2023-2024學(xué)年廣東省梅州中學(xué)高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省梅州中學(xué)高三(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知集合4={x|%2+%—6>0},B={x|0<x<6}.則(CR4)CB=()

A.[-3,2]B.(0,2]C.[0,2)D.(-2,6)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l-3i)=5—5i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為始邊的角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(l,-2),則cos(7i+

a)=()

A*B2f5C.-HD.fl

5555

4.已知{Q九}為遞減等比數(shù)列，>0,ara3=1,a2+a4=p則$6=()

A.gB老C.竟D.-^l

16161616

5.某單位安排甲、乙、丙、丁四人去A、B、C三個勞動教育基地進(jìn)行社會實(shí)踐，每個人去一

個基地，每個基地至少安排一個人，則乙被安排到A基地的排法總數(shù)為()

A.6B.12C.18D.36

6.已知平面向量方，石的夾角為手且五=(；,?),|石|=2，則|2方+3旬=()

A.2V-13B.2<7C.y/~34D.4<7

7.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,△ABC的面積為2—耳，C=60°,

a2+b2=Sab,則c=()

A.2V_2B.2<3C.4D.4。

8.已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為無，且臼=4,an+an+1=4n+2(neN*),則使得%>2023

成立的n的最小值為()

A.32B.33C.44D.45

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知向量3=(1,3),6=(2,-4)，則下列結(jié)論正確的是()

A.(a+b)1aB.|2a+K|=<10

C.向量五花的夾角為羊D.另在五方向上的投影向量是E五

10.已知函數(shù)f(%)=—2sE2%+久+1,貝！1()

A.f(x)在［0,網(wǎng)內(nèi)有2個零點(diǎn)

B.7(x)在(0*)上單調(diào)遞增

C.f(x)的圖象可由y=2sin2x的圖象向左平移著個單位長度得到

D./(%)在［—90］上的最大值為1

11.如圖，在正方體ABCD-&B1GD1中，E為DDi的中點(diǎn).(

A.BO1〃平面4CE

B.BDI14Bi

C.若正方體的棱長為1,則點(diǎn)B到平面ACE的距離為《

6

D.直線4D與平面4CE所成角的正弦值為?

12.在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，

形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第

1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；...；第€N*)次得到數(shù)列1,刈，

x2,%3?2；…記=1++x2+…+沖+2,數(shù)列｛Qn｝的前71項(xiàng)為Sn,則()

n

A.k+1=2B.an+1=3an—3

2n+1

C.an=|(n+3n)D.Sn=|(3+2n-3)

三'填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.在(2/-：)5的二項(xiàng)展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)為.

14.已知｛即｝是等差數(shù)列，公差d不為零.若。2,。3,成等比數(shù)列，且=-1，則數(shù)列似“｝的

通項(xiàng)公式是.

15.設(shè)三角形4BC是等邊三角形，它所在平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足箱南+|前，則向量前與

品夾角的余弦值為.

16.數(shù)列｛斯｝中，%=2,ap+q=apaq(p,qGA/*),記仇?為｛斯｝中在區(qū)間(。，河(機(jī)6N*)中

的項(xiàng)的個數(shù)，貝I」數(shù)歹U｛bm｝的前150項(xiàng)和S15O=.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知函數(shù)f(x)=sin(o)x+今(3>0).

⑴若/。)的周期為兀，且△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,滿足/(令=?,

a=3A/-3,cosB=求b；

(2)若/(x)在(05)上恰有兩個零點(diǎn)，求?的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

在直三棱柱ABC—4181的中，D、F、M、N分別為B$,CtD,AB,中點(diǎn)，AC=AB=BC=

；GC=2.

(I)求證：MF〃平面&4CCi.

(n)求二面角F-aCi一Bi的余弦值.

19.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛an｝滿足=3,an+1=2an-n+1,數(shù)列｛%｝滿足瓦=2,bn+1=\+an-n.

(1)證明數(shù)列｛冊-九｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛Qn｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列&｝滿足％=(%+茄、+1),求數(shù)列｛0｝的前n項(xiàng)和7n-

20.(本小題12.0分)

在△ABC中，角力，B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足，f=2sin(C+》.

(1)求角4的大小；

29

(2)求空電的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

湘潭是偉人故里，生態(tài)宜居之城，市民幸福感與日俱增.某機(jī)構(gòu)為了解市民對幸福感滿意度，

隨機(jī)抽取了120位市民進(jìn)行調(diào)查，其結(jié)果如下：回答“滿意”的“工薪族”人數(shù)是40人，回

答“不滿意”的“工薪族”人數(shù)是30人，回答“滿意”的“非工薪族”人數(shù)是40人，回答

“不滿意”的“非工薪族”人數(shù)是10人.

⑴請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表，并依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析能否認(rèn)為市民

對于幸福感滿意度與是否為工薪族有關(guān)聯(lián)？

滿意不滿意合計(jì)

工薪族

非工薪族

合計(jì)

(2)用上述調(diào)查所得到的滿意度頻率估計(jì)概率，機(jī)構(gòu)欲隨機(jī)抽取部分市民做進(jìn)一步調(diào)查.規(guī)定:

抽樣的次數(shù)不超過n(n6N*),若隨機(jī)抽取的市民屬于不滿意群體，則抽樣結(jié)束；若隨機(jī)抽取

的市民屬于滿意群體，則繼續(xù)抽樣，直到抽到不滿意市民或抽樣次數(shù)達(dá)到n時，抽樣結(jié)束.記

此時抽樣次數(shù)為Xn.

①若n=5,求X5的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②請寫出Xn的數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式(不需證明)，根據(jù)你的理解說明X”的數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義.

附：

a0.0500.0100.005

出3.8416.6357.879

2

參考公式：產(chǎn)=3黑荔)其中…+b+c+d.

22.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛。工的前般項(xiàng)和為%，%=4,571是％1+1與筋-4的等差中項(xiàng).

(1)求｛冊｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)%=4n+(-l)n+】tan,若數(shù)列｛匕｝是遞增數(shù)列,求t的取值范圍.

⑶設(shè)Cn=F，且數(shù)列&｝的前n項(xiàng)和為〃，求證：Tn<^~.

Qyi3lo

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：X2+X-6=(X+3)(X-2)>0,解得為<-3或X>2,

所以4={x|x<-3或x>2},

所以CRA={X|-34X<2},

所以(C/)CB=(0,2].

故選:B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合補(bǔ)集、交集的定義，即可求解.

本題主要考查補(bǔ)集、交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解:z(l-3i)=5-53

川7=廿=(5-5i)(i+3i)=20+10i

人以i-3i(l-3i)(l+3i)-10“十I，

則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(2,1)在第一象限.

故選：A.

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,即可得出答案.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：因?yàn)橐栽c(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為始邊的角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)

則cos(7r+a)=—cosa=—

故選：C.

由已知利用任意角的三角函數(shù)的定義可求cosa的值，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式化簡所求即可求解.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】4

【解析】解：由題意，設(shè)遞減等比數(shù)列｛an｝的公比為q,

a!>0,0<q<1,

又T62]>011，

???ara3=02—1,解得。2=1，

5

???=7,

1

=

4-

解得q=p

二%=詈=2,

62(1)

.q=aid-Q)=~?=63

一6一l-q-i_l_16'

故選:A.

先設(shè)遞減等比數(shù)列｛an｝的公比為q,并初步判斷公比q的取值范圍，然后根據(jù)題干已知條件及等比

中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算出。2的值，進(jìn)一步計(jì)算出的值，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可計(jì)算出公比q及首項(xiàng)的

的值，最后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可計(jì)算出結(jié)果.

本題主要考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，等比中項(xiàng)的性質(zhì)運(yùn)用，等比數(shù)列的

通項(xiàng)公式與求和公式的運(yùn)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：分以下兩種情況討論：

若4基地只安排乙一人，將其余3人分為2組，人數(shù)分別為2、1,

此時不同的排法種數(shù)為廢掰=6種；

若A基地安排兩人，則需從甲、丙、丁中再選擇一人安排至4基地，

此時不同的排法種數(shù)為廢鹿=6.

綜上所述，乙被安排到Z基地的排法總數(shù)為6+6=12種.

故選：B.

對4基地安排的人數(shù)進(jìn)行分類討論，利用分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，云=W,?)，則|五|=J；+1，

又由向量窗E的夾角為金且|1|=2，則日4=2x1x(-；)=-1.

則|2五+3個2=4a2+9b2+12a-b=28>故|2五+31|=.

故選:B.

根據(jù)題意，求出|磯，又由|2五+3B/=4^+9天+124%，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及向量的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：因?yàn)锳ABC的面積為2/耳，C=60°,

所以SMBC=^absinC=—ab=2，3，即ab=8.

所以c?=Q2+匕2—2abcosC=a2+b2—ab=4ac=32,

所以c=4V-2.

故選：D.

根據(jù)正弦定理面積公式和余弦定理求解即可.

本題主要考查了余弦定理及三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解；an+an+1=4n4-2①，

當(dāng)n32時，Q九一1+。九=4(71—1)+2(2),

a

兩式相減得Qn+1-n-i=4,

當(dāng)日為奇數(shù)時，｛an｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)為4,公差為4,

所以=44-4(^-)=2九+2,

an+an+1=4nH-2中，令n=1得%+a2=6,故的=6—4=2,

故當(dāng)九為偶數(shù)時，｛an｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2,公差為4,

所以a九=24-4G-1)=2n-2,

所以當(dāng)n為奇數(shù)時，sn=(%++…+an)+(a2+a4+-+=室修足)；吟(2+2f=

n24-n4-2,

2(4+2")￡2+2n2)

當(dāng)九為偶數(shù)時，Sn=(ax+a34--------Fan-i)+(Q2+Q4H--------1-an)==彥+九，

當(dāng)九為奇數(shù)時，令？I2+幾+2>2023,解得nN45,

當(dāng)九為偶數(shù)時，令九2+n>2023,解得九N46,

所以%>2023成立的n的最小值為45.

故選：D.

分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況，得到｛每｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況求和，

解不等式，求出答案.

本題主要考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：對4，；0+3)2=(3,-1)-(1,3)=3*1+(-1)*3=0，二6+石)，落，4正

確；

對B,2a+b=(4,2)>■■\2a+b\=V16+4=2V-5>錯誤；

對C,???cos<五而>=品=而著7=一年.?.<■>=與’正確；

對D,躋五方向上的投影向量是(竽)W=(噂)為=-落二。錯誤.

aiu

故選：AC.

根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量模的定義，向量夾角公式，投影向量的定義即可分別求解.

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量模的定義，向量夾角公式，投影向量的定義，屬基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：/(%)=-2sin2x+y/~3sin2x+1=cos2x+yT_3sin2x=2sin(2x+^).

對于4,令2x+，=/OT,keZ,則x=-3+”.

o122

當(dāng)々=1時，％=泰當(dāng)上=2時，％=巖，故/(%)在[0,兀]內(nèi)有2個零點(diǎn)，故A正確.

對于8,令-3+2kjc<2x+gg+2kji,kEZ則一?+kit<x<4-kn.

LOzf3O

當(dāng)k=0時，可得f(x)在(一找)上單調(diào)遞增，所以/(無)在(0建上單調(diào)遞增正確，故B正確.

對于C,由y=2sin2x的圖象向左平移著個單位長度得到y(tǒng)=2s譏2(x+*=2s譏(2x+?故C錯

誤.

對于。,若久6[—果0],則2x+ge[-等修，2sin(2x+^)e[-2,l],

乙oOOo

所以/(乃在[一90]上的最大值為1,故。正確.

故選：ABD.

把三角函數(shù)化簡，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證；對于B,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間進(jìn)行驗(yàn)證；

對于C,通過圖像平移公式進(jìn)行驗(yàn)證；對于D,由xe[-，0]得出整體角的取值范圍，再得到f(x)

的最大值.

本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y=4s譏（3X+9）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),

屬于中檔題.

11.【答案】ABC

【解析】解：對于A：連接BD交AC于。，則。為BD的中點(diǎn)，

???E為DO】的中點(diǎn)，???BDJ/OE,

■：OEu平面4CE,BD]C平面4CE,

BDi〃平面4CE,故A正確，

對于8：連接&B,AB1,易證4?！钙矫?B814,

vABru平面4BB14,1AB1，

由正方形4BB141，可得AB】1BA1,

又n=AltBAX平面CB&Oi，

又B、Du平面CB&￡）i，二BO11ABr,

對于C：設(shè)點(diǎn)B到平面ACE的距離為d,

由VQ-ACE^E-ABC1得§x—xABxBCxDE="x—xACxOExd,

??.gx《x1x1x《=：x：xxM+7xd>解得d=?，故C正確；

322327246

對于n：設(shè)正方體的棱長為1,因。是BO的中點(diǎn)，

由C可知。到平面ACE的距離為“，

6

設(shè)直線4。與平面ACE所成角為。，

sind=^=一，故D錯誤.

16

故選：ABC.

根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合每個選項(xiàng)的已知條件分別判斷即可.

本題考查線在平行的證明，線線垂直的證明，考查點(diǎn)到面的距離的求法，以及線面角的正弦值的

求法，屬中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：由題意可知，第1次得到數(shù)列1,3,2,此時k=l,

第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2,此時k=3,

第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此時k=7,

第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此時k=15,

n

第n次得到數(shù)列1，%i，%2，X3.2：此時k=2—1,

所以k+l=2",故A項(xiàng)正確；

%=3+3

。2=3+3+9

結(jié)合4項(xiàng)中列出的數(shù)列可得:

@3=3+3+9+27

。4=3+3+9+27+81

=即=3+31+32+…+3n(nEN*),

用等比數(shù)列求和可得即=3+式亭9，

則-=3+塔出=3+號=爭+|，

又3aH-3=3[3+-3=9+享一；3=亭+?,

所以Qn+i=3an—3,故B項(xiàng)正確；

rl

由B項(xiàng)分析可知0n=3+退/=|（3+1），

即。"|（汽2+3九）,故C項(xiàng)錯誤;

a

Sn=Qi+。2+。3+***+n

32(1-3")

32333n+13

=((-2-1--2-k“+H+J

=--+---=-(3n+1+2n-3)>故。項(xiàng)正確.

4244、,

故選：ABD.

根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，再進(jìn)行推理運(yùn)算即可.

本題主要考查了歸納推理，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題.

13.【答案】-40

【解析】解：在（2/一55的二項(xiàng)展開式中，由通項(xiàng)公式求得第4項(xiàng)為7；=Cf?（4x2）.（_；）3=小,

故第4項(xiàng)的系數(shù)為-40,

故答案為—40.

由通項(xiàng)公式求得第4項(xiàng)，即可求得第四項(xiàng)的系數(shù).

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題.

14.【答案】dn=1—n.

【解析】解：?.,數(shù)列是等差數(shù)列，公差d不為零，且%，的成等比數(shù)歹I」，

:.說=a2,即(即+2d>=(的+d)a+4d),解得的=0,

又=—1，???公差d=02一％=—1,則即=%+(n—l)d=1—n.

故答案為：an=1-n.

根據(jù)條件列出關(guān)于公差和首項(xiàng)的方程，解之即可求解.

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】，

【解析】解：設(shè)A/IBC邊長為1,AM=^AB+^AC,

則|宿|2=(^AB+1前尸=IAB2+^AB-AC+［刀？=^+^x1x1xcos60°+|。

所以|夜|=?，

因?yàn)殪?團(tuán)=(^AB+^AC)(AC-AB)=-^AB2+^AC2--AB-AC=-g+,-gxlxlx

1

cos60°=7，

6

設(shè)向量祠與配夾角為0,

mil°AM-BCIC

則cos。=—1—?=-S==——.

7\AM\\BC\?14

故答案為：q.

14

由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)及夾角公式即可求解.

本題主要考查了向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】803

【解析】【分析】

本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和問題.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，特殊值法，分類討

論法，分組求和法，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬較難題.

本題先根據(jù)題干中表達(dá)式ap+q=apaq中p,qeN*可取p=1,q=n,代入進(jìn)行推導(dǎo)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)

列｛斯｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，從而可得郁=24，然后分別分析m=l,2,3,…時匕機(jī)的

值，并發(fā)現(xiàn)b7n取值規(guī)律，最后根據(jù)分組求和法進(jìn)行計(jì)算即可得到數(shù)列出加｝的前150項(xiàng)和Sis。.

【解答】

解：由題意，令p=1,q=n,則冊+i=的即=2an,

故數(shù)列｛Q九｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

nn

:、an=2-2t=2fnEN*,

依題意，當(dāng)TH=1時，瓦=0；

當(dāng)m=2,3時，bm=

當(dāng)m=4,5,6,7時，bm=2；

71

當(dāng)2<m<2九+1時，bm=n,

???S150=瓦+62T--卜瓦50

=瓦+(62+壇)+(%+^5+^6+%)4----F(壇4+b654----F427)+(瓦28+8129----瓦50)

=0+1X2+2X22+3X23+4X24+5X25+6X26+7X(150-127)

=803.

故答案為：803.

17.【答案】解：(1)因?yàn)?Xx)的周期7=篇=兀，

故同=2,

又3>0,

故3=2,

則f(%)=sin(2x+^),

又/?)=?,則sin(4+今=?,

解得A=/或4=0(舍)，

因?yàn)閏osB=—^9

1

則sinB=

又a=3V~~3?

由正弦定理得：2/?=急=答=6,

故b=2RsinB=6xg=2,

故b=2.

(2)因?yàn)?(x)=sin(3x+》

又因?yàn)閒(x)在(05)上恰有兩個零點(diǎn)，

當(dāng)。<x<*

所以ax+geG，苧+》，

故27T<詈+/<3兀，

解得：5<co<8,

故3的取值范圍是(5,8].

【解析】(1)由已知利用正弦函數(shù)的周期公式可求3,進(jìn)而可求sin(4+g)=?，解得4=*利用

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，進(jìn)而利用正弦定理可求得b的值.

(2)利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求wc+/e等+9,進(jìn)而解得3的取值范圍.

本題考查了正弦函數(shù)的周期公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)

用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題.

18.【答案】解：(I)證明：取GN中點(diǎn)E,連接EF,4E,易知AM〃N0,；

AM=-ND,

vE,F分別是GN,GD的中點(diǎn)，

???EF//ND.EF=^ND,

?.AM//EF,AM=EF,

.??四邊形MAEF為平行四邊形，

MF//AE,

vMF不在平面44CG內(nèi)，4E在平面44CG內(nèi)，

???”尸〃平面AiACQ.

(口)取的中點(diǎn)。，連接G。，0M,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0C「OB1,0M分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則F(?[,1),&(0,-1,0),G(口0,0).

故指=宿=(C)，

設(shè)平面凡41G的一個法向量為記=(%,y,z),

(n?41cl=A/~3X+y=0—

則-會門，3工八，則可取元=(C,—3,3)‘

(n?4i尸=—x++z=0

易知平面&GBi的一個法向量為沅=(0,0,1),

,—一、mnV21

.?.cos<m,n>=-,

二面角F-4C1-Bi的余弦值為手.

【解析】(I)取C】N中點(diǎn)E,利用中位線的性質(zhì)及平行線的傳遞性即可得證；

(U)建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用向量公式得解.

本題考查線面平行的判定及利用空間向量求解二面角的余弦值,考查邏輯推理能力，屬于中檔題.

19.【答案】(1)證明：???aJl+i=2an—n+l,

???瑪+1-5+1)=2(即一九)，

又=3,

?,?許—1=2W0,

.??數(shù)列｛斯為首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，

n

???an—n=2,

n

an=九+2；

n

(2)解:由(1)可得:bn+1=bn+an—n=bn+2f即匕+1—bn=2得

又瓦=2,

???當(dāng)幾>2時，bn=bn-bn^+bn_t-bn_2H-Fh2一瓦+bi

=2nt+2n-2+…+2+2

=1)=n,

1-2

又當(dāng)71=1時，尻=2也適合上式，

n

???bn=2,

n

an-n_2_11

"Cn=Sn+1)(%+1+1)=(2n+l)(2n+1+l)=2^+1-?：+T71，

_T__J_______1_,_______1,,11,,1_____J_

""一2】+l22+l+22+l23+l++2"+l2n+1+l-32n+1+l-

【解析】本題主要考查等比數(shù)列的定義及基本量的計(jì)算、累加法在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的應(yīng)用、裂

項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)先由題設(shè)推導(dǎo)出：an+1-(n4-1)=2(an-n),再求得的-1,即可證明結(jié)論，并求得an;

(2)先由(1)得到：bn+i-匕=2、然后利用累加法求得％,進(jìn)而求得Cn，再利用裂項(xiàng)相消法求得

其前n項(xiàng)和即可.

20.【答案】解：(1)?.??=2sin(C+$,化簡可得等=cosC+，3sinC,

???_cosC+y/~3sinC,

sinA

???sinB+sinC=sinAcosC+yJ~~3sinAsinC，

，sinAcosC+cosAsinC+sinC=sinAcosC+y/~-3sinAsinC，

???cosAsinC+sinC=\T_3sinAsinC，

cosA+1=y/~3sinA,

即sin(4=又/6(0,TT),

則Y<即，

ooo

-■-A-l=l則力嗎

(2)由正弦定理可得要=即*直

=:(1苧8+]苧0)=g(1—COS(B+C)cos(F-C))=?(1+Jcos(B—C))=[口+

|cos(2B-y)]?

2n

0<8V~~r'rooo

27r3所以0<B<S則28_畀(_需),

(0<y-B<y3333

所以cos(2B-,)E(一：,1],故g[1+^cos(2B-,)]G(1,2],

所以此黃的取值范圍為

【解析】(1)先利用兩角和的正弦公式將條件化簡，再利用正弦定理和三角恒等變換求出sin(4-

J)=|,根據(jù)三角形內(nèi)角的取值范圍即可求解；

(2)利用正弦定理將邊化為角，然后利用三角形內(nèi)角和定理、三角恒等變換和余弦函數(shù)的圖像即可

求解.

本題考查解三角形問題，三角函數(shù)的性質(zhì)，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，屬中檔題.

21.【答案】解：(1)由題意可得，2x2列聯(lián)表為：

滿意不滿意合計(jì)

工薪族403070

非工薪族401050

合計(jì)8040120

_120x(40x10-30x40)2

2=y?6.857>6.635,

80x40x70x50

根據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為市民對幸福感的滿意度與是否為工薪族有關(guān)，此推斷犯錯誤的

概率不大于0.01;

(2)①當(dāng)n=5時，X5的取值為1,2,3,4,5.

由(1)可知市民的滿意度和不滿意度的概率分別為|和g,

所以P(Xs=l)=g,P(Xs=2)=^xl=1,

P(X5=3)=(|)2xg=/

P&=4)=(|)3x〉a

所以X5的分布列為:

12345

124816

P

39278181

128

X+2X+3+4X+5X

所以E(Xs)3-9-16=

8181

②由上可得E(Xn)=lx1+2x|xi+...+(n-l)(|)n-2x^+nx(勺計(jì)】

=i[lx(|)°+2x(I)1+3x(|)2+...+(n-l)(|)n-2]+nx(|產(chǎn)】，

令%=1x(|)°+2x(I)1+3x(|)2+...+(n-1)(|)?-2.①，

|S“=1x(|)i+2x(|)2+3x(|)3+...+(n-1)(|)"T，②，

1

①一②得，gsn=(|)°+(I)+(|/+…+(|)-2_(n_i)(|)"-i=3—(Ti+2)x(|尸-1,

???E(Xn)=3-2X(手…，

當(dāng)n趨向于正無窮大時E(Xn)趨向于3,可以理解為平均每抽取3個人，就會有一個不滿意的市民.

【解析】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，錯位相減求和，是較難題.

(1)根據(jù)題意，補(bǔ)全列聯(lián)表，根據(jù)公式計(jì)算出的值即可得到答案；

(2)①當(dāng)n=5時，X5的取值為1,2,3,4,5,利用獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算分別求出對應(yīng)的概

率，即可得分布列與期望；

②結(jié)合①可得到X"的數(shù)學(xué)期望，利用錯位相減法化簡即可.

22.【答案】(1)解：由%是an+i與2n-4的等差中項(xiàng)，可得2Sn=曲+i+2n-4,

當(dāng)n=1時，2a1=2Si=a2+2x1-4=8,解得=10,

當(dāng)ri》2時，由25n=an+i+2n-4,可得2Sn-i=an+2(n-1)-4,

兩式相減，可得2a”=cin+i—冊+2,整理，得cin+i=3an-2,

兩邊同時減去1,可得冊+1—1=3ali~,2-1=3(an—1),

-1=4-1=3,a2-1=10-1=9,a2-1=3(%-1)也滿足上式，

數(shù)列｛與-1｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

nnn

an—1=3-3t=3,an=3+1,nG,N*.

nn+1nn+1n

(2)解：由(1)可得，bn=4+(-l)tan=4+(-l)t-(3+1),

則垢+i=4n+1+(-l)n+2t-(3n+1+1),

n+1n+2n+1nn+1n

bn+1-bn=4+(-l)t-(3+1)-4-(-l)t-(3+1)

nnn+2n

=4n+l_4n+(-l)n+2t.gn+l+3+2)=3-4+t