專題01 五大類解三角形題型-2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項(xiàng)訓(xùn)練(新高考新題型專用)含解析_第1頁(yè)
專題01 五大類解三角形題型-2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項(xiàng)訓(xùn)練(新高考新題型專用)含解析_第2頁(yè)
專題01 五大類解三角形題型-2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項(xiàng)訓(xùn)練(新高考新題型專用)含解析_第3頁(yè)
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專題01五大類解三角形題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練(原卷版)【題型1三角形周長(zhǎng)定值及最值】【題型2三角形涉及長(zhǎng)度最值問(wèn)題】【題型3三角形涉及中線長(zhǎng)問(wèn)題】【題型4三角形涉及角平分線問(wèn)題】【題型5三角形面積最值問(wèn)題】三角形周長(zhǎng)定值及最值:已知一角與兩邊乘積模型 第一步:求兩邊乘積第二步:利用余弦定理求出兩邊之和:已知一角與三角等量模型 第一步:求三角各自的大小第二步:利用正弦定理求出三邊的長(zhǎng)度最值步驟如下:第一步:先表示出周長(zhǎng)第二步:利用正弦定理將邊化為角第三步:多角化一角+輔助角公式,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求的周長(zhǎng).在中,角的對(duì)邊分別為,.(1)求;(2)若,,求的周長(zhǎng).在中,角的對(duì)邊分別為.(1)求;(2)若,且,求的周長(zhǎng).在中,,且(1)求;(2)若,求的周長(zhǎng).1.在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且,.(1)證明:是銳角三角形;(2)若,求的周長(zhǎng).2.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.(1)求;(2)若,求的周長(zhǎng)最小值.3.已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值;(2)已知分別為中角的對(duì)邊,且滿足,求的周長(zhǎng)的最大值.4.的內(nèi)角A,,的對(duì)邊分別為,,,已知.(1)求;(2)若,的面積為,求的周長(zhǎng).5.在銳角中,,,(1)求角A;(2)求的周長(zhǎng)l的范圍.6.記的內(nèi)角,A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知.(1)求a;(2)若,求的周長(zhǎng)l的取值范圍.7.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊分別為,若.(1)求的值;(2)若且三個(gè)內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍,當(dāng)周長(zhǎng)取最小值時(shí),求的面積.8.在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求角的大?。?2)若,求的周長(zhǎng)l的取值范圍.三角形涉及長(zhǎng)度最值問(wèn)題解三角形中最值或范圍問(wèn)題,通常涉及與邊長(zhǎng)常用處理思路:①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案;②采用正弦定理邊化角,利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍,如果三角形為銳角三角形,或其他的限制,通常采用這種方法;③巧妙利用三角換元,實(shí)現(xiàn)邊化角,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值在中,角所對(duì)的邊分別為.若.(1)求;(2)若為銳角三角形,求的取值范圍.在中,已知,且.(1)試確定的形狀;(2)求的值.已知函數(shù).在銳角中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足.(1)求A的值;(2)若,求的取值范圍.在銳角中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,為(1)求角A的大??;(2)當(dāng)時(shí),求的取值范圍.已知為銳角三角形,角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大小;(2)若,求的取值范圍.1.在銳角三角形中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,.(1)求角B的值;(2)若,求的取值范圍.2.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且滿足.(1)求角的大小;(2)已知是的中線,求的最小值.3.在銳角中,已知.(1)求;(2)求的取值范圍.4.已知在銳角三角形中,邊,,對(duì)應(yīng)角,向量,,且與垂直,.(1)求角;(2)求的取值范圍.5.記△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.(1)求;(2)若,求的范圍.6.已知在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(1)求A;(2)若外接圓的直徑為,求的取值范圍.7.在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,已知.(1)求的值;(2)若為的中點(diǎn),且,求的最小值.8.在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,其中,.(1)若,求的面積;(2)若為鈍角三角形,求a的取值范圍.三角形涉及中線長(zhǎng)問(wèn)題①中線長(zhǎng)定理:(兩次余弦定理推導(dǎo)可得)+(一次大三角形一次中線所在三角形+同余弦值) 如:在與同用求 ②中線長(zhǎng)常用方法 ③已知,求的范圍∵為定值,故滿足橢圓的第一定義∴半短軸半長(zhǎng)軸中,,,,則邊上的中線長(zhǎng)_______.在中,,.邊上的中線,則_____.中,,則邊上中線的長(zhǎng)為_(kāi)____.1.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且滿足.(1)求角的大??;(2)已知是的中線,求的最小值.2.在①;②;③;這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并解答問(wèn)題(其中S為的面積).問(wèn)題:在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且______.(1)求角B的大小;(2)AC邊上的中線,求的面積的最大值.3.在中,(1)若,求的面積;(2)求邊上的中線的取值范圍.4.記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)若,求B;(2)若,求邊上的中線的長(zhǎng).5.已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,.(1)求A;(2)若,求中BC邊中線AD長(zhǎng).6.在銳角中,角、、所對(duì)的邊分別為、、.①;②;③.在以上三個(gè)條件中選擇一個(gè),并作答.(1)求角;(2)已知的面積為,是邊上的中線,求的最小值.7.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,面積為,已知.(1)求的值;(2)若邊上的中線,求周長(zhǎng)的最小值.8.已知中,角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為,且,為邊上一點(diǎn),且.(1)若為中線,且,求;(2)若為的平分線,且為銳角三角形,求的取值范圍.三角形涉及角平分線問(wèn)題張角定理如圖,在中,為邊上一點(diǎn),連接,設(shè),則一定有證明過(guò)程:∵∴同時(shí)除以得在中,角所對(duì)的邊分別為,,交于點(diǎn)D,且,則的最小值為_(kāi)_______.在中,角所對(duì)的邊分別為,點(diǎn)在邊上,,,,則的長(zhǎng)為_(kāi)_______.已知在中,角所對(duì)的邊分別為.為上一點(diǎn)且則的最小值為_(kāi)_________.在中,角所對(duì)的邊分別為,,的平分線交于點(diǎn),且,則的最小值為_(kāi)_____.1.在銳角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知,且.(1)求證:;(2)若的平分線交AC于D,且,求線段BD的長(zhǎng)度的取值范圍.2.如圖,在中,的平分線交邊于點(diǎn),點(diǎn)在邊上,,,.

(1)求的大小;(2)若,求的面積.3.已知的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,.(1)求;(2)若角的平分線交于點(diǎn),且,求面積的最小值.4.在中,內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,若.(1)求角的大小;(2)若,的平分線交于點(diǎn),求線段長(zhǎng)度的最大值.5.已知中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,且.(1)若的平分線與邊交于點(diǎn),求的值;(2)若,點(diǎn)分別在邊上,的周長(zhǎng)為5,求的最小值.6.如圖,在平面四邊形中,,,的平分線交于點(diǎn),且.

(1)求及;(2)若,求周長(zhǎng)的最大值.7.中,角的對(duì)邊分別為,的平分線交邊于,過(guò)作,垂足為點(diǎn).(1)求角A的大??;(2)若,求的長(zhǎng).8.已知條件:①;②;③.從三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并解答問(wèn)題:在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足:____.(1)求角C的大小;(2)若,與的平分線交于點(diǎn)I,求周長(zhǎng)的最大值.三角形面積最值問(wèn)題:面積最值問(wèn)題技巧:正規(guī)方法:面積公式+基本不等式①②③秒殺方法:在中,已知,則:其中分別是的系數(shù)三角形面積公式①②其中分別為內(nèi)切圓半徑及的周長(zhǎng)推導(dǎo):將分為三個(gè)分別以的邊長(zhǎng)為底,內(nèi)切圓與邊相交的半徑為高的三角形,利用等面積法即可得到上述公式③(為外接圓的半徑)推導(dǎo):將代入可得將代入可得④⑤海倫公式(其中)推導(dǎo):根據(jù)余弦定理的推論令,整理得在中,內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,已知,,,則的面積為()在,角,,的邊分別為,,,且,,,則的內(nèi)切圓的半徑為()已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,,,的面積等于,則外接圓的面積為()在中,角的對(duì)邊分別為,已知,,則的面積最大值為_(kāi)____________中,角的對(duì)邊分別為,且,,則面積的最大值為()1.中角所對(duì)的邊分別為,其面積為,且.(1)求;(2)已知,求的取值范圍.2.如圖,在四邊形中,,,且的外接圓半徑為4.(1)若,,求的面積;(2)若,求的最大值.3.已知的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,.(1)求;(2)若角的平分線交于點(diǎn),且,求面積的取值范圍.4.在中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且.(1)求角A的大小;(2)若的周長(zhǎng)為6,求面積S的最大值.5.已知中內(nèi)角,,所對(duì)邊分別為,,,.(1)求;(2)若邊上一點(diǎn),滿足且,求的面積最大值.6.在中,角,,的對(duì)邊分別是,,,滿足.(1)求角;(2)若點(diǎn)D在AB上,CD=2,∠BCD=90°,求△ABC面積的最小值.7.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知,其中,.(1)求角B的大?。?2)若,求△ABC面積的最大值.8.已知中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,且.(1)求角的大小;(2)若,點(diǎn)、在邊上,,求面積的最小值.專題01五大類解三角形題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練(解析版)【題型1三角形周長(zhǎng)定值及最值】【題型2三角形涉及長(zhǎng)度最值問(wèn)題】【題型3三角形涉及中線長(zhǎng)問(wèn)題】【題型4三角形涉及角平分線問(wèn)題】【題型5三角形面積最值問(wèn)題】三角形周長(zhǎng)定值及最值:已知一角與兩邊乘積模型 第一步:求兩邊乘積第二步:利用余弦定理求出兩邊之和:已知一角與三角等量模型 第一步:求三角各自的大小第二步:利用正弦定理求出三邊的長(zhǎng)度最值步驟如下:第一步:先表示出周長(zhǎng)第二步:利用正弦定理將邊化為角第三步:多角化一角+輔助角公式,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求的周長(zhǎng).解:(Ⅰ)由已知得,,,∵,∴,,,∴,∴.(Ⅱ)第一步:求兩邊乘積又第二步:利用余弦定理求出兩邊之和∵,∴,∴,∴為等邊三角形.故三角形的周長(zhǎng)為.在中,角的對(duì)邊分別為,.(1)求;(2)若,,求的周長(zhǎng).解:(1)求角根據(jù),可得所以.又因?yàn)?,所?(2)第一步:求三角各自的大小,,所以,,第二步:利用正弦定理求出三邊的長(zhǎng)度因?yàn)椋?,,則的周長(zhǎng)為.在中,角的對(duì)邊分別為.(1)求;(2)若,且,求的周長(zhǎng).解:⑴因?yàn)?,所?又,解得.又,為銳角,所以.⑵第一步:求兩邊乘積因?yàn)?,又,所以或者,第二步:利用余弦定理求出兩邊之和,即,所以周長(zhǎng)為.在中,,且(1)求;(2)若,求的周長(zhǎng).解:(1)在中,則,,,,,,,由正弦定理得,,.(2)第一步:求兩邊乘積由(1)得,,,,,,第二步:利用余弦定理求出兩邊之和在中,由余弦定理得,,又,,解得(負(fù)值舍去),故.1.在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且,.(1)證明:是銳角三角形;(2)若,求的周長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】(1),由正弦定理得,整理得.由余弦定理得.,.,,,,均小于,是銳角三角形.(2),,又,,在中,由正弦定理得,即,,,的周長(zhǎng)為.2.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.(1)求;(2)若,求的周長(zhǎng)最小值.【答案】(1)(2)9【詳解】(1)因?yàn)?,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理知,且,所以.?)由(1)可知:,整理得,且,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則,即,可得,所以的周長(zhǎng)最小值.3.已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值;(2)已知分別為中角的對(duì)邊,且滿足,求的周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因?yàn)樽钚≌芷跒?,所以,解得,所以,所以.?)由得,由余弦定理有,即(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”),故,即為等邊三角形時(shí),周長(zhǎng)有最大值4.的內(nèi)角A,,的對(duì)邊分別為,,,已知.(1)求;(2)若,的面積為,求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【詳解】(1)因?yàn)?,所以由正弦定理可?又,所以.因?yàn)椋?;?)的面積,則.由余弦定理:,得,所以,故的周長(zhǎng)為.5.在銳角中,,,(1)求角A;(2)求的周長(zhǎng)l的范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)∵,,所以,所以,因?yàn)?,所以,,所?(2),所以,所以,,所以,因?yàn)槭卿J角三角形,且,所以,解得,所以,所以,所以.6.記的內(nèi)角,A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知.(1)求a;(2)若,求的周長(zhǎng)l的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因?yàn)?,所以,又,,所以,根?jù)正弦定理可得,所以.(2)解法一:因?yàn)椋?,所以由余弦定理可得,即.因?yàn)椋?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),取到最值又,所以,即周長(zhǎng)l的取值范圍為.解法二:由正弦定理知,,所以,,所以,因?yàn)椋裕?,所以,,所以,,故的周長(zhǎng)的取值范圍為,.7.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊分別為,若.(1)求的值;(2)若且三個(gè)內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍,當(dāng)周長(zhǎng)取最小值時(shí),求的面積.【答案】(1)2(2)【詳解】(1)因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,所以,由正弦定理,得,即.?)由可得:,故,于是,由正弦定理及余弦定理可得:,解得:(舍)或者,故,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),周長(zhǎng)最小,此時(shí),所以,所以的面積為.8.在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求角的大小;(2)若,求的周長(zhǎng)l的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)解:因?yàn)?,可得,即,即,所以,又因?yàn)?,所?(2)解:由正弦定理,可得,所以三角形的周長(zhǎng),因?yàn)?,可得,所以,因?yàn)?,可得,所以,所以,故的周長(zhǎng)的取值范圍為.三角形涉及長(zhǎng)度最值問(wèn)題解三角形中最值或范圍問(wèn)題,通常涉及與邊長(zhǎng)常用處理思路:①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案;②采用正弦定理邊化角,利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍,如果三角形為銳角三角形,或其他的限制,通常采用這種方法;③巧妙利用三角換元,實(shí)現(xiàn)邊化角,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值在中,角所對(duì)的邊分別為.若.(1)求;(2)若為銳角三角形,求的取值范圍.破解:(1)第一步:因?yàn)?,整理得,所以,第二步:由正弦定理得:,因?yàn)?,所以,所?(2)第一步:因?yàn)闉殇J角三角形,,所以,且,所以,第二步:解法,因?yàn)?,所以,第三步:所以,即的取值范圍?第一步:解法,因?yàn)?,所以,得,第二步:所以,即的取值范圍?在中,已知,且.(1)試確定的形狀;(2)求的值.破解:(1)第一步:在中,設(shè)其外接圓半徑為R,根據(jù)正弦定理得,,代入,得,所以①,第二步:因?yàn)?,所以,所以,由正弦定理,得,所以②,把②代入①得,,即,所以是直角三角形;?)第一步:由(1)知,即,所以,第二步:又,所以,所以.已知函數(shù).在銳角中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足.(1)求A的值;(2)若,求的取值范圍.破解:(1)第一步:.由,即.第二步:為銳角三角形,,..(2)第一步:由正弦定理,.,.第二步:,.第三步:是銳角三角形,,且.,,,...綜上,的取值范圍為.在銳角中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,為(1)求角A的大??;(2)當(dāng)時(shí),求的取值范圍.破解:(1)第一步:由正弦定理得:,所以,即,第二步:因?yàn)椋?,又,所以?)第一步:,,由正弦定理,所以,第二步:因?yàn)闉殇J角三角形,所以,則,所以,所以已知為銳角三角形,角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大小;(2)若,求的取值范圍.破解:(1)第一步:在中,由余弦定理得,,所以,所以,第二步:又因?yàn)闉殇J角三角形,所以,所以.(2)第一步:在中,由正弦定理得,,所以,第二步:因?yàn)闉殇J角三角形,所以,解得,所以,則,所以的取值范圍為.1.在銳角三角形中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,.(1)求角B的值;(2)若,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因?yàn)?,由正弦定理邊化角可得,所以,又,所以,又為銳角,則;(2)由正弦定理,則,所以,,因?yàn)樵阡J角三角形中,得,所以,則,所以的取值范圍為.2.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且滿足.(1)求角的大?。?2)已知是的中線,求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因,由正弦定理,,由余弦定理,,又代入化簡(jiǎn)得,因,則(2)因是的中線,故,兩邊平方可得:,即,由(1)知,則,又因,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí),即.故當(dāng)時(shí),的最小值為.3.在銳角中,已知.(1)求;(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由題意,根據(jù)正弦定理可得,則,展開(kāi)可得,.(2)由正弦定理,則,其中,是銳角三角形,,.,,顯然,當(dāng)時(shí),,.4.已知在銳角三角形中,邊,,對(duì)應(yīng)角,向量,,且與垂直,.(1)求角;(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因?yàn)榕c垂直,所以,即,即,即,即,又,所以,所以,即;(2)由正弦定理得,根據(jù)三角形是銳角三角形得,解得,則,所以,所以,則,則的取值范圍為.5.記△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.(1)求;(2)若,求的范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由正弦定理得,,因?yàn)?,所以,所以,則,因?yàn)?,所以,所以,所?(2)因?yàn)?,則,因?yàn)?所以.所以.因?yàn)?所以.所以,所以.6.已知在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(1)求A;(2)若外接圓的直徑為,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由可得:,所以,所以,,,由正弦定理可得,因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)椋?(2)由正弦定理可得,所以,故,又,所以,所以,又,所以,所以,所以的取值范圍為.7.在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,已知.(1)求的值;(2)若為的中點(diǎn),且,求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由正弦定理及,得,又,所以,又,∴,∴,即,又,∴.(2)由為的中點(diǎn),得,而,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為.8.在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,其中,.(1)若,求的面積;(2)若為鈍角三角形,求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由及正弦定理,則.當(dāng)時(shí),,,由余弦定理,,從而,此時(shí)的面積.(2)由于,,由三角形三邊關(guān)系可得,即,解得.由于C為的最大內(nèi)角,故,即,解得.由于,則.三角形涉及中線長(zhǎng)問(wèn)題①中線長(zhǎng)定理:(兩次余弦定理推導(dǎo)可得)+(一次大三角形一次中線所在三角形+同余弦值) 如:在與同用求 ②中線長(zhǎng)常用方法 ③已知,求的范圍∵為定值,故滿足橢圓的第一定義∴半短軸半長(zhǎng)軸中,,,,則邊上的中線長(zhǎng)_______.解:法一:兩次余弦定理設(shè),,,由余弦定理得:,所以,或(舍去),在中,,由余弦定理得:,所以.法二:一次余弦定理+一次中線長(zhǎng)定理設(shè),,,由余弦定理得:,所以,或(舍去),中線長(zhǎng)定理在中,,.邊上的中線,則_____.解:中線常用方法設(shè),中,,中,,重點(diǎn),解得:,,中,,,.中,,則邊上中線的長(zhǎng)為_(kāi)____.解:中線常用方法由余弦定理可知:,設(shè),由余弦定理可知:而重點(diǎn)即解得,故邊上中線的長(zhǎng)為.1.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且滿足.(1)求角的大??;(2)已知是的中線,求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因,由正弦定理,,由余弦定理,,又代入化簡(jiǎn)得,因,則(2)因是的中線,故,兩邊平方可得:,即,由(1)知,則,又因,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí),即.故當(dāng)時(shí),的最小值為.2.在①;②;③;這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并解答問(wèn)題(其中S為的面積).問(wèn)題:在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且______.(1)求角B的大??;(2)AC邊上的中線,求的面積的最大值.【答案】(1)(2).【詳解】(1)解:若選①:在中,因?yàn)椋?,可得,由正弦定理得,即,則,又因?yàn)?,?若選②:由,可得,所以,因?yàn)?,所?若選③:因?yàn)?,正弦定理得,又因?yàn)椋?,即,因?yàn)?,,所以,又因?yàn)?,可得;綜上所述:選擇①②③,都有.(2)解:由,可得,所以,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),則的面積的最大值為.3.在中,(1)若,求的面積;(2)求邊上的中線的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因?yàn)?,若,則,又,所以,所以;(2)因?yàn)椋烧叶ɡ淼?,所以,所以,又,所以,所以,由余弦定理得,因?yàn)?,則,因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,則,所以,所以,所以,即邊上的中線的取值范圍為.

4.記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)若,求B;(2)若,求邊上的中線的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【詳解】(1)∵,∴,∴,∴,即,由正弦定理可得,∵,∴,又∵,∴,∴.∴.(2)∵,∴,∴,又∵,∴,∴,∴.5.已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,.(1)求A;(2)若,求中BC邊中線AD長(zhǎng).【答案】(1)(2)【詳解】(1)因?yàn)椋烧叶ɡ淼?,即,即,所以,又,所以,又,所以;?)由余弦定理得,即,所以,因?yàn)闉橹蠦C邊的中線,所以,則,所以.

6.在銳角中,角、、所對(duì)的邊分別為、、.①;②;③.在以上三個(gè)條件中選擇一個(gè),并作答.(1)求角;(2)已知的面積為,是邊上的中線,求的最小值.【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析,(2)【詳解】(1)解:若選①,因?yàn)椋?,則,即,所以,,因?yàn)?,故;若選②,原式等價(jià)于,即,即,因?yàn)椤?,則,所以,,則,故;若選③,原式等價(jià)于,即所以,,即,即,因?yàn)?,?(2)解:因?yàn)椋?,,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),則,所以,,則,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.因此,長(zhǎng)的最小值為.7.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,面積為,已知.(1)求的值;(2)若邊上的中線,求周長(zhǎng)的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)∵面積為,,且,得,,由正弦定理得:,,,,,.(2)邊上中線,,,得,,,,且,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),“=”成立.又,由余弦定理得,,,設(shè),,設(shè),,在單調(diào)遞減,又,,,在單調(diào)遞減,則最小值為,所以當(dāng)時(shí),的最小值為,故周長(zhǎng)最小值為.8.已知中,角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為,且,為邊上一點(diǎn),且.(1)若為中線,且,求;(2)若為的平分線,且為銳角三角形,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)如下圖所示,

在中,設(shè),由余弦定理得即,得,所以,在中,由余弦定理得,則,所以(2)設(shè),則,如下圖所示,

在和中,由正弦定理得,,得,因?yàn)闉殇J角三角形,所以均為銳角,所以,則,所以,又因?yàn)?,所以,所以的取值范圍是三角形涉及角平分線問(wèn)題張角定理如圖,在中,為邊上一點(diǎn),連接,設(shè),則一定有證明過(guò)程:∵∴同時(shí)除以得在中,角所對(duì)的邊分別為,,交于點(diǎn)D,且,則的最小值為_(kāi)_______.解:如圖所示,根據(jù)張角定理故:,根據(jù)柯西不等式故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立在中,角所對(duì)的邊分別為,點(diǎn)在邊上,,,,則的長(zhǎng)為_(kāi)_______.解:,根據(jù)張角定理故:已知在中,角所對(duì)的邊分別為.為上一點(diǎn)且則的最小值為_(kāi)_________.解:法一:等面積法+基本不等式(張角定理的推導(dǎo)方法),,,又,故即,所以.又,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立,故的最小值為方法二:張角定理+基本不等式又,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立,故的最小值為在中,角所對(duì)的邊分別為,,的平分線交于點(diǎn),且,則的最小值為_(kāi)_____.解:法一:等面積法+基本不等式(張角定理的推導(dǎo)方法)如圖:因?yàn)榭傻眉?,所以所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為18方法二:張角定理+基本不等式所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為181.在銳角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知,且.(1)求證:;(2)若的平分線交AC于D,且,求線段BD的長(zhǎng)度的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】(1)證明:由余弦定理可得,

故,由正弦定理得.

所以在中,或.

若,又,故,因?yàn)?,所以,故不滿足題意,舍去,所以.(2)在中,由正弦定理可得,即

所以

因?yàn)槭卿J角三角形,且,所得,

所以.所以線段BD長(zhǎng)度的取值范圍是.

2.如圖,在中,的平分線交邊于點(diǎn),點(diǎn)在邊上,,,.

(1)求的大小;(2)若,求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因?yàn)槭堑慕瞧椒志€,所以,在中,根據(jù)余弦定理得,所以,則,因?yàn)?所以.(2)因?yàn)?所以,在中,由正弦定理得,在四邊形中,,所以,則.3.已知的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,.(1)求;(2)若角的平分線交于點(diǎn),且,求面積的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由已知,得,在中,由正弦定理得,即.再由余弦定理得.又,所以.(2)因?yàn)槭墙堑钠椒志€,則,又,又,所以,得到,又因?yàn)椋玫?,解得,即,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,即面積的最小值是.4.在中,內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,若.(1)求角的大?。?2)若,的平分線交于點(diǎn),求線段長(zhǎng)度的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)解:因?yàn)椋裕?,即,由正弦定理得,即,由余弦定理得,又,所?(2)解:由余弦定理得,即,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因?yàn)?,所以,解得,因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,線段長(zhǎng)度的最大值為.5.已知中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,且.(1)若的平分線與邊交于點(diǎn),求的值;(2)若,點(diǎn)分別在邊上,的周長(zhǎng)為5,求的最小值.【答案】(1)(2).【詳解】(1)可得,解得,設(shè),則,由余弦定理得,所以.因?yàn)闉榈钠椒志€,所以,又,則.(2)因?yàn)?,由?)得,設(shè),由余弦定理得,所以,因?yàn)?,所以,?dāng)時(shí)取等號(hào),所以,所以,當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以的最小值為.6.如圖,在平面四邊形中,,,的平分線交于點(diǎn),且.

(1)求及;(2)若,求周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1),(2)【詳解】(1)在中,由正弦定理得,又,則,于是,∵為角平分線,∴,∴,∴,在中,根據(jù)余弦定理得,∴.(2)設(shè),.在中,由余弦定理得,即有,即,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),“=”成立.∴周長(zhǎng)的最大值為.7.中,角的對(duì)邊分別為,的平分線交邊于,過(guò)作,垂足為點(diǎn).(1)求角A的大??;(2)若,求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【詳解】(1),由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得:,.(2),是的角平分線,

,,在中,.8.已知條件:①;②;③.從三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并解答問(wèn)題:在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足:____.(1)求角C的大小;(2)若,與的平分線交于點(diǎn)I,求周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)選擇條件①,,在中,由余弦定理得,整理得,則,又,所以;選擇條件②,,于是,由正弦定理得,因?yàn)椋瑒t,即,因?yàn)?,因此,即,又,所以;選擇條件③,,則,所以,則,又,即有,則,所以;(2)由(1)知,,有,而與的平分線交于點(diǎn)I,即有,于是,

設(shè),則,且,在中,由正弦定理得,所以,,所以的周長(zhǎng)為,由,得,則當(dāng),即時(shí),的周長(zhǎng)取得最大值,所以周長(zhǎng)的最大值為.三角形面積最值問(wèn)題:面積最值問(wèn)題技巧:正規(guī)方法:面積公式+基本不等式①②③秒殺方法:在中,已知,則:其中分別是的系數(shù)三角形面積公式①②其中分別為內(nèi)切圓半徑及的周長(zhǎng)推導(dǎo):將分為三個(gè)分別以的邊長(zhǎng)為底,內(nèi)切圓與邊相交的半徑為高的三角形,利用等面積法即可得到上述公式③(為外接圓的半徑)推導(dǎo):將代入可得將代入可得④⑤海倫公式(其中)推導(dǎo):根據(jù)余弦定理的推論令,整理得在中,內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,已知,,,則的面積為()解:第一步:觀察角化邊在中,,由正弦定理,可得,即,又由余弦定理可得,可得,因?yàn)椋?,由余弦定理,可得,即,即,解得,第二步:面積公式所以三角形的面積為.在,角,,的邊分別為,,,且,,,則的內(nèi)切圓的半徑為()解:第一步:觀察邊化角 由及正弦定理得,整理得.∵,∴,∴,又,∴,故.∴,∴.由余弦定理得,即,解得.第二步:利用三角形面積公式(內(nèi)切圓公式) ∴.∵,∴.已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,,,的面積等于,則外接圓的面積為()解:第一步:利用面積公式第二步:求 在中,,,,,解得,第三步:求圓的面積 故,外接圓的面積為.在中,角的對(duì)邊分別為,已知,,則的面積最大值為_(kāi)____________解:則:其中分別是的系數(shù)故故:中,角的對(duì)邊分別為,且,,則面積的最大值為()解:第一步:∵,由正弦定理得,即;由余弦定理得,結(jié)合,得;又,由余弦定理可得,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立,第二步:∴,即面積的最大值為.1.中角所對(duì)的邊分別為,其面

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