第13招與圓的切線(xiàn)有關(guān)的計(jì)算與證明的常見(jiàn)類(lèi)型課件人教版九年級(jí)上冊(cè)極速提分法

第13招與圓的切線(xiàn)有關(guān)的計(jì)算與證明的常見(jiàn)類(lèi)型九年級(jí)數(shù)學(xué)（上）極速提分法如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)C，AB交⊙O于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，連接DE.(1)若AD＝DB，OC＝5，求AC的長(zhǎng)；(2)求證：DE是⊙O的切線(xiàn)．

例解題方法：看到切線(xiàn)，就想作過(guò)切點(diǎn)的半徑；看到直徑，就想直徑所對(duì)的圓周角是直角；看到判定切線(xiàn)，就想：(1)若已知直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，則采用判定定理法，其基本思路是：當(dāng)已知點(diǎn)在圓上時(shí)，連接這點(diǎn)與圓心，證明這條半徑與直線(xiàn)垂直即可，可簡(jiǎn)述為：連半徑，證垂直；(2)若未知直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)，則采用數(shù)量關(guān)系法，其基本思路是：過(guò)圓心作直線(xiàn)的垂線(xiàn)段，證明垂線(xiàn)段的長(zhǎng)等于圓的半徑，可簡(jiǎn)述為：作垂直，證半徑．(1)解：連接CD，如圖．∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB.∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10.類(lèi)型1證線(xiàn)段平行1.如圖，PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，交PB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，連接PO，交⊙O于點(diǎn)D.

(1)求證：PO平分∠APC；證明：如圖，連接OB.∵PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴∠APO＝∠BPO，∴PO平分∠APC.【點(diǎn)撥】連接OB，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義可證明；(2)連接DB，若∠C＝30°，求證：DB∥AC.證明：∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°.∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°.∵∠APO＝∠BPO，【點(diǎn)撥】先證△OBD是等邊三角形，再通過(guò)計(jì)算得∠DBP＝∠C，最后根據(jù)平行線(xiàn)的判定可證明．2.【2023·株洲】中國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”．“方田一段，一角圓池占之”．意思是說(shuō)：“一塊正方形田地，在其一角有一個(gè)圓形的水池(其中圓與正方形一角的兩邊均相切)”，如圖所示．類(lèi)型2求線(xiàn)段長(zhǎng)度問(wèn)題：此圖中，正方形一條對(duì)角線(xiàn)AB與⊙O相交于點(diǎn)M，N(點(diǎn)N在點(diǎn)M的右上方)，若AB的長(zhǎng)度為10丈，⊙O的半徑為2丈，則BN的長(zhǎng)度為_(kāi)_______丈．【點(diǎn)撥】3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，E為BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.類(lèi)型3求圓的直徑(方程思想)(1)求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O的直徑的長(zhǎng)．解：設(shè)⊙O的半徑長(zhǎng)為x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直徑的長(zhǎng)為6.類(lèi)型4求角的大小4.如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點(diǎn)A，連接OB交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD∥OB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD.若∠B＝50°，則∠OCD為(

)A．15°

B．20°C．25°D．30°

B【點(diǎn)撥】5.

【2023·新疆節(jié)選】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，AC＝CD，連接AD，延長(zhǎng)DB交過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)于點(diǎn)E.類(lèi)型5

證明線(xiàn)段垂直(1)求證：∠ABC＝∠CAD.證明：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC.∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠CAD.

(2)求證：BE⊥CE.證明：如圖，連接OC.∵CE與⊙O相切于C，∴∠OCE＝90°.∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠CAD＋∠DBC＝180°.∵∠DBC＋∠CBE＝180°，∴∠CAD＝∠CBE.∵∠ABC＝∠CAD，∴∠