空氣動力學(xué)基本概念課件

第一章（1）基本概念介紹1可編輯課件PPT1.1氣體的基本物理性質(zhì)2可編輯課件PPT粒子與連續(xù)介質(zhì)3可編輯課件PPTElementalvolume(流體微團/質(zhì)點)連續(xù)介質(zhì)Largeenoughinmicroscope(微觀無窮大)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下10-9mm3空氣包含大約3×107個分子Smallenoughinmacroscope(宏觀無窮小)意味著密度是個點函數(shù)，其性能變化是連續(xù)可微的連續(xù)介質(zhì)：總體屬性4可編輯課件PPT流體的密度流體密度平均密度隨微元容積變化5可編輯課件PPT流體內(nèi)一點的壓強流體內(nèi)部任一點處的壓強各向同性（N/m2，帕）力平衡方程微四面體及其壓強6可編輯課件PPT一個重要參數(shù)：壓力系數(shù)壓力系數(shù)

其中由伯努利方程可得到7可編輯課件PPT連續(xù)介質(zhì)中一點的溫度：指在某瞬時與該點重合的微小流體團中所包含的大量分子無規(guī)則運動的平均移動動能的量度溫度的微觀意義：分子運動論、經(jīng)典統(tǒng)計物理、量子統(tǒng)計物理等角度的闡述流體的溫度8可編輯課件PPT連續(xù)介質(zhì)中一點的速度：指在某瞬時與該點重合的流體質(zhì)點質(zhì)心的速度，它不同于流體分子的運動速度統(tǒng)計平均速度連續(xù)介質(zhì)速度

流體的速度9可編輯課件PPT氣體狀態(tài)方程完全氣體：模型氣體，完全彈性的微小球粒，內(nèi)聚力十分微?。ê雎裕⒘嵱锌傮w積（忽略）狀態(tài)方程：壓強、密度和溫度之間的函數(shù)關(guān)系完全氣體的狀態(tài)方程：

其中Ｒ為氣體常數(shù)，各種氣體的氣體常數(shù)各不相同；對空氣，Ｒ=287.053m2/(s2·K)真實氣體？10可編輯課件PPT氣體的壓縮性定義：在一定溫度條件下，具有一定質(zhì)量氣體的體積或密度隨壓強變化而改變的特性，叫做可壓縮性（或稱彈性），也就是我們通常所說的“可壓”與“不可壓”體積彈性模數(shù)：壓縮性：聲速、密度在氣流速度較低時，可以不考慮空氣的可壓縮性11可編輯課件PPT氣體的粘性實際流體都是有粘性的粘性力（內(nèi)摩擦力）牛頓粘性定律：粘性系數(shù)（N·s/m2）：介質(zhì)、溫度；壓強（無關(guān)）氣體的粘性12可編輯課件PPT各種氣體的μ

隨T的變化有實驗數(shù)據(jù)可查表空氣的粘度隨T

的變化有許多種近似公式薩特蘭公式：粘性系數(shù)隨溫度變化運動粘性系數(shù)（m2/s）：粘性系數(shù)隨溫度而變化，但與壓強基本無關(guān)氣體：T↑

↑液體：T↑

↓

13可編輯課件PPT粘性流動：邊界層14可編輯課件PPTVelocityprofilethroughaboundarylayer15可編輯課件PPT不同形狀下由摩擦產(chǎn)生阻力系數(shù)和壓力產(chǎn)生的阻力系數(shù)的比較16可編輯課件PPT氣體的傳熱性定義：氣體中因為溫度梯度的存在而發(fā)生熱量傳遞的性質(zhì)稱為傳熱性。熱導(dǎo)率

?

導(dǎo)熱系數(shù)：介質(zhì)、溫度（空氣小，可忽略）17可編輯課件PPT常用的流體模型理想流體：符合完全氣體狀態(tài)方程無粘流體：忽略氣體粘性不可壓流體：不考慮氣體壓縮性低速流體絕熱流體：不考慮流體熱傳導(dǎo)性上述幾種模型以不同形式結(jié)合，可以形成不同形式的流體模型。18可編輯課件PPT大氣分層：平流層（32km）標(biāo)準(zhǔn)大氣層低層大氣高層大氣中間大氣層（32-85km）對流層（7-18km）高溫層（85-500km）上層大氣（>500km）標(biāo)準(zhǔn)大氣19可編輯課件PPT溫度高度分布律對流層：平流層：高度20000m到32000m：20可編輯課件PPT壓強和密度隨高度變化對流層21可編輯課件PPT平流層：

從20000m到32000m：22可編輯課件PPT右圖是平流層高度范圍內(nèi)溫度T、壓強p、密度ρ

和分子平均自由程隨高度H變化的曲線23可編輯課件PPT1.2聲速和馬赫數(shù)24可編輯課件PPT聲速定義：指微弱擾動波在流體介質(zhì)中的傳播速度擾動壓縮波擾動膨脹波聲音是由微弱擾動壓縮波和膨脹波交替組成的微弱擾動波25可編輯課件PPT馬赫數(shù)定義：流場中某點處的氣體流速與當(dāng)?shù)芈曀僦燃礊樵擖c處氣流的馬赫數(shù)：完全氣體：26可編輯課件PPTM：氣體宏觀運動的動能與氣體內(nèi)部分子無規(guī)則運動的動能（內(nèi)能）之比的度量馬赫數(shù)是氣流可壓縮性的度量27可編輯課件PPT馬赫數(shù)M是研究高速流動的重要參數(shù)，是劃分高速流動類型的標(biāo)準(zhǔn)：

M<1，即氣流速度小于當(dāng)?shù)芈曀贂r，為亞聲速氣流；

M>1，即氣流速度大于當(dāng)?shù)芈曀贂r，為超聲速氣流；

M＝1時，氣流速度等于當(dāng)?shù)芈曀?；一般又將M=0.8～1.2的氣流稱作跨聲速氣流。28可編輯課件PPT1.3熱力學(xué)中的基本定律29可編輯課件PPT狀態(tài)方程、完全氣體、內(nèi)能和焓狀態(tài)方程：完全氣體：內(nèi)能（完全氣體）：焓值：

p/ρ代表單位質(zhì)量氣體的壓力能，故焓表示單位質(zhì)量氣體的內(nèi)能和壓力能的總和；

對完全氣體，焓只取決于溫度。30可編輯課件PPT熱力學(xué)第一定律外界傳給一個封閉物質(zhì)系統(tǒng)（流動著的氣體微團是其中之一）的熱量等于系統(tǒng)內(nèi)能的增量和系統(tǒng)對外界所做機械功的總和：等容過程：定容比熱容31可編輯課件PPT等壓過程：

其中，

比熱比（絕熱指數(shù)）：定壓比熱容32可編輯課件PPT絕熱過程：K為絕熱指數(shù)33可編輯課件PPT熱力學(xué)第二定律可逆過程、不可逆過程；Δs＝0，稱為等熵過程；如果過程不可逆，則熵值必增加，Δs>0。等熵關(guān)系式：k又稱為等熵指數(shù)34可編輯課件PPT1.4描述流體運動的兩種方法35可編輯課件PPT流體運動的描述流場：充滿著運動流體的空間流動參數(shù)：用以表示流體運動特征的物理量描述流體運動的兩種方法：拉格朗日法和歐拉法拉格朗日法：流體質(zhì)點

歐拉法：流場中的空間點定常流場、非定常流場36可編輯課件PPT§1.4.1

研究流體運動的兩種方法流體運動時，表征運動特征的運動要素一般隨時間空間而變，而流體又是眾多質(zhì)點組成的連續(xù)介質(zhì)，流體的運動是無窮多流體運動的綜合。怎樣描述整個流體的運動規(guī)律呢？拉格朗日法歐拉法37可編輯課件PPT1.拉格朗日法

拉格朗日法:質(zhì)點系法把流體質(zhì)點作為研究對象，跟蹤每一個質(zhì)點，描述其運動過程中流動參數(shù)隨時間的變化，綜合流場中所有流體質(zhì)點，來獲得整個流場流體運動的規(guī)律。

§1.4.1

研究流體運動的兩種方法38可編輯課件PPT設(shè)某一流體質(zhì)點在t=t0時刻占據(jù)起始坐標(biāo)（a，b，c），t為時間變量圖拉格朗日法xzyOaxbzct0tM流體質(zhì)點運動方程§1.4.1

研究流體運動的兩種方法39可編輯課件PPT圖拉格朗日法zxyOaxbyzct0tMt時刻，流體質(zhì)點運動到空間坐標(biāo)（x，y，z）式中，（a，b，c，t）=拉格朗日變數(shù)（a，b，c）對應(yīng)流體微團或液體質(zhì)點§1.4.1

研究流體運動的兩種方法40可編輯課件PPT不同（a，b，c），t不變，表示在選定時刻流場中流體質(zhì)點的位置分布。給定（a，b，c），t變化時，該質(zhì)點的軌跡方程確定；流體質(zhì)點的速度為§1.4.1

研究流體運動的兩種方法41可編輯課件PPT流體質(zhì)點的加速度為§1.4.1

研究流體運動的兩種方法42可編輯課件PPT問題1每個質(zhì)點運動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點2數(shù)學(xué)上存在難以克服的困難3實用上，不需要知道每個質(zhì)點的運動情況因此，該方法在工程上很少采用?！?.4.1

研究流體運動的兩種方法43可編輯課件PPT2.歐拉法

又稱為流場法，核心是研究運動要素分布場。即研究流體質(zhì)點在通過某一空間點時流動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律。該法是對流動參數(shù)場的研究，例如速度場、壓強場、密度場、溫度場等。采用歐拉法，可將流場中任何一個運動要素表示為空間坐標(biāo)（x，y，z）和時間t

的單值連續(xù)函數(shù)?！?.4.1

研究流體運動的兩種方法44可編輯課件PPT液體質(zhì)點在任意時刻t通過任意空間固定點(x,y,z)時的流速為：式中，(x,y,z,t

)稱為歐拉變數(shù)?！?.4.1

研究流體運動的兩種方法45可編輯課件PPT令(x,y,z)為常數(shù)，t為變數(shù)令(x,y,z)為變數(shù)，t為常數(shù)表示在某一固定空間點上，流體質(zhì)點的運動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律。表示在同一時刻，流場中流動參數(shù)的分布規(guī)律。即在空間的分布狀況?！?.4.1

研究流體運動的兩種方法46可編輯課件PPT(a,b,c):質(zhì)點起始坐標(biāo)

t:任意時刻(x,y,z):質(zhì)點運動的位置坐標(biāo)(a,b,c,t):拉格朗日變數(shù)(x,y,z):空間固定點（不動）

t:任意時刻(x,y,z,t):歐拉變數(shù)拉格朗日法歐拉法§1.4.1

研究流體運動的兩種方法47可編輯課件PPT液體質(zhì)點通過任意空間坐標(biāo)時的加流速式中，(ax,ay,az)為通過空間點的加速度分量?！?.4.1

研究流體運動的兩種方法48可編輯課件PPT利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，將（x,y,z）看成是時間t

的函數(shù)，則寫為矢量形式§1.4.1

研究流體運動的兩種方法49可編輯課件PPT時變加速度分量（三項）位變加速度分量（九項）§1.4.1

研究流體運動的兩種方法50可編輯課件PPT用歐拉法表達加速度從歐拉法來看，不同空間位置上的液體流速可以不同；在同一空間點上，因時間先后不同，流速也可不同。因此，加速度分遷移加速度（位變加速度）：同一時刻，不同空間點上流速不同，而產(chǎn)生的加速度。當(dāng)?shù)丶铀俣龋〞r變加速度）：同一空間點，不同時刻上因流速不同，而產(chǎn)生的加速度?！?.4.1

研究流體運動的兩種方法51可編輯課件PPT圖時變加速度產(chǎn)生說明t0tutu0水面不斷下降！§1.4.1

研究流體運動的兩種方法52可編輯課件PPTu2t0u1水面保持恒定！圖位變加速度說明§1.4.1

研究流體運動的兩種方法53可編輯課件PPT例題1已知平面流動的ux=3xm/s,uy=3ym/s,試確定坐標(biāo)為（8，6）點上流體的加速度。

【解】：由式§1.4.1

研究流體運動的兩種方法54可編輯課件PPT1.定常流動與非定常流動在討論流體運動的基本規(guī)律和基本方程之前，為了便于分析、研究問題，先介紹一些有關(guān)流體運動的基本概念。若流場中流體的運動參數(shù)（速度、加速度、壓強、密度、溫度等）不隨時間而變化，而僅是位置坐標(biāo)的函數(shù)，則稱這種流動為定常流動或恒定流動。定常流動:若流場中流體的運動參數(shù)不僅是位置坐標(biāo)的函數(shù)，而且隨時間變化，則稱這種流動為非定常流動或非恒定流動。非定常流動：§1.4.1

研究流體運動的兩種方法55可編輯課件PPTut0H水面保持恒定！圖定常流動說明如圖所示容器中水頭不隨時間變化的流動為定常流動。流體的速度、壓強、密度和溫度可表示為§1.4.1

研究流體運動的兩種方法56可編輯課件PPT運動要素之一不隨時間發(fā)生變化，即所有運動要素對時間的偏導(dǎo)數(shù)恒等于零定常流動的特點:因此，定常流動時流體加速度可簡化成即，在定常流動中只有遷移加速度?！?.4.1

研究流體運動的兩種方法57可編輯課件PPT非定常流動的特點：運動要素之一隨時間而變化的流動，即運動要素之一對時間的偏導(dǎo)數(shù)不為零。2t01水面保持恒定！圖中，當(dāng)水箱的水位保持不變時，1點到2點流體質(zhì)點速度增加，就是由于截面變化而引起的遷移加速度?！?.4.1

研究流體運動的兩種方法58可編輯課件PPT五、拉格朗日描述與歐拉描述

拉格朗日描述著眼于流體質(zhì)點，將物理量視為隨體(初始）坐標(biāo)與時間的函數(shù)，而歐拉描述著眼于空間點，將物理量視為空間坐標(biāo)與時間的函數(shù)。59可編輯課件PPT§3.2

流體運動中的幾個基本概念3.跡線和流線流體質(zhì)點不同時刻流經(jīng)的空間點所連成的線，即流體質(zhì)點運動的軌跡線。由拉格朗日法引出的概念。跡線:例如在流動的水面上撒一片木屑，木屑隨水流漂流的途徑就是某一水點的運動軌跡，也就是跡線。跡線的微分方程：從該方程的積分結(jié)果中消去時間t，便可求得跡線方程式。60可編輯課件PPT某一瞬時在流場中所作的一條曲線，在這條曲線上的各流體質(zhì)點的速度方向都與該曲線相切，因此流線是同一時刻，不同流體質(zhì)點所組成的曲線。由歐拉法引出。

§3.2

流體運動中的幾個基本概念流線:圖流線畫法A1A2A3A4u1u2u3Δs1Δs2Δs3oyzx61可編輯課件PPT§3.2

流體運動中的幾個基本概念圖流經(jīng)彎道的流線圖繞過機翼剖面的流線62可編輯課件PPT§3.2

流體運動中的幾個基本概念流線的基本特性1.

流線和跡線相重合。在定常流動時，因為流場中各流體質(zhì)點的速度不隨時間變化，所以通過同一點的流線形狀始終保持不變，因此流線和跡線相重合。2.

流線不能相交和分支。通過某一空間點在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。否則在同一空間點上流體質(zhì)點將同時有幾個不同的流動方向。3.

流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。4.

流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。63可編輯課件PPT思考題

試想何時流線與跡線重合？64可編輯課件PPT答案1、定常運動；2、非定常運動，但流速方向不與時間相關(guān)（見后邊例題）。65可編輯課件PPT§3.2

流體運動中的幾個基本概念流線的特例駐點：速度為0的點；奇點：速度為無窮大的點（源和匯）。在駐點和奇點處，由于不存在不同流動方向，流線可以轉(zhuǎn)折和彼此相交。圖源圖匯66可編輯課件PPT§3.2

流體運動中的幾個基本概念流線微分方程設(shè)在流場中某一空間點（x，y，z）的流線上取微元段矢量該點流體質(zhì)點的速度矢量為。根據(jù)流線的定義，該兩個矢量相切，其矢量積為0。即67可編輯課件PPT§3.2

流體運動中的幾個基本概念上式即為流線的微分方程，式中時間t是個參變量。例題2有一流場，其流速分布規(guī)律為：ux=-ky，uy=kx，uz=0，試求其流線方程?！窘狻坑捎?/p>

uz=0，所以是二維流動，其流線方程微分為68可編輯課件PPT§3.2

流體運動中的幾個基本概念將兩個分速度代入流線微分方程（上式），得到積分即流線簇是以坐標(biāo)原點為圓心的同心圓。4.流管、流束和總流在流場中任取一不是流線的封閉曲線C，過曲線上的每一點作流線，這些流線所組成的管狀表面稱為流管。流管：C69可編輯課件PPT§3.2

流體運動中的幾個基本概念流管內(nèi)部的全部流體稱為流束。流管與流線只是流場中的一個幾何面和幾何線，而流束不論大小，都是由流體組成的。因為流管是由流線構(gòu)成的，所以它具有流線的一切特性，流體質(zhì)點不能穿過流管流入或流出(由于流線不能相交)。流束：微小截面積的流束。如果封閉曲線取在管道內(nèi)部周線上，則流束就是充滿管道內(nèi)部的全部流體，這種情況通常稱為總流?？偭鳎何⑿×魇鹤⒁?0可編輯課件PPT§3.2

流體運動中的幾個基本概念5.流量、有效截面和平均流速單位時間內(nèi)通過有效截面的流體體積稱為體積流量，以qv表示，其單位為m3/s、m3/h等。流量體積流量qv（m3/s）質(zhì)量流量ρqv

（kg/s）重量流量γqv（N/s）或（kN/s）有三種表示方法：71可編輯課件PPT§3.2

流體運動中的幾個基本概念A(yù)dAu1212dqv從總流中任取一個微小流束，其過水?dāng)嗝鏋閐A，流速為u

，則通過微小流束的體積流量為qv式中：dA為微元面積矢量

，為速度u

與微元法線方向n夾角的余弦。72可編輯課件PPT§3.2

流體運動中的幾個基本概念處處與流線相垂直的截面稱為有效截面。有效截面有效斷面可能是曲面，或平面。在直管中，流線為平行線，有效截面為平面；

在有錐度的管道中，流線收斂或發(fā)散，有效截面為曲面。圖有效截面為平面圖有效截面為曲面73可編輯課件PPT§3.2

流體運動中的幾個基本概念常把通過某一有效截面的流量qv與該有效截面面積A相除，得到一個均勻分布的速度v。

平均流速u(y)yqvv圖有效截面為平均流速74可編輯課件PPT§3.2

流體運動中的幾個基本概念平均流速是一個假想的流速，即假定在有效截面上各點都以相同的平均流速流過，這時通過該有效截面上的體積流量仍與各點以真實流速流動時所得到的體積流量相同。使流體運動得到簡化（使三維流動變成了一維流動）。在實際工程中，平均流速是非常重要的。引入斷面平均流速的意義75可編輯課件PPT§3.2

流體運動中的幾個基本概念6.均勻流與非均勻流7.漸變流與急變流非均勻流又分漸變流和急變流.漸(緩)變流指各流線接近于平行直線的流動.漸變流兩個特點:(1)過流斷面近似為平面(2)恒定漸變流過流斷面上流體動壓強近似按靜壓分布,即同一流斷面上76可編輯課件PPT在總流的有效截面上，流體與固體壁面接觸的長度。用χ表示?！?.2

流體運動中的幾個基本概念8.當(dāng)量直徑、濕周和水力半徑濕周在總流的有效截面上，流體與固體壁面接觸的長度。用χ表示。濕周總流的有效截面與濕周之比。用Rh表示。水力半徑圓管直徑是水力半徑的4倍。77可編輯課件PPT流線的微分方程式流線微段和速度的分量78可編輯課件PPT例1-1：已知二維定常不可壓流動的速度分布為，a為常數(shù)。求通過點P（2，1）的流線方程。流線是一簇等角雙曲線79可編輯課件PPT流管：在流場中取一條不為流線的封閉曲線C，經(jīng)過曲線C上每一點作流線，由這些流線集合構(gòu)成的管狀曲面稱為流管。流面：由許多相鄰的流線連成的一個曲面流譜80可編輯課件PPT應(yīng)用舉例81可編輯課件PPT第三節(jié)流體的連續(xù)性方程

連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。流體是連續(xù)介質(zhì)，在流動時連續(xù)地充滿整個流場。當(dāng)流體經(jīng)過流場中任意指定的空間封閉曲面時，可以推斷：在某一定時間內(nèi)，若流出的流體質(zhì)量和流入的流體質(zhì)量不相等，則封閉曲面內(nèi)一定會有流體密度的變化；如果流體是不可壓縮的，則流出的流體質(zhì)量必然等于流入的流體質(zhì)量。上述結(jié)論可以用數(shù)學(xué)分析表達成微分方程，稱為連續(xù)性方程。82可編輯課件PPT流體的連續(xù)性方程83可編輯課件PPT84可編輯課件PPT85可編輯課件PPT86可編輯課件PPT87可編輯課件PPT88可編輯課件PPT89可編輯課件PPT90可編輯課件PPT91可編輯課件PPT92可編輯課件PPT93可編輯課件PPT94可編輯課件PPT95可編輯課件PPT96可編輯課件PPT

練習(xí)題

已知用拉格朗日變量表示得速度分布為u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0時，x=a，

y=b。求（1）t=3時質(zhì)點分布；（2）a=2，b=2質(zhì)點的運動規(guī)律；（3）質(zhì)點加速度。

97可編輯課件PPT練習(xí)題

在任意時刻，流體質(zhì)點的位置是x=5t2，其跡線為雙曲線xy=25,求質(zhì)點速度和加速度在x和y方向的分量？

98可編輯課件PPT99可編輯課件PPT100可編輯課件PPT101可編輯課件PPT1.5流體微團運動分析102可編輯課件PPT二維流場中的流體微團流體運動：平移、旋轉(zhuǎn)、變形直線變形速度、繞A轉(zhuǎn)動微團運動分析103可編輯課件PPT流體微團的線變形面積相對變化率:104可編輯課件PPT流體微團的轉(zhuǎn)動角速度和角變形率:二維流場中的流體微團流體微團的運動:

平移運動；旋轉(zhuǎn)運動；線變形運動（體積變化）角變形運動105可編輯課件PPT散度、旋度和速度勢散度：各速度分量在其分量方向上的方向?qū)?shù)之和

標(biāo)定流體微團在運動過程中的相對體積變化率106可編輯課件PPT一點發(fā)出的體積流量：

各控制面上的垂直速度分量107可編輯課件PPT旋度為旋轉(zhuǎn)角速度的兩倍：無旋運動有旋運動無旋時：為速度勢或速度勢函數(shù)（位函數(shù)）勢函數(shù)存在的充要條件是：無旋108可編輯課件PPT流函數(shù)Ψ：Ψ

=常數(shù)表示流線流函數(shù)存在的充要條件：滿足連續(xù)方程（不一定無旋）109可編輯課件PPT作用在流體微團上的力徹體力存在于微團自身的力徹體力都正比于氣體的質(zhì)量，所以也有人把它叫做質(zhì)量力表面力布滿在某一小塊氣體表面上，單位面積上的力稱為應(yīng)力，單位是N/m2壓力和切應(yīng)力（摩擦力）110可編輯課件PPT

第一章（2）基本原理與方程111可編輯課件PPT1.6環(huán)量與渦升力問題與渦及環(huán)量緊密相關(guān)112可編輯課件PPT渦現(xiàn)象113可編輯課件PPT114可編輯課件PPT115可編輯課件PPT116可編輯課件PPT117可編輯課件PPT118可編輯課件PPT119可編輯課件PPT120可編輯課件PPT121可編輯課件PPT122可編輯課件PPT123可編輯課件PPT124可編輯課件PPT125可編輯課件PPT126可編輯課件PPT127可編輯課件PPT環(huán)量與渦定義：在流場中沿一條指定曲線，做速度的線積分：無旋流場:128可編輯課件PPT有旋流A：（x，y）；(u，v)B:

C:D:129可編輯課件PPT為流體在各方向的渦度及類似的為流體總渦度，旋轉(zhuǎn)軸按右手定則130可編輯課件PPT1.7相關(guān)矢量知識回顧131可編輯課件PPT梯度標(biāo)量p沿s方向的變化率,即方向?qū)?shù)為標(biāo)量場梯度為132可編輯課件PPT散度、旋度矢量則矢量的散度：矢量的旋度：133可編輯課件PPT線積分曲線C的兩個端點分別為a,b，

矢量

沿曲線C的積分為

其中如果曲線C為封閉曲線，則線積分為134可編輯課件PPT曲面積分曲面S積分方式有三種如果曲面S為封閉式的，曲面積分可表示為135可編輯課件PPT體積分在體積為中分別對

進行體積分136可編輯課件PPT線、面、體積分之間的關(guān)系Stokes原理