2023一輪數(shù)學講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型專題35 復(fù)數(shù)的四則運算-2023一輪數(shù)學講義+題型細分與精練（解析版）

專題35復(fù)數(shù)的四則運算題型一復(fù)數(shù)的加減運算類型1直接進行加減運算【例1-1】（1）計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(3,2)i)).（2）已知復(fù)數(shù)z滿足z＋1－3i＝5－2i，求z.【答案】（1）z＝4＋i（2）z＝4＋i【解析】（1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(3,2)i))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋2－\f(4,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1＋\f(3,2)))i＝1＋i.（2）法一：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，因為z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.法二：因為z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.【變式1-1】（1）－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.【答案】－10i【解析】－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i.【變式1-1】（2）已知復(fù)數(shù)z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是純虛數(shù)，則實數(shù)a＝________.【答案】3【解析】由條件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是純虛數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a－3＝0，,a2－1≠0，))解得a＝3.類型2需要設(shè)復(fù)數(shù)標準式的加減運算【例1-2】設(shè)，（為虛數(shù)單位），且，則()A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，得，又，，即．【變式1-2】（1）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋i，則z＝________.【答案】eq\f(3,4)＋i【解析】設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝eq\r(x2＋y2).∴x＋yi＋eq\r(x2＋y2)＝2＋i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(x2＋y2)＝2，,y＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4)，,y＝1.))∴z＝eq\f(3,4)＋i.【變式1-2】（2）已知|z|＝4，且z＋2i是實數(shù)，則復(fù)數(shù)z＝________．【答案】±2eq\r(3)－2i【解析】因為z＋2i是實數(shù)，可設(shè)z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，所以a2＝12，所以a＝±2eq\r(3)，所以z＝±2eq\r(3)－2i.題型二復(fù)數(shù)加減的幾何意義【例2】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋i與1＋3i分別對應(yīng)向量OA和OB，其中O為坐標原點，則AB等于()A.eq\r(2)B．2C.eq\r(10)D．4【答案】B【解析】∵復(fù)數(shù)1＋i與1＋3i分別對應(yīng)向量OA和OB∴OA=(1，1)，OB∴AB∴AB【變式2-1】若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在復(fù)平面內(nèi)z1＋z2所對應(yīng)的點在實軸上，則a的值為()A．3B．2C．1D．－1【答案】D【解析】z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵在復(fù)平面內(nèi)z1＋z2所對應(yīng)的點在實軸上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.【變式2-2】如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i.求：（1）AO表示的復(fù)數(shù)；（2）對角線CA表示的復(fù)數(shù)；（3）對角線OB表示的復(fù)數(shù)．【答案】（1）－3－2i（2）5－2i（3）1＋6i【解析】（1）因為AO=?OA，所以（2）因為CA=OA?（3）因為對角線OB=所以對角線OB表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.【變式2-3】△ABC的三個頂點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，復(fù)數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應(yīng)的點是△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】A【解析】由復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)減法運算的幾何意義，結(jié)合條件可知復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點P到△ABC的頂點A，B，C距離相等，∴P為△ABC的外心．【變式2-4】，分別是復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，是坐標原點.若，則一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)加（減）法的幾何意義及，知以O(shè)A，則此平行四邊形為矩形，故為直角三角形.【變式2-5】已知平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3＋2i與1＋4i，兩對角線AC與BD相交于O點．（1）求eq\o(AD,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）求eq\o(DB,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)．【答案】（1）－2＋2i（2）5【解析】（1）由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，于是eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即eq\o(AD,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－2＋2i.（2）由于eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，所以eq\o(DB,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5.【變式2-6】已知復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形ABCD中，A點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，向量eq\o(BA,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，向量eq\o(BC,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，求：（1）點C，D對應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）平行四邊形ABCD的面積．【答案】（1）C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4－2i，點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5（2）7【解析】（1）∵向量eq\o(BA,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，向量eq\o(BC,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，∴向量eq\o(AC,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又∵eq\o(OC,\s\up7(→))→＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))，∴點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))，∴向量eq\o(AD,\s\up7(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，即eq\o(AD,\s\up7(→))＝(3，－1)．設(shè)D(x，y)，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3，,y－1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝0.))∴點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5.（2）∵eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝|eq\o(BA,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|cosB，∴cosB＝＝eq\f(3－2,\r(5)×\r(10))＝eq\f(\r(2),10).∵0<B<π，∴sinB＝eq\f(7\r(2),10)，∴S?ABCD＝|eq\o(BA,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|sinB＝eq\r(5)×eq\r(10)×eq\f(7\r(2),10)＝7，∴平行四邊形ABCD的面積為7.題型三復(fù)數(shù)的乘除運算類型1簡單的復(fù)數(shù)乘除運算【例3-1】（1）設(shè)，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【解析】，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限.（2）設(shè)為虛數(shù)單位，則的虛部為______．【答案】?1【解析】.【變式3-1】已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，則z·eq\x\to(z)等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2【答案】A【解析】法一：∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(－\r(3)i2＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(i1－\r(3)i,1－\r(3)i2)＝eq\f(i,1－\r(3)i)＝eq\f(i1＋\r(3)i,4)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(i,4)，∴eq\x\to(z)＝－eq\f(\r(3),4)－eq\f(i,4)，∴z·eq\x\to(z)＝eq\f(1,4).法二：∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，∴|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)))＝eq\f(|\r(3)＋i|,|1－\r(3)i2|)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，∴z·eq\x\to(z)＝eq\f(1,4).【變式3-2】計算:（1）;（2）.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）（2）.【變式3-3】（1）設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a?103?i(a∈R)A．-3B．-1C．1D．3【答案】D【解析】因a?103?i=a?10【變式3-3】（2）已知復(fù)數(shù)（），其中i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為))，所以因為，所以，選B.【變式3-3】（3）若復(fù)數(shù)的對應(yīng)點在復(fù)平面的一、三象限角平分線上，則實數(shù)_________.【答案】?7【解析】因為，且復(fù)數(shù)的對應(yīng)點在復(fù)平面的一、三象限角平分線上，所以3a解得a=?7.類型2需要設(shè)復(fù)數(shù)標準形式乘除法運算【例3-2】若復(fù)數(shù)z滿足2z＋eq\x\to(z)＝3－2i，其中i為虛數(shù)單位，則z等于()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i【答案】B【解析】設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi，∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝3，,b＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，))∴z＝1－2i.【變式3-4】已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復(fù)數(shù)z.【答案】z＝－15＋8i【解析】解法一：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝eq\r(x2＋y2)，代入方程z＋|z|＝2＋8i，得x＋yi＋eq\r(x2＋y2)＝2＋8i，由復(fù)數(shù)相等的條件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(x2＋y2)＝2,y＝8))，解得x＝－15，y＝8，所以復(fù)數(shù)z＝－15＋8i.解法二：原式可化為z＝2－|z|＋8i因為|z|∈R，所以2－|z|是z的實部，于是有|z|＝eq\r(2－|z|2＋82)，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，所以|z|＝17，代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.【變式3-5】復(fù)數(shù)z滿足z+12?i=2z【答案】2【解析】設(shè)z=a+bi，a,b∈R因為a+bi+所以a+2解得a=25，b=?【變式3-6】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程（為虛數(shù)單位）【答案】z=?【解析】設(shè)，則，解得：題型四i的乘方運算【例4】（多選題）已知集合，其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】根據(jù)題意，中，時，；時，；時，；時，，.選項A中，；選項B中，；選項C中，；選項D中，.【變式4-1】已知i為虛數(shù)單位，則的虛部為（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，虛部為．【變式4-2】的所有能取到的值構(gòu)的集合為_____________.【答案】【解析】，當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，．【變式4-3】計算:______.【答案】25【解析】題型五復(fù)數(shù)方程的解法【例5】（1）在復(fù)數(shù)集，方程的解為________.【答案】【解析】利用?4=4?i2，則x（2）若是關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的一個根，則（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】由題意可知，關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根分別為和，由韋達定理得，解得.故選：B.【變式5-1】若虛數(shù)是關(guān)于的方程(，)的一個根，則（）A．29B．C．D．3【答案】B【解析】由題意可得，，所以，故，，則.【變式5-2】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：______．【答案】【解析】由可得：，所以.【變式5-3】已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程（p，q為實數(shù)）的一個根，則的值為（）A．4B．2C．0D．【答案】C【解析】因為復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程（p，q為實數(shù)）的一個根，所以也是方程的一個根，故，即，所以，【變式5-4】已知關(guān)于的方程x2+kx+k2﹣2k=0有一個模為的虛根，求實數(shù)k的值．【答案】1【解析】由題意，得或，設(shè)兩根為、，則，，得，．所以．【變式5-5】對于一元二次方程（其中，）下列命題不正確的是（）A.兩根滿足，；B.兩根滿足；C.若判別式時，則方程有兩個相異的實數(shù)根；D.若判別式時，則方程有兩個相等的實數(shù)根；【答案】B【解析】若一元二次方程，則方程有兩個相異實根由韋達定理得：，，則A，C正確；當為虛根時，，則B錯誤；若一元二次方程，方程有兩個相等實根，D正確.【變式5-6】（難）設(shè)，關(guān)于的方程的兩個根分別是和.（1）當時，求與的值；（2）當時，求的值.【答案】（1），，；（2）4【解析】（1）當時，，，.（2）依題意，，其得，所以.（或，由，所以）【變式5-7】（難）是關(guān)于的方程的一個根.（1）若且求實數(shù)的值；（2）若且為虛數(shù)，求實數(shù)的值.【答案】（1）2±2（2）