2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題18.12 平行四邊形全章十六類必考壓軸題（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題18.12平行四邊形全章十六類必考壓軸題【人教版】必考點(diǎn)1必考點(diǎn)1平行四邊形中邊的關(guān)系運(yùn)用1．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在平行四邊形ABCD的邊上，若△AEF為等腰三角形，則EF的長為_____．2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知?ABCD中，AF垂直平分DC，且AF=DC，點(diǎn)E為AF上一點(diǎn)，連接BE、CE，若∠CEF=2∠ABE，AE=2，則AD的長為______．3．（2022秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC邊上任意一點(diǎn)，連接AD，以AD，CD為鄰邊作平行四邊形ADCE，連接DE，則DE長的最小值為___________．4．（2022春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，∠D<90°，點(diǎn)E在AD邊上，CM⊥AD，垂足為M，以CE為邊，E為直角頂點(diǎn)，作等腰直角△CEF，使點(diǎn)F落在射線AB上．(1)當(dāng)△CED是邊長為6的等邊三角形時，∠AFE的度數(shù)為_______，AD的長為_______；(2)當(dāng)AE=ED時，求∠ECD的度數(shù)；(3)是否存在AF=BF的情況，如果存在，求AE，ED和CM之間滿足的數(shù)量關(guān)系；如果不存在，說明理由．5．（2022春·廣東清遠(yuǎn)·八年級統(tǒng)考期末）在平形四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，EO的延長線與邊AD交于點(diǎn)F，連接BF、DE如圖1．(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；(2)若DE=DC，∠CBD=45°，過點(diǎn)C作DE的垂線，與DE、BD、BF分別交于點(diǎn)G、H、P如圖2．①當(dāng)CD=6，CE=4時，求BE的長；②求證：CD=CH．6．（2022秋·湖北·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)P是?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC=90°(1)如圖1，求證：PB=PC；(2)如圖2，若AB=8，PC=52，且(3)如圖3，將△PBA繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至△PCE處，過D作DF⊥EP，交EP延長線于F，若AB=6AP，∠PAB=75°，直接寫出必考點(diǎn)2必考點(diǎn)2平行四邊形中的面積轉(zhuǎn)換1．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別在?ABCD的AD、AB、BC、CD邊上，EG∥CD，F(xiàn)H∥AD，EG與FH交于點(diǎn)P，連接BD交FH于點(diǎn)Q，連接BP，設(shè)?AEPF、?EDHP、?FPGB、?PHCG的面積分別為S1、S2、S3、SA．S2?S1 B．S3?2．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形FBCE中，點(diǎn)J，G分別在邊BC，EF上，JG∥BF，四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k=3，則下列一定能求出A．四邊形HDEG和四邊形AHGF的面積之差 B．四邊形ABCD和四邊形HDEG的面積之差C．四邊形ABCD和四邊形ADEF的面積之差 D．四邊形JCDH和四邊形HDEG的面積之差3．（2022春·浙江·八年級階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是?ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是S①S1+S3=S2+S4；②如果S4>S2，則S3>S4．（2022秋·上?！て吣昙壭？计谀┬∶髟趯W(xué)習(xí)了中心對稱圖形以后，想知道平行四邊形是否為中心對稱圖形．于是將一張平行四邊形紙片平放在一張紙板上，在紙板上沿四邊畫出它的初始位置，并畫出平行四邊形紙片的對角線，用大頭針釘住對角線的交點(diǎn)．將平行四邊形紙片繞著對角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，平行四邊形紙片與初始位置的平行四邊形恰好重合．通過上述操作，小明驚喜地發(fā)現(xiàn)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)就是對稱中心．請你利用小明所發(fā)現(xiàn)的平行四邊形的這一特征完成下列問題：(1)如圖①，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．過點(diǎn)O的直線l與邊AB、CD分別相交于點(diǎn)M、N，四邊形AMND的面積與平行四邊形ABCD的面積之比為___________；(2)如圖②，這個圖形是由平行四邊形ABCD與平行四邊形ECGF組成的，點(diǎn)E在邊CD上，且B、C、G在同一直線上．①請畫出一條直線把這個圖形分成面積相等的兩個部分（不要求寫出畫法，但請標(biāo)注字母并寫出結(jié)論）；②延長GF與邊AD的延長線交于點(diǎn)K，延長FE與邊AB交于點(diǎn)H．聯(lián)結(jié)EB、EK、BK，如圖③所示，當(dāng)四邊形AHED的面積為10，四邊形CEFG的面積為2時，求三角形EBK的面積．5．（2022秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“朋友三角形”．性質(zhì)：“朋友三角形”的面積相等．例如：如圖1，在△ABC中，如果AD是AB邊上的中線，那么△ACD和△ABD是“朋友三角形”，則有S△ACD應(yīng)用：如圖2，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點(diǎn)O．(1)求證：△AOE和△AOB是“朋友三角形”．(2)如圖3，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC，AD=DC=8，BC=12，點(diǎn)G在BC上，點(diǎn)E在AD上，DG與CE交于點(diǎn)F，GF=DF．①求證：△DFE和△DFC是“朋友三角形”；②連接AF，若△AEF和△DEF是“朋友三角形”，求四邊形ABGF的面積．(3)在△ABC中，∠B=30°，AB=8，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于6．（2022秋·重慶大足·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，兩個等腰直角三角形△ABC、△EDC的頂點(diǎn)C重合，其中∠ABC=∠EDC=90°，連接AE，取AE中點(diǎn)F，連接BF,DF．(1)如圖1，當(dāng)B、C、D三個點(diǎn)共線時，請猜測線段BF、FD的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)將△EDC繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度至圖2位置，根據(jù)“AE中點(diǎn)F”這個條件，想到取AC與EC的中點(diǎn)G、H，分別與點(diǎn)F相連，再連接BG,DH，最終利用△BGF≌△FHD（SAS）證明了（1）中的結(jié)論仍然成立．請你思考當(dāng)△EDC繞著點(diǎn)C繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)至圖3位置時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由；(3)連接BD，在△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周的過程中，△BFD的面積也隨之變化．若AC=52,CB=32必考點(diǎn)3必考點(diǎn)3平行四邊形中的角度轉(zhuǎn)換1．（2022春·江西新余·八年級新余四中?？计谥校┤鐖D，平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，且AB=AE，延長AB與DE的延長線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論中：①△ABE是等邊三角形：②△ABC≌△EAD；③AD=AF：④S△ABE=SA．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②③④2．（2022春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AB=4，P為AC上一點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合），連接BP，以PA、PB為鄰邊作平行四邊形PADB，則PD的取值范圍是_______．3．（2022秋·遼寧朝陽·九年級?？计谥校┤鐖D，?ABCD中，對角線AC，BD相交于O，BD=2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論①BE⊥AC；②四邊形BEFG是平行四邊形；③EG=GF；④EA平分∠GEF．其中正確的是________．

4．（2022春·浙江·八年級期末）如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,∠B=∠D，點(diǎn)E為BC延長線上一點(diǎn)，連接AE，AE交CD于H．∠DCE的平分線交AE于G．（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；（2）如圖1，若AB=2AD=10，H為CD的中點(diǎn)，HE=6，求AC的長；（3）如圖2，若∠BAC=∠DAE①∠AGC=2∠CAE，求∠CAE的度數(shù)；②∠AGC=n∠CAE,∠CAE=_____°（用含有n的式子表示）5．（2022春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分線分別交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，BE，CF相交于點(diǎn)G.(1)求證：BE⊥CF；(2)若AB=a，CF=b，求BE的長.6．（2022春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（a，6），B（4，b），（1）若a，b滿足(ab5)22a?b?10，①求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；②點(diǎn)D在第一象限，且點(diǎn)D在直線AB上，作DC⊥x軸于點(diǎn)C，延長DC到P使得PC=DC，若△PAB的面積為10，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖，將線段AB平移到CD，且點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，連接AC交y軸于點(diǎn)E，連接BD交x軸于點(diǎn)F，點(diǎn)M在DC延長線上，連EM，3∠MEC+∠CEO=180°，點(diǎn)N在AB延長線上，點(diǎn)G在OF延長線上，∠NFG=2∠NFB，請?zhí)骄俊螮MC和∠BNF的數(shù)量關(guān)系，給出結(jié)論并說明理由.必考點(diǎn)4必考點(diǎn)4平行四邊形中勾股定理的運(yùn)用1．（2022春·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一副三角板如圖1放置，AB＝CD＝6，頂點(diǎn)E重合，將△DEC繞其頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠AED＝75°，連接2．（2022春·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=3，∠ABC=60°，點(diǎn)M為BC邊上一點(diǎn)且BM=2CM，過M作MN∥AB交AC，AD于點(diǎn)O，N，連接BN．若點(diǎn)P，Q分別為OC，BN的中點(diǎn)，則PQ的長度為________．3．（2022春·江蘇南京·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D，在平行四邊形ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F．(1)求證：四邊形GEHF是平行四邊形．(2)若AB=4，BC=7，當(dāng)四邊形GEHF是矩形時BD的長為．4．（2022秋·遼寧遼陽·九年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，以CD為腰在CD右側(cè)作等腰Rt△CDE，且∠CDE=90°，過點(diǎn)B作BF∥DE，且BF=DE，連接(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在AC邊上時，直接寫出線段AF與AD的關(guān)系為；(2)將圖①中的等腰Rt△CDE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<45°到圖②的位置，連接AD(3)若AD=3，AC=5，當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一條直線上時，請直接寫出CD的長．5．（2022春·廣東廣州·八年級廣州市南武中學(xué)?？计谥校┤鐖D：(1)如圖1，平行四邊形ABCD中，AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．求證：BM=CN．(2)如圖2，平行四邊形ABCD中，AC，BD是兩條對角線，求證：AC(3)如圖3，PT是△PQR的中線，已知：PQ=7，QR=6，RP=5．求：PT的長度．6．（2022春·廣東深圳·八年級深圳中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，BD是它的一條對角線，過A，C兩點(diǎn)分別作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，求CH的長．必考點(diǎn)5必考點(diǎn)5平行四邊形中的多解問題1．（2022春·浙江杭州·八年級期末）平行四邊形的一邊長為12，那么這個平行四邊形的兩條對角線的長可能是（）A．8和12 B．9和13 C．12和12 D．11和142．（2022春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）已知：一組鄰邊分別為6cm和10cm的平行四邊形ABCD，∠DAB和∠ABC的平分線分別交CD所在直線于點(diǎn)E，F(xiàn)，則線段EF的長為________cm．3．（2022春·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，E為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線BC上的一個動點(diǎn)，連接AP、PE，將△AEP沿著邊PE折疊，折疊后得到△EPA′，當(dāng)折疊后△EPA′與△BEP的重疊部分的面積恰好為4．（2022秋·河南鄭州·九年級?？计谀┤鐖D1，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為BD上的一個動點(diǎn)，連接CE并延長到點(diǎn)F，使EF=CE，連接AF．(1)若點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（如圖2），判斷AF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)若以A，F(xiàn)，B，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，BD=3，請直接寫出線段BE的長度．5．（2022春·四川成都·八年級四川省成都市七中育才學(xué)校?？计谀┮阎鰽BC為等邊三角形，其邊長為4．點(diǎn)P是AB邊上一動點(diǎn)，連接CP．(1)如圖1，點(diǎn)E在AC邊上且AE=BP，連接BE交CP于點(diǎn)F．①求證：BE=CP；②求∠BFC的度數(shù)；(2)如圖2，將線段CP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°得線段CQ，連接BQ交AC于點(diǎn)D．設(shè)BP=x，CD=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長BC至點(diǎn)E，且CE=BP，連接QE，DE．在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，當(dāng)△CEQ的周長為4+13時，求DE6．（2022春·浙江杭州·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA，向點(diǎn)A以2cm/s的速度勻速運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C以（1）連結(jié)P、Q兩點(diǎn)，則線段PQ長的取值范圍是________；（2）當(dāng)PQ=10cm時，求t的值；（3）若在線段CD上有一點(diǎn)E，QE=2cm，連結(jié)AC和PE．請問是否存在某一時刻使得AC平分PE？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．必考點(diǎn)6必考點(diǎn)6平行四邊形中的動點(diǎn)問題1．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州四十七中?？计谀┤鐖D1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為CA上一動點(diǎn)，E為BC延長線上的動點(diǎn)，始終保持CE=CD．連接BD和AE，將AE繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°到AF，連接DF(1)請判斷線段BD和AF的位置關(guān)系并證明；(2)當(dāng)S△ABD=1(3)如圖2，連接EF，G為EF中點(diǎn)，AB=22，當(dāng)D從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)A的過程中，EF的中點(diǎn)G也隨之運(yùn)動，請求出點(diǎn)G2．（2022春·貴州遵義·八年級?？计谀┤鐖D，點(diǎn)P是□ABCD對角線AC所在直線上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時如圖1，線段OE與線段OF的數(shù)量關(guān)系是______．(2)如圖2，點(diǎn)P在OC上運(yùn)動時（不與點(diǎn)O與C重合），（1）中的結(jié)論是否成立？(3)點(diǎn)P在OC的延長線上運(yùn)動時，當(dāng)∠OFE=60°時，如圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？3．（2022春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期末）如圖（a），直線l1∶y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A、B，OA=OB=3，直線l2:y=32x?2交y軸于點(diǎn)C，且與直線l(1)求直線l1(2)求△OCD的面積；(3)如圖（b），點(diǎn)P是直線l1上的一動點(diǎn)，連接CP交線段OD于點(diǎn)E，當(dāng)△COE與△DEP的面積相等時，求點(diǎn)P(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)H為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)H，使以D、C、P、H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．（2022春·吉林四平·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，直線y＝kx＋b分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C、P分別是線段OB，AB的中點(diǎn)，且OC=32，CP＝2，動點(diǎn)D，E分別在直線CP和線段AB上，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，線段CD的長為n（n>0），且m＋n＝3，以DO，DE為鄰邊作平行四邊形(1)求出直線AB的解析式．(2)當(dāng)n＝1時，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．(3)當(dāng)點(diǎn)F落在△AOB的邊OB或AB上時，求直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．5．（2022春·廣東江門·八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)B(1)CD邊的長度為______cm，t的取值范圍為______．(2)從運(yùn)動開始，當(dāng)t取何值時，PQ∥(3)從運(yùn)動開始，當(dāng)t取何值時，PQ=CD？6．（2022春·浙江溫州·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是平行四邊形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(?16，0)，線段BC交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0，8)，線段CD=6．動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OA的方向以每秒2個單位的速度運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒.(1)用t的代數(shù)式表示：BQ=_______，AP=_______；(2)若以A，B，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，求t的值；(3)當(dāng)△BQP恰好是等腰三角形時，求t必考點(diǎn)7必考點(diǎn)7平行四邊形中的最值問題1．（2022秋·湖北黃岡·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)D，E是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且DE//AB，連結(jié)AD，BE，CE．若AB＝92，DE＝22，BC＝10，∠ABC＝75°，則AD+BE+CE的最小值為___________．2．（2022春·上海靜安·八年級上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，點(diǎn)E為射線AD上一動點(diǎn)，連接BE，將BE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是___．3．（2022春·浙江·八年級期中）如圖，已知在△ABC中，AB=AC=5,BC=6，點(diǎn)M是AC邊上任意一點(diǎn)，連接MB，以MB、MC為鄰邊作平行四邊形MCNB，連接MN，則MN的最小值_________．4．（2022春·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期中）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點(diǎn)，則2PB+PD的最小值等于______.5．（2022春·重慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AD⊥AC，AD=AC，點(diǎn)E為AB上一動點(diǎn)，DE與AC相交于點(diǎn)G，CH⊥DE，垂足為H，CH的延長線與AB相交于點(diǎn)F，點(diǎn)P在邊AB上（1）若DG=10，AG=1，求AB的長（2）求證DG=CF+FG（3）若AP=1，AD=42，請直接寫出PH6．（2022春·四川遂寧·九年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，BC∥AD，BC＝12AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，AC⊥CD，連接BE、CE、CF（1）判斷四邊形ABCE的形狀，并說明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30°，點(diǎn)P為BE上的動點(diǎn)，求△PAF的周長的最小值．必考點(diǎn)8必考點(diǎn)8構(gòu)造平行四邊形1．（2022春·湖北武漢·八年級武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）?？计谥校┤鐖D，線段AB長為6cm，點(diǎn)C是線段AB上一動點(diǎn)（不與A，B重合），分別以AC和BC為斜邊，在AB的同側(cè)作等腰直角三角形△ADC，△CEB，點(diǎn)P是DE的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C從距離A點(diǎn)1cm處沿AB向右運(yùn)動至距離B點(diǎn)1cm處時，點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長是_____cm．2．（2022秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）【模型建立】(1)如圖1，已知在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，將△BDC沿CD翻折得到△FDC，連接FA，F(xiàn)B．①求證：△AFB是直角三角形；②延長FA，BC交于點(diǎn)E，判斷CF與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)【拓展應(yīng)用】如圖2，已知在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，將△BDE沿DE翻折得到△FDE，連接FA，F(xiàn)B．①判斷AF與DE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若AC∥EF，用等式表示線段BE，CE，3．（2022秋·廣東廣州·八年級華南師大附中?？计谥校┤鐖D，△CAB與△CDE為等腰直角三角形．∠ACB=∠DCE=90°，連接AD、BE．(1)如圖1，若∠CAD=30°，(2)如圖2，若A、D、E三點(diǎn)共線，AE與BC交于點(diǎn)F，且CF=BF，AD=3，求(3)如圖3，BE與AC的延長線交于點(diǎn)G，若CD⊥AD，延長CD與AB交于點(diǎn)N，在BC上有一點(diǎn)M且BM=CG，連接NM，請猜想CN、4．（2022春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┪覀冎?，平行四邊形的對邊平行且相等，利用這一性質(zhì)，可以為證明線段之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系提供幫助．重溫定理，識別圖形（1）如圖1，我們在探究三角形中位線DE和第三邊BC的關(guān)系時，所作的輔助線為“延長DE到點(diǎn)F，使EF=DE，連接CF”，此時DE與DF在同一直線上且DE=12DF，又可證圖中的四邊形______為平行四邊形，可得BC與DF的關(guān)系是______，于是推導(dǎo)出了“DE尋找圖形，完成證明（2）如圖2，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是菱形，△BEH是等邊三角形，∠ABC=∠AEF=60°，連接CF、CH．求證：CF=BE．構(gòu)造圖形，解決問題．（3）如圖3，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，連接BE、CF．直接寫出CF與BE的數(shù)量關(guān)系．5．（2022秋·重慶渝北·八年級重慶市兩江育才中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，△CAB與△CDE為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，連接AD、BE．（1）如圖1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，則∠DEB的度數(shù)為________度；（2）如圖2，若A、D、E三點(diǎn)共線，AE與BC交于點(diǎn)F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面積；（3）如圖3，BE與AC的延長線交于點(diǎn)G，若CD⊥AD，延長CD與AB交于點(diǎn)N，在BC上有一點(diǎn)M且BM＝CG，連接NM，請猜想CN、NM、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．6．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市鳳鳴山中學(xué)?？计谥校┮阎BC和ΔDEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上時，連接AD、BE，求證：AD=BE；（2）如圖2，F(xiàn)是線段AD上的一點(diǎn)，連接CF，若AF=CF，試判斷BE與CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，把ΔDEC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°<α<90°）將（2）問的條件AF=CF換成AF=FD，其他條件不變，（2）問中的關(guān)系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論．必考點(diǎn)9必考點(diǎn)9矩形的折疊問題1．（2022春·福建福州·八年級?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，點(diǎn)O為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，沿BE折疊，點(diǎn)C恰好與點(diǎn)O重合，點(diǎn)G為BD上的一動點(diǎn)，則EG+CG的最小值m與BC的數(shù)量關(guān)系是（）A．3m=5BC B．m=2BC C．3m=7BC D．2m=7BC2．（2022秋·四川達(dá)州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，有以下四個結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時，EF=25．以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有__________．（填序號）3．（2022秋·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．(1)根據(jù)定義判矩形已知：如圖1，在平行四邊形ABCD中，AC,BD是它的兩條對角線，AC=BD．求證：平行四邊形ABCD是矩形．(2)動手操作有發(fā)現(xiàn)如圖2，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點(diǎn)G．猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論．(3)類比探究到一般如圖3，將(2)中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，(2)中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．(4)解決問題巧應(yīng)用如圖4，保持(2)中的條件不變，若G點(diǎn)是CD的中點(diǎn)，且AB=2，請直接寫出矩形ABCD的面積．4．（2022春·湖北宜昌·八年級統(tǒng)考期末）（1）【操作發(fā)現(xiàn)】：如圖一，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點(diǎn)G．猜想線段GF與GC的數(shù)量關(guān)系是．（2）【類比探究】：如圖二，將（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（3）【應(yīng)用】：如圖三，將（1）中的矩形ABCD改為正方形，邊長AB＝4，其它條件不變，求線段GC的長．5．（2022春·全國·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，矩形紙片ABCD的邊AD=3，CD=2，點(diǎn)P是邊CD上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合，把這張矩形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P的位置上，折痕交邊AD與點(diǎn)M，折痕交邊BC于點(diǎn)N.（1）寫出圖中的全等三角形.設(shè)CP=x，AM=y，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）試判斷∠BMP是否可能等于90°.如果可能，請求出此時CP的長；如果不可能，請說明理由.必考點(diǎn)10必考點(diǎn)10矩形與等腰三角形1．（2022秋·江西吉安·九年級統(tǒng)考期末）在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，點(diǎn)E在AD邊上，若△BCE是等腰三角形，則線段DE的長為______．2．（2022秋·浙江·八年級期末）在一張長為6cm，寬為5cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為4cm3．（2022秋·福建福州·八年級校考期末）已知：若兩個等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為頂針點(diǎn)；若再滿足兩個頂角和是180°，則稱這個兩個頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為勾股頂針點(diǎn)．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對角線，AB＝AC，DB＝DC，則點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于BC互為頂針點(diǎn)；若再滿足∠A+∠D＝180°，則點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于BC互為勾股頂針點(diǎn)．初步思考(1)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E為△ABC外兩點(diǎn)，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC為等邊三角形．①點(diǎn)A與點(diǎn)______關(guān)于BC互為頂針點(diǎn)：②求證：點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于BC互為勾股頂針點(diǎn)．實(shí)踐操作(2)在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．①如圖3，點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)F在AD邊上，請用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點(diǎn)E、F，使得點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于BF互為勾股頂針點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡）思維探究②如圖4，點(diǎn)E是直線AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于BP互為勾股頂針點(diǎn)，直線CP與直線AD交于點(diǎn)F，求在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，當(dāng)線段BE與線段AF的長度相等時AE的長．4．（2022春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）有一張矩形紙條ABCD，AB=15，BC=4，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上．現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)E，F(xiàn)上．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時①求證：△EMN是等腰三角形；②點(diǎn)G在EM上，當(dāng)四邊形EGNF為矩形時，求MG的長．(2)如圖，若CN=3，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動到終點(diǎn)B的過程中，若四邊形MEFN的邊ME與線段CD交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的運(yùn)動路程．5．（2022春·上海長寧·八年級上海市民辦新世紀(jì)中學(xué)?？计谀┤鐖D矩形ABCD中，AB=2，AD=4，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BP，過點(diǎn)P作PE⊥BP，交DC于E點(diǎn)，將△ABP沿直線PE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若△B′6．（2022秋·江蘇·八年級期末）問題背景若兩個等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為頂針點(diǎn)；若再滿足兩個頂角的和是180°，則稱這兩個頂點(diǎn)關(guān)于這條底邊互為勾股頂針點(diǎn)．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對角線，AB=AC，DB=DC，則點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于BC互為頂針點(diǎn)；若再滿足∠A+∠D=180°，則點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于BC互為勾股頂針點(diǎn)．初步思考(1)如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，D、E為△ABC外兩點(diǎn)，EB=EC，∠EBC=45°，△DBC為等邊三角形．①點(diǎn)A與點(diǎn)______關(guān)于BC互為頂針點(diǎn)；②點(diǎn)D與點(diǎn)______關(guān)于BC互為勾股頂針點(diǎn)，并說明理由．實(shí)踐操作(2)在長方形ABCD中，AB=8，AD=10．①如圖3，點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)F在AD邊上，請用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點(diǎn)E、F，使得點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于BF互為勾股頂針點(diǎn)．(不寫作法，保留作圖痕跡)思維探究②如圖4，點(diǎn)E是直線AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于BP互為勾股頂針點(diǎn)，直線CP與直線AD交于點(diǎn)F．在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，線段BE與線段AF的長度是否會相等？若相等，請直接寫出AE的長；若不相等，請說明理由．7．（2011秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．（1）求矩形ABCD的周長；（2）E是CD上的點(diǎn)，將△ADE沿折痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上點(diǎn)F處．①求DE的長；②點(diǎn)P是線段CB延長線上的點(diǎn)，連接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的長．（3）M是AD上的動點(diǎn)，在DC上存在點(diǎn)N，使△MDN沿折痕MN折疊，點(diǎn)D落在BC邊上點(diǎn)T處，求線段CT長度的最大值與最小值之和．必考點(diǎn)11必考點(diǎn)11矩形的多解與最值1．（2022秋·河南鄭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的邊AD長為4，將△ADC沿對角線AC翻折得到△AD′C，CD′與AB交于點(diǎn)E，再以CD′為折痕，將△BCE進(jìn)行翻折，得到△2．（2022秋·天津和平·九年級天津一中?？计谀┤鐖D，長方形ABCD中，AB=3，BC=4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點(diǎn)，連接EF，將EF繞著點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，連接FG和CG，則3．（2022秋·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E是對角線BD上一點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)F，EG⊥CD于點(diǎn)G，連接FG，則EF+FG的最小值為______________．4．（2022春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把矩形COAB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形CDEF．設(shè)若A0,3，C4,0，則5．（2022春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）等邊△ABC中，AB＝14．平面內(nèi)有一點(diǎn)D，BD＝6，AD＝10，則CD的長為_____．6．（2022秋·天津·九年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，矩形OABC，O為原點(diǎn)，A3,0,B3,4,C0,4，將△OBC繞點(diǎn)B(1)如圖（1），當(dāng)∠CBC′=30°(2)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)O′恰好落在x軸上時，O′C′與①此時DB與DO②求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)求△AO必考點(diǎn)12必考點(diǎn)12菱形中的全等三角形的構(gòu)造1．（2022春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD延長線上一點(diǎn)，且CD=DE，連接BE，分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連接OG，則下列結(jié)論：①OG=12AB；②S四邊形ODGF>S△ABF；③由點(diǎn)A、B、A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④2．（2022秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是線段AB和線段AC上的動點(diǎn)，且AF=CG，若DE=1，AB=2，則DF+DG的最小值為______．3．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交邊BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F．(1)如圖1，求證：CE=CF；(2)如圖2，F(xiàn)G∥BC,FG=EC，連接DG、EG，當(dāng)∠ABC=120°時，求證：∠BDG=60°；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)BE=2CE,AE=43時，求線段BD4．（2022春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?34x+b分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，且點(diǎn)A(1)求b的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M是線段AB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外）．①如圖2，將△BMC沿CM折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接ME并延長交AD邊于點(diǎn)F，問△AMF的周長是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由；②點(diǎn)P是x軸上一個動點(diǎn)，Q是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，探索是否存在一個點(diǎn)P，使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．5．（2022春·河南鶴壁·八年級鶴壁市外國語中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，兩條對角線相交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過點(diǎn)O且垂直于AC，分別與邊AD，BC交于點(diǎn)F，E．(1)求證：四邊形AECF為菱形；(2)若AD＝3，CD=2，且∠ADC＝45°，直接寫出四邊形AECF6．（2022春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AC=2AB．對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)β°0<β<180，分別交直線BC、AD于點(diǎn)E、F(1)當(dāng)β=______°，四邊形ABEF是平行四邊形；(2)在旋轉(zhuǎn)的過程中，從A、B、C、D、E、F中任意找4個點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造四邊形．①β=______°，構(gòu)造的四邊形是菱形；②若構(gòu)造的四邊形是矩形，則不同的矩形應(yīng)該有______個．必考點(diǎn)13必考點(diǎn)13正方形中線段的和差倍分關(guān)系1．（2022春·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段DG與BE、AE分別相交于點(diǎn)H、K．(1)求證：∠ABE=∠ADG；(2)判斷BE與DG的關(guān)系，并說明理由；(3)若AB=62，AG=6，求DK2．（2022春·黑龍江綏化·八年級統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD是正方形，等腰Rt△AEF的直角頂點(diǎn)E在直線BC上（不與點(diǎn)B，C重合），F(xiàn)M⊥AD，交射線AD于點(diǎn)M．(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)M在邊AD的延長線上時，如圖①，求證：AB＋BE＝AM；（提示：延長MF，交邊BC的延長線于點(diǎn)H）(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊CB的延長線上，點(diǎn)M在邊AD上時，如圖②；當(dāng)點(diǎn)E在邊BC的延長線上，點(diǎn)M在邊AD上時，如圖③．請分別寫出線段AB，BE，AM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在（1）、（2）的條件下，若BE＝3，∠BAF＝15°，則AM的長為．3．（2022春·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）已知正方形ABCD與正方形CEFG，點(diǎn)M是AF的中點(diǎn)，連接DM，EM．(1)如圖，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在BC的延長線上，請判斷DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并直接寫出結(jié)論；(2)如圖，點(diǎn)E在DC的延長線上，點(diǎn)G在BC上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；(3)將（1）圖中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使D，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若AB=13，CE=5，請直接寫出MF的長__________．4．（2022春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)課上老師出示了這樣一個問題：如圖1，等腰Rt△PBF的直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的邊AD上，斜邊BF交CD于點(diǎn)Q，連接PQ．請?zhí)剿鱌Q、AP、CQ的數(shù)量關(guān)系．某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過探索，交流了自己的想法：利用現(xiàn)在所學(xué)的旋轉(zhuǎn)知識，可將△ABP旋轉(zhuǎn)到△CBE位置，然后通過證明△BPQ≌△BEQ來探索數(shù)量關(guān)系．(1)（問題解決）請你根據(jù)他們的想法寫出PQ、AP、CQ的數(shù)量關(guān)系是________；(2)（學(xué)以致用）如圖2，若等腰Rt△PBF的直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的邊DA的延長線上，斜邊BF的延長線交CD的延長線于點(diǎn)Q，連接PQ，猜想線段PQ，AP，CQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(3)（思維拓展）等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，若BC＝2．則AP＋BP＋CP的最小值＝________．5．（2022秋·四川達(dá)州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)物上，點(diǎn)B坐標(biāo)為3,3．將正方形ABCO繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)角度α0°<α<90°，得到正方形ADEF，ED交線段OC于點(diǎn)G，ED的延長線交線段BC于點(diǎn)P．連AP、AG（1）求證：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；（3）當(dāng)∠1=∠2時，求直線PE的解析式（可能用到的數(shù)據(jù)：在Rt△中，30°內(nèi)角對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半）．（4）在（3）的條件下，直線PE上是否存在點(diǎn)M，使以M、A、G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（2022春·江西南昌·八年級校聯(lián)考期末）如圖，四邊形ABCD中，已知：A（a，0），B（0，b），C（c，0）和D（0，d）．（1）當(dāng)四邊形ABCD正方形時，寫出a，b，c，d滿足的等式關(guān)系：（2）若AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為E、F、G、H．①直接寫出E、F、G、H四點(diǎn)的坐標(biāo)；②證明：四邊形EFGH是矩形；③若矩形EFGH是正方形，則a，b，c，d滿足的等式關(guān)系是．7．（2022春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，P是正方形ABCD的邊CD右側(cè)一點(diǎn)，CP=CD，∠PCD為銳角，連PB，PD．（1）如圖1，若PD=PC，則∠BPD的度數(shù)為；（2）如圖2，作CE平分∠PCD交PB于E．①求∠BEC的度數(shù)；②猜想PD，BE，CE之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，若PB=6，則四邊形PCBD的面積為平方單位必考點(diǎn)14必考點(diǎn)14正方形中的折疊問題1．（2022春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┤鐖D，E為正方形ABCD邊AB上一動點(diǎn)（不與A重合），AB＝4，將△DAE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAF，再將△DAE沿直線DE折疊得到△DME．下列結(jié)論∶①若延長DE，則DE⊥BF；②若連接AM，則AM∥FB；③連接FE，當(dāng)F、E、M三點(diǎn)共線時，AE=42?4；④連接EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，則A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．（2022秋·河南鄭州·九年級?？计谀┮阎叫蔚倪呴L為12，點(diǎn)P是邊AD上的一個動點(diǎn)，連接BP，將△ABP沿BP折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′上，延長PA′交CD于E，當(dāng)點(diǎn)E與CD的中點(diǎn)F3．（2022春·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E為邊AD的中點(diǎn)，將三角形ABE沿BE折疊使點(diǎn)A與恰好落在點(diǎn)F處，又將點(diǎn)C折疊使其與BF上的點(diǎn)M重合，且折痕GH與BF平行交CD于點(diǎn)H，則線段GH的長度為____．4．（2022秋·河南鄭州·九年級?？计谀┚C合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動課上，張老師找來若干張等寬的矩形紙條，讓學(xué)生們進(jìn)行折紙?zhí)骄浚?1)希望小組將如圖（1）所示的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A1處，折痕為BE埴空：圖（1）中四邊形ABA(2)智慧小組準(zhǔn)備了一張如圖（2）所示的長、寬之比為2+1:2的矩形紙片ABCD，用希望小組的方法折疊紙片，得到四邊形ABA1E，接著沿過點(diǎn)C的直線折疊紙片，使點(diǎn)D落在EA(3)勤奮小組拿著一張如圖（3）所示長為5，寬為2的矩形紙片ABCD，利用希望小組的方法折疊紙片，得到四邊形ABA1E，在ED上取一點(diǎn)F（不與點(diǎn)D，E重合），沿CF折疊△CDF，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為M，射線FM交直線BC①FY與CY的數(shù)量關(guān)系為______；②當(dāng)射線FM經(jīng)過△BA1E5．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐動手操作：利用“正方形紙片的折疊和旋轉(zhuǎn)”開展數(shù)學(xué)活動，探究體會圖形在正方形折疊和旋轉(zhuǎn)過程中的變化及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．折一折：如圖1，已知正方形ABCD的邊長AB=6，將正方形ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)M落在AC上，展開正方形ABCD，折痕為AE，延長EM交CD于點(diǎn)F，連接AF．(1)思考探究：圖1中，與△ABE全等的三角形有________個，∠EAF=________°，BE、EF、DF三者的數(shù)量關(guān)系________，BE的長為________．轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置，與BC、CD的交點(diǎn)分別為E、F，連接EF．(2)證明推理：圖2中，BE、EF、DF三者的數(shù)量關(guān)系________．并給出證明．(3)開放拓展：如圖3，在旋轉(zhuǎn)∠EAF的過程中，當(dāng)點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)時，BE的長為________．6．（2022秋·吉林長春·八年級校考期末）【探究問題】（1）閱讀并補(bǔ)全解題過程如圖①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，求證：DE平分∠ADC．張某某同學(xué)受到老師說過的“有中點(diǎn)，延長加倍構(gòu)造全等”的啟發(fā)，延長DE交射線CB于點(diǎn)F，請你依據(jù)該同學(xué)的做法補(bǔ)全證明過程．證明：延長DE交射線CB于點(diǎn)F．【應(yīng)用】（2）如圖②在長方形ABCD中，將△ABF沿直線AF折疊，若點(diǎn)B恰好落在邊CD的中點(diǎn)E處，直接寫出∠AFB的度數(shù)．【拓展】（3）如圖③在正方形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊，點(diǎn)A落在正方形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)F處，延長BF交CD于點(diǎn)G，延長EF交CD于點(diǎn)H，若正方形ABCD的邊長為4，直接寫出FG的值．7．（2022春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于點(diǎn)O且AE⊥DF．則AE和DF的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是邊AD，BC，CD上的點(diǎn)，BG⊥EF，垂足為H．求證：EF＝BG．（3）如圖3，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，M分別是邊AD，BC，AB上的點(diǎn)，AE＝2，BF＝4，BM＝1，將正方形沿EF折疊，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)與CD邊上的點(diǎn)N重合，求CN的長度．必考點(diǎn)15必考點(diǎn)15坐標(biāo)系中的正方形1．（2022春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊OA1、OC1在坐標(biāo)軸上，以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，以此類推，則正方形OB16B17C17的頂點(diǎn)B17的坐標(biāo)是（

）A．(128，-128) B．(256，0) C．(256，256) D．(0，512)2．（2022春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=?125x+12的圖象交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊在直線右側(cè)作正方形ABCD，連接BD，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)E，連接AEA．點(diǎn)D的坐標(biāo)為(17,7) B．∠EAF=45°C．點(diǎn)C的坐標(biāo)為(12,17) D．△AEF的周長為14+73．（2022春·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，AD∥BC∥x軸，AD與y軸交于點(diǎn)E，OE=1，且AE,DE的長滿足AE?3+|DE?1|=0(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)若P(?2,?1)，①求△EPC面積；②正方形ABCD的邊CD上是否存在點(diǎn)M，使S△ECM=S4．（2022秋·福建漳州·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，B（8，6），過點(diǎn)B作AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)A．過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段BC上，連接EF，將△CEF沿直線EF折疊得△DEF．(1)如圖1，當(dāng)四邊形CFDE是正方形時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖2，當(dāng)BF=2CF時，求點(diǎn)D到x軸的距離．5．（2022春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）在正方形ABCD中，點(diǎn)E是直線BC上一點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．（1）如圖1，若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．求證：AE=EF；（2）如圖2，若點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)（不含B，C），結(jié)論“AE=EF”還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)E是BC延長線上任意一點(diǎn)，結(jié)論“AE=EF”還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（4）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，正方形的邊長為4，若點(diǎn)F恰好落在直線y=12x+76．（2022秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=?23x+4的圖象與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)O即停止運(yùn)動．其中A、Q兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P對稱，以線段PQ為邊向上作正方形（1）當(dāng)t=2秒時，OQ的長度為；（2）設(shè)MN、PN分別與直線y=?23x+4交于點(diǎn)C、D，求證：MC=（3）在運(yùn)動過程中，設(shè)正方形PQMN的對角線交于點(diǎn)E，MP與QD交于點(diǎn)F，如圖2，求OF+EN的最小值．必考點(diǎn)16必考點(diǎn)16四邊形中存在性問題1．（2022秋·福建福州·八年級福州華倫中學(xué)校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OBCD，點(diǎn)C6,4，現(xiàn)將矩形OBCD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)0°<∠EOB<180°得到矩形OEFG，點(diǎn)B，C，D的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊CD上時，則EC的長為______(請直接寫出答案)；(2)如圖2，CD所在直線與OE、GF分別交于點(diǎn)H、M，且CH=MH．求線段MF的長度．(3)如圖3，設(shè)點(diǎn)P為邊FG的中點(diǎn)，連接PB，PE，BE，在矩形OBCD旋轉(zhuǎn)過程中，△BEP的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．2．（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，對角線AC，BD交于點(diǎn)O．點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動．連接EO并延長，交BC于點(diǎn)G，連接OF和EF．設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（(1)是否存在某一時刻t，使EF⊥BD垂直？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．(2)求△EOF的面積y（cm2）與運(yùn)動時間t（s）的關(guān)系式．(3)求t為何值時，△AOE是等腰三角形？3．（2022秋·廣東河源·九年級統(tǒng)考期末）折疊變換是特殊的軸對稱變換，我們生活中常對矩形紙片進(jìn)行折疊，這其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識和思想．(1)如圖1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F的位置．①求證：DF∥BE；②求DF的長度．(2)如圖2，在直角坐標(biāo)系中，把矩形OABC沿對角線AC所在的直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，AD與y軸交于點(diǎn)E，OA＝2，OC＝23，點(diǎn)G是直線AC上的一個動點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)H，使得以點(diǎn)E，A，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求出點(diǎn)H坐標(biāo)．4．（2022秋·黑龍江佳木斯·九年級撫遠(yuǎn)市第三中學(xué)校考期末）如圖，直角三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊BC在y軸上，AB,BC的長分別是一元二次方程x2?14x+48=0的兩個根，AB<BCA，且BC=2OB，P為AB上一點(diǎn)，且(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求過點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式；(3)點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．（2022秋·山東青島·九年級青島三十九中校考期末）如圖1，正方形ABCD中，AB=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，速度是2cm/s，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向，向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，速度是4cm/s，連接PQ、CP、CQ，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0<t<2）．(1)是否存在某一時刻t，使得PQ∥BD？若存在，求出(2)設(shè)△PQC的面積為s（cm2），求s與t(3)如圖2，連接AC，與線段PQ相交于點(diǎn)M，是否存在某一時刻t，使S△QCM:S6．（2022春·四川達(dá)州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點(diǎn)Am,0，與y軸交于點(diǎn)B0,n，且m，(1)求：S△AOB(2)D為OA延長線上一動點(diǎn)，以BD為直角邊作等腰直角△BDE，連接EA，求直線EA與y軸交點(diǎn)F(3)在（2）的條件下，當(dāng)AD=2時，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使以B、E、7．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，且B4,2，E為直線AC上一動點(diǎn)，連OE，過E作GF⊥OE，交直線BC、直線OA于點(diǎn)F、G，連OF(1)求直線AC的解析式．(2)當(dāng)E為AC中點(diǎn)時，求CF的長．(3)在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以P、O、G、F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．專題18.12平行四邊形全章十六類必考壓軸題【人教版】必考點(diǎn)1必考點(diǎn)1平行四邊形中邊的關(guān)系運(yùn)用1．（2022秋·浙江寧波·八年級校考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在平行四邊形ABCD的邊上，若△AEF為等腰三角形，則EF的長為_____．【答案】33或3或57【分析】△AEF為等腰三角形，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和30°直角三角形性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：當(dāng)AE=AF時，如圖，過點(diǎn)A作AH⊥EF于H，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=1∵AE=AF，AH⊥EF，∠A=120°，∴∠AEF=∠AFE=30°，F(xiàn)H=EH，∴AH=12AE=∴EF=2EH=33當(dāng)AF=EF時，如圖2，過點(diǎn)A作AN⊥CD于N，過點(diǎn)F作FM⊥AB于M，

圖2∵在平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=4，∠A=120°，∴AD=BC=4，∠ADC=60°，∴∠DAN=30°，∴DN=12AD=2∵AB//CD，AN⊥CD，F(xiàn)M⊥AB，∴AN=MF=23∵AF=EF，F(xiàn)M⊥AB，∴AM=ME=3∴EF=M當(dāng)AE=EF=3時，如圖3，圖3∴EF=3，綜上所述：EF的長為33或3或57【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知?ABCD中，AF垂直平分DC，且AF=DC，點(diǎn)E為AF上一點(diǎn)，連接BE、CE，若∠CEF=2∠ABE，AE=2，則AD的長為______．【答案】3【分析】過點(diǎn)B作BM⊥CE于M，由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，AB=CD，AB∥CD，證明△BAE≌△BMEAAS，由全等三角形的性質(zhì)得出AE=EM=2，AB=BM，證明Rt△AFD≌Rt△BMCHL，由全等三角形的性質(zhì)得出FD=CM【詳解】解：過點(diǎn)B作BM⊥CE于M，∵AF垂直平分DC，∴CF=DF，AF⊥CD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，AB∥∴AB⊥AF，∵∠BAE+∠AEM+∠BME+∠ABM=360°，∴∠ABM+∠AEM=180°，∵∠CEF+∠AEM=180°，∴∠CEF=∠ABM=∠ABE+∠EBM，又∵∠CEF=2∠ABE，∴∠ABE=∠EBM，∵BE=BE，∠BAE=∠BME=90°，∴△BAE≌∴AE=EM=2，AB=BM，∵AB=CD=AF，∴BM=AF，在Rt△AFD和RtAD=BCAF=BM∴Rt△AFD∴FD=CM，設(shè)CF=FD=x，則AB=BM=2x，EF=2x?2，CE=2+x，在Rt△CEF中，E∴2x?22解得x=3或x=0（舍去），∴CM=3，BM=6，∴BC＝∴AD=35故答案為：35【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC邊上任意一點(diǎn)，連接AD，以AD，CD為鄰邊作平行四邊形ADCE，連接DE，則DE長的最小值為___________．【答案】9.6【分析】設(shè)AC,ED交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，勾股定理求得OB，等面積法求得OF，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)F，重合時，OD最小，進(jìn)而求得DE的最小值，即可求解．【詳解】設(shè)AC,ED交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，如圖所示，在四邊形ADCE中，AO=CO，EO=DO，∵AB=BC=10，∴BO⊥AC，∵AC=12，∴AO=CO=6,在Rt△BOC中，BO=∵S△OBC∴OF=4.8，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)F，重合時，OD最小，∴ED的最小值為2OD=9.6．故答案為：9.6．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，∠D<90°，點(diǎn)E在AD邊上，CM⊥AD，垂足為M，以CE為邊，E為直角頂點(diǎn)，作等腰直角△CEF，使點(diǎn)F落在射線AB上．(1)當(dāng)△CED是邊長為6的等邊三角形時，∠AFE的度數(shù)為_______，AD的長為_______；(2)當(dāng)AE=ED時，求∠ECD的度數(shù)；(3)是否存在AF=BF的情況，如果存在，求AE，ED和CM之間滿足的數(shù)量關(guān)系；如果不存在，說明理由．【答案】(1)30°，6+2(2)45°(3)存在，4AE+2DE=5CM【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD=CE=6，∠D=∠DEC=∠ECD=60°，利用平行四邊形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和即可求出∠AFE的度數(shù)，由此得到AE=AF，過點(diǎn)A作AN⊥EF于N，求出EN=FN=12EF=12EC=3，利用勾股定理得到（2）取FC的中點(diǎn)N，連接EN，根據(jù)△EFC是等腰直角三角形，得到∠EGC=90°，∠GEC=∠GCE=45°，利用梯形中位線定理得到EG∥CD，即可求出（3）存在，當(dāng)AF=BF時，延長EF交CB延長線于G，作EH⊥BC于H，則四邊形EHCM是矩形，得到EH=CM，證明△AEF≌△BGF，推出AE=BG，EF=GF，得到GC=GB+BC=2AE+DE，設(shè)CE=x，則GE=2x，勾股定理求出GC，利用面積公式求出EH，即可得到結(jié)論【詳解】（1）∵△CED是邊長為6的等邊三角形，∴DE=CD=CE=6，∠D=∠DEC=∠ECD=60°，∵∠CEF=90°，∴∠AEF=180°?90°?60°=30°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD+∠D=180°，∴∠BAD=120°，∴∠AFE=180°?∠A?∠AEF=30°=∠AEF，∴AE=AF，過點(diǎn)A作AN⊥EF于N，∴EN=FN=1在Rt△AEN中，AE=2AN，AN∴AN解得AN=3∴AD=AE+DE=6+23故答案為：30°，6+23（2）取FC的中點(diǎn)N，連接EN，∵△EFC是等腰直角三角形，∴∠EGC=90°，∠GEC=∠GCE=45°，∵AF∥CD，E為AD中點(diǎn)，G為∴EG∥∴∠ECD=∠GEC=45°；（3）存在，當(dāng)AF=BF時，延長EF交CB延長線于G，作EH⊥BC于H，則四邊形EHCM是矩形，∴EH=CM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠G=∠AEF,∠A=∠GBF，

∵AF=BF，∴△AEF≌∴AE=BG，EF=GF，∴GC=GB+BC=2AE+DE，∴GE=2CE，設(shè)CE=x，則GE=2x，∴GC=G∵S△CEG∴EH=CE?EG∴CM=EH=2∴GC=2AE+DE=5∴4AE+2DE=5CM．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·廣東清遠(yuǎn)·八年級統(tǒng)考期末）在平形四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，EO的延長線與邊AD交于點(diǎn)F，連接BF、DE如圖1．(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；(2)若DE=DC，∠CBD=45°，過點(diǎn)C作DE的垂線，與DE、BD、BF分別交于點(diǎn)G、H、P如圖2．①當(dāng)CD=6，CE=4時，求BE的長；②求證：CD=CH．【答案】(1)證明見解析(2)①42【分析】（1）通過ASA證明△BOE≌△DOF，得DF=BE，又DF∥BE，即可證明四邊形（2）①過點(diǎn)D作DN⊥EC于點(diǎn)N，先根據(jù)勾股定理求出DN=42，由∠DBC=45°得BN=DN②根據(jù)DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，則有∠EDN=∠ECG，再證∠CDH=∠CHD，結(jié)論即可得證．【詳解】（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對角線BD的中點(diǎn)，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，在△BOE與△DOF中，∠EBO=∠FDOBO=DO∴△BOE≌△DOFASA∴DF=BE，又∵AD∥BC，即∴四邊形BEDF是平行四邊形．（2）①解：如圖，過點(diǎn)D作DN⊥EC于點(diǎn)N，∵DE=DC=6，DN⊥EC，CE=4，∴EN=CN=2，∴DN=D∵∠DBC=45°，DN⊥BC，∴∠DBC=∠BDN=45°，∴DN=BN=42∴BE=BN?EN=42∴BE的長為42②證明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，∴∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，∴∠EDN=∠ECG，∵DE=DC，DN⊥EC，∴∠EDN=∠CDN，∴∠ECG=∠CDN，∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH，∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN，∴∠CDB=∠DHC，∴CD=CH．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識．理解和掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·湖北·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)P是?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC=90°(1)如圖1，求證：PB=PC；(2)如圖2，若AB=8，PC=52，且(3)如圖3，將△PBA繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至△PCE處，過D作DF⊥EP，交EP延長線于F，若AB=6AP，∠PAB=75°，直接寫出【答案】(1)見解析(2)32(3)2【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)及∠BPC=90°，∠BAD?∠PCD=45°，可得（2）過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，則由平行四邊形的性質(zhì)得PF⊥CD，證明△PEB≌△CFP，可得PE=CF，從而由已知面積關(guān)系可得PF=3CF，由勾股定理可求得CF的長，從而可求得平行四邊形的面積；（3）連接DE，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)易得CE⊥CD，則可得∠DEF=30°，設(shè)AP=a，由旋轉(zhuǎn)及勾股定理可分別求得DE、DF、EF，進(jìn)而可求得PF，由勾股定理求得PD，則最后可求得結(jié)果．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD=∠BCD，∵∠BAD?∠PCD=45°，∴∠BCD?∠PCD=45°，即∠BCP=45°，∵∠BPC=90°，∴∠PBC=∠BCP=45°，∴PB=PC；（2）過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，如圖，∴∠PEA=∠PEB=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠PFC=∠PEA=90°，即PF⊥CD，∴∠FPC+∠FCP=90°，∵∠BPE+∠FPC=180°?∠BPC=90°，∴∠BPE=∠FCP，在△PEB與△CFP中，∠PEB=∠PFC=90°∠BPE=∠FCP∴△PEB≌△CFP，∴PE=CF，∵S△ABP即12∴PE:PF=1:3，∴PF=3PE=3CF，在Rt△PFC中，由勾股定理得：P即9CF解得：CF=5∴EF=PE+PF=4PE=4CF=45∴平行四邊形的面積為；AB·EF=8×45（3）連接DE，如圖，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：PE=AP，∠PEC=∠PAB=75°，∠PCE=∠PBA，CE=AB，∵AB∥∴∠ABC+∠BCD=180°，即∠PBA+∠PBC+∠PCB+∠PCD=180°，∵∠PBC+∠PCB=90°，∴∠PBA+∠PCD=90°，即∠PCE+∠PCD=90°，∴CE⊥CD，∵AB=CD，∴CE=CD=AB，∴∠CED=45°，∴∠DEF=∠PEC?∠CED=75°?45°=30°，設(shè)AP=a，則PE=a，CE=CD=AB=6在Rt△CED中，由勾股定理得DE=∵DF⊥PF，∠DEF=30°，∴DF=1在Rt△DFE中，由勾股定理得：EF=∴PF=EF?PE=3a?a=2a，在Rt△DFP中，由勾股定理得PD=∴PFPD故答案為：27【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng)，既要靈活運(yùn)用這些知識，又要構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線，對學(xué)生而言有一定的難度．必考點(diǎn)2必考點(diǎn)2平行四邊形中的面積轉(zhuǎn)換1．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別在?ABCD的AD、AB、BC、CD邊上，EG∥CD，F(xiàn)H∥AD，EG與FH交于點(diǎn)P，連接BD交FH于點(diǎn)Q，連接BP，設(shè)?AEPF、?EDHP、?FPGB、?PHCG的面積分別為S1、S2、S3、SA．S2?S1 B．S3?【答案】D【分析】根據(jù)?AEPF∽?PHCG，設(shè)相似比=k，AE=m，AF=n，∠AFP=θ，得到S1、S2、S3、S4的面積等式，根據(jù)△BFQ∽△DHQ，得到相似比【詳解】解：如圖，∵?AEPF∽?PHCG，設(shè)相似比PHAE=PGAF=k∴DE=PH=CG=kAE=km，BF=PG=CH=kAF=kn，∴S1=mn·sinθ，S2∵△BFQ∽∴FQQH∴FQ=k∴PQ=FQ?FP=km?m=k?1過點(diǎn)B作BM⊥FH于點(diǎn)M，則BM=BF·sin∴S△BPQ∵S4∴S△BPQ故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．2．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形FBCE中，點(diǎn)J，G分別在邊BC，EF上，JG∥BF，四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k=3，則下列一定能求出A．四邊形HDEG和四邊形AHGF的面積之差 B．四邊形ABCD和四邊形HDEG的面積之差C．四邊形ABCD和四邊形ADEF的面積之差 D．四邊形JCDH和四邊形HDEG的面積之差【答案】C【分析】分別過點(diǎn)A，D作BC的平行線，根據(jù)相似比，找出對應(yīng)相似圖形的面積關(guān)系，然后找出符合的選項(xiàng)即可．【詳解】解：如圖，分別過點(diǎn)A，D作BC的平行線交CE于點(diǎn)M，交BF于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k=3，∴CD=3AF=3ME，BC=3FG=3BJ，△BCD～△BJI，相似比k=3，則S?BCDN=3S∵S∴S故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)相似比求面積關(guān)系，平行四邊形性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)等知識，適當(dāng)添加輔助線，找出對應(yīng)面積關(guān)系，采用面積作差方法是解題關(guān)鍵．3．（2022春·浙江·八年級階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是?ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是S①S1+S3=S2+S4；②如果S4>S2，則S3>S【答案】①④⑤【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AD=BC，設(shè)點(diǎn)P到AB，BC，CD，DA的距離分別是?1，?2，?3，?4，再根據(jù)三角形的面積公式整理判斷①；然后根據(jù)三角形面積公式可判斷②③；再根據(jù)兩個等高的三角形面積的比等于底的比，得出S1【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC．設(shè)點(diǎn)P到AB，BC，CD，DA的距離分別是?1，?2，?3則S1=12AB·?1∵12AB·?∴S平行四邊形∴S2根據(jù)S4>S2只能判斷?4根據(jù)S3=2S1，能得出?3∵點(diǎn)P在對角線BD上，∴S1:S∴S1由S1?S2=S3∴點(diǎn)P一定在對角線在BD上，故⑤正確，綜上所述，正確的結(jié)論是①④⑤．故答案為：①④⑤【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積等，用平行四邊形的面積表示出相應(yīng)的兩個三角形的面積的和是解本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·上?！て吣昙壭？计谀┬∶髟趯W(xué)習(xí)了中心對稱圖形以后，想知道平行四邊形是否為中心對稱圖形．于是將一張平行四邊形紙片平放在一張紙板上，在紙板上沿四邊畫出它的初始位置，并畫出平行四邊形紙片的對角線，用大頭針釘住對角線的交點(diǎn)．將平行四邊形紙片繞著對角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，平行四邊形紙片與初始位置的平行四邊形恰好重合．通過上述操作，小明驚喜地發(fā)現(xiàn)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)就是對稱中心．請你利用小明所發(fā)現(xiàn)的平行四邊形的這一特征完成下列問題：(1)如圖①，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．過點(diǎn)O的直線l與邊AB、CD分別相交于點(diǎn)M、N，四邊形AMND的面積與平行四邊形ABCD的面積之比為___________；(2)如圖②，這個圖形是由平行四邊形ABCD與平行四邊形ECGF組成的，點(diǎn)E在邊CD上，且B、C、G在同一直線上．①請畫出一條直線把這個圖形分成面積相等的兩個部分（不要求寫出畫法，但請標(biāo)注字母并寫出結(jié)論）；②延長GF與邊AD的延長線交于點(diǎn)K，延長FE與邊AB交于點(diǎn)H．聯(lián)結(jié)EB、EK、BK，如圖③所示，當(dāng)四邊形AHED的面積為10，四邊形CEFG的