2024年山東省淄博市桓臺(tái)縣中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁（共1頁）2024年山東省淄博市桓臺(tái)縣中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（4分）|﹣2|等于（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．2．（4分）如圖，直線CD，EF被射線OA，CD∥EF，若∠1＝108°（）A．52° B．62° C．72° D．82°3．（4分）2023年淄博市經(jīng)濟(jì)運(yùn)行回升向好．全年全市生產(chǎn)總值約為4561億元．按不變價(jià)格計(jì)算，比上年增長5.5%．將4561億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．4561×108 B．4.561×1011 C．4.561×1010 D．456.1×1094．（4分）下列立體圖形中，主視圖是圓的是（）A． B． C． D．5．（4分）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點(diǎn)及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，B兩點(diǎn)，則AB的長是（）A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．26．（4分）如圖，⊙O的直徑AB與弦DE交于點(diǎn)C，且CD＝CO．若弧AD的度數(shù)為40°（）A．50° B．60° C．75° D．85°7．（4分）計(jì)算的結(jié)果等于（）A．﹣1 B．x﹣1 C． D．8．（4分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2．點(diǎn)D在BC上，且BD：CD＝1：3．連接AD，連接BE，DE．則△BDE的面積是（）A． B． C． D．9．（4分）關(guān)于x，y的方程組的解為（a，b）總在直線y＝x上方，那么k的取值范圍是（）A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣110．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC＝，點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CM：MA＝1：2．當(dāng)線段OM取最大值時(shí)（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分．請直接填寫最后結(jié)果．11．（4分）分解因式：m3﹣4m2+4m＝．12．（4分）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，則+＝．13．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點(diǎn)O是位似中心，且＝3．若A（9，3）1點(diǎn)的坐標(biāo)是．14．（4分）如圖，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，線段AB＝．15．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOC的邊OA在y軸上，點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝（x＞0），C兩點(diǎn)．若△AOC的面積是6，則k的值為．三、解答題：本大題共8個(gè)小題，共90分．解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．16．（10分）（1）計(jì)算：+（π+1）0+|3﹣|﹣（）﹣1；（2）解不等式組：．17．（10分）已知：如圖，點(diǎn)O為?ABCD對角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線與AD，F(xiàn)．求證：DE＝BF．18．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝（x＞0）（2，6），將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位，再向下平移a個(gè)單位得到點(diǎn)B（x＞0）的圖象上，過A（1）求k的值及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）在y軸上有一點(diǎn)D（0，5），連接AD，BD19．（10分）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山．需要登頂600m高的山峰，由山底A處先步行300m到達(dá)B處，B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡AB的坡角為30°（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）．（1）求登山纜車上升的高度DE；（2）若步行速度為30m/min，登山纜車的速度為60m/min，求從山底A處到達(dá)山頂D處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到0.1min）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）20．（12分）6月5日是世界環(huán)境日，為提高學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，某校舉行了環(huán)保知識(shí)競賽，把結(jié)果劃分為4個(gè)等級(jí)：A（優(yōu)秀）；B（良好）；C（中）；D（合格）．并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如圖兩幅統(tǒng)計(jì)圖．請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題：（1）本次抽樣調(diào)查的學(xué)生共有名；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）該校共有1200名學(xué)生，請你估計(jì)本次競賽獲得B等級(jí)的學(xué)生有多少名？（4）在這次競賽中，九年一班共有4人獲得了優(yōu)秀，4人中有兩名男同學(xué)，班主任決定從這4人中隨機(jī)選出2人在班級(jí)為其他同學(xué)做培訓(xùn)，請你用列表法或畫樹狀圖法21．（12分）某企業(yè)準(zhǔn)備對A，B兩個(gè)生產(chǎn)性項(xiàng)目進(jìn)行投資，根據(jù)其生產(chǎn)成本、銷售情況等因素進(jìn)行分析得知：投資A項(xiàng)目一年后的收益yA（萬元）與投入資金x（萬元）的函數(shù)表達(dá)式為：yA＝x，投資B項(xiàng)目一年后的收益yB（萬元）與投入資金x（萬元）的函數(shù)表達(dá)式為：yB＝﹣x2+2x．（1）若將10萬元資金投入A項(xiàng)目，一年后獲得的收益是多少？（2）若對A，B兩個(gè)項(xiàng)目投入相同的資金m（m＞0）萬元，則m的值是多少？（3）2023年，我國對小微企業(yè)施行所得稅優(yōu)惠政策．該企業(yè)將根據(jù)此政策獲得的減免稅款及其他結(jié)余資金共計(jì)32萬元，全部投入到A，當(dāng)A，B兩個(gè)項(xiàng)目分別投入多少萬元時(shí)22．（13分）如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D（不與A，D重合），連接BE，CE，連接AF．（1）如圖1，求證：∠CBE＝∠CAF；（2）如圖2，連接BF交AC于點(diǎn)G，連接DG，EF與DG所在直線交于點(diǎn)H，求證：EH＝FH；（3）如圖3，連接BF交AC于點(diǎn)G，連接DG，將△AEG沿AG所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△APG，得到△DQG，連接PQ，直接寫出PQ+QF的最小值．23．（13分）如圖1，拋物線C1：y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）求線段DE的最大值；（3）如圖2，將拋物線C1沿y軸翻折得到拋物線C2，拋物線C2的頂點(diǎn)為F，對稱軸與x軸交于點(diǎn)G，過點(diǎn)H（1，2）（直線FH除外）與拋物線交于J，I兩點(diǎn)，F(xiàn)I分別交x軸于點(diǎn)M，N，試探究GM?GN是否為定值？若是；若不是，請說明理由．

2024年山東省淄博市桓臺(tái)縣中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（4分）|﹣2|等于（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．【解答】解：由于|﹣2|＝2，故選：C．2．（4分）如圖，直線CD，EF被射線OA，CD∥EF，若∠1＝108°（）A．52° B．62° C．72° D．82°【解答】解：如圖：∵CD∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∵∠5＝∠3，∴∠1+∠8＝180°，∵∠1＝108°，∴∠2＝72°，故選：C．3．（4分）2023年淄博市經(jīng)濟(jì)運(yùn)行回升向好．全年全市生產(chǎn)總值約為4561億元．按不變價(jià)格計(jì)算，比上年增長5.5%．將4561億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．4561×108 B．4.561×1011 C．4.561×1010 D．456.1×109【解答】解：4561億＝456100000000＝4.561×1011，故選：B．4．（4分）下列立體圖形中，主視圖是圓的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．圓錐的主視圖是等腰三角形；B．三棱柱的主視圖是矩形；C．圓柱的主視圖是矩形；D．球的主視圖是圓；故選：D．5．（4分）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點(diǎn)及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，B兩點(diǎn)，則AB的長是（）A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．2【解答】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°＝∠ACD，∴AD＝CD＝2cm，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴BC＝2CD＝8cm，∴BD＝＝＝2，∴AB＝BD﹣AD＝（6﹣2）（cm）．故選：B．6．（4分）如圖，⊙O的直徑AB與弦DE交于點(diǎn)C，且CD＝CO．若弧AD的度數(shù)為40°（）A．50° B．60° C．75° D．85°【解答】解：連接OD，OE，∵弧AD的度數(shù)為40°，∴∠AOD＝40°，∵CD＝CO，∴∠ODE＝∠AOD＝40°，∵OD＝OE，∴∠E＝∠D＝40°，∴∠DOE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠AOE＝100°﹣40°＝60°，∴弧AE的度數(shù)是60°．故選：B．7．（4分）計(jì)算的結(jié)果等于（）A．﹣1 B．x﹣1 C． D．【解答】解：＝＝＝＝，故選：C．8．（4分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2．點(diǎn)D在BC上，且BD：CD＝1：3．連接AD，連接BE，DE．則△BDE的面積是（）A． B． C． D．【解答】解：∵線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠EAB+∠BAD＝90°，在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠C＝∠ABC＝45°，∴∠EAB＝∠CAD，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠C＝∠ABE＝45°，CD＝BE，∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝90°，∵BC＝2，BD：CD＝1：4，∴BD＝，CD＝BE＝，∴＝，故選：B．9．（4分）關(guān)于x，y的方程組的解為（a，b）總在直線y＝x上方，那么k的取值范圍是（）A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1【解答】解：解方程組可得，，∵點(diǎn)P（a，b）總在直線y＝x上方，∴b＞a，∴＞﹣，解得k＞﹣1，故選：B．10．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC＝，點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CM：MA＝1：2．當(dāng)線段OM取最大值時(shí)（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）【解答】解：∵點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BD＝，∴點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，為半徑的⊙B上，在x軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)D（﹣，0），連接BD，分別過C，ME⊥OA、E，∵OA＝OB＝，∴AD＝OD+OA＝，∴＝，∵CM：MA＝1：2，∴＝＝，∵∠OAM＝∠DAC，∴△OAM∽△DAC，∴＝＝，∴當(dāng)CD取得最大值時(shí)，OM取得最大值，B，C三點(diǎn)共線，CD取得最大值，∵OA＝OB＝，OD＝，∴BD＝＝，∴CD＝BC+BD＝8，∵＝，∴OM＝7，∵y軸⊥x軸，CF⊥OA，∴∠DOB＝∠DFC＝90°，∵∠BDO＝∠CDF，∴△BDO∽△CDF，∴＝，即＝，解得CF＝，同理可得，△AEM∽△AFC，∴＝＝，即＝，解得ME＝，∴OE＝＝，∴當(dāng)線段OM取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，），故選D．二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分．請直接填寫最后結(jié)果．11．（4分）分解因式：m3﹣4m2+4m＝m（m﹣2）2．【解答】解：m3﹣4m6+4m＝m（m2﹣2m+4）＝m（m﹣2）7．故答案為：m（m﹣2）2．12．（4分）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，則+＝．【解答】解：∵a、b分別滿足a2﹣3a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，∴可以a、b看作是一元二次方程x3﹣3x+2＝3的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a+b＝3，ab＝2，∴+＝＝．故答案為：．13．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點(diǎn)O是位似中心，且＝3．若A（9，3）1點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1）．【解答】解：∵△ABC與△A1B1C4位似，且原點(diǎn)O為位似中心，且，點(diǎn)A（5，∴×5＝3，，即A1點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，8），故答案為：（3，1）．14．（4分）如圖，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，線段AB＝2﹣1．【解答】解：∵點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣1，線段AB＝，∴點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣5+，∵點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，∴線段BC＝AB＝，∴點(diǎn)C表示的數(shù)是：﹣8+＝8，故答案為：2﹣1．15．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOC的邊OA在y軸上，點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝（x＞0），C兩點(diǎn)．若△AOC的面積是6，則k的值為4．【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，如圖：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b），c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面積是6，∴，∴ac＝12，∵點(diǎn)C（a，b）在反比例函數(shù)，∴k＝ab，∵點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)（x＞6）的圖象上，∴，即：2k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，將ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．故答案為：5．三、解答題：本大題共8個(gè)小題，共90分．解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．16．（10分）（1）計(jì)算：+（π+1）0+|3﹣|﹣（）﹣1；（2）解不等式組：．【解答】解：（1）原式＝2+1++3﹣＝4．（2），解不等式①：得x＞﹣1，解不等式②：得x＜3，不等式組的解集是﹣5＜x＜3．17．（10分）已知：如圖，點(diǎn)O為?ABCD對角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線與AD，F(xiàn)．求證：DE＝BF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，∵點(diǎn)O為對角線AC的中點(diǎn)，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，∴DE＝BF．18．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝（x＞0）（2，6），將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位，再向下平移a個(gè)單位得到點(diǎn)B（x＞0）的圖象上，過A（1）求k的值及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）在y軸上有一點(diǎn)D（0，5），連接AD，BD【解答】解：（1）把點(diǎn)A（2，6）代入y＝，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，∵將點(diǎn)A向右平移4個(gè)單位，∴x＝4，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝，∴B（4，3），設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n，由題意可得，解得，∴y＝﹣x+6，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝9，∴C（7，9）；（2）由（1）知CD＝9﹣3＝4，∴S△ABD＝S△BCD﹣S△ACD＝CD?|xB|﹣CD?|xA|＝×4×7﹣．19．（10分）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山．需要登頂600m高的山峰，由山底A處先步行300m到達(dá)B處，B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡AB的坡角為30°（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）．（1）求登山纜車上升的高度DE；（2）若步行速度為30m/min，登山纜車的速度為60m/min，求從山底A處到達(dá)山頂D處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到0.1min）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)B作BM⊥AF于點(diǎn)M，∠A＝30°，DF＝600m，在Rt△ABM中，∠A＝30°，∴BM＝AB＝150m＝EF，∴DE＝DF﹣EF＝600﹣150＝450（m），答：登山纜車上升的高度DE為450m；（2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，∴BD＝≈＝562.5（m），∴需要的時(shí)間t＝t步行+t纜車＝+≈19.6（min），答：從山底A處到達(dá)山頂D處大約需要19.4分鐘．20．（12分）6月5日是世界環(huán)境日，為提高學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，某校舉行了環(huán)保知識(shí)競賽，把結(jié)果劃分為4個(gè)等級(jí)：A（優(yōu)秀）；B（良好）；C（中）；D（合格）．并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如圖兩幅統(tǒng)計(jì)圖．請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題：（1）本次抽樣調(diào)查的學(xué)生共有60名；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）該校共有1200名學(xué)生，請你估計(jì)本次競賽獲得B等級(jí)的學(xué)生有多少名？（4）在這次競賽中，九年一班共有4人獲得了優(yōu)秀，4人中有兩名男同學(xué)，班主任決定從這4人中隨機(jī)選出2人在班級(jí)為其他同學(xué)做培訓(xùn)，請你用列表法或畫樹狀圖法【解答】（1）調(diào)查的學(xué)生共有＝＝60（名）；故答案為：60；（2）C合格的人數(shù)＝60﹣24﹣18﹣3＝15（名），（3）1200×＝480（名），答：估計(jì)本次競賽獲得B等級(jí)的學(xué)生有480名；（4）畫樹狀圖如下：∴一共有12中等可能的情況，其中一男一女的情況有8種，∴所選3人恰好是一男一女的概率為＝．21．（12分）某企業(yè)準(zhǔn)備對A，B兩個(gè)生產(chǎn)性項(xiàng)目進(jìn)行投資，根據(jù)其生產(chǎn)成本、銷售情況等因素進(jìn)行分析得知：投資A項(xiàng)目一年后的收益yA（萬元）與投入資金x（萬元）的函數(shù)表達(dá)式為：yA＝x，投資B項(xiàng)目一年后的收益yB（萬元）與投入資金x（萬元）的函數(shù)表達(dá)式為：yB＝﹣x2+2x．（1）若將10萬元資金投入A項(xiàng)目，一年后獲得的收益是多少？（2）若對A，B兩個(gè)項(xiàng)目投入相同的資金m（m＞0）萬元，則m的值是多少？（3）2023年，我國對小微企業(yè)施行所得稅優(yōu)惠政策．該企業(yè)將根據(jù)此政策獲得的減免稅款及其他結(jié)余資金共計(jì)32萬元，全部投入到A，當(dāng)A，B兩個(gè)項(xiàng)目分別投入多少萬元時(shí)【解答】解：（1）當(dāng)x＝10時(shí)，yA＝（萬元），答：將10萬元資金投入A項(xiàng)目，一年后獲得的收益是4萬元；（2）由題意得：當(dāng)x＝m時(shí)，yA＝y(tǒng)B，∴∴m1＝5，m2＝0（舍去），∴m＝7；（3）設(shè)投入B項(xiàng)目的資金是t萬元，投入A項(xiàng)目的資金（32﹣t），由題意得，W＝＝﹣，∴當(dāng)t＝4時(shí)，W最大＝16，32﹣t＝28（萬元），∴投入A項(xiàng)目的資金是28萬元，投入B項(xiàng)目的資金2萬元時(shí)．最大值是16萬元．22．（13分）如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D（不與A，D重合），連接BE，CE，連接AF．（1）如圖1，求證：∠CBE＝∠CAF；（2）如圖2，連接BF交AC于點(diǎn)G，連接DG，EF與DG所在直線交于點(diǎn)H，求證：EH＝FH；（3）如圖3，連接BF交AC于點(diǎn)G，連接DG，將△AEG沿AG所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△APG，得到△DQG，連接PQ，直接寫出PQ+QF的最小值．【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∵將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CF，∴CE＝CF，∠ECF＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BCA＝∠ECF，∴∠BCE＝∠ACF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CBE＝∠CAF；（2）證明：如圖所示，過點(diǎn)F作FK∥AD，連接EK，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴EB＝EC，又∵△BCE≌△ACF，∴AF＝BE，CF＝CE，∴AF＝CF，∴F在AC的垂直平分線上，∵AB＝BC，∴B在AC的垂直平分線上，∴BF垂直平分AC，∴AC⊥BF，AG＝CG＝，∴∠AGF＝90°，又∵DG＝AC＝CG，∴△DCG是等邊三角形，∴∠CGD＝∠CDG＝60°，∴∠AGH＝∠DGC＝60°，∴∠KGF＝∠AGF﹣∠AGH＝90°﹣60°＝30°，又∵∠ADK＝∠ADC﹣∠GDC＝90°﹣60＝30°，KF∥AD，∴∠HKF＝∠ADK＝30°，∴∠FKG＝∠KGF＝30°，∴FG＝FK，在Rt△CED與Rt△CGF中，，∴Rt△CED≌Rt△CFG，∴GF＝ED，∴ED＝FK，∴四邊形EDFK是平行四邊形，∴EH＝HF；解法二：連接CH，證明∠CHE＝90°．（3）解：依題意，如圖所示，DQ交于點(diǎn)R，由（2）可知△DCG是等邊三角形，∴∠EDG＝30°，∵將△AEG沿AG所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△APG，得到△DQG，∴∠PAG＝∠EAG＝30°，∠QDG＝∠EDG＝30°，∴∠PAE＝∠QDE＝60°，∴△ADR是等邊三角形，∴∠QDC＝∠ADC﹣∠ADQ＝90°﹣60°＝30°，由（2）可得Rt△CED≌Rt△CFG，∴DE＝GF，∴DE＝DQ，∴GF＝DQ，∵∠GBC＝∠QDC＝30°，∴GF∥DQ，∴四邊形GDQF是平行四邊形，∴QF＝DG＝AC＝2，由（2）可知G是AC的中點(diǎn)，則GA＝GD，∴∠GAD＝∠GDA＝30°，∴∠AGD＝120°，∵折疊，∴∠AGP+∠DGQ＝∠AGE+∠DGE＝∠AGD＝120°，∴∠PGQ＝360°﹣2∠AGD＝120°，又PG＝GE＝GQ，∴PQ＝PG＝，∴當(dāng)GQ取得最小值時(shí)，即GQ⊥DR時(shí)，此時(shí)如圖所示，∴GQ＝GC＝，∴