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文檔簡介
2024屆福建省泉州市奕聰中學高三3月份第一次模擬考試數(shù)學試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.橢圓的焦點為,點在橢圓上,若,則的大小為()A. B. C. D.2.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.3.設為拋物線的焦點,,,為拋物線上三點,若,則().A.9 B.6 C. D.4.用一個平面去截正方體,則截面不可能是()A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形5.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示,下列說法中錯誤的是().A.收入最高值與收入最低值的比是B.結(jié)余最高的月份是月份C.與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D.前個月的平均收入為萬元6.已知拋物線的焦點為,準線為,是上一點,是直線與拋物線的一個交點,若,則()A. B.3 C. D.27.已知函數(shù)有兩個不同的極值點,,若不等式有解,則的取值范圍是()A. B.C. D.8.設全集,集合,.則集合等于()A. B. C. D.9.拋物線的焦點為F,點為該拋物線上的動點,若點,則的最小值為()A. B. C. D.10.在區(qū)間上隨機取一個數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.1111.為得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像()A.向右平移個長度單位 B.向右平移個長度單位C.向左平移個長度單位 D.向左平移個長度單位12.若與互為共軛復數(shù),則()A.0 B.3 C.-1 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在區(qū)間內(nèi)任意取一個數(shù),則恰好為非負數(shù)的概率是________.14.已知雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上,則實數(shù)的值為___________.15.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B為焦點,且過C,D兩點的雙曲線的離心率為____________.16.已知全集為R,集合,則___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(為實常數(shù)).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸建立坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標方程;(2)若過點的直線與交于,兩點,與交于,兩點,求的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)設,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并證明函數(shù)有唯一零點.(2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),證明:.20.(12分)手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持,在我國有很多手工藝品制作村落,村民的手工技藝世代相傳,有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名,還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎,該村村民成立了手工藝品外銷合作社,為嚴把質(zhì)量關(guān),合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質(zhì)量把關(guān),質(zhì)量把關(guān)程序如下:(i)若一件手工藝品3位行家都認為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為A級;(ii)若僅有1位行家認為質(zhì)量不過關(guān),再由另外2位行家進行第二次質(zhì)量把關(guān),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為B級,若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為C級;(iii)若有2位或3位行家認為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認為質(zhì)量不過關(guān)的概率為,且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨立.(1)求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率;(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級均可外銷,且利潤分別為900元,600元,300元,質(zhì)量為D級不能外銷,利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件;②記1件手工藝品的利潤為X元,求X的分布列與期望.21.(12分)設函數(shù),,(Ⅰ)求曲線在點(1,0)處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)橢圓的定義可得,,再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,,又,則,由余弦定理可得.故.故選:C.【點睛】本題考查橢圓的定義,考查余弦定理,考查運算能力,屬于基礎題.2、B【解析】
由題中垂直關(guān)系,可得漸近線的方程,結(jié)合,構(gòu)造齊次關(guān)系即得解【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直.∴雙曲線的漸近線方程為.,得.則離心率.故選:B【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,考查了學生綜合分析,概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.3、C【解析】
設,,,由可得,利用定義將用表示即可.【詳解】設,,,由及,得,故,所以.故選:C.【點睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題,考查學生等價轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.4、C【解析】試題分析:畫出截面圖形如圖顯然A正三角形,B正方形:D正六邊形,可以畫出五邊形但不是正五邊形;故選C.考點:平面的基本性質(zhì)及推論.5、D【解析】由圖可知,收入最高值為萬元,收入最低值為萬元,其比是,故項正確;結(jié)余最高為月份,為,故項正確;至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同,故項正確;前個月的平均收入為萬元,故項錯誤.綜上,故選.6、D【解析】
根據(jù)拋物線的定義求得,由此求得的長.【詳解】過作,垂足為,設與軸的交點為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于,所以,所以,所以,所以.故選:D【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法,屬于基礎題.7、C【解析】
先求導得(),由于函數(shù)有兩個不同的極值點,,轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的正實數(shù)根,根據(jù),,,求出的取值范圍,而有解,通過分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù),通過利用導數(shù)研究單調(diào)性、最值,即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得:(),因為函數(shù)有兩個不同的極值點,,所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根,于是有解得.若不等式有解,所以因為.設,,故在上單調(diào)遞增,故,所以,所以的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來求參數(shù)取值范圍,以及運用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法,還考查分析和計算能力,有一定的難度.8、A【解析】
先算出集合,再與集合B求交集即可.【詳解】因為或.所以,又因為.所以.故選:A.【點睛】本題考查集合間的基本運算,涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式,是一道容易題.9、B【解析】
通過拋物線的定義,轉(zhuǎn)化,要使有最小值,只需最大即可,作出切線方程即可求出比值的最小值.【詳解】解:由題意可知,拋物線的準線方程為,,過作垂直直線于,由拋物線的定義可知,連結(jié),當是拋物線的切線時,有最小值,則最大,即最大,就是直線的斜率最大,設在的方程為:,所以,解得:,所以,解得,所以,.故選:.【點睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化思想的應用,屬于基礎題.10、D【解析】
由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項公式,屬于基礎題目.11、D【解析】,所以要的函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位得到,故選D12、C【解析】
計算,由共軛復數(shù)的概念解得即可.【詳解】,又由共軛復數(shù)概念得:,.故選:C【點睛】本題主要考查了復數(shù)的運算,共軛復數(shù)的概念.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先分析非負數(shù)對應的區(qū)間長度,然后根據(jù)幾何概型中的長度模型,即可求解出“恰好為非負數(shù)”的概率.【詳解】當是非負數(shù)時,,區(qū)間長度是,又因為對應的區(qū)間長度是,所以“恰好為非負數(shù)”的概率是.故答案為:.【點睛】本題考查幾何概型中的長度模型,難度較易.解答問題的關(guān)鍵是能判斷出目標事件對應的區(qū)間長度.14、【解析】
求出雙曲線的漸近線方程,右準線方程,得到交點坐標代入拋物線方程求解即可.【詳解】解:雙曲線的右準線,漸近線,雙曲線的右準線與漸近線的交點,交點在拋物線上,可得:,解得.故答案為.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)以及拋物線的簡單性質(zhì)的應用,是基本知識的考查,屬于基礎題.15、2【解析】
根據(jù)為焦點,得;又求得,從而得到離心率.【詳解】為焦點在雙曲線上,則又本題正確結(jié)果:【點睛】本題考查利用雙曲線的定義求解雙曲線的離心率問題,屬于基礎題.16、【解析】
先化簡集合A,再求A∪B得解.【詳解】由題得A={0,1},所以A∪B={-1,0,1}.故答案為{-1,0,1}【點睛】本題主要考查集合的化簡和并集運算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)【解析】
(1)分類討論的值,利用導數(shù)證明單調(diào)性即可;(2)利用導數(shù)分別得出,,時,的最小值,即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1),.當即時,,,此時,在上單調(diào)遞增;當即時,時,,在上單調(diào)遞減;時,,在上單調(diào)遞增;當即時,,,此時,在上單調(diào)遞減;(2)當時,因為在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,所以當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增所以的最小值為.因為,所以,.所以,所以.當時,在上單調(diào)遞減所以的最小值為因為,所以,所以,綜上,.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導數(shù)研究函數(shù)的存在性問題,屬于中檔題.18、(1)見解析;(2).【解析】試題分析:(1)利用平方法消去參數(shù),即可得到的普通方程,兩邊同乘以利用即可得的直角坐標方程;(2)設直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入,利用韋達定理、直線參數(shù)方程的幾何意義以及三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.試題解析:(1)曲線的普通方程為,曲線的直角坐標方程為;(2)設直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))又直線與曲線:存在兩個交點,因此.聯(lián)立直線與曲線:可得則聯(lián)立直線與曲線:可得,則即19、(1)為增區(qū)間;為減區(qū)間.見解析(2)見解析【解析】
(1)先求得的定義域,然后利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合零點存在性定理判斷出有唯一零點.(2)求得的導函數(shù),結(jié)合在區(qū)間上不單調(diào),證得,通過證明,證得成立.【詳解】(1)∵函數(shù)的定義域為,由,解得為增區(qū)間;由解得為減區(qū)間.下面證明函數(shù)只有一個零點:∵,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點,∵,函數(shù)在區(qū)間上沒有零點,故函數(shù)只有一個零點.(2)證明:函數(shù),則當時,,不符合題意;當時,令,則,所以在上單調(diào)增函數(shù),而,又∵區(qū)間上不單調(diào),所以存在,使得在上有一個零點,即,所以,且,即兩邊取自然對數(shù),得即,要證,即證,先證明:,令,則∴在上單調(diào)遞增,即,∴①在①中令,∴令∴,即即,∴.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點,考查利用導數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,屬于難題.20、(1)(2)①2②期望值為X900600300100P【解析】
(1)一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為.(2)①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為,設10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件,則,則,.由得,所以當時,,即,由得,所以當時,,所以當時,最大,即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由上可得一件手工藝品質(zhì)量為A級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為,所以X的分布列為X900600300100P則期望為.21、(1)(2)【解析】分析:(1)先斷定在曲線上,從而需要求,令,求得結(jié)果,注意復合函數(shù)求導法則,接著應用點斜式寫出直線的方程;(2)先將函數(shù)解析式求出,之后借助于導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得函數(shù)在相應區(qū)間上的最值.詳解:(Ⅰ)當,.,當,,所以切線方程為.(Ⅱ)
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