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第三章條件概率與事件的獨(dú)立性重點(diǎn)條件概率的概念概率的乘法定理第一節(jié)條件概率定義設(shè)A、B兩個(gè)事件,P(A)>0,稱已知A發(fā)生條件下B發(fā)生的概率為B的條件概率,記為。下面我們來(lái)推導(dǎo)條件概率的計(jì)算公式。例1箱中有同型號(hào)的產(chǎn)品7件,其中4件正品,3件次品,無(wú)放回地抽取2件,每次取1件,已知第一次取到的是正品,求第二次取到次品的概率。P(AB)=而P(A)=發(fā)現(xiàn)這就是已知A發(fā)生條件下B發(fā)生的條件概率的計(jì)算公式,其中P(A)>0。類似地,如果P(B)>0,那么給定B已發(fā)生條件下,A發(fā)生的概率為:由以上,可得概率的乘法定理:乘法定理:推廣條件概率與乘法公式的區(qū)別1、表示A發(fā)生并且B發(fā)生的概率;2、表示在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率,條件概率的標(biāo)志詞:“當(dāng)、已知、如果”等。條件概率與一般概率的區(qū)別條件概率:在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率。條件概率是以B這樣一個(gè)新的樣本空間來(lái)考慮問(wèn)題的;一般概率是以基本事件的總數(shù)構(gòu)成的樣本空間來(lái)考慮的。解

一個(gè)盒子中有6只白球、4只黑球,從中不放回地每次任?。敝?,連?。泊危?1)第一次取得白球的概率;(2)第一、第二次都取得白球的概率;(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.設(shè)A表示第一次取得白球,B表示第二次取得白球,則(2)(3)(1)例2練一練某種動(dòng)物出生之后活到20歲的概率為0.7,活到25歲的概率為0.56,求現(xiàn)年為20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率。練一練5把鑰匙,只有一把能打開,如果某次打不開就扔掉,問(wèn)以下事件的概率?(1)第一次打開;(2)第二次打開;(3)第三次打開;(4)第一次沒(méi)有打開的情況下第二次打開。第二節(jié)全概率公式在社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中,欲統(tǒng)計(jì)某種指標(biāo)數(shù)據(jù)時(shí),常常采用由各部門、單位匯總的方式和途徑(比如全校黨員人數(shù)由各單位黨員數(shù)匯總而得),類似地,欲計(jì)算某一事件概率時(shí),也往往采用由偏概全,把各種不同來(lái)源、出處的可能性加以匯總的方式和途徑得到。例1某市場(chǎng)供應(yīng)的燈泡中,甲、乙兩廠的產(chǎn)品分別占70%與30%,而甲、乙兩廠的產(chǎn)品的合格品率分別為95%與80%。試求從市場(chǎng)上任買一只燈泡為合格品的概率及這個(gè)合格品來(lái)自甲廠的概率。設(shè)B={產(chǎn)品為合格品},={產(chǎn)品來(lái)自甲廠}={產(chǎn)品來(lái)自乙廠}為互斥事件,也為互斥事件。在上面求解過(guò)程中,待求概率的事件B的分解式十分關(guān)鍵,將事件B看成“結(jié)果”,而事件看成是產(chǎn)生結(jié)果的兩個(gè)可能“原因”。分解式正是“結(jié)果”與可能“原因”之間的一種聯(lián)系方式,而問(wèn)題就是已知可能“原因”發(fā)生的概率,求“結(jié)果”發(fā)生的概率。我們稱這一類問(wèn)題為全概率問(wèn)題。設(shè)事件兩兩互斥,且又事件B滿足則有全概率公式:當(dāng)事情分成兩個(gè)隨機(jī)階段來(lái)完成,而且第二個(gè)階段需要根據(jù)第一階段各種各樣的結(jié)果來(lái)計(jì)算的時(shí)候,用全概公式。思考:袋中有四個(gè)白球、六個(gè)紅球,從中不放回依次取出兩個(gè),求第二次取出白球的概率。“抓鬮模型”“彩票模型”例2(課本)設(shè)某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同型號(hào)家用電器,第1車間的次品率為0.15,第2車間的次品率為0.12。兩個(gè)車間生產(chǎn)的成品都混合堆放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)中,假設(shè)第1、2車間生產(chǎn)的成品比例為2:3,今有一客戶從成品倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品,求該產(chǎn)品合格的概率。解記B={從倉(cāng)庫(kù)隨機(jī)提出的一臺(tái)是合格品}

={提出的一臺(tái)是第i車間生產(chǎn)的}則有例

設(shè)播種用麥種中混有一等,二等,三等,四等四個(gè)等級(jí)的種子,分別各占95.5%,2%,1.5%,1%,用一等,二等,三等,四等種子長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5,0.15,0.1,0.05,求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率.解

設(shè)從這批種子中任選一顆是一等,二等,三等,四等種子的事件分別是A1,A2,A3,A4,又設(shè)B表示任選一顆種子所結(jié)的穗含有50粒以上麥粒這一事件,則由全概率公式:=95.5%×0.5+2%×0.15+1.5%×0.1+1%×0.05=0.4825練一練設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)名表,其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份和5份。隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表,求抽到的一份是女生表的概率。第三節(jié)貝葉斯公式例1某市場(chǎng)供應(yīng)的燈泡中,甲、乙兩廠的產(chǎn)品分別占70%與30%,而甲、乙兩廠的產(chǎn)品的合格品率分別為95%與80%。試求從市場(chǎng)上任買一只燈泡為合格品的概率及這個(gè)合格品來(lái)自甲廠的概率。設(shè)B={產(chǎn)品為合格品},={產(chǎn)品來(lái)自甲廠}={產(chǎn)品來(lái)自乙廠}為互斥事件,也為互斥事件。在這一只燈泡為合格品的概率為0.905中,來(lái)自甲廠的占了,從而一只合格品來(lái)自甲廠的概率為:這個(gè)問(wèn)題與第一個(gè)問(wèn)題恰好相反,第一個(gè)問(wèn)題是由“原因”推斷“結(jié)果”,而這個(gè)問(wèn)題則是由“結(jié)果”推斷“原因”。我們稱它為貝葉斯公式:設(shè)事件互斥,且事件B滿足條件且,則對(duì)任一,有貝葉斯公式是大統(tǒng)計(jì)學(xué)家Bayes提出的。其中一般可利用統(tǒng)計(jì)資料事先取得,故稱為先驗(yàn)概率或事前概率,而則是一種已知結(jié)果后追查原因、出處的逆向條件概率,稱為后驗(yàn)概率或逆概率,貝葉斯公式也可稱為逆概率公式。貝葉斯ThomasBayes,英國(guó)數(shù)學(xué)家.1702年出生于倫敦,做過(guò)神甫。1742年成為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。1763年4月7日逝世。貝葉斯在數(shù)學(xué)方面主要研究概率論。他首先將歸納推理法用于概率論基礎(chǔ)理論,并創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論,對(duì)于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷、統(tǒng)計(jì)的估算等做出了貢獻(xiàn).1763年發(fā)表了這方面的論著,對(duì)于現(xiàn)代概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)都有很重要的作用。貝葉斯的另一著作《機(jī)會(huì)的學(xué)說(shuō)概論》發(fā)表于1758年。貝葉斯所采用的許多術(shù)語(yǔ)被沿用至今。

他對(duì)統(tǒng)計(jì)推理的主要貢獻(xiàn)是使用了"逆概率"這個(gè)概念,并把它作為一種普遍的推理方法提出來(lái)。貝葉斯定理原本是概率論中的一個(gè)定理,這一定理可用一個(gè)數(shù)學(xué)公式來(lái)表達(dá),這個(gè)公式就是著名的貝葉斯公式。貝葉斯公式是他在1763年提出來(lái)的.從時(shí)間的順序上來(lái)說(shuō),貝葉斯公式是已知第二階段的某一結(jié)果,來(lái)求第一階段某一結(jié)果的概率。例有朋自遠(yuǎn)方來(lái),他乘火車、船、汽車、飛機(jī)的概率分別為3/10,1/5,1/10,2/5。若乘火車、船、汽車遲到的概率分別為1/4,1/3,1/12,而乘飛機(jī)便不會(huì)遲到,即概率為0,結(jié)果他遲到了。求在這一條件下,他乘火車來(lái)的概率。解

設(shè)A1,A2,A3,A4分別表示乘火車,乘船,乘汽車,乘飛機(jī)。B表示“他遲到了”.依題意,有例(課本)一項(xiàng)血液化驗(yàn)以概率0.95將帶菌病人檢出陽(yáng)性,但也有1%的概率誤將健康人檢出陽(yáng)性。設(shè)人群中帶菌病人為0.5%,求已知一個(gè)個(gè)體檢出為陽(yáng)性條件下,該個(gè)體確實(shí)帶菌的概率。解:設(shè)B={陽(yáng)性},A1={帶菌},A2={不帶菌}解設(shè)原發(fā)信號(hào)為“?”為事件

A1

原發(fā)信號(hào)為“—”為事件

A2收到信號(hào)“不清”為事件B練習(xí)在無(wú)線電通訊中發(fā)出信號(hào)“?”,由于隨機(jī)干擾,收到信號(hào)“?”,“不清”,“—”的概率分別為0.7,0.2,0.1;發(fā)出信號(hào)“—”,收到信號(hào)“?”,“不清”,“—”的概率分別為0,0.1,0.9.已知在發(fā)出的信號(hào)中,“?”和“—”出現(xiàn)的概率分別為0.6和0.4,試分析,當(dāng)收到信號(hào)“不清”時(shí),原發(fā)信號(hào)為“?”還是“—”的概率哪個(gè)大?可見,當(dāng)收到信號(hào)“不清”時(shí),原發(fā)信號(hào)為“?”的可能性大已知:第四節(jié)事件的獨(dú)立性一般來(lái)說(shuō),條件概率,即A發(fā)生與否對(duì)B發(fā)生的概率是有影響的;但也有很多情形是例外的。引例將一顆均勻骰子投擲兩次A={第一次擲出3點(diǎn)}B={第二次擲出6點(diǎn)}顯然,事件A是否發(fā)生,對(duì)事件B發(fā)生的概率沒(méi)有影響。事件A與事件B沒(méi)有關(guān)系。事件A與事件B是相互獨(dú)立的。相互獨(dú)立事件滿足:設(shè)A、B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件,如果P(B|A)=P(B)(1)即事件B發(fā)生的可能性不受事件A的影響,則稱事件B對(duì)于事件A獨(dú)立.

顯然,B對(duì)于A獨(dú)立,則A對(duì)于B也獨(dú)立,故稱A與B相互獨(dú)立.定義由(1)式,在等式兩邊同時(shí)乘以,得:我們稱這是事件A與事件B獨(dú)立的充要條件。(2)注在實(shí)際應(yīng)用中,我們一般是根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否相互獨(dú)立,并不根據(jù)(2)式去判斷。而僅將(2)式作為相互獨(dú)立事件的一個(gè)性質(zhì)加以應(yīng)用。如:(1)甲乙兩人向同一目標(biāo)射擊,A={甲命中目標(biāo)},B={乙命中目標(biāo)}(2)從有限的總體中,有放回的抽取兩次產(chǎn)品,A={第一次抽到次品},B={第二次抽到次品}(3)擲一顆均勻的骰子兩次,兩次擲到的點(diǎn)數(shù)。對(duì)于三事件A,B,C

如果:注:1)關(guān)系式(1)(2)不能互相推出

2)僅滿足(1)式時(shí),稱A,B,C

兩兩獨(dú)立

(1)(2)A,B,C

相互獨(dú)立A,B,C

兩兩獨(dú)立

定義(1)與(2)同時(shí)成立,則稱A,B,C相互獨(dú)立。例

隨機(jī)投擲編號(hào)為1與2的兩顆骰子

事件A

表示1號(hào)骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù)

B

表示2號(hào)骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù)

C

表示兩骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)

則但本例說(shuō)明不能由A,B,C

兩兩獨(dú)立A,B,C

相互獨(dú)立

n個(gè)事件A1,A2,…,An

相互獨(dú)立是指下面的關(guān)系式同時(shí)成立定義常由實(shí)際問(wèn)題的意義判斷事件的獨(dú)立性

四對(duì)事件任何一對(duì)相互獨(dú)立,則其它三對(duì)也相互獨(dú)立如事實(shí)上注:相互獨(dú)立與互斥的關(guān)系?反之由A,B互斥則A,B不相互獨(dú)立。若A,B相互獨(dú)立,,則A與B不互斥。而是獨(dú)立:互斥:若獨(dú)立:利用獨(dú)立事件的性質(zhì)計(jì)算其并事件的概率若A1,A2,…,An

相互獨(dú)立,則例

加工某一種零件需要經(jīng)過(guò)三道工序,設(shè)三道工序的次品率分別為2%,1%,5%,假設(shè)各道工序是互不影響的.求加工出來(lái)的零件的次品率.解

設(shè)A1

,A2

,A3

分別表示第一、第二、第三道工序出現(xiàn)次品,則依題意:A1,A2,A3相互獨(dú)立,且

P(A1)=2%,P(A2)=1%,P(A3)=5%又設(shè)A表示加工出來(lái)的零件是次品,則A=A1∪A2∪A3

=1-(1-0.02)(1-0.01)(1-0.05)=0.0783例(課本)設(shè)有n個(gè)人向保險(xiǎn)公司購(gòu)買人身意外險(xiǎn)(保險(xiǎn)期為1年),假定投保人在一年內(nèi)發(fā)生意外的概率為0.01,求該保險(xiǎn)公司賠付的概率。解記{第i個(gè)投保人出現(xiàn)意外}A={保險(xiǎn)公司賠付}則相互獨(dú)立,例

設(shè)兩系統(tǒng)都是由

4個(gè)元件組成,每個(gè)元件正常工作的概率為

p,每個(gè)元件是否正常工作相互獨(dú)立.兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示,比較兩系統(tǒng)的可靠性.A1A2B2B1S1:A1A2B2B1S2:第五節(jié)伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)概率有時(shí)為了了解某些隨機(jī)現(xiàn)象的全過(guò)程,需要觀察一串試驗(yàn),例如對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行連續(xù)射擊;在一批燈泡中隨機(jī)抽取若干個(gè)測(cè)試它們的壽命等。這些試驗(yàn)是由某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的多次重復(fù)所組成,且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的,稱這樣的試驗(yàn)序列為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),稱重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)為重?cái)?shù)。特別地,在n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,若每次試驗(yàn)只有結(jié)果A與,且A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p,則稱其為伯努利試驗(yàn)。獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與伯努利試驗(yàn)

伯努利JacobBernoulli1654-1705

瑞士數(shù)學(xué)家概率論的奠基人伯努利

(JacobBernoulli)簡(jiǎn)介伯努利家屬祖孫三代出過(guò)十多位數(shù)學(xué)家.這在世界數(shù)學(xué)史上絕無(wú)僅有.伯努利幼年遵從父親意見學(xué)神學(xué),當(dāng)讀了R笛卡爾的書后,頓受啟發(fā),興趣轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué).

1694年,首次給出直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,同年關(guān)于雙紐線性質(zhì)的論文,使伯努利雙紐線應(yīng)此得名.此外對(duì)對(duì)數(shù)螺線深有研究,發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)螺線經(jīng)過(guò)各種變換后,結(jié)果還是對(duì)數(shù)螺線,在驚嘆此曲線的奇妙之余,遺言把對(duì)數(shù)螺線刻在自己的墓碑上,并附以頌詞:縱使變化,依然故我1695年提出著名的伯努利方程定理設(shè)在一次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的概率為p,則在n重伯努利試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率記={在n次伯努利試驗(yàn)中,A恰好發(fā)生k次}此公式與二項(xiàng)展開式有密切關(guān)系,

(1)式恰好是二項(xiàng)展開

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