安徽省宿州市省市示范高中2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷

宿州市省、市示范高中2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期中考試

高一數(shù)學(xué)試卷（人教版）

（時(shí)間：120分鐘，分值：150分）

命題：蕭縣中學(xué)張言貴校對(duì)：蕭縣中學(xué)王選

一、單選題

1.已知平面內(nèi)作用于點(diǎn)°的三個(gè)力九力，力，且它們的合力為°,則三個(gè)力的分布圖可能是（）

【解析】

【分析】由平行四邊形法則判斷即可.

【詳解】因?yàn)?力=-力，所以.力與力的合力與力方向相反，長(zhǎng)度相等，則由平行四邊形法則

可知，只有D項(xiàng)滿足.

故選：D

2.如圖，VAO7?'是水平放置的AAOB的直觀圖，但部分圖象被茶漬覆蓋，已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)

A'、均在坐標(biāo)軸上，且AAOB的面積為12,則的長(zhǎng)度為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】畫出AAOB的原圖，根據(jù)三角形AAOB的面積為12可得答案.

【詳解】畫出AAOB的原圖為直角三角形，且。A=O'A'=6,

因?yàn)椤籓BxQA=12,所以08=4,

2

所以O(shè)'B'=LO3=2.

2

故選：B.

3.蕭縣皇藏峪國家森林公園位于蕭縣城區(qū)東南30公里，是中國歷史文化遺產(chǎn)、中國最大古樹群落、國家

AAA4級(jí)旅游景區(qū)、國家森林公園.皇藏峪有“天然氧吧”之稱.皇藏峪，原名黃桑峪.漢高祖劉邦稱帝前，曾因

避秦兵追捕而藏身于此，故改名皇藏峪.景區(qū)內(nèi)古樹繁多，曲徑通幽，庭院錯(cuò)落有致.一庭院頂部可以看成

一個(gè)正四棱錐，其底面四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)是側(cè)棱長(zhǎng)的正倍，則該正四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面的面積之比

為（）

A.—B.—C.立D.立

2423

【答案】B

【解析】

【分析】由己知條件和正四棱錐的定義，以及面積公式即可求解.

【詳解】如圖所示，

將庭院頂部可以看成一個(gè)正四棱錐P-A8CD,

P0是正四棱錐P-ABCD的高，

設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，則底面四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)為拒側(cè)棱長(zhǎng)為。，

則底面面積為E=〃2,側(cè)面是正三角形，其面積邑=?"

由2

——a

.■c一4叵

"S,-a2V

故選：B.

4.歐拉是18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻(xiàn).人們把歐拉恒等式“3"+1=0”與

麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”.其中，歐拉恒等式是歐拉公式：=cos9+isin夕的一種特

兀.5孔.

—1—1

66

殊情況.根據(jù)歐拉公式，則e+e()

A.2B.1C.6D.昱

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)歐拉公式寫出對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的三角形式并化簡(jiǎn)，即可求模.

_奈生兀..兀5兀..5兀??由1.61..

【詳解】由題設(shè)，e6+e6=cos—+isin—+cos一+isin一=----F—i-------F—i=1.

6666112222

故選：B

5.已知｛無,處可以作為平面向量的一組基底，集合A=｛d|&=；ly,/leR｝,

8=｛引+則關(guān)于集合A8說法正確的是（）

A.BAB.Ac-BC.0eAD.A=B

【答案】B

【解析】

【分析】向量的共線定理：4=?7；向量基本定理：平面內(nèi)一組基底向量可表示出該平面內(nèi)所有向量,

a=zlq+%，根據(jù)上述向量性質(zhì)進(jìn)行判斷兩集合元素范圍即可選出答案.

【詳解】根據(jù)向量的共線充要條件可知，集合A=｛與y共線的所有向量｝,

根據(jù)平面向量基本定理可知：集合B=｛平面內(nèi)所有向量｝,故集合4是集合8子集.

故選：B

1

6.己知一ABC的重心為。，若向量60=mAB+—AC,則機(jī)=（）

3

22cli

A.----B.-C.—D.一

3333

【答案】A

【解析】

【分析】由三角形法則和平行四邊形法則求解即可.

【詳解】由三角形法則和平行四邊形法則可得

12712

8O=8A+AO=BA+±x-（AB+AC）=——AB+-AC,則利=一一.

23333

故選：A

7.已知向量a=（—,若a+26與2a-內(nèi)垂直，則實(shí)數(shù)"?=（）

12727f1

A.或7B.—或-2C.或2D.

2222

【答案】C

【解析】

【分析】確定a+?=（2加—1,4）,2a—〃=（—2—%3）,根據(jù)垂直得到（4+26卜（24—6）=0,代入數(shù)

據(jù)計(jì)算得到答案.

【詳解】-1,2),8=(〃?/)，則a+2Z?=(2〃L1,4),2a-b=(-2-/n,3)>

d+2b與2a-b垂直，

則(a+20)-(2a-6)=(2加一1,4>(-2-加,3)=(2/M-l)(-2-m)+12=0,

7

解得加=2或加=——.

2

故選：C

8.將一直徑為56cm的圓形木板，截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角a滿足

3

cosa=g,則這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為()

A.20cmB.20V3cmC.30gcmD.30cm

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正弦定理得|AC=2RsinO=5j^x[=4j^,進(jìn)而由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.

34

【詳解】如圖：不妨設(shè)a=/D,cosa=cosO=y，則sinO=1，由正弦定理可得

|AC|=2HsinO=56xm=46，

在三角形ACO中，由余弦定理可得

|AC|2=\ADf+\CDf-2\AD\-\CD\cosOn80=(\AD\+|CD|)2-y|AD|-|CD|,

由于IAOHCD區(qū)(|AD|：|CD|)，所以

2

(|AD|+|CD|)-8O=y|AZ)|-|C￡>|<yx(1皿；1卬)^>|A￡>|+|CD|<20，

當(dāng)且僅當(dāng)|叫=|。。=10時(shí),等號(hào)成立，

3

在一ABC中，B-H-D,cos5=--,

由余弦定理可得|AC『=|AB|2+|CB|2-21/1B|?|CB|cosB80=(|>4B|+|CB|)2-11AB\?|Cfi|,

由于|A8|.|C8|?(W”卸，所以

2

八III\24,,II4(IABI+ICBI)IIII

(|AB|+|CB|)-80=-|AB|-|CB|<-X~~!<-=>|AB|+|CB|<IO>

當(dāng)且僅當(dāng)|AB|=|BC|=5時(shí)，等號(hào)成立，

故這塊四邊形的周長(zhǎng)I陰+|。4+同回+忸。卜20+10=30,

所以這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為30.

故選：D

二、多選題

9.在下面的四個(gè)命題中，正確的命題為（）

A.復(fù)數(shù)z=l-2i（i為虛數(shù)單位）的虛部為—2i

B.用平面去截一個(gè)圓錐，則截面與底面之間的部分為圓臺(tái)

C.角人民。為_45。三個(gè)內(nèi)角，則“sinA〉sin'是"cosA<cos3”的充要條件

D.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z=x+yi（x,y均為實(shí)數(shù)），則滿足|z-i|<3的點(diǎn)z的集合表示的面積為9兀

【答案】CD

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)定義判斷A,由圓錐與圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征判斷B,根據(jù)三角形性質(zhì)，結(jié)合充分、必要性定義判

斷C,由復(fù)數(shù)模的幾何意義，數(shù)形結(jié)合法判斷D.

【詳解】A：復(fù)數(shù)z=l—2i的虛部為一2,錯(cuò)誤；

B：用平行于底面的平面去截一個(gè)圓錐，則截面與底面之間的部分為圓臺(tái)，錯(cuò)誤；

C：在三角形中，由sinA>sinb知：A>B,

TTIT

若5cAe—時(shí)則cosAvcosB,若3<—<4時(shí)則cosA<cos5,故充分性成立；

22

兀

若cosB>cosA>0時(shí)，則B<A<—,故sinA>sinB：

2

兀兀

若8sB>0>cosA時(shí)，則8<—<A,此時(shí)一>7T-A>5,故sin（兀-A）=sinA>sin5,

22

所以必要性成立，正確；

D：由|z_i|=Jx2+（y_i）2W3,故f+（y—i）2w9,所以點(diǎn)Z在以（0,1）為圓心，半徑3的圓（含圓

內(nèi)），其面積為9兀，正確.

故選：CD

10.唐朝詩人羅隱在《詠蜂》中寫到：不論平地與大山，無限風(fēng)光盡被占：采得百花成蜜后，為誰辛苦為

誰甜.蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物.巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開

口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個(gè)相同的菱形組成.巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖是一個(gè)

蜂巢的正六邊形開口ABCDEE,且其邊長(zhǎng)為1.下列說法正確的是（）

3

A.AC-AE=BF^-AC+AE=-AD

C.ADAB^AB\2D.五邊形ABCDE的外接圓面積為乃

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)，在圖中作出相關(guān)向量，對(duì)A利用向量減法運(yùn)算結(jié)合圖形即可判斷，對(duì)B借

助圖形和共線向量的定義即可判斷，對(duì)C利用向量數(shù)量積公式和相關(guān)模長(zhǎng)的關(guān)系即可判斷，由正六邊形的

特點(diǎn)確定五邊形ABCZ)E的外接圓的半徑，進(jìn)而判斷D.

UUL1ULU1UUU

【詳解】對(duì)A,AC-AE=EC'顯然由圖可得EC與8F為相反向量，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,由圖易得,目=|AC],直線平分角NE4C，

且/VICE為正三角形，根據(jù)平行四邊形法則有AC+AE=2AH與AD共線且同方向，

易知-EDH,AE”均為含煮的直角三角形，故怛“卜網(wǎng)叫,卜〃卜碼￡咋3回，則

西=4附，

?_,,_..21AHi33

而2AH=6。”，故一―|^=-,故AC+AE=—A。，故B正確；

1111\AD\22

對(duì)CZC=ZABC=—=|sc|=\DC\,

ZBDC=ZDBC=-,則ZAB￡)=工，又AD//BC.：.ZDAB^-,

623

|叫=2網(wǎng)，=網(wǎng)cos?=2網(wǎng)葭(=網(wǎng)2,故C正確；

對(duì)D,五邊形的外接圓就是正六邊形A6CD石廠的外接圓，其半徑為

r=；,耳=1,則五邊形ABCDE的外接圓面積為冗產(chǎn)=兀，故D正確；

故選：BCD

11.如圖，在海岸上有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C,D,C在。的正西方向，距離為2km,在某天10:00觀察到某航船在

A處，止匕時(shí)測(cè)得NA￡>C=30。，5分鐘后該船行駛至8處，此時(shí)測(cè)得乙4cB=60。，N8C￡>=45。，

ZADB=60°,則()

A.當(dāng)天10:00時(shí)，該船位于觀測(cè)點(diǎn)C北偏西15。方向

B.當(dāng)天10:00時(shí)，該船距離觀測(cè)點(diǎn)Cgkm

C.當(dāng)船行駛至8處時(shí)，該船距觀測(cè)點(diǎn)C0km

D.該船在由A行駛至B的這5min內(nèi)行駛了瓜km

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用方位角的概念判斷A,利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD.

【詳解】A選項(xiàng)中，Z/lC￡>=ZACB+ZBCD=60o+45o=105o,因?yàn)镃在力的正西方向，所以A在C的北偏

西15。方向，故A正確.

B選項(xiàng)中，在△AC。中，NAC￡）=105。，/AOC=30。，則/C4O=45。.

CDsinZADC

由正弦定理，得AC=—5/2，

sin/CW

故B正確.

C選項(xiàng)中，在ABC。中，ZBCD=45°,ZCDB=ZADC+ZADB=30°+60°=90°,即NC8￡)=45°,

貝|J8D=C￡>=2,于是BC=2&,故C不正確.

D選項(xiàng)中，在△ABC中,由余弦定理，得

即43=而km,故D正確.

故選：ABD.

12.如圖所示，一圓錐的底面半徑為人母線長(zhǎng)為/,SA為圓錐的一條母線，AB為底面圓的一條直徑，

。為底面圓的圓心，設(shè)/!=/,則（）

A.過SA的圓錐的截面中，ASAB的面積最大

B.當(dāng)4=,時(shí)，圓錐側(cè)面的展開圖的圓心角為不

2

C.當(dāng)；1時(shí)，由A點(diǎn)出發(fā)繞圓錐側(cè)面旋轉(zhuǎn)一周，又回到A點(diǎn)的細(xì)繩長(zhǎng)度最小值為6r

D.當(dāng)丸=；時(shí)，點(diǎn)C為底面圓周上一點(diǎn)，且4。=正廠，則三棱錐O—S4C的外接球的表面積為17萬，

【答案】BD

【解析】

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,利用斜三角形面積公式即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B,由于圓錐側(cè)面的展開圖為扇形，可利

用扇形圓心角公式進(jìn)行計(jì)算；對(duì)于選項(xiàng)C,由于圓錐側(cè)面的展開圖為扇形，利用兩點(diǎn)之間直線最短即可知，

由A點(diǎn)出發(fā)繞圓錐側(cè)面旋轉(zhuǎn)一周，又回到A點(diǎn)的細(xì)繩長(zhǎng)度最小值為圓錐側(cè)面的展開圖得到的扇形的圓心角

所對(duì)的弦長(zhǎng)；對(duì)于選項(xiàng)D,由三棱錐外接球的性質(zhì)可知，此外接球的直徑為外接長(zhǎng)方體的體對(duì)角線.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)點(diǎn)。是底面圓上異于點(diǎn)5的任意一點(diǎn)，則SasA8=g/2sinNASB,

SAMCsin/ASC.且ZASB>ZASC.

當(dāng)0<ZASB<90時(shí)，sinZASB>sinZASC,此時(shí)△SAB的面積最大；

當(dāng)90<NAS8<180時(shí)，若NASC=90，則sinNASB<sinNASC,此時(shí)△SAB的面積不是最大;

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

11

對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)4=—時(shí):r—=—,即/=2r.

2I2

圓錐側(cè)面的展開圖的圓心角為a=—

I2r

故選項(xiàng)B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C：如圖，由A點(diǎn)出發(fā)繞圓錐側(cè)面旋轉(zhuǎn)一周，又回到A點(diǎn)的細(xì)繩長(zhǎng)度最小值為圓錐側(cè)面的展開圖

得到的扇形的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)AA'.

1r1

當(dāng)4=—時(shí)，一=—,即/=3八

3I3

2兀r2冗丫2

圓錐側(cè)面的展開圖的圓心角為==——=——=—"，

/3r3

此時(shí)的弦長(zhǎng)為2人皿工=2?3/411工=3百r,

33

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

1y]

對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)4=—時(shí)，一=—,即/=4r.

4I4

當(dāng)=?時(shí)，ZAOC=9().

因?yàn)镾O=>JSA2-AO2=a一產(chǎn)=一產(chǎn)=后，,

所以三棱錐O-SAC的外接球的半徑為《戶十戶+(、后廠)=姮廠,

~2~^rr

則三棱錐O—S4C的外接球的表面積為4717"

故選項(xiàng)D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：幾何體內(nèi)接于球的問題，解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間

的數(shù)量關(guān)系。如長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)均在球面上，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.

三、填空題

13.在JRC中，若命題p：二=二"=三，命題q：是等邊三角形，則命題p是命題q的

條件(指充分必要性).

【答案】必要非充分

【解析】

【分析】根據(jù)正弦定理與充分條件、必要條件的概念進(jìn)行正反推理，對(duì)充分性與必要性分別加以討論，可得

由命題。不可以推出命題q成立，命題q可以推出命題。成立，可得答案.

【詳解】解：先看充分性，當(dāng)三=3=二成立時(shí)即滿足正弦定理，ABC是任意三角形，即命題q

sinAsmBsmC

不成立，故充分性不成立；

再看必要性，若一ABC是等邊三角形，則a=b=c且A=B=C=],

由此可得三=&=三成立，即命題，成立，故必要性成立.

smAsmBsmC

因此，命題〃是命題q的必要非充分條件.

故答案為：必要非充分.

14.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2=(0051-5]叫+6畝2-852)](1為虛數(shù)單位)的共軌復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第

__________象限.

【答案】三

【解析】

【分析】先由已知條件寫出Z的共軌復(fù)數(shù)，再根據(jù)它所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)來判斷所在象限即可.

[詳解】由復(fù)數(shù)Z=(cosl-sinl)+(sin2-cos2)i,(i為虛數(shù)單位)的共軌復(fù)數(shù)為：

z=(cosl—sin!)—(sin2—cos2)i,

所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為((cosl-sinl),-(sin2-cos2)),

因?yàn)楣?lt;1〈二，

42

所以sinl>cosl,所以cosl-sinl<0,

TT

因?yàn)橐?lt;2<兀，

2

所以sin2>cos2,所以一(sin2—cos2)<0,

故復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，

故答案為：三.

rrr兀rr「i?

15.已知平面內(nèi)非零向量a,"滿足<a+"a>=§,|a|=2,|a+b|=l,則卜一葉=.

【答案】V13

【解析】

分析】由已知條件可求得由1=6，2。，=-6,將卜-同平方展開代入求值即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)?lt;a+b,a>=：,|a|=2,|a+》|=l,

rri,

所以[(5+0)一』『=|A+bF+1a|2—21a+Z?|?|a|?cos=3,

所以|笳=退，

又因|。+口=1,兩邊平方得：|E『+|力|2+2=3=1,

解得2a-b=-6'

所以1一￡(=桿+山2—25.3=4+3+6=13,

所以,_可=J曰.

故答案為：y/13

16.甲烷分子式為CH「其結(jié)構(gòu)抽象成的立體幾何模型如圖所示，碳原子位于四個(gè)氫原子的正中間位置,

四個(gè)碳?xì)滏I長(zhǎng)度相等，用C表示碳原子的位置，用“|‘“2，“3，”4表示四個(gè)氫原子的位置，設(shè)

a=(CH[,CH、,則cos2a=.

7

【答案】一§

【解析】

【分析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為“，外接球半徑為r,計(jì)算/?=逅&,根據(jù)余弦定理得到cosa=-L,再

43

利用二倍角公式計(jì)算得到答案.

【詳解】根據(jù)題意知三棱錐耳-42”3at為正四面體，。為正四面體外接球球心，

延長(zhǎng)“C與平面相交于則M為△"2"3"4的中心，連接”4時(shí)，

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為。，外接球半徑為r,則〃走ax2=@a，

4233

?平面％&“4，平面”244，故“附上凡用，

則cosa=r+r~a=I--4=1--=--,cos2a=2cos2=

2r22產(chǎn)339

7

故答案為：——

9

四、解答題

17.如圖所示，在平面四邊形48C。中，AB±AD,AB=BC=2,B^n（）,AD=2y/3.

(1)求tanNACD的值:

（2）將四邊形ABC。繞著邊AO所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為。，求C的體積.

【答案】(1)tan/ACD=G

⑵2

3

【解析】

【分析】（1）由余弦定理得出AC=4O,結(jié)合三角形ABC為正三角形得出tanNACD的值；

（2）幾何體。為：上面一個(gè)圓錐，下面為一個(gè)圓臺(tái)，根據(jù)體積公式求解即可.

【小問1詳解】

連接AC，在三角形ABC中，由余弦定理知：AC=AB1+BC2-2AB-BC-cosZABC=2^>

易知/&4C=3O,ABLAD,

故ND4C=60.又AC=">,故三角形ABC為正三角形.所以tan/ACD=JL

【小問2詳解】

幾何體。為：上面一個(gè)圓錐，下面為一個(gè)圓臺(tái),

圓錐的底面的半徑為2員與3，

故C的體積為V=兀x2?+71x3?+V971X4TTjxy/3+^nx32x='

18.蕭縣的蕭窯、淮南的壽州窯和蕪湖的繁昌窯是安徽三大名窯.2015年，安徽省啟動(dòng)對(duì)蕭縣歐盤村窯址的

考古發(fā)掘，大量瓷器的出土和窯爐遺跡的揭露，將蕭窯的歷史提溯至隋代.為進(jìn)一步摸清蕭窯窯址的分布狀

況、時(shí)空框架以及文化內(nèi)涵等，經(jīng)國家文物局批準(zhǔn)，2021年3月，正式對(duì)簫縣白土寨窯址進(jìn)行主動(dòng)性考古

發(fā)掘.如圖，為該地出土的一塊三角形瓷器片，其一角已破損.為了復(fù)原該三角形瓷器片，現(xiàn)測(cè)得如下數(shù)

據(jù)：=34.64cm,AZ）=10cm,BE=14cm,A=B=m?（參考數(shù)據(jù)：取百=1.732）

（1）求三角形瓷器片另外兩邊的長(zhǎng)；

（2）求兩點(diǎn)之間的距離.

【答案】（1）兩邊的長(zhǎng)皆為20cm

（2）14cm

【解析】

【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，利用正弦定理求解；

（2）根據(jù)數(shù)據(jù)，利用余弦定理求解.

【小問1詳解】

解：如圖，

延長(zhǎng)交于點(diǎn)C,

TT27r

因?yàn)锳=8=±,所以C=上，

63

認(rèn)ACBCAB

sinBsinAsinC

即另外兩邊的長(zhǎng)皆為20cm；

【小問2詳解】

27r

由題意得CD=20-10=10,CE=20-14=6,C=—,

3

故OE=VCD2+CE2-2CD-CEcosC=7136+60=V196=14（cm）,

故兩點(diǎn)之間距離為14cm.

19.平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=（2,2）1=（〃+l,4）,c=（A,3）,且（a+2c）〃伍—a）.

（1）求實(shí)數(shù)A關(guān)于〃的表達(dá)式；

（2）如圖，在一ABC中，G為中線AM的中點(diǎn)，過點(diǎn)G的直線與邊分別交于點(diǎn)P,Q（P,Q不

與A重合）.設(shè)向量4尸=（攵+3）4仇4。=加4（7,求2加+〃的最小值.

【答案】（1）Z=2〃—3

9

2X

I-

Z8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別表示出a+2c和〃_“，利用平行的坐標(biāo)表示可得答案；

1111

（2）利用向量運(yùn)算得到AG=—AP+——AQ,結(jié)合三點(diǎn)共線得到一+—=1,再結(jié)合基本不等式可求

8〃4m8〃4m

答案.

【小問1詳解】

因?yàn)閍+2c=（2+2攵,8）,匕一“-1,2）,（a+2c）//{b-aj,

所以2（2+2攵）=8（〃-1）,即左=2〃一3.

【小問2詳解】

由⑴可知，AP=（k+3）AB^2nAB,AQ=mAC,由題意可知6,〃>0.

因?yàn)锳G=LAM=LAB+」AC,AB=—AP,AC=—AQ,

2442nm

-1.1

所以AG=—AP+——AQ；

8〃4m

因?yàn)镻,G,Q三點(diǎn)共線，所以=1.

8〃4m

1rz腎5\9

〃-

->-2一+---

42-8

<m7

3

當(dāng)且僅當(dāng)m="=一時(shí)，取等號(hào)，

8

4-8-9

即AB^-AP,AC^-AQ時(shí)，2機(jī)+〃取最小值-.

338

20.在斜三角形A8C中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足

asinA+4加inCcos2A=bsinB+csinC.

（1）求角A的大??；

（2）若a=2,且3c上的中線A￡>長(zhǎng)為百，求斜三角形ABC的面積.

【答案】（1）A=/

⑵上

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理將已知式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用余弦定理即可求出角A的大?。?/p>

（2）根據(jù)為A。為BC上的中線得AQ=g（A8+AC）,結(jié)合余弦定理求出權(quán)'=4,進(jìn)而求出面積.

【小問1詳解】

因?yàn)椤╯irL4+4/?sinGcos2A=Z?sin3+csinC，

所以由正弦定理可得：a2-i-4hccos2A=h2+c2,

即4/7CCOS2A=h2+c2-a2^

所以2cos~A=----------=cosA，

2hc

711

又Aw—,所以cosA.——,

22

所以A=,

【小問2詳解】

因?yàn)锳O為8c上的中線，所以AO=g（A8+4C）,

21/\2

即AZ）=-^AB+ACj,

所以4仞2=

B|J12=c2+2bccosA+b2>

所以12=〃+%+。2①，

由余弦定理可得：a2-b2+c2-2Z?ccosA>

所以4=〃+c2—A②

①-②得：be=4,

所以SABc=g"csinA=6.

21.（1）證明：平行四邊形的四邊平方和等于對(duì)角線的平方和；

（2）在平行四邊形A8CO中，若AC?+3。2=20,求一ABC面積的最大值.

【答案】（1）證明見解析；（2）-

2

【解析】

【分析】（1）由平面向量的四則運(yùn)算即可證明；

（2）利用（1）中結(jié)論，并根據(jù)基本不等式和三角形面積公式計(jì)算可得.

【詳解】（1）證明：由向量的加法和減法運(yùn)算得：AC=AB+AD，BD=AD-AB'

所以有：AC+BD=（AB+AD）2+（A￡）-A5）2=2AB+AD

即2（/32+4。2）=4。2+3。2,故平行四邊形的四邊平方和等于對(duì)角線的平方和.

（2）由⑴的結(jié)論知：2（AB2+AD2）=AC2+BD2,由己知有：AC2+BD2=20,

所以+A02=8。-=]0,故由基本不等式有，

2

ABBC=ABAD<AB+AD=—=5,當(dāng)且僅當(dāng)A8=A￡>=逐時(shí)，取等號(hào)，

22

所以SABC='A6-.sin/ABC<^\AB