專題20 圖形的變化（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)）（講義）（解析版）

專題20圖形的變化（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)）核心知識點精講理解掌握圖形平移的定義與性質(zhì)；理解掌握軸對稱的定義、性質(zhì)、判定、理解掌握旋轉(zhuǎn)的定義與性質(zhì)；理解掌握中心對稱的定義、性質(zhì)、判定、中心對稱圖形的特點；理解掌握坐標系中對稱點的特征；掌握對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等的作圖方法并能夠進行正確的作圖?？键c1平移1.定義把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。2.性質(zhì)（1）平移不改變圖形的大小和形狀，但圖形上的每個點都沿同一方向進行了移動（2）連接各組對應(yīng)點的線段平行（或在同一直線上）且相等?？键c2軸對稱1.定義把一個圖形沿著某條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，該直線叫做對稱軸。2.性質(zhì)（1）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。（2）如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線。（3）兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。3.判定如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。4.軸對稱圖形把一個圖形沿著某條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。考點3旋轉(zhuǎn)1.定義把一個圖形繞某一點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，其中O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。2.性質(zhì)（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。（2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角?？键c4中心對稱1.定義把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。2.性質(zhì)（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。（3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。3.判定如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱。4.中心對稱圖形把一個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個店就是它的對稱中心?？键c5坐標系中對稱點的特征1.關(guān)于原點對稱的點的特征兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標的符號相反，即點P（x，y）關(guān)于原點的對稱點為P’（-x，-y）2.關(guān)于x軸對稱的點的特征兩個點關(guān)于x軸對稱時，它們的坐標中，x相等，y的符號相反，即點P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點為P’（x，-y）3.關(guān)于y軸對稱的點的特征兩個點關(guān)于y軸對稱時，它們的坐標中，y相等，x的符號相反，即點P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點為P’（-x，y）考點6作圖-旋轉(zhuǎn)變換（1）旋轉(zhuǎn)圖形的作法：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．（2）旋轉(zhuǎn)作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素較多，旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心，任意不同，位置就不同，但得到的圖形全等．【題型1：平移】【典例1】（2023?遂溪縣一模）如圖，在△ABC中，BC＝13，將△ABC沿著射線BC平移m個單位長度，得到△DEF，若EC＝7，則m＝6．【答案】6．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到BE＝CF，再利用EF＝EC+CF＝13，然后求出CF的長，從而得到平移的距離．【解答】解：∵△ABC沿著射線BC的方向平移，得到△DEF，∴BE＝CF，∵EF＝13，EC＝7，∴CF＝EF﹣CE＝13﹣7＝6，即平移的距離m為6．故答案為：6．1．（2023?潮州模擬）在平面直角坐標系中，線段AB平移得到線段CD，點A（﹣1，4）的對應(yīng)點C（1，2），則點B（2，1）的對應(yīng)點D的坐標為（）A．（4，﹣1） B．（0，3） C．（4，1） D．（﹣4，1）【答案】A【分析】根據(jù)點A、C的坐標確定出平移規(guī)律，再根據(jù)平移規(guī)律解答即可．【解答】解：∵點A（﹣1，4）的對應(yīng)點C的坐標為（1，2），∴平移規(guī)律為向右平移2個單位，向下平移2個單位，∴B（2，1）的對應(yīng)點D的坐標為（4，﹣1）．故選：A．2．（2023?番禺區(qū)校級二模）如圖，將三角形ABC沿射線AB平移到三角形DEF的位置，則下列說法不正確的是（）A．AC＝DB B．AD＝BE C．AC∥DF D．∠C＝∠F【答案】A【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：由平移的性質(zhì)可知：AC＝DF，AD＝BE，AC∥DF，∠C＝∠F，故選項A說法不正確，符合題意；選項B、C、D說法正確，不符合題意；故選：A．3．（2023?蓬江區(qū)一模）在平面直角坐標系中，將點（1，1）向上平移3個單位后，得到的點的坐標是（）A．（1，4） B．（4，1） C．（1，3） D．（1，﹣2）【答案】A【分析】把點（1，1）的橫坐標不變，縱坐標加3，即可得到平移后的對應(yīng)點的坐標．【解答】解：將點（1，1）向上平移3個單位后，得到的點的坐標是（1，4）．故選：A．【題型2：軸對稱的性質(zhì)】【典例2】（2022?廣東一模）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，點P是AB上的任意一點，作PD⊥AC于點D，PE⊥CB于點E，連接DE，則DE的最小值為2.4．【答案】2.4．【分析】連接CP，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：DE＝CP，當DE最小時，則CP最小，根據(jù)垂線段最短可知當CP⊥AB時，則CP最小，再根據(jù)三角形的面積為定值即可求出CP的長．【解答】解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，連接CP，如圖所示：∵PD⊥AC于點D，PE⊥CB于點E，∴四邊形DPEC是矩形，∴DE＝CP，當DE最小時，則CP最小，根據(jù)垂線段最短可知當CP⊥AB時，則CP最小，∴DE＝CP=3×45故答案為：2.4．1．（2023?龍崗區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，△AB′C′與△ABC關(guān)于直線EF對稱，∠CAF＝10°，連接BB′，則∠ABB′的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】C【分析】利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出△BAC≌△B′AC′，進而結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出答案．【解答】解：連接BB′∵△AB′C′與△ABC關(guān)于直線EF對稱，∴△BAC≌△B′AC′，∵AB＝AC，∠C＝70°，∴∠ABC＝∠AC′B′＝∠AB′C′＝70°，∴∠BAC＝∠B′AC′＝40°，∵∠CAF＝10°，∴∠C′AF＝10°，∴∠BAB′＝40°+10°+10°+40°＝100°，∴∠ABB′＝∠AB′B＝40°．故選：C．2．（2023?江門三模）如圖，在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，點D為AC的中點，點E為邊AB上一個動點，連接DE，點A關(guān)于直線DE的對稱點為點F，分別連接DF，EF，當EF⊥AC時，AE的長為33或3【答案】33或3【分析】當直線EF與直線AC垂直時，如圖1，如圖2，根據(jù)對稱的性質(zhì)得到和等腰三角形的判定和性質(zhì)定理以及直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AC＝BC＝2，點D為AC的中點，∴AD=12AC＝①當直線EF與直線AC垂直時，如圖1，∵點A關(guān)于直線DE的對稱點為點F，∴∠F＝∠A＝30°，∠AED＝∠FED，∵∠AGE＝90°，∴∠AEG＝60°，∴∠AED＝∠FED＝30°，∴AD＝DE＝1，過D作DM⊥AE與M∴AE＝2AM＝2×32×②當直線EF與直線AC垂直時，如圖2，∵將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點F處，∴∠F＝∠A＝30°，∠ADE＝∠FDE，∵∠AGE＝∠FGD＝90°，∴∠FDG＝60°，∴∠ADE＝∠FDE＝30°，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝DE，∴AG=12AD∴AE=3故答案為：33或3【題型3：軸對稱圖形】【典例3】（2023?龍崗區(qū)校級一模）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用軸對稱圖形的定義進行解答即可．【解答】解：A．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C．是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選：C．1．（2023?惠城區(qū)校級一模）用數(shù)學的眼光觀察下面的網(wǎng)絡(luò)圖標，其中可以抽象成軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：B，C，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；A選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：A．2．（2022?東莞市校級一模）下列圖形中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【解答】解：選項B能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；選項A、C、D不能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；故選：B．3．（2023?蕉嶺縣一模）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷利用排除法求解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項正確；B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤．故選：A．【題型4：旋轉(zhuǎn)】【典例4】（2023?茂南區(qū)三模）如圖，在△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，則∠AOD的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BOD＝80°，∠B＝∠D＝50°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出∠BOA＝30°，然后利用∠AOD＝∠BOD﹣∠BOA進行計算即可．【解答】解：∵△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)70°得到△OCD，∴∠BOD＝80°，∠B＝∠D＝50°，∴∠BOA＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣100°﹣50°＝30°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠BOA＝80°﹣30°＝50°．故選：C．1．（2023?東莞市校級一模）如圖，將一個含30°角的直角三角板ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，點C的對應(yīng)點為點C′，若點C′落在BA延長線上，則三角板ABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義，兩對應(yīng)邊的夾角就是旋轉(zhuǎn)角，即可求解．【解答】解：旋轉(zhuǎn)角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．故選：D．2．（2023?越秀區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，點D恰好落在BC的延長線上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)（）A．70° B．80° C．100° D．110°【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，得出等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAD的度數(shù)為旋轉(zhuǎn)度數(shù)，AB＝AD，∠ADE＝∠B＝40°，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝40°，∴∠BAD＝100°，故選：C．3．（2023?懷集縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，風車圖案的中心為正方形，四片葉片為全等的平行四邊形，其中一片葉片上的點A，C的坐標分別為（1，0），（0，4），將風車繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則經(jīng)過第2023次旋轉(zhuǎn)后，點D的坐標為（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（3，﹣1） D．（1，3）【答案】A【分析】根據(jù)風車繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，可知旋轉(zhuǎn)4次為一個循環(huán)，得到經(jīng)過第2023次旋轉(zhuǎn)后，點D的坐標與第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時點D的坐標相同，進行求解即可．【解答】解：在正方形中，點A的坐標為（1，0），∴點B（0，1）．∵C（0，4），∴OC＝4．∴BC＝3．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝3．∴D（1，3）．由題意，可得風車第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為（3，﹣1）；第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為（﹣1，﹣3）；第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為（﹣3，1）；第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標為（1，3）．∵將風車繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，∴旋轉(zhuǎn)4次為一個循環(huán)．∵2023÷4＝505??????3，∴經(jīng)過第2023次旋轉(zhuǎn)后，點D的坐標與第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時點D的坐標相同，為（﹣3，1）；故選：A．【題型5：中心對稱】【典例5】（2023?順德區(qū)校級一模）我國民間，流傳著許多含有吉祥意義的文字圖案，表示對幸福生活的向往，良辰佳節(jié)的祝賀．比如下列圖案分別表示“?！薄ⅰ暗摗?、“壽”、“喜”，其中是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤；C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項正確；D、軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故選：C．1．（2023?蓬江區(qū)一模）下列新能源汽車標志圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．【解答】解：A選項中的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；B選項中的圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C選項選項中的圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D選項中的圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：A．2．（2022?南山區(qū)一模）下列食品標識中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．綠色飲品 B．綠色食品 C．有機食品 D．速凍食品【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；故選：D．3．（2023?東莞市一模）2022年油價多次上漲，新能源車企迎來了更多的關(guān)注，如圖是四款新能源汽車的標志，其中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形重合，則這個圖形為中心對稱圖形判斷即可．【解答】解：∵在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形重合，則這個圖形為中心對稱圖形，∴C選項中的圖形為中心對稱圖形，故選：C．【題型5：坐標系中對稱點的特征】【典例5】（2023?香洲區(qū)校級一模）已知點P（x，﹣2）與點Q（4，y）關(guān)于原點對稱點，則x+y的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4【答案】B【分析】根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得x＝﹣4，y＝2，再計算x+y即可．【解答】解：∵點P（x，﹣2）與點Q（4，y）關(guān)于原點對稱點，∴x＝﹣4，y＝2，∴x+y＝﹣4+2＝﹣2．故選：B．1．（2023?深圳一模）已知點A（a，﹣1）與點B（﹣4，b）關(guān)于原點對稱，則a﹣b的值為（）A．﹣5 B．5 C．3 D．﹣3【答案】C【分析】利用關(guān)于原點對稱點的坐標性質(zhì)得出a的值即可．【解答】解：∵點A（a，1）與點B（﹣4，b）關(guān)于原點對稱，∴a＝4，b＝1．∴a﹣b＝4﹣1＝3．故選：C．2．（2023?南沙區(qū)一模）在平面直角坐標系中，與點A（3，﹣4）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（）A．（﹣3，﹣4） B．（3，4） C．（﹣3，4） D．（4，﹣3）【答案】C【分析】根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案．【解答】解：點A（3，﹣4）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（﹣3，4），故選：C．3．（2023?黃埔區(qū)校級二模）如圖，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，點B的坐標為（6，0），將△OAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△CAD，當點O的對應(yīng)點C落在OB上時，點D的坐標為（）A．（7，33） B．（7，5） C．（53，5） D．（53，33）【答案】A【分析】如圖，過點D作DE⊥x軸于點E．證明△AOC是等邊三角形，解直角三角形求出DE，CE，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥x軸于點E．∵B（6，0），∴OB＝6，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AO＝AC＝4，OB＝CD＝6，∠ACD＝∠AOB＝60°，∵∠AOC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴OC＝OA＝4，∠ACO＝60°，∴∠DCE＝60°，∴CE=12CD＝3，DE＝3∴OE＝OC+CE＝4+3＝7，∴D（7，33），故選：A．【題型6：作圖-旋轉(zhuǎn)變換】【典例6】（2023?香洲區(qū)校級一模）如圖，△OBC的頂點坐標分別為O（0，0），B（3，3），C（1，3）．將△OBC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°的圖形得到△OB1C1．（1）畫出△OB1C1的圖形．（2）將點P（m，2）繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，求點P旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點P1的坐標．（用含m的式子表示）【答案】（1）圖見解析；（2）（﹣2，m）．【分析】（1）分別作出點B（3，3），C（1，3）繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°的對應(yīng)點B1（﹣3，3），C1（﹣3，1），順次連接O、B1、C1即可；（2）按照（1）中點的旋轉(zhuǎn)規(guī)律，即可寫出點P旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點P1的坐標．【解答】解：（1）如圖所示，△OB1C1即為所求；（2）由（1）可得點B（3，3）繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點B1（﹣3，3），C（1，3）繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點C1（﹣3，1），∴將點P（m，2）繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后對應(yīng)點P1的坐標為（﹣2，m）．1．（2022?河源模擬）如圖，已知△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ACB繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDB，弧CD交AB于點F，弧AE交BD的延長線于點G．則圖中的陰影部分面積為2．【答案】2．【分析】根據(jù)S陰＝S△ABC+S扇形BAG﹣S扇形BCD，求解即可．【解答】解：在Rt△ACB中，AC＝CB＝2，∠ACB＝90°，∴AB=AC2∴S陰＝S△ABC+S扇形BAG﹣S扇形BCD=12×2×2故答案為：2．2．（2023?寶安區(qū)校級三模）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點A、B、C都在格點上（兩條網(wǎng)格線的交點叫格點）．并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法和理由）．（1）將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應(yīng)點為B1，點C的對應(yīng)點為C1，畫出△AB1C1；（請用直尺畫圖）（2）連接CC1，△ACC1的面積為52（3）在線段CC1上找一點D．連接AD，使得△ACD的面積是△ACC1面積的12【答案】（1）見解析；（2）52（3）見解析．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出圖形；（2）利用△ACC1所求在矩形面積減去周圍三個三角形面積即可；（3）確定CC1的中點即可．【解答】解：（1）如圖，△AB1C1即為所求；（2）△ACC1的面積為3×2-1故答案為：52（3）如圖，點D即為所求．3．（2023?南山區(qū)二模）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點△ABC（頂點為網(wǎng)格線的交點）．（1）將△ABC繞著點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90度，得到△A1B1C1，并畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B1C1：（2）請在網(wǎng)格中，僅用無刻度的直尺畫出線段AC的垂直平分線PQ，交AB于點P，交AC于點Q（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．【答案】（1）（2）作圖見解析部分．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可；（2）取AB的中點P，AC的中點Q，作直線PQ即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，直線PQ即為所求．一．選擇題（共7小題）1．如圖，河道l的同側(cè)有M，N兩個村莊，計劃鋪設(shè)管道將河水引至M，N兩村，下面四個方案中，管道總長度最短的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及兩點之間線段最短即可得出結(jié)論．【解答】解：作點M關(guān)于直線l的對稱點M′，連接M′N交直線m于點Q，則MP+NP＝M′N，此時管道長度最短．故選：B．2．下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A，B，C選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；D選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：D．3．在平面直角坐標系中，△ABC各頂點的坐標分別為A（2，2），B（4，6），C（0，m）．當△ABC的周長最小時，m的值為（）A．72 B．3 C．103 D【答案】C【分析】根據(jù)C（0，m），得到點C在y軸上，作A點關(guān)于y軸的對稱點A'，連接A'B交y軸于C，則BC+AC＝A'C+BC＝A'B，設(shè)直線BA'的解析式為y＝kx+b，得到y(tǒng)=23x+103，當x＝0【解答】解：∵C（0，m），∴點C在y軸上，作A點關(guān)于y軸的對稱點A'，連接A'B交y軸于C，則BC+AC＝A'C+BC＝A'B，∴△ABC周長最小值為AB+BA'的長，∵A（2，2），∴A'（﹣2，2），∵B（4，6），設(shè)直線BA'的解析式為y＝kx+b，∴-2k+b=24k+b=6∴k=2∴y=23x當x＝0時，y=10∴C（0，103∴m=10故選：C．4．有以下說法：①△ABC在平移的過程中，對應(yīng)線段一定相等；②△ABC在平移過程中，對應(yīng)線段一定平行；③△ABC在平移過程中，周長保持不變；④△ABC在平移過程中，對應(yīng)邊中點的連線的長度等于平移的距離．正確的是（）A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】B【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解．【解答】解：①△ABC在平移的過程中，對應(yīng)線段一定相等，正確；②△ABC在平移過程中，對應(yīng)線段一定平行或在同一直線上，故本小題錯誤；③△ABC在平移過程中，周長保持不變，正確；④△ABC在平移過程中，對應(yīng)邊中點的連線的長度等于平移的距離，正確．綜上所述，正確的有①③④．故選：B．5．下列運動屬于平移的是（）A．蕩秋千的小朋友 B．轉(zhuǎn)動的電風扇葉片 C．正在上升的電梯 D．行駛的自行車后輪【答案】C【分析】利用平移的定義進行判斷即可．【解答】解：A．蕩秋千的小朋友是旋轉(zhuǎn)，不符合題意；B．轉(zhuǎn)動的電風扇葉片是旋轉(zhuǎn)，不符合題意；C．正在上升的電梯是平移，符合題意；D．行駛的自行車后輪是旋轉(zhuǎn)，不符合題意．故選：C．6．四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐一判斷即可．【解答】解：A．該圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．該圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．該圖不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．該圖既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項合題意；故選：D．7．下列有關(guān)環(huán)保的四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，由此即可判斷．【解答】解：選項A、B、C的圖形都不能找到一個點，使這些圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；選項D的圖形能找到一個點，使這個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；故選：D．二．填空題（共5小題）8．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，點D在BC上，沿直線AD翻折△ABD使點B落在AC上的B′處；如圖2，折疊∠A，使點A與點D重合，折痕為EF．若B'DCD=23，則EFB'C的值為【答案】32【分析】在圖1根據(jù)折疊畫出折痕，易得△ADE是等腰直角三角形，EF垂直平分AD，得出△EDC∽△ABC，設(shè)AE＝x，根據(jù)相似比分別表示出EF，B'C即可求解．【解答】解：如圖：∵翻折△ABD使點B落在AC上的B′處，∴AD平分∠BAC，BD＝B'D，∴∠DAC＝45°，∵B'DCD即BDCD∴CDBC∵EF是折痕，∴EF垂直平分AD，∴∠ADE＝45°，∠AED＝90°，AE＝DE，∴DE∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴DEAB設(shè)AE＝x，則DE＝x，EF=22∴xAB解得AB=53x，∵AB＝AB'=53∴B'E=23∴B'C=32∴EFB'C故答案為：329．如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝5，如圖所示折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕為PD，此時BP的長為43【答案】43【分析】由翻折可得，A'D＝AD＝5，A'P＝AP，在Rt△A'CD中，利用勾股定理可求得A'C＝4，則A'B＝1，設(shè)BP＝x，則AP＝A'P＝3﹣x，在Rt△A'BP中，由勾股定理可列方程為（3﹣x）2＝12+x2，求出x的值即可．【解答】解：∵四邊形ABCD為長方形，∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，∠C＝∠B＝90°．由翻折可得，A'D＝AD＝5，A'P＝AP，在Rt△A'CD中，由勾股定理得，A'C=A'D∴A'B＝BC﹣A'C＝5﹣4＝1．設(shè)BP＝x，則AP＝A'P＝3﹣x，在Rt△A'BP中，由勾股定理得，A'P2＝A'B2+BP2，即（3﹣x）2＝12+x2，解得x=4∴BP的長為43故答案為：4310．如圖，將△ABC沿AC方向平移1cm得到△DEF，若DC＝3cm，則AF＝5cm．【答案】5cm．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出AD＝CF＝1cm，再根據(jù)線段的和差關(guān)系進行計算即可．【解答】解：由平移的性質(zhì)可知，AD＝CF＝1cm，所以AF＝AD+DC+CF＝1+3+1＝5（cm），故答案為：5cm．11．點A（3，2）向右平移2個單位長度得到A'，則A'的坐標為（5，2）．【答案】（5，2）．【分析】根據(jù)點向右平移，橫坐標加上平移單位長度即可．【解答】解：因為點A（3，2）向右平移2個單位長度3+2＝5，所以點A'的坐標是（5，2）．故答案為：（5，2）．12．已知點A（3，﹣2）與點A′關(guān)于原點對稱，則點A'的坐標為（﹣3，2）．【答案】（﹣3，2）．【分析】根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關(guān)于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y），進而得出答案．【解答】解：∵點A（3，﹣2）與點A′關(guān)于原點對稱，∴點A′的坐標為（﹣3，2）．故答案為：（﹣3，2）．三．解答題（共3小題）13．在平面直角坐標系中點P（﹣1，5）關(guān)于y軸對稱點的坐標為（1，5）．【答案】（1，5）．【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，即點P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點P′的坐標是（﹣x，y）．【解答】解：在平面直角坐標系中點P（﹣1，5）關(guān)于y軸對稱點的坐標為（1，5）．故答案為：（1，5）．14．如圖，每個小正方形的邊長為1．（1）畫出三角形ABC先向右平移4格，再向下平移1格后得到的三角形A'B'C'；（2）求三角形ABC的面積．【答案】（1）見解答；（2）8．【分析】（1）將三個頂點分別向右平移4格，再向下平移1格得到其對應(yīng)點，繼而首尾順次連接即可；（2）用直角邊長為5和7的直角三角形的面積減去上底為1、下底為7、高為2和直角邊長為1和3的直角三角形的面積即可．【解答】解：（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求．（2）三角形ABC的面積為12×5×7-12×（1+7）×2-115．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到A′BC′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），過點A作AE∥C′A′交直線CC′于點E，交AA′于點D．（1）求證：ED＝C′D；（2）若∠ABC＝60°，在△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)過程中是否存在某個時刻，使得EC′＝AA′，如果存在，請直接寫出此時α的度數(shù)；如果不存在，說明理由．【答案】（1）見解答；（2）60°或240°．【分析】（1）連接AE，AC'，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝A′C′．證明四邊形AC′A′E是平行四邊形即可得證；（2）由（1）問可知，四邊形AC′A′E為平行四邊形，當其為矩形時，可使對角線EC′＝AA′．在△ABC的旋轉(zhuǎn)過程中，當點C′在直線AB上時，可使∠AC'A'為直角，此時平行四邊形AC'A'E為矩形，求出此時對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α即可．【解答】（1）證明：如圖，連接AE，AC'，∵BC＝BC'，∴∠C'CB＝∠CC'B，∵∠ACB＝∠AC′B＝90°，∠EC′C＝180°，∴∠ACC′＝∠ACB﹣∠C′CB＝90°﹣∠C′CB，∠EC′A′＝∠EC′C﹣∠AC′B﹣∠CC′B＝180°﹣90°﹣∠CC′B＝90°﹣∠CC′B，∴∠ACC′＝∠EC′A′，∵AE∥C′A′，∴∠EC′A′＝∠AED，∴∠ACC′＝∠AED，∴AC＝AE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，AC＝A′C′，∴AE＝A′C′．∵AE∥C′A′，∴四邊形AC′A′E是平行四邊形，∴ED＝C′D．（2）解：如圖，當點C′在線段AB上時，∵∠AC′B＝90°，點C′在線段AB上，∴∠AC′A′＝90°，∵四邊形AC′A′E是平行四邊形，∴四邊形AC′A′E是矩形，∴EC′＝AA′，∵∠ABC＝60°，∴此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60°．如圖，當點C′在線段AB的延長線上時，∵∠AC′B＝90°，點C′在線段AB的延長線上，∴∠AC′A′＝90°，∵四邊形AC′A′E是平行四邊形，∴?AC′A′E是矩形，∴EC′＝AA′，∵∠ABC＝60°，∴∠CBC′＝120°，：此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為240°，故存在，此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60°或240°．一．選擇題（共7小題）1．下面是人教版物理教材中部分電路元件的符號，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義逐項分析即可．【解答】解：A．該圖形是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B．該圖形是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C．該圖形是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D．該圖形不是軸對稱圖形，故此選項符合題意．故選：D．2．點P是∠AOB外的一點，點M，N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM＝3.5cm，PN＝4cm，MN＝5cm，則線段QR的長為（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，則利用線段垂直平分線的性質(zhì)得QM＝PM＝3.5cm，RN＝PN＝4cm，然后計算QN，再計算QN+RN即可．【解答】解：∵點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，∴OA垂直平分PQ，∴QM＝PM＝3.5cm，∵MN＝5cm，∴QN＝MN﹣QM＝5﹣3.5＝1.5（cm），∵點P關(guān)于OB的對稱點R落在MN的延長線上，∴OB垂直平分PR，∴RN＝PN＝4cm，∴QR＝QN+RN＝1.5+4＝5.5（cm）．故選：B．3．數(shù)學課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．如圖，小明把矩形ABCD沿DE折疊，使點C落在AB邊的點F處，其中DE=55，且sin∠DFA=45A．80 B．64 C．36 D．18【答案】A【分析】首先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠DFC＝∠C＝90°，然后根據(jù)同角的余角相等得到∠DFA＝∠BEF，進而得到sin∠BEF=sin∠DFA=45，設(shè)BF＝4x，EF＝5x，則BE＝3x，CE＝FE＝5x，根據(jù)定理求出AD＝8x＝8，DC＝DF＝10x＝【解答】解：∵矩形ABCD沿DE折疊，使點C落在AB邊的點F處，∴∠DFC＝∠C＝90°，∴∠DFA+∠BFE＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠DFA＝∠BEF，∴sin∠BEF=sin∠DFA=4∴設(shè)BF＝4x，EF＝5x，則BE＝3x，CE＝FE＝5x，∴AD＝BC＝8x，∵sin∠DFA=4∴DF＝10x，∵∠DFC＝∠C＝90°，DE=55∴DF2+EF2＝DE2，即(10x)∴解得：x＝1，負值舍去，∴AD＝8x＝8，DC＝DF＝10x＝10，∴矩形ABCD的面積＝AD?CD＝8×10＝80．故選：A．4．在平面直角坐標系中，將點A（﹣3，1）先向右平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點A'，則點A'的坐標為（）A．（0，5） B．（﹣5，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣1）【答案】C【分析】點向右移橫坐標加移動長度，向上移縱坐標加移動長度，根據(jù)平移方向及長度計算即可．【解答】解：將點A（﹣3，1）先向右平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到點A'，則橫坐標加2，縱坐標加2，點A'的坐標為（﹣1，3）．故選：C．5．如圖，三角形DEF是由三角形ABC通過平移得到的，且點B，E，C，F(xiàn)在同一直線上．若BF＝14，EC＝6，則點A與點D之間的距離是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由平移的性質(zhì)可得，△ABC≌△DEF，AD＝BE＝EF，由BE+EC+CF＝BF，可得BE＝4，進而可得AD的值．【解答】解：由平移的性質(zhì)可得，△ABC≌△DEF，AD＝BE＝EF，∵BE+EC+CF＝BF，∴BE＝4，∴AD＝4，故選：B．6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，此時點A'恰好在AB邊上，則點B'與點B之間的距離為（）A．2 B．4 C．23 D．22【答案】C【分析】連接BB'，根據(jù)已知條件以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CA＝CA'，進而可得△ACA'是等邊三角形，可得旋轉(zhuǎn)角為60°，即可得△BCB'是等邊三角形，即可求解．【解答】解：如圖，連接BB'∵將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，此時點A'恰好在AB邊上，∴CA＝CA'，CB＝CB'，又∠A＝60°，∴△ACA'是等邊三角形，∴旋轉(zhuǎn)角∠B'CB＝∠A'CA＝60°，∵CB＝CB'，∴△BCB'是等邊三角形，∴BB'＝BC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4，∴BC=A∴點B'與點B之間的距離為BB'=BC=23故選：C．7．如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.8，∠B＝60°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)度得到△ADE，當點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上時，則CD的長為（）A．1.8 B．1.6 C．2.6 D．2.8【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD＝AB，進而證明△ADB為等邊三角形，得到BD＝AB＝2，則CD＝CB﹣BD＝1.8．【解答】解；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD＝AB，∵∠B＝60°，AD＝AB，∴△ADB為等邊三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝CB﹣BD＝1.8，故選：A．二．填空題（共5小題）8．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)，H分別是邊BC，CD，AB上的一點，將正方形ABCD沿FH折疊，使點D恰好落在BC邊的中點E處，點A的對應(yīng)點為點P，則折痕FH的長為25【答案】25【分析】過點H作HG⊥CD于點G，連接DE，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證四邊形ADGH是矩形，根據(jù)折疊可知FH垂直平分DE，可證△HGF≌△DCE（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FH＝DE，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理求出DE的長，即可確定FH的長．【解答】解：過點H作HG⊥CD于點G，連接DE，如圖所示：則∠DGH＝∠FGH＝90°，在正方形ABCD中，∠A＝∠D＝∠C＝90°，AD＝CD＝BC＝4，∴四邊形ADGH是矩形，∴GH＝AD＝CD，根據(jù)折疊可知，F(xiàn)H垂直平分DE，∴∠FDE+∠DFH＝90°，∵∠FDE+∠DEC＝90°，∴∠DFH＝∠DEC，在△HGF和△DCE中，∠DFH=∠DEC∠FGH=∠ECD∴△HGF≌△DCE（AAS），∴FH＝DE，∵E為BC的中點，∴EC＝2，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得，DE=4∴FH=25故答案為：259．如圖所示，△BDC′是將長方形紙牌ABCD沿著BD折疊得到的，圖中（包括實線、虛線在內(nèi)）共有全等三角形4對．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】共有四對，分別是△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB，△DCB≌△C′DB，△AOB≌△C′OD．【解答】∵四邊形ABCD是長方形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，在Rt△ABD和Rt△CDB中，AB=CDAD=BC∴△ABD≌△CDB．（HL）∵△BDC是將長方形紙牌ABCD沿著BD折疊得到的，∴BC′＝AD，BD＝BD，∠C′＝∠A．∴Rt△ABD≌Rt△C′DB．（HL）同理△DCB≌△C′DB．∵∠A＝∠C′，∠AOB＝∠C′OD，AB＝C′D，∴△AOB≌△C′OD．（AAS）所以共有四對全等三角形．10．如圖所示的是中國古代婦女的一種發(fā)飾—“方勝”圖案，其圖案由兩個全等正方形相疊而成，寓意是同心吉祥，將正方形ABCD沿對角線BD的方向平移2cm得到正方形A′B′C′D′形成一個“方勝”圖案，若BD′＝8cm，則圖中陰影部分的面積為20cm2．【答案】20．【分析】根據(jù)陰影部分的面積＝2個大正方形的面積﹣2小正方形的面積求解即可．【解答】解：由平移變換的性質(zhì)可知BB′＝DD′＝2cm，∵BD′＝8cm，∴B′D＝8﹣2﹣2＝4（cm），∴BD＝BB′+B′D＝2+4＝6（cm），∴陰影部分的面積＝2個大正方形的面積﹣2小正方形的面積＝2×12×62﹣2×12×42故答案為：20．11．如圖，A，B的坐標分別為（﹣2，1），（0，﹣1）．若將線段AB平移至A1B1，A1，B1的坐標分別為（a，3），（3，b），則a+b的值為2．【答案】2．【分析】由點A及其平移后的對應(yīng)點A1的縱坐標可知，向上平移2個單位；由點B及其平移后的對應(yīng)點B1的橫坐標可知，向右平移3個單位．因此平移規(guī)律可為：先向上平移2個單位，再向右平移3個單位．據(jù)此求得a、b的值，然后計算a+b即可．【解答】解：由題意，點A（﹣2，1）先向上平移2個單位，再向右平移3個單位得到點A1（a，3），點B（0，﹣1）先向上平移2個單位，再向右平移3個單位得到點B1（3，b），∴a＝﹣2+3＝1，﹣1+2＝1，∴a+b＝1+1＝2．故答案為：2．12．如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若線段AB＝5，則BE的長度為5．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AE，∠BAE＝60°，然后判斷出△AEB是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BE＝AB＝5．【解答】解：∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等邊三角形，∴BE＝AB，∵AB＝5，∴BE＝5．故答案為：5．三．解答題（共3小題）13．在4×4的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的直角坐標系，其中格點A，B的坐標分別是（0，1），（﹣1，﹣1），請在網(wǎng)格中按要求作圖：（1）在圖①中作格點△ABC，使得它為等腰直角三角形且點C位于第四象限；（2）在圖②中作格點△ABD，使得它為軸對稱圖形且對稱軸為y軸；（3）在圖③中作格點△ABE，使得它為軸對稱圖形且對稱軸經(jīng)過點（1，1）．（注：頂點均在格點上的三角形稱為格點三角形．）【答案】圖形見解答．【分析】（1）在圖①中作格點△ABC，使得它為等腰直角三角形且點C位于第四象限；（2）在圖②中作格點△ABD，使得它為軸對稱圖形且對稱軸為y軸；（3）在圖③中作格點△ABE，使得它為軸對稱圖形且對稱軸經(jīng)過點（1，1）．【解答】解：（1）如圖①，△ABC即為所求；（2）如圖②，△ABD即為所求；（3）如圖③，△ABE即為所求．14．按要求畫圖及填空：在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立如圖所示平面直角坐標系，原點O及△ABC的頂點都在格點上．（1）點A的坐標為（﹣4，2）．（2）將△ABC先向下平移2個單位長度，再向右平移5個單位長度得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1．（3）計算△A1B1C1的面積．【答案】（1）A（﹣4，2）．（2）作圖見解析部分．（3）5.5．【分析】（1）根據(jù)點A的位置寫出坐標即可．（2）根據(jù)平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可．（3）利用分割法求面積即可．【解答】解：（1）如圖，A（﹣4，2）．故答案為：（﹣4，2）．（2）如圖，△A1B1C1即為所求作．（3）S△A1B1C1=3×4-12×1×315．問題提出：如圖1，在銳角等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，K是動點，滿足BK⊥AK，將線段AK繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α至AD，連接DK并延長，交BC于點M，探究點M的位置．特例探究：（1）如圖2，當點K在BC上時，連接CD，求證：CD=1（2）如圖3，當點K在AC上時，求證：M是BC的中點．問題解決：再探究一般化情形，如圖1，求證：M是BC的中點．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝∠AKD＝∠D=180°-α（3）連接CD，過點B作BE⊥KD于點E，過點C作CF⊥DK于點F，利用全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，BK⊥AK，∴BK＝KC=12BC，∠BAK＝∠∵∠BAC＝α，∠KAD＝α，∴∠BAC＝∠KAD，∴∠BAC﹣∠KAC＝∠KAD﹣∠KAC，∴∠BAK＝∠DAC．在△BAK和△CAD中，BA=CA∠BAK=∠CAD∴△BAK≌△CAD（SAS），∴CD＝BK，∴CD=12（2）∵AB＝AC，∠BAC＝α，∴∠ABC＝∠ACB=180°-α∵AK＝AD，∠KAD＝α，∴∠AKD＝∠D=180°-α∴∠AKD＝C．∵∠AKD＝∠MKC，∴∠MKC＝∠C，∴MK＝MC．∵BK⊥AK，∴∠BKC＝90°，∴∠MKB+∠MKC＝90°，∠MBK+∠C＝90°，∴∠MKB＝∠MBK，∴MMB，∴MB＝MC，∴M是BC的中點；（3）連接CD，過點B作BE⊥KD于點E，過點C作CF⊥DK于點F，如圖，在△BAK和△CAD中，BA=CA∠BAC=∠CAD=α∴△BAK≌△CAD（SAS），∴BK＝CD，∠AKB＝∠ADC＝90°，∴∠ADK+∠CDF＝90°，∠AKD+∠BKE＝90°．∵AK＝AD，∴∠ADK＝∠AKD，∴∠CDF＝∠BKE．在△CDF和△BKE中，∠CDF=∠BKE∠CFD=∠BEK=90°∴△CDF≌△BKE（AAS），∴CF＝BE．在△BEM和△CFM中，∠BME=∠CMF∠BEM=∠CFM=90°∴△BEM≌△CFM（AAS），∴BM＝CM，∴M是BC的中點．一．選擇題（共4小題）1．（2023?廣東）下列出版社的商標圖案中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用軸對稱圖形的定義進行分析即可．【解答】解：選項B，C，D中的圖形都不能確定一條直線，使圖形沿這條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，不是軸對稱圖形，選項A中的圖形沿某條直線對折后兩部分能完全重合，是軸對稱圖形，故選：A．2．（2023?深圳）下列圖形中，為軸對稱的圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A、B、C選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；D選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：D．3．（2022?廣州）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念進行判斷即可．【解答】解：A．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；故選：C．4．（2021?廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點C′落在AB邊上，連結(jié)BB′，則sin∠BB′C′的值為（）A．35 B．45 C．55 【答案】C【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，在Rt△BB'C'中，由勾股定理可求BB'的長，即可求解．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=AC2∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，∴BC'＝4，∴B'B=C'B'2∴sin∠BB′C′=BC'故選：C．二．填空題（共6小題）5．（2023?廣州）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊BC上，且BE＝1，F(xiàn)為對角線BD上一動點，連接CF，EF，則CF+EF的最小值為17．【答案】17．【分析】如圖，連接AE交BD于一點F，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點A與點C關(guān)于BD對稱，求得AF＝CF，推出AF+EF＝AE，此時CF+EF最小，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，連接AE交BD于一點F，∵四邊形ABCD是正方形，∴點A與點C關(guān)于BD對稱，∴AF＝CF，∴AF+EF＝AE，此時CF+EF最小，∵正方形ABCD的邊長為4，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，∵點E在BC上且BE＝1，∴AE=A故CF+EF的最小值為17．故答案為：176．（2023?深圳）如圖，在△ABC中，AB＝AC，tanB=34，點D為BC上一動點，連接AD，將△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于點G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，則S三角形AGE【答案】4975【分析】過點A作AF⊥BC于點F，過點A作AH⊥DE于點H，由折疊易得AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，CG＝a，則AG＝3a，于是AB＝AC＝AE＝4a，在Rt△ABF中，利用tanB=34可求出AH＝AF=125a，BF＝EH=165a，在Rt△AGH中，利用勾股定理求出GH=95a，以此求出EG=【解答】解：如圖，過點A作AF⊥BC于點F，過點A作AH⊥DE于點H，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，∴∠E＝∠C，設(shè)CG＝a，則AG＝3a，∴AB＝AC＝AE＝4a，在Rt△ABF中，tanB=AF∴BF=43∴(4解得：AF=125a或∴AH＝AF=125a，BF＝在Rt△AGH中，GH=A∴EG＝EH﹣GH=16∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，∴△AEG∽△DCG，∴AGDG=EG∴DG=15∴EGDG∴S三角形故答案為：49757．（2020?廣州）如圖，點A的坐標為（1，3），點B在x軸上，把△OAB沿x軸向右平移到△ECD，若四邊形ABDC的面積為9，則點C的坐標為（4，