2023-2024學(xué)年江蘇省高二年級(jí)下冊(cè)3月聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省高二下冊(cè)3月聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知空間向量2=(1,〃,2),^=(-2,1,2)若無(wú)一9與石垂直，則口等于()

A.拽B.—「國(guó)n721

2222

【正確答案】A

【分析】先由向量的數(shù)量積運(yùn)算求出〃=g,再結(jié)合向量模的運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：由空間向量7=(1,”,2),3=(-2,1,2),若與)垂直,

則（2￡-檢/=0,

即2。=7，

即2〃+4=9,

即〃=2,

2

本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

2.在(x2+x+y『的展開式中，的系數(shù)為()

A.60B.15C.120D.30

【正確答案】A

【分析】方法1：運(yùn)用分步乘法原理計(jì)算可得結(jié)果.

方法2：運(yùn)用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】方法1：(Y+x+06可以看作6個(gè)儼+x+y)相乘，從中選2個(gè)外有C：種選法;

再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)括號(hào)中選出3個(gè)X,最后一個(gè)括號(hào)選出有C：C；種選法；所以/的系

數(shù)為C；C：C；=60.

方法2：因?yàn)椋?》+力=[12+,+習(xí)6,所以其展開式的通項(xiàng)公式為

令r=2,得，+x)4展開式的通項(xiàng)公式為嚴(yán)J=c*8-*,再令8-%=5,得k=3,

所以x'V的系數(shù)為c：C：=60.

故選：A.

3.已知I函數(shù)/(》)=!》3+》2-*,/'(1)=0,則實(shí)數(shù)。=()

A.4B.3C.2D.1

【正確答案】B

【分析】求導(dǎo)，利用/'(1)=0即可.

【詳解】因?yàn)?'(x)=x2+2》-a,

所以/"⑴=l+2_a=3i=0,

則。=3,

故選：B.

4.已知G=(2,-l,3),1=(-L4,-2),d=(l,3(),若瓦瓦？三向量共面，則實(shí)數(shù)4等于()

A.4B.3C.2D.1

【正確答案】D

【分析】利用向量共面定理，設(shè)5=加1+〃5,列出方程組，即可求出實(shí)數(shù)

【詳解】a=(2,-1,3),A=(-1,4,-2),c=(1,3A>2瓦萬(wàn)三向量共面,

二可設(shè)e=〃疝+，即(l,3,/)=(2/n-〃,-m+4w,3w-2n),

2m-n=l

+4〃=3,解得機(jī)=1,"=1,4=1.

3m—In-A.

故選：D.

5.李中水上森林公園原為荒灘，經(jīng)過(guò)治理，成為江蘇省最大的人工生態(tài)林.園內(nèi)栽種了10

萬(wàn)余株水杉、池杉等品種樹木，垛與垛間的夾溝里魚游蝦戲.這里是丹頂鶴、黑鸛、貓頭鷹、

灰鷺、蒼鷺、白鷺等候鳥的樂(lè)園.游客甲與乙同時(shí)乘竹筏從碼頭沿下圖旅游線路游玩.甲將在

二月藍(lán)花海之前的任意一站下竹筏，乙將在童話國(guó)之前的任意一站下竹筏，他們都至少坐一

站再下竹筏，則甲比乙后下的概率為()

234S6789n

10121315171920

14。

16。18

?oO000e0OM0p

-o-<>--oK-

ROws孔-*

文

h萬(wàn)

-O臥-TAw?H

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“

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危qnM*lt

藍(lán)

M?rt傳

tl白M

w幻D

K臨M

亭

花

畸

mfwl境

m

77

A,9BD.—

-716

【正確答案】B

【分析】先求解所有可能的情況數(shù)，再根據(jù)游客乙下竹筏的所有可能，分別分析甲比乙后下

的情況數(shù)再求解即可

【詳解】由題意，甲可能下竹筏的站號(hào)有2,3,4,...,17共16種情況，乙可能下竹筏的站號(hào)有

2,3,4,...,8共7種情況，

故甲乙所有下竹筏的情況數(shù)有7x16=112種.

當(dāng)乙在2號(hào)站下時(shí)，滿足甲比乙后下的情況數(shù)有15種；

當(dāng)乙在3號(hào)站下時(shí)，滿足甲比乙后下的情況數(shù)有14種；…，當(dāng)乙在8號(hào)站下時(shí)，滿足甲比

乙后下的情況數(shù)有9種；共15+14+13+...+9=84種情況.

843

故甲比乙后下的概率為石5=1

故選：B

6.若函數(shù)/(x)=3e、-?x在R上有小于0的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-8,3)B.(-8,0)C.(0,3)D.(3,+oo)

【正確答案】C

【分析】求出函數(shù)/⑸的導(dǎo)數(shù)/'(X),由/'?=0有小于0的根列式求解作答.

【詳解】由函數(shù)〃x)=3e'-g求導(dǎo)得：f\x)=^-a,因函數(shù)/(外在R上有小于0的極值

點(diǎn)，

則/'(x)=0有小于0的根，即當(dāng)x<0時(shí)，a=3e*，而函數(shù)3e'在R上單調(diào)遞增，

則當(dāng)x<0時(shí),0<3e'<3，于是得

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)0<”3時(shí)，函數(shù)〃x)=3e=ax在R上有小于。的極值點(diǎn),

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,3).

故選：C

7.據(jù)說(shuō)，笛卡爾擔(dān)任瑞典一小公國(guó)的公主克里斯蒂娜的數(shù)學(xué)老師，日久生情，彼此愛慕，

其父國(guó)王知情后大怒，將笛卡爾流放回法國(guó)，并軟禁公主，笛卡爾回法國(guó)后染上黑死病，連

連給公主寫信，死前最后一封信只有一個(gè)公式：0=a(l-sin6)S>O)國(guó)王不懂，將這封信

交給了公主，公主用笛卡爾教她的極坐標(biāo)知識(shí)，畫出了這個(gè)圖形“心形線”.明白了笛卡爾的

心意，登上了國(guó)王寶座后，派人去尋笛卡爾，其逝久矣.某同學(xué)利用GeoGMra電腦軟件將

=,g(x)=-3、l-J□兩個(gè)畫在同一直角坐標(biāo)系中，得到了如圖“心形

【正確答案】A

【分析】根據(jù)圖象的單調(diào)性判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)排除BC,再由函數(shù)增長(zhǎng)快慢判斷AD,即可得解.

【詳解】因?yàn)?所以g(x)的圖象在x軸及下方，

當(dāng)x>0時(shí)，由圖象知g(x)單調(diào)遞增，所以g'(x)>0,故排除BC；

又當(dāng)l<x且x->2時(shí)，g(x)圖象越來(lái)越“陡”，即增長(zhǎng)越來(lái)越快，故函數(shù)導(dǎo)數(shù)越來(lái)越大，

據(jù)此排除D.

故選：A

1L9

8.已知〃=sin—,h='ln3—ln2,c=Je—，則”，h,c的大小關(guān)系為()

28

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

【正確答案】D

【分析】構(gòu)造〃x)=sinx-ln(x+l),利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性可判斷。乃的大小，構(gòu)造

g(x)=e、-x,利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性可得到,再由a為銳角時(shí)，sina<a,

即可得到答案.

【詳解】設(shè)/(x)=sinx-ln(x+l),

則/'(x)=cosx---

X+1

令加(x)=/'(x),^(x)=-sinA-+—

因?yàn)椤璱nx在尾)上單調(diào)遞增，、=個(gè)了在［0詞)上單調(diào)遞減，則加'(X)在(0高上單

調(diào)遞減，

由(6)2+，所以叫機(jī)(％)=°，

所以當(dāng)xe(O,x0),加(x)>0,所以％(無(wú))在(0,%)上單調(diào)遞增,

71所以〃?(x)在1%,今

當(dāng)xe%0,6,"7’(X)<0,上單調(diào)遞減,

又加(0)=0,

從而機(jī)(x)>0即/K)>0在?上恒成立，

故/(x)在(0詞)上單調(diào)遞增，

所以/(x)>y(0)=0,即sinx>ln(x+1)=sin；>ln(l+；)=ln3-ln2,

即a>6,

構(gòu)建g(x)=e*-；x2_i_x,貝ijg")=e，-x-l,

令9(x)=e'-x-l,則”(x)=e*-l,

當(dāng)xe(O,+a))時(shí)，d(x)>0,則9(x)在(0,+s)單調(diào)遞增，

所以9(x)>w(0)=e°-0-l=0,即g'(x)>0,

故g(x)在(0，+co)上單調(diào)遞增，則g(x)>g(O)=O,

故e*-；x2_]>x在(o,+8)恒成立，

取x=；,可得冊(cè)——>—,

282

而由a為銳角時(shí)，sinaca可知，sin1<1,

22

由不等式傳遞性知，

綜上可得.c>a>6

故選：D.

方法點(diǎn)睛：對(duì)于比較實(shí)數(shù)大小方法：

(1)利用基本函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，

(2)利用中間值"1”或"0”進(jìn)行比較,

(3)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)及函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.

二、多選題

9.下列命題為真命題的是()

A.(x-gj展開式的常數(shù)項(xiàng)為20

B.8⑼被7除余1

C.展開式的第二項(xiàng)為-6-D.8M被63除余1

【正確答案】BCD

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及二項(xiàng)式定理即可求解.

【詳解】對(duì)于A,L-ij的展開式的通項(xiàng)為I”

令6-2左=0,解得左=3,所以（X-：）展開式的常數(shù)項(xiàng)為（-ifC：=-20,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,

I（WOO100

8=（7+1）'=C；0Gx7mx10+C；ooxxT+…+嗨x7'x1"+C匿x7°xI

I0099KM

=7+C；00X7+-+C^0X7+1,因?yàn)?e。小799,...，07都是7的倍數(shù)，所以

7H'0+4x799+…+或°x7是7的倍數(shù)，所以8KM被7除余1,故B正確；

對(duì)于C,1x-J的展開式的第二項(xiàng)為小=爆、--/（-j=（-1上猿、/3=一84,故c

正確；

對(duì)于D,

100255,）550491449

8=（8）°=64=（63+1）°=C°50X63xl°+C'50X63xl+..+C：0x63'xl+C2x63。xP

=63”+C；ox6349+…+C；；x63+1,因?yàn)?3$°,x6349,C：；x63都是63的倍數(shù),所以

6350+Cox63*'+…+C；；x63是63的倍數(shù)，所以8皿被63除余1,故D正確.

故選：BCD.

10.如圖所示，在直三棱柱力8C-N4G中，底面是以//8C為直角的等腰直角三角形,

AC=2a,BBj3a,。是4G的中點(diǎn)，點(diǎn)￡在棱/4上，要使CEL平面3QE,則4E的

值可能是（）

35

A.aB.-ciC.2〃D.—a

22

【正確答案】AC

【分析1利用已知條件判斷4。，平面4CG4,然后說(shuō)明CELOE,設(shè)/E=x(0<x<3“),

然后可得=2=/+而2,。^2=。2+(%_》)2,又82=/+942=]042,然后可求出答案.

【詳解】由己知得44=，又。是4G的中點(diǎn)，

所以8Q~4G，又側(cè)棱44,底面/8C,

可得側(cè)棱AA{1平面44G,又4。u平面A因孰,

所以

因?yàn)閆4c4cl=4,所以BQJ.平面AA^C,

又CEu平面44℃,所以BQLCE,

故若CE，平面BQE,則必有CE1DE.

設(shè)/E=x(0<x<3a),貝iJCE?=X2+4?,OE2=/+(紜-X丫,

又Ch=/+9/=io/,

所以10“2=乂2+4a2+a2+(3a-x)2,

解得x=a或2a.

故選：AC

11.己知函數(shù)〃x)=3，-2',xeR,則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)/(x)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增

B.存在aeR,使得函數(shù)，=/孚為奇函數(shù)

a

C.任意xeR,/(%)>-1

D.函數(shù)g(x)=/(x)+x有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

【正確答案】ABC

【分析】A選項(xiàng)：通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；B選項(xiàng)：取特殊值驗(yàn)證結(jié)論的存在；C選項(xiàng):

通過(guò)放縮，得到函數(shù)值的范圍；D選項(xiàng)：通過(guò)函數(shù)值的符號(hào)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】對(duì)于A：r(x)=3，ln3—2，ln2=2、(|)In3-ln2

因?yàn)閤w(0,+8),所以2*>1，>1,因此(|卜n3>ln3>ln2,

故/'(x)>0,所以/(x)在(0,+o>)上單調(diào)遞增，故A正確;

對(duì)于B：令。=#，則”，令h(x)=,定義域?yàn)镽,關(guān)于原

2

點(diǎn)對(duì)稱,

=-h(x,,故a(x)為奇函數(shù)，B正確:

對(duì)于C：x>0時(shí)，fM=2x(|)-1>0；x=0時(shí)，/(x)=0；

x<0時(shí)，/(x)>-2A>-l；C正確；

對(duì)于D：x=0時(shí)，g(x)=0,x>0時(shí)，g(x)>y-2x=2x(I)一1>0,

x<0時(shí)，g(x)<3、-2、=2、(，-1<0,所以g(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤;

故選：ABC

12.下列說(shuō)法正確的是()

A.空間有10個(gè)點(diǎn)，其中任何4點(diǎn)不共面，以每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作1個(gè)四面體，則一共可以

作210個(gè)不同的四面體

B.甲、乙、丙3個(gè)人值周，從周一到周六，每人值2天，但甲不值周一，乙不值周六，則

可以排出24種不同的值周表

C.從0,1,2,L,9這10個(gè)數(shù)字中選出5個(gè)不同的數(shù)字組成五位數(shù)，其中大于13000的

共有26543個(gè)

D.4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)盒子中，恰有1個(gè)空盒的放法共有144

種

【正確答案】AD

【分析】直接利用組合數(shù)計(jì)算，判定A,對(duì)甲的值周按照是否在星期六分類，利用組合結(jié)合

分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算，從而判定B,按照首位分類，利用排列數(shù)計(jì)算可以判定C,利用先

分組后排列的方法，結(jié)合乘法原理和排列組合計(jì)算判定D.

【詳解】對(duì)于A,空間有10個(gè)點(diǎn)，其中任何4點(diǎn)不共面，以每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作1個(gè)四面體，

可以有C：。=210種取法，即可以作210個(gè)不同的四面體，A正確；

對(duì)于B,分2種情況討論：①甲排在星期六，有C；C；=24種排法；②甲不排在星期六，有

C：C；=18種排法；則值班方案種數(shù)為24+18=42種，B不正確；

對(duì)于C,分2種情況討論：①五位數(shù)的首位為2、3、4、5、6、7、8、9時(shí)，有8A；=24192個(gè)五

位數(shù)，

②五位數(shù)的首位為1時(shí)，其千位數(shù)字不能為0、2,有7A；=2352個(gè)五位數(shù)，

則共有24192+2352=26544個(gè)大于13000五位數(shù)，C不正確；

對(duì)于D,分2步進(jìn)行分析：①將4個(gè)小球分為3組，有C；=6種分組方法，②在4個(gè)盒子中

任選3個(gè)，放入三組小球，有C：A；=24種情況，

則有6x24=144種不同的放法，D正確：

故選：AD.

三、填空題

13.C；+C：?C+《?C+《?《=.（用數(shù)字作答）

【正確答案】494

【分析】根據(jù)組合數(shù)計(jì)算公式計(jì)算即可.

【詳解】C；+C；C+C>C；+C；C=70+56x4+28x6+8x4=494,

故494

14.函數(shù)/(x)=V?cos2x+8sinx”(-的極值點(diǎn)為％,則tan(xo+：卜.

【正確答案】-3

【分析】由極值點(diǎn)的定義可求sin%,再由同角關(guān)系，兩角和正切公式可求tan1%+：

【詳解】因?yàn)?(x)=V^cos2x+8sinX.XG

所以/'(%)=-2V^sin2x+8cosx=cosX8-47~5sin/

因?yàn)楹瘮?shù)./(x)=V^cos2x+8sinx,xe.的極值點(diǎn)為天,

所以cosxo(8-4^"sinXo)=0,且xw

所以sin%=《，所以cosXo=6^iii^Y=A，tanxo=

所以tanx0+*71丁

=-3.

I4)1-tanx0

故-3.

15.如圖，正方形Z8C。、49E尸的邊長(zhǎng)都是1,而且平面48c。、H8E尸互相垂直，點(diǎn)M在

/C上移動(dòng)，點(diǎn)N在B尸上移動(dòng)，若CM=BN=a(0<a<C),則A/N的長(zhǎng)的最小值為

【正確答案】e

2

【分析】首先根據(jù)垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示|“明，再求的v的長(zhǎng)的

最小值.

【詳解】因?yàn)槠矫?8CD1平面/BEF,平面/8C0C平面48￡尸=48,AB1BE,

所以8EJ.平面/8CZ),所以力8,BC,8E兩兩垂直.

過(guò)點(diǎn)胡作A/GJ_48,MH1BC,垂足分別為G,H,連接NG,易證NGLN8.

因?yàn)镃Af=8N=a,所以CH=MH=BG=GN=^u

2

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以84BE,8c所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系8-乎，

與一旦〃。海"一/J

22J2)[2J

=yja*2—y[2a+1=

當(dāng)a二,MN的長(zhǎng)最小，且最小值為止.

22

故正.

2

16.設(shè)實(shí)數(shù)〃?>0,若不等式機(jī)e""-huy0恰好有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

In5In2

【正確答案】

V'T-

【分析】由題知e""lnew<xlnx恰好有三個(gè)整數(shù)解，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)/(x)=xlnx,x21得

機(jī)恰好有三個(gè)整數(shù)解，再根據(jù)函數(shù)g(x)=等,x±l的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合求解即可.

【詳解】解：因?yàn)椴坏仁?^"，—.〈。恰好有三個(gè)整數(shù)解

所以不等式,〃xe研-xlnx<0恰好有三個(gè)整數(shù)解，即e"1nerai<xln^恰好有三個(gè)整數(shù)解,

令/(x)=xlnx,xN1,則/''(x)=lnx+l>0在［1,+co)上，恒成立,

所以函數(shù)〃x)=xlnx在[1,+8)上單調(diào)遞增,

Inx

所以，不等式恰好有三個(gè)整數(shù)解，即加<—恰好有三個(gè)整數(shù)解,

x

令g(x)=(,x21,則g.)」

所以，當(dāng)xe[l,e)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)xe(e,”)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞

減,

mm/,\八小In22In2In4/八（In5

因?yàn)?（1）=0名（2）=彳=^-=丁=8（4）名（5）=-^-

所以，作出函數(shù)g(x)的圖象如圖所示,

則g⑸⑵，即等4根＜竽,

X

ln5In2

所以,實(shí)數(shù)比的取值范圍為

In5In2

故

52

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)/(x)=xlnx,x21,結(jié)合函數(shù)同構(gòu)方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為“＜也InY恰好有三個(gè)整數(shù)解問(wèn)題求解即可.

X

四、解答題

17.(1)解不等式A；＜6A＞：

⑵若C；+C：+C+…+。=363,求正整數(shù)〃.

【正確答案】(1)x=8；(2)〃=13.

【分析】(1)根據(jù)排列數(shù)計(jì)算公式化簡(jiǎn)后代入檢驗(yàn)求解即可；

(2)由組合數(shù)的運(yùn)算及組合數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出方程，驗(yàn)證〃=13滿足，由單調(diào)性確定唯一

解即可.

【詳解】(1)因?yàn)锳；＜6A；2,

8!8!

所以<6xH2<x<8,XGN*,

（8-x）!（10-x）!

即l<6x且24x48,xeN*,

(10-x)(9-x)

經(jīng)驗(yàn)算，可解得x=8；

(2)s^c^+c5+c^+-+q?=c^+c^+c^+c^+-+c^-:

=C；+C+C；+…+C：-1=G+C；+…+C；-】=..?=」-1=363,

所以("+1)/("-1)=364,則〃=13滿足題意，且C"在“wN?且〃24時(shí)遞增，

O

因此〃=13是唯一解.

18.如圖所示，四棱錐S-/BCD中，ADAB=ZADC=2ZABD=2ZBCD=90°,

CB=BD=2V2-SB=SD=y/6,平面S3。_L平面/BCD.

(1)求證：平面S8O_L平面S8C；

CP

(2)若點(diǎn)尸在線段SC上，且二=%，若平面/8P與平面S3。所成銳二面角大小為60。,

求，的值.

2

【正確答案】(1)見解析(2)2=-.

(1)證明BC1平面SBD,平面SBD±平面SBC即得證；(2)以4為原點(diǎn)，分別以^4D，~AB

和平行于SE的方向?yàn)閤,y,z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系N-xyz,利用向量法得到

網(wǎng)I

202一2)2力解方程即得蟀

【詳解】(1)證明：因?yàn)镹D4B=N4DC=2N4BD=2NBCD=9?！?

故NCBD=90。，故8c_L8Z).

又平面SB。，平面/BCD,平面S8￡>n平面=8Cu平面N8CD,

故平面S8O；

因?yàn)?Cu平面SBC,故平面S8O_L平面S8C；

(2)設(shè)E為8。的中點(diǎn)，連接SE,因?yàn)镾B=SD=娓,

所以SE_L5D,又平面S8￡)J_平面Z8CZ),故SE_L平面Z8CD,

如圖，以/為原點(diǎn)，分別以而，而和平行于SE的方向?yàn)閤,y,z軸正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系/-xyz,

則4(0,0,0),5(0,2,0),C(2,4,0),D(2,0,0),5(1,1,2),

因?yàn)樵?2無(wú)，則而=4氐=幾(-1,-3,2)=(-/1,-3九2/1),

所以「(2-九4-343為，

易得平面58。的一個(gè)法向量為麗=(2,2,0),

設(shè)3=(x,y,z)為平面48P的一個(gè)法向量，刀=(0,2,0),"=(2-44—3/1,2/1),

由[唱=:得已藍(lán)不妨取3=(22,0,"2).

[ii-AP=Q,[[2-A)x+[4-3A)y+2Az=0,''

因?yàn)槠矫鍿BD與平面/8P所成銳二面角為60。，

M1

用以2國(guó)自+佃一2^，

2

解得2=2=-2(不合題意舍去)，

故2=|.

本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系的證明，考查空間二面角的向量求法，意在考查學(xué)生對(duì)

這些知識(shí)的理解掌握水平和計(jì)算能力.

19.請(qǐng)從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面已知條件中的橫線上，并解答問(wèn)題.①第2

項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是：：②第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比的絕對(duì)值為]：③展開式

中有且只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

已知在(〃eN*)的展開式中，.

(1)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)，并指出是第幾項(xiàng);

(2)求展開式中的所有有理項(xiàng).(注：如果選擇多個(gè)方案分別解答，按第一個(gè)方案解答計(jì)分.)

【正確答案】(1)60,第五項(xiàng)

⑵64x*240x3,60,才3

C12C14

【分析】根據(jù)所選的項(xiàng)，結(jié)合所給條件分別有①等=(,②[為點(diǎn)③根據(jù)有且只

有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求〃值，均為w=6.

(1)將〃=6代入二項(xiàng)式確定展開式通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0時(shí)求廠，進(jìn)而求出常數(shù)項(xiàng)；

(2)將"=6代入并寫出展開式通項(xiàng)，再根據(jù)亨有偶數(shù)，從而可確定有理項(xiàng).

12〃-3r

【詳解】(1)由二項(xiàng)式知：展開式通項(xiàng)為&|=C；(2x)1?(—-)/=(-1)「2”寸￡.工,

yJX

C12

①第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為C：、C：,故言?=(，

n_2

/.77X(77-1)5，整理得=0,又〃cN*,解得〃=6.

2

②第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)分別為(-l)2"-g,(-I)/”"；，則有|點(diǎn)缶聲用，解得"=6.

③展開式中有且只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可知.展開式共有7項(xiàng)，從而可知”=6.

?12-3〃

r6r9

由上知：展開式通項(xiàng)為(f=(-\)2~C^x^~

當(dāng)今女=0,有r=4時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為7；==60.

l2-3r

(2)由上知:的展開項(xiàng)通項(xiàng)為卻=(_])，26TC)H,要求有理項(xiàng),可知-=0,2,4,6,

1212-3x212-3*412-3x6

,有理項(xiàng)分別為(_[)。26-。仁》5，(-I)226-2c；x-，(-1)42~C：XF^，，

即為64x6,240x3,60,一

20.如圖所示，及41平面/5C。，四邊形力8CZ)為直角梯形，四邊形/OFE為矩形,

ZABC=NB4D=90°,EA=4B=BC=2AD=l.

⑴記平面ENBc平面ECD=/,求證：/J.平面8CFE；

（2）在線段FC上是否存在P點(diǎn)，使得二面角尸-8O-C的正弦值為強(qiáng).若存在，求出PC長(zhǎng);

6

若不存在，說(shuō)明理由.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）存在PC=I,理由見解析

【分析】（1）延長(zhǎng)84、CD交于點(diǎn)連接即為交線/,證明/_L8E,/J.8C,由線

面垂直的判定定理即可證明；

（2）以｛打，甌詞為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)而=2而

利用向量法求解即可.

在直角梯形48C。中，

由于N/8C=NB4O=90。，BC=2AD,

所以A為8W的中點(diǎn)，則有￡4=48=4”,

因?yàn)橥?1平面ABCD,BMu平面ABCD,

所以E4J.8M.

則△E8A/為等腰直角三角形，NBEM=90。，

即/_LBE.

因?yàn)槠矫?8C￡>,8Cu平面Z8C。，

所以.E/_L8C.

又因?yàn)锳B、4Eu平面BEM,AB[｝AE=A,

所以8c工平面8EM,

因?yàn)?u平面BEM,所以/_L8C,

又因?yàn)?C,8Eu平面8c產(chǎn)E,BCcBE=B,

所以/工平面8CRE.

(2)由EZ1平面/BCD,且48在面力8CO內(nèi)，又N&4D=90°,所以"。、AB,4E兩

兩互相垂直，

以｛而,麗?。秊檎换祝⑷鐖D所示的空間直角坐標(biāo)系Gxyz.

則S(0,1,0),C(l,1,0),0(1,0,0),E(Q,0,1),F(^0,1),

所以5萬(wàn)=(；,一1,0),CF=(-1-1,1),

設(shè)麗=，無(wú)(0<2<D,則麗=(-：2,-44),

所以麗=而+5=(1」2,，〃)，

2

設(shè)平面BDP的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),

1x=0「

m-BD=Q2~y

由,一得:

ihBP=0m-z=o

令x=2,貝ljy=l,z=―；—,所以用=(2,1,——),

AA,

而平面BCD的一個(gè)法向量為G=(0,0,1),

24-2

m-n

貝ljcos<孫〃〉=^^=7A

HrlL,22-2

^+i+(Z-y-yV

由于二面角尸的正弦值為我，則，

Icos<m,n>|=,

66

2A-2

v12

所以——2A-2",則％=］或2=2,

5+(2

2

因?yàn)?<2<l,所以X=一,

3

又|司=|，所以尸C=l.

21.某展覽會(huì)有四個(gè)展館，分別位于矩形/8CO的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、。處，現(xiàn)要修建如

圖中實(shí)線所示的步道（寬度忽略不計(jì)，長(zhǎng)度可變）把這四個(gè)展館連在一起，其中44=8百

8

⑴設(shè)NZME=x,求出步道的總長(zhǎng)V（單位：百米）關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式；（參考數(shù)據(jù)

3兀4廣

tan—=-,V3=1.732）

（2）求步道的最短總長(zhǎng)度（精確到0.01百米）.

【正確答案】(1)N=—+8-6tanx(0<x<。)

cosx10

(2)18.39百米

【分析】（1）若設(shè)ND/E=x,運(yùn)用三角函數(shù)表示HE、FN、DE,進(jìn)而寫出y與x的關(guān)系

式；

（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可.

【詳解】（1）設(shè)直線EF與8c分別交于點(diǎn)M,N,

3

設(shè)N/MEi貝iJ/E=——，F(xiàn)N=ME=3tanx,

cosx

EF=MN-FN-ME=8—6tanx,

4

貝!J8—6tanx>0,解得tanx<—,

3

又因?yàn)?<x《，所以o<x<*

所以V=-^-+8—6tanx（0<x<普））.

cosx10

⑵外加總+8-6tanx（0<x端卜

/’（加粵唔），令/'（x）=。，可得'J,

當(dāng)時(shí)，r（x）<0