或.4．已知直線過點(diǎn)，根據(jù)下列條件分別求直線l的方程：（1）直線的傾斜角等于；（2）直線在軸、軸上的截距之和等于0．【答案】(1)(2)或.【解析】解：（1）設(shè)直線的斜率為，由題意得.又直線過點(diǎn)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得即直線的方程為：（2）設(shè)直線在軸、軸上的截距分別為，，由題意得，即①若時(shí)，則直線過點(diǎn)（0，0），可得直線的方程為：.②若時(shí)，則直線的方程為：將代入得：，即.直線的方程為：.所以直線的方程為：或.題型二直線的兩點(diǎn)式方程及辨析1．若直線過點(diǎn)和，且點(diǎn)在直線上，則的值為（）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016【答案】A【解析】解：因?yàn)橹本€過點(diǎn)和，由直線的兩點(diǎn)式方程，得直線的方程為，化簡得：，由于點(diǎn)在直線上，將點(diǎn)代入方程，得，解得：.故選：A.2．已知直線和直線都過點(diǎn),則過點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】解：把坐標(biāo)代入兩條直線和,得,,,過點(diǎn),的直線的方程是：,,則,,,所求直線方程為：．故選B3．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（0，4）、B（﹣2，6）、C（﹣8，0）（1）求邊AC和AB所在直線的方程（2）求邊AC上的中線BD所在的直線的方程．【答案】（1）邊AC所在直線的方程為x﹣2y+8=0，邊AB所在直線的方程為x+y﹣4=0；（2）2x﹣y+10=0【解析】（1）∵A（0，4），C（﹣8，0），∴直線AC的截距式方程得：，化簡得x﹣2y+8=0∵B（﹣2，6），A（0，4）∴由直線的兩點(diǎn)式方程，得AB方程為，即x+y﹣4=0綜上所述，邊AC所在直線的方程為x﹣2y+8=0，邊AB所在直線的方程為x+y﹣4=0（2）設(shè)點(diǎn)D（x，y），由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得，∴AC中點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣4，2）再由直線的兩點(diǎn)式方程，得BD所在直線的方程為，化簡得2x﹣y+10=0，即為所求邊AC上的中線BD所在的直線的方程．4．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，（1）求AB的垂直平分線所在的直線方程；（2）過點(diǎn)A作直線，它把的面積分成1：3兩部分，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，則，中點(diǎn)為即則垂直平分線方程為：整理得到（2）過點(diǎn)A作直線，它把的面積分成1：3兩部分則直線過的四等分點(diǎn)，即或當(dāng)時(shí)：解得此時(shí)的直線方程為：整理得到當(dāng)時(shí)：解得此時(shí)的直線方程為：整理得到綜上所述：直線方程為或題型三直線圖像的辨析1．直線l1：y＝k1x＋b1與l2：y＝k2x＋b2的位置關(guān)系如圖所示，則有()A．k1<k2且b1<b2 B．k1<k2且b1>b2C．k1>k2且b1>b2 D．k1>k2且b1<b2【答案】A【解析】根據(jù)圖象得：.k1<k2且b1<b2故選A.2．若直線不過第一象限，則實(shí)數(shù)取值范圍是__________．【答案】【解析】由題,整理直線為,因?yàn)橹本€不過第一象限,則,解得,故答案為：3．已知直線y＝(3－2k)x－6不經(jīng)過第一象限，則k的取值范圍為________.【答案】[，＋∞)【解析】直線y＝(3－2k)x－6不經(jīng)過第一象限，則即答案為[，＋∞).4．如圖，直線l：y－2＝(x－1)過定點(diǎn)P(1,2)，求過點(diǎn)P且與直線l所夾的角為30°的直線l′的方程.【答案】x＝1或x－y＋2－1＝0.【解析】設(shè)直線l′的傾斜角為α′，由直線l的方程y－2＝(x－1)知，直線l的斜率為，則傾斜角為60°.當(dāng)α′＝90°時(shí)，滿足l與l′所夾的銳角為30°，此時(shí)直線l′的方程為x＝1；當(dāng)α′＝30°時(shí)，也滿足l與l′所夾的銳角為30°，此時(shí)直線l′的斜率為，由直線方程的點(diǎn)斜式得l′的方程為y－2＝(x－1)，即x－y＋2－1＝0.綜上，所求直線l′的方程為x＝1或x－y＋2－1＝0.題型四直線與坐標(biāo)圍成圖形的面積問題1．過點(diǎn)的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)的方程為，則有因?yàn)?，所以，即所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”.即當(dāng)時(shí)，的面積最小.此時(shí)的方程為，即.故選：A2．過點(diǎn)作直線，直線與，軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)．（1）若的面積為9，求直線的方程；（2）若的面積為，求的最小值，并求出此時(shí)直線的方程．【答案】（1）或；（2）8，．【解析】解：（1）設(shè)，，其中，，則由直線的截距式方程得直線的方程為．將代人直線的方程，得．依題意得，，即，所以，從而，所以，整理得：，解得，，因此直線的方程為或，整理得，或．（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，因此直線的方程為，即．3．已知直線過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．若分別等于3，5時(shí)，則相應(yīng)的直線分別有幾條？【答案】分別有兩條和四條【解析】設(shè)，則可求得與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)..當(dāng)時(shí)，整理得或.由解得；無解.所以這樣的直線有兩條.當(dāng)時(shí)，整理，得或.由解得；由解得.所以這樣的直線有四條4．經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）作直線l分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，直線l的方程為_____.【答案】x