山東省威海市2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九年級上冊期末調(diào)研試題含解析

山東省威海市2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九上期末調(diào)研試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖，銳角BC的高。和〃E相交于點(diǎn)0,圖中與aODB相似的三角形有（）

B.2個

C.3個

D.4個

2.如圖，菱形ABCD與等邊AAEF的邊長相等，且E、F分別在BC、CD,則NBAD的度數(shù)是（）

C.100°D.120°

3.已知二次函數(shù)y=aχ2+bx+c的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①a+b+cVO；②a-b+c>l;③abc>O;?4a-2b+c<0;

⑤c-a>l,其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①?④C.①②③⑤D.①②③④⑤

4.如圖，四邊形ABCD中，ZA=90o,AB=12,AD=5,點(diǎn)M、N分別為線段BC、AB上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)

M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E、F分別為DM、MN的中點(diǎn)，則EF長度的可能為（）

D

A.2B.5C.7D.9

5.已知AABC與尸相似且對應(yīng)周長的比為4：9,則AABC與尸的面積比為

A.2：3B.16：81

C.9：4D.4：9

6.下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）

2

7.如圖，直線y=2x與雙曲線y=一在第一象限的交點(diǎn)為A,過點(diǎn)A作AB_Lx軸于B,將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90。,

X

得到△A,B,O,則點(diǎn)A，的坐標(biāo)為（）

B.(1.0)或(-1.0)

C.（2.0）或（0,-2）D.（-2.1）或（2,-1）

8.如圖，反比例函數(shù)y=巴的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象相交于點(diǎn)A,B,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為G2,1）,點(diǎn)B的

X

縱坐標(biāo)為2根據(jù)圖象信息可得關(guān)于X的方程巴=kx+b的解為（）

A.-2,1B.1,1C.-2,-2D.無法確定

3

9.若點(diǎn)（X］，y1）,（X2,y2）,（X3,y3）都在反比例函數(shù)y=±的圖象上，并且x∣<O<x2<x3,則下列各式中正確的是

X

（）

A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y2<y3<y1D.y1<y3<y2

10.關(guān)于X的一元二次方程χ2-2X+k=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

11.下表是二次函數(shù)y=ατ2+∕7χ+c?的X,），的部分對應(yīng)值：

?2_35

X???012???

~2222

_7_7

y???-1m-1n???

4^4^4

則對于該函數(shù)的性質(zhì)的判斷：

①該二次函數(shù)有最小值；

②不等式y(tǒng)〉；的解集是工<一；或χ>g

313

③方程Cix2+bx+c=--的實(shí)數(shù)根分別位于0<x<—和二<x<2之間；

222

④當(dāng)X>0時，函數(shù)值隨X的增大而增大；

其中正確的是：

A.①②③B.@@C.①②D.①③④

12.二次函數(shù)/=/+/m+1的圖象的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則,"的值（）

A.0B.2C.±2D.0或±2

二、填空題（每題4分，共24分）

13.當(dāng)—2≤x≤l時，二次函數(shù)y=-（X-M2+/+1有最大值4,則實(shí)數(shù)團(tuán)的值為.

14.已知二次函數(shù)y=ox?+Zu+c的圖象如圖所示，則下列四個代數(shù)式：?abc,?9a-3b+c,?b2-4ac；?2a+b

中，其值小于0的有（填序號）.

15.如圖，一段拋物線y=-x(x-J)(0≤x≤∕)記為叫，它與X軸的交點(diǎn)為。，4,頂點(diǎn)為<；將肛繞點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)

180。得到牡，交X軸于點(diǎn)為4,頂點(diǎn)為8；將"?2繞點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)180。得到m3，交X軸于點(diǎn)為4,頂點(diǎn)為A；

16.計算S加45。的值等于

17.如圖，量角器外沿上有A、B兩點(diǎn)，它們的讀數(shù)分別是75。、45。，則Nl的度數(shù)為，

18.如圖，C、D是AB為直徑的半圓O上的點(diǎn)，若NBAD=50。，則NBCD=

三、解答題(共78分)

19.(8分)已知拋物線Ci：??=α(x-Λ)2+2,直線1：yι=kx-kh+2(?≠0).

(1)求證：直線/恒過拋物線C的頂點(diǎn)；

(2)若α>0,A=I,當(dāng)f≤x≤f+3時，二次函數(shù)yι=α(x→)Z+2的最小值為2,求f的取值范圍.

(3)點(diǎn)尸為拋物線的頂點(diǎn)，。為拋物線與直線/的另一個交點(diǎn)，當(dāng)1WA≤3時，若線段尸。(不含端點(diǎn)尸，Q)上至少

存在一個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，求α的取值范圍.

20.(8分)《莊子?天下》：“一尺之梗，日取其半，萬世不竭.”意思是說：一尺長的木棍，每天截掉一半，永遠(yuǎn)也截不

完.我國智慧的古代人在兩千多年前就有了數(shù)學(xué)極限思想，今天我們運(yùn)用此數(shù)學(xué)思想研究下列問題.

(規(guī)律探索)

(1)如圖1所示的是邊長為1的正方形，將它剪掉一半，則SBiiiH=I-

如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，將陰影部分再裁剪掉一半，則S用彭2=1—T-(T)2=；

同種操作，如圖3,S≡3=1-?--(^-)2-(?-)3=；

24

如圖4,S≡4=1-?-(^-)-(?)?-(?)=;

……若同種地操作n次，則S≡∏=1-?-(?)2—(?)?-,,,-(?)"=.

于是歸納得到：?+(?)2+(?)3+...+(?)n=.

(理論推導(dǎo))

(2)閱讀材料：求1+2+22+23料4+...+22。15+22。16的值.

解：設(shè)S=l+2+22+23+24+…+22°i5+22°i6,①

將①x2得：2S=2+2?23+24+...+220,6+22017,②

由②-①得：2S—S=220'7-1,即=22。，1.

gp1+2+22+23+24+...+220IS+220'6=220I7-1

根據(jù)上述材料，試求出;+(J尸+(；V+…+(；/的表達(dá)式，寫出推導(dǎo)過程.

(規(guī)律應(yīng)用)

(3)比較L+??+二+……1(填“>”、“<”或“=”)

22223----------------

21.(8分)如圖，在△△BC中，AB=AC,點(diǎn)。為5C的中點(diǎn)，經(jīng)過AO兩點(diǎn)的圓分別與AZLAC交于點(diǎn)E、F,連接

DE,DF.

(1)求證：DE=DF;

(2)求證：以線段8E+CF,BD,Z)C為邊圍成的三角形與aABC相似,

22.(10分)小王、小張和小梅打算各自隨機(jī)選擇本周六的上午或下午去高郵湖的湖上花海去踏青郊游.

(1)小王和小張都在本周六上午去踏青郊游的概率為;

(2)求他們?nèi)嗽谕粋€半天去踏青郊游的概率.

23.(10分)在平面直角坐標(biāo)系XO)，中，對“隔離直線”給出如下定義：點(diǎn)P(x,m)是圖形Gl上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q(X,〃)

是圖形G2上的任意一點(diǎn),若存在直線/：y=H+"左≠0)滿足利≤乙且〃N6+0,則稱直線/：y^kx+b(k≠Q(mào))

4

是圖形Gl與G2的“隔離直線”，如圖1,直線/：y=-X—2是函數(shù)y=—(x<0)的圖像與正方形。鉆C的一條“隔離

X

直線

4

(1)在直線①M(fèi)=-②%=3x+l,③%=-x+4,④M=-2x中，是圖1函數(shù)y=-(x<O)的圖像與正方

X

形OABC的“隔離直線”的為.

(2)如圖2,第一象限的等腰直角三角形￡￡方的兩腰分別與坐標(biāo)軸平行，直角頂點(diǎn)。的坐標(biāo)是(2,1),ΘO的半徑

為石，是否存在ΔEDE與。。的“隔離直線”？若存在，求出此“隔離直線”的表達(dá)式：若不存在，請說明理由；

(3)正方形44GA的一邊在y軸上，其它三邊都在y軸的左側(cè)，點(diǎn)〃(-LD是此正方形的中心，若存在直線

y=-2x+A是函數(shù)y=f+2χ-3(T≤x<0)的圖像與正方形4用0。的“隔離直線”，請直接寫出f的取值范圍.

24.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=—耳尤+4分別交X軸、y軸于點(diǎn)B,C,正方形AoCD的頂點(diǎn)D

在第二象限內(nèi)，E是BC中點(diǎn)，OFjLDE于點(diǎn)F,連結(jié)OE,動點(diǎn)P在AO上從點(diǎn)A向終點(diǎn)O勻速運(yùn)動，同時，動點(diǎn)Q

在直線BC上從某點(diǎn)Ql向終點(diǎn)Q2勻速運(yùn)動，它們同時到達(dá)終點(diǎn).

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和OE的長；

fl1

(2)設(shè)點(diǎn)Q2為(m,n),當(dāng)一=-tanNEOF時，求點(diǎn)Qz的坐標(biāo)；

m7

(3)根據(jù)(2)的條件，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AO中點(diǎn)時，點(diǎn)Q恰好與點(diǎn)C重合.

①延長AD交直線BC于點(diǎn)Q3,當(dāng)點(diǎn)Q在線段Q2Q3上時，設(shè)Q3Q=S,AP=t,求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式.

②當(dāng)PQ與aOEF的一邊平行時，求所有滿足條件的AP的長.

25.(12分)2013年，東營市某樓盤以每平方米6500元的均價對外銷售.因?yàn)闃潜P滯銷，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金

周轉(zhuǎn)，決定進(jìn)行降價促銷，經(jīng)過連續(xù)兩年下調(diào)后，2015年的均價為每平方米5265元.

(1)求平均每年下調(diào)的百分率；

(2)假設(shè)2016年的均價仍然下調(diào)相同的百分率，張強(qiáng)準(zhǔn)備購買一套1()0平方米的住房，他持有現(xiàn)金20萬元，可以在

銀行貸款30萬元，張強(qiáng)的愿望能否實(shí)現(xiàn)？(房價每平方米按照均價計算)

26.如圖，反比例函數(shù)y=勺(x>0)與直線A5：y='x-2交于點(diǎn)C(2G+2,M,點(diǎn)尸是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，

X2

過點(diǎn)尸作X軸的垂線交直線AB于點(diǎn)0,連接。尸，OQ.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上運(yùn)動，且點(diǎn)P在0的上方，當(dāng)APOQ面積最大時，求尸點(diǎn)坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、C

【解析】試題解析：'：ZBDO=ZBEA=90o,NDBo=NEBA,

：.ABDOsABEA,

'：ZBOD=ZCOE,NBOo=NCEO=90。，

：ABDOSACEO,

VZCEO=ZCDA=90o,NECo=NDCA,

：.4CE0sACDA,

：.△BDOS△BEAS△CEOS?CDA.

故選C.

2、C

【解析】試題分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)推出NB=ND,AD/7BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NDAB+NB=18(Γ,根據(jù)等邊三

角形的性質(zhì)得出NAEF=NAFE=60。，AF=AD,根據(jù)等邊對等角得出NB=NAEB,ND=NAFD,設(shè)NBAE=NFAD=x,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出方程x+2(180o-60o-2x)=180°,求出方程的解即可求出答案.

解：：四邊形ABCD是菱形，

二NB=ND,AD〃BC,

ΛZDAB+ZB=180o,

TaAEF是等邊三角形，AE=AB,

ΛZAEF=ZAFE=60o,AF=AD,

.,.ZB=ZAEB,ZD=ZAFD,

由三角形的內(nèi)角和定理得：NBAE=NFAD,

設(shè)NBAE=NFAD=x,

貝!JND=NAFD=18O°-ZEAF-(NBAE+NFAD)=180o-60°-2x,

VZFAD+ZD+ZAFD=180o,

Λx+2(180o-60°-2x)=180°,

解得：x=20o,

ΛZBAD=2×20o+60o=100o,

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

3,C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析可得解.

【詳解】解：由函數(shù)圖象可得各系數(shù)的關(guān)系：a<0,b<0,c>0,

則①當(dāng)x=l時，y=a+b+c<O,正確；

②當(dāng)X=-I時，y=a-b+c>L正確；

③abc>(),正確；

④對稱軸x=-l,則x=-2和x=0時取值相同，則4a-2b+c=l>0,錯誤；

⑤對稱軸x=-2=-l,b=2a,又X=-I時，y=a-b+c>l,代入b=2a,則c-a>I,正確.

2a

故所有正確結(jié)論的序號是①②③⑤.

故選C

4、B

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=!DN,從而可知DN最大時，EF最大，因?yàn)镹與B重合時DN最大，N

與A重合時，DN最小，從而求得EF的最大值為L3,最小值是2.3,可解答.

【詳解】解：連接DN,

VED=EM,MF=FN,

1

ΛEF=-DN,

2

.?.DN最大時，EF最大，DN最小時，EF最小,

TN與B重合時DN最大，

此時DN=DB=√ΛD2+BD2=√52+122=13,

.?.EF的最大值為1.3.

VZA=90o,AD=3,

ΛDN≥3,

ΛEF≥2.3,

/.EF長度的可能為3；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.

5,B

【解析】直接根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比，面積比等于相似比的平方解答.

【詳解】解：TaABC與aDEF相似且對應(yīng)周長的比為4：9,

Λ?ABC與ADEF的相似比為4:9,

二?ABC-??DEF的面積比為16:81.

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

6、D

【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義即可得解.

【詳解】A、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，此項(xiàng)錯誤

B、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，此項(xiàng)錯誤

C、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，此項(xiàng)錯誤

D、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，此項(xiàng)正確

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心

對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

7、D

y=2x

【解析】試題分析：聯(lián)立直線與反比例解析式得：［2，

y=一

X

消去y得到：X2=I,解得：X=I或T..?.y=2或-2.

ΛA(1,2),即AB=2,OB=I,

根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，分順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)兩種情況：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得AB=A"B"=AB=2,OBr=OBrr=OB=I,

根據(jù)圖形得：點(diǎn)A，的坐標(biāo)為(-2,1)或(2,-1).

故選D.

8、A

【分析】所求方程的解即為兩個交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)，由于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)已知，故只需求出點(diǎn)8的橫坐標(biāo)即可，亦即

求出反比例函數(shù)的解析式即可，由于點(diǎn)A坐標(biāo)已知，故反比例函數(shù)的解析式可求，問題得解.

【詳解】解：把點(diǎn)A(-1,D代入y='，得，"=-1,

X

2

???反比例函數(shù)的解析式是y=-一，

X

當(dāng)y=-1時，X=I9

的坐標(biāo)是(L-1),

f∏

；?方程—=航+力的解是Xl=LXi=-1.

X

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了求直線與雙曲線的交點(diǎn)和待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，屬于常考題型，明確兩個函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

是對應(yīng)方程的解是關(guān)鍵.

9、D

【分析】由題意先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在象限，再根據(jù)題意即可得出結(jié)論.

3

【詳解】解：???反比例函數(shù)y=±中k=3>o,

X

.?.函數(shù)圖象的兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨X的增大而減?。?/p>

Vxi<0<X2<X3t

?,.yι<y3<y2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

10、A

【分析】關(guān)于X的一元二次方程χ2+2x+k=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，可知其判別式為0,據(jù)此列出關(guān)于k的不等式，解

答即可.

【詳解】根據(jù)一元二次方程根與判別式的關(guān)系，要使得X2-2X+k=0有兩個相等實(shí)根，只需要A=(-2)2-4k=0,解得k=l.

故本題正確答案為A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程aχz+bx+c=θ(a≠θ)的根的判別式4=b2-4ac:當(dāng)△>(),方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=(),

方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<(),方程沒有實(shí)數(shù)根.

11、A

【分析】由表知x=()和x=2,y的值相等可以得出該二次函數(shù)的對稱軸X=1、二次函數(shù)的增減性、從而判定出?>0

以及函數(shù)的最值情況，再結(jié)合這些圖像性質(zhì)對不等式的解集和方程解的范圍進(jìn)行判斷即可得出答案.

1737

【詳解】解：T當(dāng)X=O時，y=-1；當(dāng)x=2時，丁=-1；當(dāng)x=—時，y=—；當(dāng)x=一時，y=—

2424

二二次函數(shù)y=ɑχ2+?x+c的對稱軸為直線：X=I

.?.結(jié)合表格數(shù)據(jù)有：當(dāng)x>ι時，y隨X的增大而增大；當(dāng)x<ι時，y隨X的增大而減小

.?.α>0,即二次函數(shù)有最小值；

.?.①正確，④錯誤；

?.?由表格可知，不等式丁>」的解集是1<-,或工>2

422

二②正確；

313

V由表格可知，方程0√+"+c=-=的實(shí)數(shù)根分別位于0<χ<—和7<χ<2之間

222

.?.③正確.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)如：由對稱性來求出對稱軸、由增減性來判斷〃的正負(fù)以及最值情況、利用圖像特征來

判斷不等式的解集或方程解的范圍等.

12、D

【解析】試題解析：當(dāng)圖象的頂點(diǎn)在X軸上時，

Y二次函數(shù)y=/+如+1的圖象的頂點(diǎn)在X軸上，

.?.二次函數(shù)的解析式為：y=(x±l>,

：?m=±2.

當(dāng)圖象的頂點(diǎn)在y軸上時，，"=0,

故選D.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、2或-G

【分析】求出二次函數(shù)對稱軸為直線x=m,再分m<-2,-2≤m≤l,m>l三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的增減性列方程求

解即可.

【詳解】解：二次函數(shù)y=-(X-根-+加2+1的對稱軸為直線χ=nι,且開口向下，

①m<-2時，x=-2取得最大值，-(-2-m)2+m2+l=4,

7

解得m=一一,

4

7C

?,?一一>-2,

4

???不符合題意，

②-2≤m≤l時，x=m取得最大值，m2+l=4,

解得m-+y∕3>

所以M=—百，

③m>l時，X=I取得最大值，-(l-m)2+m2+l=4,

解得m=2,

綜上所述，m=2或-百時，二次函數(shù)有最大值.

故答案為：2或-6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的最值，熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象能分類討論是解題的關(guān)鍵.

14、@@

【分析】①根據(jù)函數(shù)圖象可得a、b、C的正負(fù)性，即可判斷；②令乂=-3,即可判斷；③令y=0,方程有兩個不相

等的實(shí)數(shù)根即可判斷〃-4αc>0;④根據(jù)對稱軸大于0小于1即可判斷.

【詳解】①由函數(shù)圖象可得。<0、c<0

,?對稱軸---->0

2。

.e.Z?>0

：?ahc>0

②令l=一3,則y=9。-3〃+CVo

③令y=。，由圖像可知方程OY2+?X+C=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

:?Δ=Z?2—4ac>0

④???對稱軸一2<ι

2a

.?.2a+b<0

.?.綜上所述，值小于。的有②④.

【點(diǎn)睛】

本題考察二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，充分利用圖象獲取解題的關(guān)鍵信息是關(guān)鍵.

15、(9.5,-0.25)

【詳解】由拋物線.y=-x(x-1)(O≤xκ∕)可求0(0,0)，4(1,0)，6(0.5,0.25)；又拋物線〃?某是依次繞A系列點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)18()。，根據(jù)中心對稱的特征得：?(2,0),A3(3,0),A4(4,0),---,/^(1.5,-0.25),P3(2.5,0.25),P4(3.5,-0.25),.

根據(jù)以上可知拋物線頂點(diǎn)月的規(guī)律為月,[〃-05(-l)"x(T)?25)]"≥1的整數(shù))；根據(jù)規(guī)律可計算4點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

10-0.5=9.5,兒點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(—I)"X(-0.25)=—0.25.

頂點(diǎn)6o的坐標(biāo)為(9?5,-0.25)

故答案為：(95-0.25)

【點(diǎn)睛】

本題主要是以二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)為基礎(chǔ)，再根據(jù)軸對稱和中心對稱找頂點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律.關(guān)鍵是拋物線頂點(diǎn)到坐標(biāo)

軸的距離的變化，再根據(jù)規(guī)律計算.

IAO

1V>--

2

【分析】根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值求解.

【詳解】解：sinA5o=-,

2

故答案為：叵.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查特殊銳角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟記特殊銳角的三角函數(shù)值.

17、15°

【分析】根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系解答即可.

【詳解】解：由圖可知，NAoB=75。-45。=30。，

根據(jù)同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半可知，

11

Zl=-ZAOB=-×30o=15o.

22

故答案為15°

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

18、130°

【分析】根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出N3AO+NBCO=180°,代入求出即可.

【詳解】TC,。是AB為直徑的半圓。上的點(diǎn)，

ΛZBAD+ZBCD=ISQo.

VZBAD=SO0,

ΛZBCD=IiQo.

故答案為：130°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，能根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出NA4O+N5CZ)=I8()。是解答本題的

關(guān)鍵.

三、解答題(共78分)

19、(1)證明見解析；(2)-2≤Z≤1;(3)-IVaVo或O<αVl.

【解析】(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將*=〃代入一次函數(shù)解析式中可得出點(diǎn)(心2)在直線1上，

進(jìn)而可證出直線/恒過拋物線Ci的頂點(diǎn)；

⑵由a>0可得出當(dāng)x=h=l時jι=α(x-h)2+2取得最小值2,結(jié)合當(dāng)Z≤x≤Z+3時二次函數(shù)yι=0(x-?)2+2的最小值

為2,可得出關(guān)于，的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論；

(3)令山=及可得出關(guān)于X的一元二次方程，解之可求出點(diǎn)P,。的橫坐標(biāo)，由線段尸。(不含端點(diǎn)P,。)上至少存在一

個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，可得出七>1或&V-1,再結(jié)合1WAW3,即可求出”的取值范圍.

aa

【詳解】(I)；拋物線G的解析式為山=α(x-Λ)2+2,

二拋物線的頂點(diǎn)為(/2,2),

當(dāng)X=〃時，y>2=kx-kh+2=2,

.?.直線/恒過拋物線G的頂點(diǎn)；

(2)V0>0,Λ=l,

二當(dāng)X=I時，yι=0(xf產(chǎn)+2取得最小值2,

又：當(dāng)t<x≤f+3時，二次函數(shù)山=α(x-h)2+2的最小值為2,

ò1

[r+3≥l

二-2<f<l;

(3)令yι='2,則a(x-h)2+2=k(x-h)+2,

∣i

解得：xι=h,X2=h+-

at

線段尸。(不含端點(diǎn)P,Q)上至少存在一個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，

kJ

二一〉1或一V-1,

aa

?.,?>0,

.?.O<αVA或-Yae0,

又?.T≤ft≤3,

二-IVaVO或OVaVL

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程以及解不等式，解題

的關(guān)鍵是：(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，證出直線/恒過拋物線C的頂點(diǎn)；(2)利用二次函

數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的最值，找出關(guān)于，的一元一次不等式組；(3)令以=以，求出點(diǎn)P,。的橫坐標(biāo).

20、(1)?;?;?;(?)";1-(?)"；(2)?+(^-)2+(^-)3+...+(→n=I-(L)",推導(dǎo)過程見解析；⑶=

48162222222

【分析】(D根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算計算前幾項(xiàng)結(jié)果，并觀察得出規(guī)律即可得解

(2)根據(jù)材料中的計算求和的方法即可求解；

(3)根據(jù)(2)的化簡結(jié)果，結(jié)合極限思想即可比較大小.

【詳解】解：(1)S睡2=1-[-(1)2=1《=5=§)2,

C11,1,I1l4

S=l—-——)(-)(—)d=TT=z(Tλ)，

wκ4ZZZ2162

I1,I11

231nn

S≡n=l---(-)-(-)-...-(-)=(-),

于是歸納得到：；+(；)2+(I)3+...+(∣)n=ι√∣)n

故答案為：(/)2；(/F；(])4；(y)n；1-(?)"

(2)解：設(shè)S=?^+(y)2+(y)3+...+(∣)n,①

將①x；得：；S=(；)2+(：)3+；)4…+(；)”(；嚴(yán)，②

①一②得：?s=?-(?r*,③

222

將③χ2得：s?i-(?r

即得5+(,戶+(萬)3+…+(萬尸=ι√-)n

(3)=,理由如下：

...；+?+2+……=I-(J)L當(dāng)n越來越大時，(J)n越來越小，越來越接近零，由極限的思想可知：當(dāng)n趨于

無窮時，(g)n就等于0,故1-(；/就等于1,

故答案為：=

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運(yùn)算，解決的本題的關(guān)鍵是尋找規(guī)律并利用規(guī)律.

21、(1)詳見解析；(2)詳見解析

【分析】(1)連接AO,證明NBAO=NCAo即可得出OE=0/，則結(jié)論得出；

(2)在AE上截取EG=CF,連接OG,證明AGEO絲△(?尸O,得出DG=CZ),NEGD=NC,則可得出結(jié)論

△DBGS4ABC.

【詳解】(1)證明：連接40,

BD

AB=AC9BD=DC9

：.ZBAD=ZCAD9

:?DE=DF，

：.DE=DF.

(2)證明：在AE上截取EG=C凡連接。G,

???四邊形AEZm內(nèi)接于圓,

：,/DFC=NDEG,

9

：DE=DF,

:.AGED義ACFD(SAS),

：.DG=CDiZEGD=ZC9

*：AB=AC9

：.ZB=ZC9

：?ADBGSAABC,

即以線段5E+CF,BD,。。為邊圍成的三角形與AAbC相似.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的綜合問題，熟練掌握圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)與相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

22>(1)—；(2)一.

44

【解析】(少根據(jù)題意，畫樹狀圖列出三人隨機(jī)選擇上午或下午去踏青游玩的所有等可能結(jié)果，找到小王和小張都在

本周六上午去游玩的結(jié)果，根據(jù)概率公式計算可得；

(2)由(I)中樹狀圖，找到三人在同一個半天去游玩的結(jié)果，根據(jù)概率公式計算可得.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意，畫樹狀圖如圖，

開始

小王上T

<1海上下上下上下上下

由樹狀圖知，小王和小張出去所選擇的時間段有4種等可能結(jié)果，其中都在本周六上午去踏青郊游的只有1種結(jié)果，

所以都在本周六上午去踏青郊游的概率為L,

4

故答案為《；

(2；由樹狀圖可知，三人隨機(jī)選擇本周日的上午或下午去踏青郊游共有8種等可能結(jié)果，

其中他們?nèi)嗽谕粋€半天去踏青郊游的結(jié)果有(上，上，上)、(下，下，下)2種，

2I

他們?nèi)嗽谕粋€半天去踏青郊游的概率為-=

84

本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率?注意列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事

件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率?注意列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事

件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.

23、(1)0@;(2)y=-2x+5；(3)f22或∕≤-8

【分析】⑴根據(jù)的“隔離直線”的定義即可解決問題；

(2)存在，連接8,求得左與OD垂直且過。的直接就是“隔離直線”，據(jù)此即可求解；

(3)分兩種情形正方形在X軸上方以及在X軸下方時，分別求出正方形的一個頂點(diǎn)在直線y=-2x+8上時的t的值即可

解決問題.

4

【詳解】⑴根據(jù)的“隔離直線”的定義可知％=-2工，是圖1函數(shù)y=—(x<0)的圖象與正方形OABC的“隔離直

X

4

線”；直線乂=-X-1也是圖1函數(shù)y=—。<0)的圖象與正方形OABC的“隔離直線”；而%=3x+1與%=一冗+4

X

4

不滿足圖1函數(shù)y=—(X<0)的圖象與正方形OABC的“隔離直線”的條件；

X

故答案為：①④：

(2)存在,

理由如下：

連接8,過點(diǎn)。作。GJ_x軸于點(diǎn)G,如圖,

在RtZ?DGO中，OD=1DG?+OG?=Ms=也,

???。O的半徑為石，

點(diǎn)D在OO上.

過點(diǎn)D作DHLOD交y軸于點(diǎn)H,

.?.直線DH是。O的切線，也是AEDF與。。的“隔離直線”.

設(shè)直線OD的解析式為N=Ax,

將點(diǎn)D(2,1)的坐標(biāo)代入得1=2%,

解得：k=-,

2

?.DH±OD,

：.設(shè)直線DH的解析式為y=-2x+n,

將點(diǎn)D(2,1)的坐標(biāo)代入得1=—2x2+”,

解得：n-5,

：.直線DH的解析式為y=-2x+5,

.?.“隔離直線”的表達(dá)式為,y=-2x+5;

(3)如圖:

由題意點(diǎn)F的坐標(biāo)為(Y,5),

當(dāng)直線y=-2x+8經(jīng)過點(diǎn)F時，5=-2χ(T)+Z?,

b--3>

二直線y=-2x-3,即圖中直線EF,

I正方形AIBIClDl的中心M(l,t),

過點(diǎn)叫作MGLy軸于點(diǎn)G,

?.?點(diǎn)是正方形的中心，且MQ=I,

.".BiCi=2Λ∕lG=2,B1G=1,

.?.正方形AIBlClDl的邊長為2,

當(dāng)X=—2時，y=-2x-3=-2×(-2)-3=1,

.?.點(diǎn)G的坐標(biāo)是(—2,1),此時直線EF是函數(shù)y=f+2χ-3(-4≤x≤0)的圖象與正方形AJJlGDl的“隔離直線”，

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)是(-1,2),

此時f=2；

當(dāng)直線y=-2x+8與y=d+2χ-3只有一個交點(diǎn)時，

y=-2x+?

?，消去y得到Y(jié)+4x—3—〃=0,

y=x~÷o2x-3

由二=0,可得42—4(一3—8)=0,

解得：/?=—7>

同理，此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(1,-8),

?*?t——8,

根據(jù)圖象可知：

當(dāng)?shù)?或f≤-8時，直線y=-2x+A是函數(shù)y=f+2χ-3(0≤x≤4)的圖象與正方形AIBlGDI的“隔離直線”.

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、二元二次方程組.一元二次方程

的根的判別式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題.

24、(1)(8,0),OE=2√5;(2)(6,1)；(3)φ5=-√5∕-√5,②AP的長為版或處.

2519

【分析】(I)令y=o,可得B的坐標(biāo)，利用勾股定理可得BC的長，即可得到OE;

(2)如圖，作輔助線，證明ACDNSAMEN,得CN=MN=1,計算EN的長，根據(jù)面積法可得OF的長，利用勾股

n11

定理得OF的長，由一=-tanNEO/和〃=——m+4,可得結(jié)論；

m72

(3)①先設(shè)S關(guān)于t成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)s=kt+b,根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AO中點(diǎn)時，點(diǎn)Q恰好與點(diǎn)C重合，得t=2

時，CD=4,DQ3=2,S=2√5)根據(jù)Q3(-4,6),Q2(6,1),可得t=4時，s=5λ∕^,利用待定系數(shù)法可得S關(guān)

于t的函數(shù)表達(dá)式；

②分三種情況：

∕cr>“ABBH2r∑

當(dāng)時，根據(jù),表示的長，根據(jù)列方程可得的值；

(i)PQ〃OECOSNQB"=M7=G7Γ=E√5BHAB=I2,t

HQs?

113

(ii)當(dāng)PQ〃OF時，根據(jù)tanNHPQ=tan∕CDN=-,列方程為2t-2=—(7-—t),可得t的值.

442

(Hi)由圖形可知PQ不可能與EF平行.

【詳解】解：(1)令y=0,則一gx+4=0,

??X=S9

.?.3為（8,0）.

?.?C為（0,4）,

在RtBoC中，BC=√82+42=4√5?

又；E為BC中低，：.OE=LBC=2小.

2

(2)如圖，作EM_LoC于點(diǎn)M,則EM〃Cr>,

：.CDNSMEN,

.CNCDl

"'~MN~~EM~'

：.CN=MN=1,

:?EN=y∣]2+42=√17?

VENOF=ON?EM,

14/—

由勾股定理得族=一√FΛ

17

7

ΛtanZ.E0F=—,

6

“171

—=-X-=-?

加766

1

?：n=——771+4Zl,

2

:?m=6,/1=1,

?02為(6,

??.s關(guān)于/成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)S=K+。,

t=2r=42k+b=2非k=>#I

將Γ和＜代入得＜解得2

5=2√55=5√54k+b=5非

3

?*?s=—?/?r—y[s.

2

②（i）當(dāng)PQ〃OE時，（如圖），ZQPB=ZEOB=ZOBE9

作