2024中考數(shù)學(xué)幾何模型12講第5講角含半角模型含解析

2024中考數(shù)學(xué)幾何模型12講第5講角含半角模型含解析中考數(shù)學(xué)幾何模型5：角含半角模型st模型1：截長補(bǔ)短模型模型2：共頂點(diǎn)模型模型3：對角互補(bǔ)模型模型:4：中點(diǎn)模型模型5：角含半角模型模型6：弦圖模型模型7：軸對稱最值模型模型8：費(fèi)馬點(diǎn)最值模型模型9：隱圓模型模型10：胡不歸最值模型模型11：阿氏圓最值模型模型12：主從聯(lián)動(dòng)模型名師點(diǎn)睛撥開云霧開門見山角含半角模型，顧名思義即一個(gè)角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法和翻折目標(biāo)三角形法。類型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D，E在BC上，且∠DAE=45°，則：BD2+CE2=DE2.圖示（1）作法1：將△ABD旋轉(zhuǎn)90°作法2：分別翻折△ABD,△ACE（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在BC延長線上，且∠DAE=45°，則：BD2+CE2=DE2.圖示（2）（3）如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時(shí)，亦可以進(jìn)行兩種方法的操作處理..任意等腰三角形類型二：正方形中角含半角模型（1）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，連接EF，過點(diǎn)A作AG⊥于EF于點(diǎn)G，則：EF=BE+DF，AG=AD.圖示（1）作法：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（2）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CB，DC的延長線上，∠EAF=45°，連接EF，則：EF=DF-BE.圖示（2）作法：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（3）如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對角互補(bǔ)的四邊形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，則：EF=BE+DF.圖示（3）作法：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAD的大小典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)例題1.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，則CF的長為．變式練習(xí)>>>1．如圖四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E為CD上一點(diǎn)，且∠BAE＝45°．若CD＝4，則△ABE的面積為（）A． B． C． D．例題2.在正方形ABCD中，連接BD．（1）如圖1，AE⊥BD于E．直接寫出∠BAE的度數(shù)．（2）如圖1，在（1）的條件下，將△AEB以A旋轉(zhuǎn)中心，沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△AB′E′，AB′與BD交于M，AE′的延長線與BD交于N．①依題意補(bǔ)全圖1；②用等式表示線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖2，E、F是邊BC、CD上的點(diǎn)，△CEF周長是正方形ABCD周長的一半，AE、AF分別與BD交于M、N，寫出判斷線段BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路．（不必寫出完整推理過程）變式練習(xí)>>>2.（1）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠MAN＝45°，若將△DAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周長為6，則正方形ABCD的邊長為3．（2）【類比延伸】如圖（2），四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上的點(diǎn)，∠MAN＝60°，請判斷線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，連接AM，MN，△ABM是等邊三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），請直接寫出MN的長．例題3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K，N分別是AB，BC上的點(diǎn)，若△BKN的周長為AB的2倍，求∠KDN的度數(shù).變式練習(xí)>>>3.如圖，正方形被兩條與邊平行的線段EF，GH分割成四個(gè)小矩形，P是EF與GH的交點(diǎn)，若矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍，試確定∠HAF的大小并證明你的結(jié)論.例題4.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝∠BAD．（1）如圖1，將∠MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明；（2）如圖2，將∠MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD的延長線于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，將∠MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD的反向延長線于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明．達(dá)標(biāo)檢測領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實(shí)1.請閱讀下列材料：問題：正方形ABCD中，M，N分別是直線CB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，∠MAN＝45°，當(dāng)∠MAN交邊CB、DC于點(diǎn)M、N（如圖①）時(shí)，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小聰同學(xué)的思路是：延長CB至E使BE＝DN，并連接AE，構(gòu)造全等三角形經(jīng)過推理使問題得到解決．請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）直接寫出上面問題中，線段BM，DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)∠MAN分別交邊CB，DC的延長線于點(diǎn)M/N時(shí)（如圖②），線段BM，DN和MN之間的又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明；（3）在圖①中，若正方形的邊長為16cm，DN＝4cm，請利用（1）中的結(jié)論，試求MN的長．2.（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．試探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．（1）小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長EB到點(diǎn)G，使BG＝DF，連結(jié)AG，先證明△ABG≌△ADF，再證明△AEG≌△AEF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3.小曼和他的同學(xué)組成了“愛琢磨”學(xué)習(xí)小組，有一次，他們碰到這樣一道題：“已知正方形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則EG＝FH．”為了解決這個(gè)問題，經(jīng)過思考，大家給出了以下兩個(gè)方案：方案一：過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN∥EG交CD于點(diǎn)N；方案二：過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN∥EG交CD于點(diǎn)N．…（1）對小曼遇到的問題，請?jiān)诩?、乙兩個(gè)方案中任選一個(gè)加以證明（如圖（1））．（2）如果把條件中的“正方形”改為“長方形”，并設(shè)AB＝2，BC＝3（如圖（2）），是探究EG、FH之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）如果把條件中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設(shè)正方形ABCD的邊長為1，F(xiàn)H的長為（如圖（3）），試求EG的長度．4.已知：如圖，正方形ABCD的邊長為a，BM，DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足∠MAN=45°，連接MC，NC，MN．（1）填空：與△ABM相似的三角形是_________，BM?DN=_________；（用含a的代數(shù)式表示）（2）求∠MCN的度數(shù)；（3）猜想線段BM，DN和MN之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論.中考數(shù)學(xué)幾何模型5：角含半角模型TH名師點(diǎn)睛撥開云霧開門見山角含半角模型，顧名思義即一個(gè)角包含著它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法和翻折目標(biāo)三角形法。類型一：等腰直角三角形角含半角模型（1）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D，E在BC上，且∠DAE=45°，則：BD2+CE2=DE2.圖示（1）作法1：將△ABD旋轉(zhuǎn)90°作法2：分別翻折△ABD,△ACE（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在BC延長線上，且∠DAE=45°，則：BD2+CE2=DE2.圖示（2）（3）如圖，將等腰直角三角形變成任意等腰三角形時(shí)，亦可以進(jìn)行兩種方法的操作處理..任意等腰三角形類型二：正方形中角含半角模型（1）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，連接EF，過點(diǎn)A作AG⊥于EF于點(diǎn)G，則：EF=BE+DF，AG=AD.圖示（1）作法：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（2）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CB，DC的延長線上，∠EAF=45°，連接EF，則：EF=DF-BE.圖示（2）作法：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（3）如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對角互補(bǔ)的四邊形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，則：EF=BE+DF.圖示（3）作法：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAD的大小典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)例題1.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，則CF的長為4．【解答】解：如圖，延長FD到G，使DG＝BE；連接CG、EF；∵四邊形ABCD為正方形，在△BCE與△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF與△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，設(shè)AF＝x，則DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝，∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，∴CF＝＝＝4，故答案為：4．變式練習(xí)>>>1．如圖四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E為CD上一點(diǎn)，且∠BAE＝45°．若CD＝4，則△ABE的面積為（）A． B． C． D．【解答】解法一：作AF⊥CB交CB的延長線于F，在CF的延長線上取一點(diǎn)G，使得FG＝DE．∵AD∥BC，∴∠BCD+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，∴四邊形ADCF是矩形，∵∠CAD＝45°，∴AD＝CD，∴四邊形ADCF是正方形，∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADF＝90°，∴△AFG≌△ADE，∴AG＝AE，∠FAG＝∠DAE，∴∠FAG+∠FAB＝∠EAD+∠FAB＝45°＝∠BAE，∴△BAE≌△BAG，∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，設(shè)BC＝a，則AB＝4+a，BF＝4﹣a，在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2，解得a＝1，∴BC＝1，BF＝3，設(shè)BE＝b，則DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，∴BG＝BE＝，∴S△ABE＝S△ABG＝××4＝．例題2.在正方形ABCD中，連接BD．（1）如圖1，AE⊥BD于E．直接寫出∠BAE的度數(shù)．（2）如圖1，在（1）的條件下，將△AEB以A旋轉(zhuǎn)中心，沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△AB′E′，AB′與BD交于M，AE′的延長線與BD交于N．①依題意補(bǔ)全圖1；②用等式表示線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖2，E、F是邊BC、CD上的點(diǎn)，△CEF周長是正方形ABCD周長的一半，AE、AF分別與BD交于M、N，寫出判斷線段BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路．（不必寫出完整推理過程）【解答】解：（1）∵BD是正方形ABCD的對角線，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∵AE⊥BD，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，（2）①依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示，②BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是BM2+MD2＝MN2，將△AND繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AFB，∴∠ADB＝∠FBA，∠BAF＝∠DAN，DN＝BF，AF＝AN，∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠FBM＝∠FBA+∠ABD＝∠ADB+∠ABD＝90°，在Rt△BFM中，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)B2+BM2＝FM2，∵旋轉(zhuǎn)△ANE得到AB1E1，∴∠E1AB1＝45°，∴∠BAB1+∠DAN＝90°﹣45°＝45°，∵∠BAF＝DAN，∴∠BAB1+∠BAF＝45°，∴∠FAM＝45°，∴∠FAM＝∠E1AB1，∵AM＝AM，AF＝AN，∴△AFM≌△ANM，∴FM＝MN，∵FB2+BM2＝FM2，∴DN2+BM2＝MN2，變式練習(xí)>>>2.（1）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠MAN＝45°，若將△DAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周長為6，則正方形ABCD的邊長為3．（2）【類比延伸】如圖（2），四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上的點(diǎn)，∠MAN＝60°，請判斷線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，連接AM，MN，△ABM是等邊三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），請直接寫出MN的長．【解答】解：（1）如圖1中，∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN，∵△CMN的周長為：MN+CM+CN＝6，∴BM+CM+CN+DN＝6，∴BC+CD＝6，∴BC＝CD＝3，故答案為3．（2）如圖2中，結(jié)論：MN＝NM+DN．延長CB至E，使BE＝DN，連接AE，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN，∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，∵∠BAD＝2∠MAN，∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM，在△MAN和△MAE中，，∴△MAN≌△MAE，∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN，即MN＝BM+DN；（3）解：如圖3，把△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG，連接AN．作NH⊥AD于H，在AH上取一點(diǎn)K，使得∠NKH＝30°在Rt△DHN中，∵∠NDH＝60°DN＝5（﹣1），∴DH＝DN＝，HN＝DH＝，在Rt△KNH中，KN＝2HN＝15﹣5，HK＝HN＝，∴AK＝AH﹣HK＝15﹣5，∴AK＝KN，∴∠KAN＝∠KNA，∵∠NKH＝∠KAN+∠KNA，∴∠NAK＝15°，∴∠MAN＝75°＝∠BAD，由（2）得，MN＝BM+DN＝10+5（﹣1）＝5+5．例題3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K，N分別是AB，BC上的點(diǎn)，若△BKN的周長為AB的2倍，求∠KDN的度數(shù).變式練習(xí)>>>3.如圖，正方形被兩條與邊平行的線段EF，GH分割成四個(gè)小矩形，P是EF與GH的交點(diǎn)，若矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍，試確定∠HAF的大小并證明你的結(jié)論.例題4.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠MAN＝∠BAD．（1）如圖1，將∠MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明；（2）如圖2，將∠MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD的延長線于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，將∠MAN繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊BC、CD的反向延長線于M、N，試判斷這一過程中線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不用證明．【解答】解：（1）證明：延長MB到G，使BG＝DN，連接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADN．∴AG＝AN，BG＝DN，∠1＝∠4．∴∠1+∠2＝∠4+∠2＝∠MAN＝∠BAD．∴∠GAM＝∠MAN．又AM＝AM，∴△AMG≌△AMN．∴MG＝MN．∵M(jìn)G＝BM+BG．∴MN＝BM+DN．（2）MN＝BM﹣DN．證明：在BM上截取BG，使BG＝DN，連接AG．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝AB，∴△ADN≌△ABG，∴AN＝AG，∠NAD＝∠GAB，∴∠MAN＝∠NAD+∠BAM＝∠DAB，∴∠MAG＝∠BAD，∴∠MAN＝∠MAG，∴△MAN≌△MAG，∴MN＝MG，∴MN＝BM﹣DN．（3）MN＝DN﹣BM．達(dá)標(biāo)檢測領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實(shí)1.請閱讀下列材料：問題：正方形ABCD中，M，N分別是直線CB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，∠MAN＝45°，當(dāng)∠MAN交邊CB、DC于點(diǎn)M、N（如圖①）時(shí)，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小聰同學(xué)的思路是：延長CB至E使BE＝DN，并連接AE，構(gòu)造全等三角形經(jīng)過推理使問題得到解決．請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）直接寫出上面問題中，線段BM，DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)∠MAN分別交邊CB，DC的延長線于點(diǎn)M/N時(shí)（如圖②），線段BM，DN和MN之間的又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明；（3）在圖①中，若正方形的邊長為16cm，DN＝4cm，請利用（1）中的結(jié)論，試求MN的長．【解答】解：（1）BM+DN＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．理由如下：如圖，在DC上截取DF＝BM，連接AF．∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝90°，∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AM＝AF，∠MAB＝∠FAD．∴∠MAB+∠BAF＝∠FAD+∠BAF＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°．又∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠MAN＝45°．∵AN＝AN，∴△MAN≌△FAN．∴MN＝FN，即MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM；（3）∵正方形的邊長為16，DN＝4，∴CN＝12．根據(jù)（1）可知，BM+DN＝MN，設(shè)MN＝x，則BM＝x﹣4，∴CM＝16﹣（x﹣4）＝20﹣x．在Rt△CMN中，∵M(jìn)N2＝CM2+CN2，∴x2＝（20﹣x）2+122．解得x＝13.6．∴MN＝13.6cm．2.（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．試探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．（1）小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長EB到點(diǎn)G，使BG＝DF，連結(jié)AG，先證明△ABG≌△ADF，再證明△AEG≌△AEF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF＝BE+FD．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】解：（1）由△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF可知，BG＝DF，EF＝EG＝BG+EF＝DF+EF，故答案為EF＝BE+FD.（2）（1）中的結(jié)論EF＝BE+FD仍然成立．理由：延長EB到點(diǎn)G，使BG＝DF，連結(jié)AG．∵∠ABD+∠D＝180°，∠ABD+∠ABG＝180°，∴∠ABG＝∠D，∴AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝∠BAE+∠BAG，∴∠EAG＝∠EAF，∵AE＝AE，AG＝AF，∴△EAG≌△EAF，∴EG＝EF，∵EG＝BG+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+DF．3.小曼和他的同學(xué)組成了“愛琢磨”學(xué)習(xí)小組，有一次，他們碰到這樣一道題：“已知正方形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則EG＝FH．”為了解決這個(gè)問題，經(jīng)過思考，大家給出了以下兩個(gè)方案：方案一：過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN∥EG交CD于點(diǎn)N；方案二：過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN∥EG交CD于點(diǎn)N．…（1）對小曼遇到的問題，請?jiān)诩住⒁覂蓚€(gè)方案中任選一個(gè)加以證明（如圖（1））．（2）如果把條件中的“正方形”改為“長方形”，并設(shè)AB＝2，BC＝3（如圖（2）），是探究EG、FH之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）如果把條件中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設(shè)正方形ABCD的邊長為1，F(xiàn)H的長為（如圖（3）），試求EG的長度．【解答】解：（1）證明：過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長線于點(diǎn)N，∴AM＝HF，AN＝BC，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN∴△ABM≌△ADN∴AM＝AN，即EG＝FH（2）結(jié)論：EG：FH＝3：2證明：過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EC交CD的延長線于點(diǎn)N，∴AM＝HF，AN＝EC，在長方形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN．∴△ABM∽△ADN．，∵AB＝2，BC＝AD＝3，∴．（3）解：過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN∥EG交CD于點(diǎn)N，∵．∴在Rt△ABM中，BM＝．將△AND繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△APB．∵EG與FH的夾角為45°，∴∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠MAB＝45°，即∠PAM＝∠MAN＝45°，從而△APM≌△ANM，∴PM＝NM．設(shè)DN＝x，則NC＝1﹣x，MN＝PM＝．在Rt△CMN中，解得．∴．4.已知：如圖，正方形ABCD的邊長為a，BM，DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足∠MAN=45°，連接MC，NC，MN．（1）填空：與△ABM相似的三角形是_________，BM?DN=_________；（用含a的代數(shù)式表示）（2）求∠MCN的度數(shù)；（3）猜想線段BM，DN和MN之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論.中考數(shù)學(xué)幾何模型6：弦圖模型中考數(shù)學(xué)幾何模型6：弦圖模型名師點(diǎn)睛撥開云霧開門見山弦圖模型，包含兩種模型：內(nèi)弦圖模型和外弦圖模型.（一）內(nèi)弦圖模型：如圖，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點(diǎn)E，BF⊥CG于點(diǎn)F，CG⊥DH于點(diǎn)G，DH⊥AE于點(diǎn)H，則有結(jié)論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.注意局部弦圖注意局部弦圖（二）外弦圖模型：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點(diǎn)，且四邊形EFGH是正方形，則有結(jié)論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.包含“包含“一線三垂直”典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)例題1.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，分別以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，連接EG，若AB=12，BC=16，求△AEG的面積.變式練習(xí)>>>1．如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點(diǎn)E在邊AD上，連接CE，以CE為邊作正方形CEFG，點(diǎn)D，F(xiàn)在直線CE的同側(cè)，連接BF，若AE=1，求BF的長.例題2.如圖，以Rt△ABC的斜邊BC在△ABC同側(cè)作正方形BCEF，該正方形的中心為點(diǎn)O，連接AO.若AB=4，AO=，求AC的長.變式練習(xí)>>>2．如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E都在同一條直線上，四邊形X，Y，Z都是正方形，若該圖形總面積是m，正方形Y的面積是n，則圖中陰影部分的面積是___________.例題3.如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，D為△ABC外一點(diǎn)，滿足∠CBD=90°，BC=BD，若，求AC的長.變式練習(xí)>>>3．點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PB=10cm，△APB的面積是60cm2，△CPB的面積是30cm2．求正方形ABCD的面積.例題4.在邊長為10的正方形ABCD中，內(nèi)接有6個(gè)大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形邊上的小正方形的頂點(diǎn)，如圖所示，求這六個(gè)小正方形的面積.變式練習(xí)>>>4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A的雙曲線y＝（x＞0）同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)B，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，∠AOB＝∠OBA＝45°，則k的值為1+．【解答】解：在△AOM和△BAN中，，∴△AOM≌△BAN（AAS），∴AM＝BN＝，OM＝AN＝，∴OD＝+，BD＝﹣，∴B（+，﹣），∴雙曲線y＝（x＞0）同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A和B，∴（+）?（﹣）＝k，整理得：k2﹣2k﹣4＝0，解得：k＝1±（負(fù)值舍去），∴k＝1+；故答案為：1+．例題5.如圖，在等腰Rt△ACB和等腰Rt△DCE中，∠AXB=∠DCE=90°，連接AD，BE，點(diǎn)I在AD上，若IC⊥BE，求證：I為AD中點(diǎn)；若I為AD中點(diǎn)，求證：IC⊥BE例題6.在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的解析式為，其與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B，在直線l移動(dòng)的過程中，直線y=4上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是等腰直角三角形，若存在，請求出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)，如不存在，請說明理由.達(dá)標(biāo)檢測領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實(shí)1.如圖所示，“趙爽弦圖”是由8個(gè)全等的直角三角形拼接而成的，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝10，則S2的值是．【解答】解：將四邊形MTKN的面積設(shè)為x，將其余八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，x+4y＝，所以S2＝x+4y＝，故答案為：．2.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖證明了勾股定理，這是著名的趙爽弦圖（如圖1）．它是由四個(gè)全等的直角三角形拼成了內(nèi)、外都是正方形的美麗圖案．在弦圖中（如圖2），已知點(diǎn)O為正方形ABCD的對角線BD的中點(diǎn)，對角線BD分別交AH，CF于點(diǎn)P、Q．在正方形EFGH的EH、FG兩邊上分別取點(diǎn)M，N，且MN經(jīng)過點(diǎn)O，若MH＝3ME，BD＝2MN＝4．則△APD的面積為5．【解答】解：如圖，連接FH，作EK∥MN，OL⊥DG∵四邊形ABCD是正方形，且BD＝2MN＝4∴MN＝2，AB＝2∵四邊形EFGH是正方形∴FO＝HO，EH∥FG∴∠HMO＝∠FNO，∠MHO＝∠NFO，且FO＝HO∴△MHO≌△FNO（AAS），∴MH＝FN∵M(jìn)H＝3ME，∴MH＝FN＝3EM，EH＝EF＝4EM∴EK∥KN，EH∥FG，∴四邊形EMNK是平行四邊形∴MN＝EK＝2，KN＝EM，∴FK＝2EM∵EF2+FK2＝EK2，∴16EM2+4EM2＝20，∴EM＝1，∴EH＝4，∵AD2＝（AE+4）2+DH2，且AE＝DH∴DH＝AE＝2，∴AH＝6∵PH∥OL，∴，∴PH＝1，∴AP＝5，∴S△APD＝×5×2＝5故答案為53．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG，EG．（正方形的各邊都相等，各角均為90°）（1）判斷CE與BG的關(guān)系，并說明理由；（2）若BC＝3，AB＝5，則AEG面積等于6．【解答】解：（1）如圖，∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，∴∠BPC+∠ABG＝90°，∴CE⊥BG；（2）延長GA，過E作EQ⊥AQ，∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAG+∠BAC＝180°，∵∠EAG+∠EAQ＝180°，∴∠EAQ＝∠BAC，∴EQ＝AE?sin∠EAQ＝AB?BC＝3，∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝＝4，∴AEG面積＝AG?EQ＝×4×3＝6．4．【問題解決】一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度數(shù)嗎？小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)；思路二：將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CP'B，連接PP′，求出∠APB的度數(shù)．請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程．【類比探究】如圖2，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PA＝3，PB＝1，PC＝，求∠APB的度數(shù)．【解答】解：（1）思路一、如圖1，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP＝3，在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝2，∴∠BPP'＝45°，根據(jù)勾股定理得，PP'＝BP＝2，∵AP＝1，∴AP2+PP'2＝1+8＝9，∵AP'2＝32＝9，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°；（2）如圖2，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP′A，連接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝，在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，∴∠BPP'＝45°，根據(jù)勾股定理得，PP'＝BP＝，∵AP＝3，∴AP2+PP'2＝9+2＝11，∵AP'2＝（）2＝11，∴AP2+PP'2＝AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．5．如圖，已知∠ABC＝90°，D是直線AB上一點(diǎn)，AD＝BC．（1）如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，連接DC、DF、CF．①求證：AF+AB＝BC②判斷FD與DC的關(guān)系并證明；（2）如圖2，E是直線BC上一點(diǎn)，且CE＝BD，直線AE、CD相交于點(diǎn)P，∠APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由．【解答】（1）證明：①∵AD＝BC，∴AD＝AB+BD，AF＝BD，∴AF+AB＝BC．②∵AF⊥AB，∴∠FAD＝90°，又∵∠DBC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC，∵AF＝BD，AD＝BC，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD＝CD，∠ADF＝∠BCD，∴∠BDC+∠ADF＝∠BDC+∠BCD＝90°，即DF⊥DC；（2）解：作AF⊥AB于A，使AF＝BD，連結(jié)DF，CF，如圖，∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC，在△FAD與△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD＝DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB，∵∠BDC+∠DCB＝90°，∴∠BDC+∠FDA＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD＝45°，∵AF∥CE，且AF＝CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴AE∥CF，∴∠APD＝∠FCD＝45°．6．【探究證明】（1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問題，請你給出證明．如圖1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G，H，求證：；【結(jié)論應(yīng)用】（2）如圖2，在滿足（1）的條件下，又AM⊥BN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，若，則的值為；（直接寫出結(jié)果）【聯(lián)系拓展】（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝6，BC＝CD＝3，AM⊥DN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AB上，求的值．【解答】解：（1）過點(diǎn)A作AP∥EF，交CD于P，過點(diǎn)B作BQ∥GH，交AD于Q，如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴，∴；（2）如圖2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的結(jié)論可得，；∴，故答案為；（3）過點(diǎn)D作平行于AB的直線，交過點(diǎn)A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，如圖3，則四邊形ABSR是平行四邊形．∵∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝6，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的結(jié)論可得．設(shè)SC＝x，DS＝y(tǒng)，則AR＝BS＝3+x，RD＝6﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2＝9①，在Rt△ARD中，（3+x）2+（6﹣y）2＝36②，由②﹣①得x＝2y﹣3③，解方程組，得（舍去），或，∴AR＝3+x＝，∴＝＝．7．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，l是AD的垂直平分線，交AD于點(diǎn)M，以腰AB為邊作正方形ABFE，EP⊥l于P．求證：2EP+AD＝2CD．【解答】證明：作AH⊥BC于H，延長EP交AH于G，∵l是AD的垂直平分線，∴AM＝MD＝AD，l∥AH，又∵四邊形ABCD是直角梯形，∴四邊形AHCD是矩形，∴AH＝CD，∵PE⊥l，∴EG⊥AH，∴四邊形AGPM是矩形，∴GP＝AM＝AD，∴∠AHB＝∠AGE＝90°，∴∠1+∠2＝90°，在正方形ABFE中，AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABH和△EAG中，，∴△ABH≌△EAG（AAS），∴AH＝EG，∴CD＝GP+PE＝AD+PE，即2CD＝AD+2PE．8．提出問題：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG，EG．（1）探索CE與BG的關(guān)系；（2）探究△ABC與△AEG面積是否仍然相等？說明理由．（3）如圖2，學(xué)校教學(xué)樓前的一個(gè)六邊形花圃被分成七個(gè)部分，分別種上不同品種的花卉，已知△CDG是直角三角形，∠CGD＝90°，DG＝3m，CG＝4m，四邊形ABCD、CIHG、GFED均為正方形，則這個(gè)六邊形花圃ABIHFE的面積為74m2．【解答】解（1）CE＝BG，CE⊥BG；理由：∵∠EAB＝∠GAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝ABG，∵∠AEC+∠APE＝90°，∠APE＝∠BPC，∴∠BPC+∠ABG＝90°，∴CE⊥BG；即：CE＝BG，CE⊥BG；（2）如圖1，過點(diǎn)E作EH⊥AG交GA延長線于H；∴∠EHA＝∠90°＝∠BCA，∵∠EAH+∠BAH＝90°，∠BAC+∠BAH＝90°，∴∠EAH＝∠BAC，在△EHA和△BCA中，，∴△EHA≌△BCA，∴EH＝BC，∵AC＝AG∴S△ABC＝AC×BC＝AC×EH，S△AGE＝AG×EH＝AC×EH，∴S△ABC＝S△AGE，（3）∵在Rt△CDG中，DG＝3m，CG＝4m，∴CD＝5m，∵四邊形ABCD，CIHG、GFED均為正方形∴CG＝GH＝4，DG＝FG＝3，同（2）的方法得出S△BCI＝S△CDG，S△ADE＝S△CDG∴S六邊形花圃ABIHFE＝S正方形ABCD+S△BCI+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+S△ADE+S△SDG＝S正方形ABCD+S△CDG+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+S△CDG+S△CDG＝S正方形ABCD+S正方形CIHG+S△FGH+S正方形DEFG+3S△CDG＝CD2+CG2+GH×FG+DG2+3×CG×DG＝52+42+×4×3+32+×4×3＝25+16+6+9+18＝74（m2）．故答案為74m2．9．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行線l1與l2、l2與l3、l3與l4之間的距離分別為d1、d2、d3，且d1＝d3＝1，d2＝2．我們把四個(gè)頂點(diǎn)分別在l1、l2、l3、l4這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”．（1）如圖1，正方形ABCD為“格線四邊形”，則正方形ABCD的邊長為．（2）矩形ABCD為“格線四邊形”，其長：寬＝2：1，求矩形ABCD的寬．（3）如圖1，EG過正方形ABCD的頂點(diǎn)D且垂直l1于點(diǎn)E，分別交l2，l4于點(diǎn)F，G．將∠AEG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到∠AE′D′（如圖2），點(diǎn)D′在直線l3上，以AD′為邊在E′D′左側(cè)作菱形AB′C′D′，使B′，C′分別在直線l2，l4上，求菱形AB′C′D′的邊長．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED＝90°∴∠DGC＝90°，∵四邊形ABCD為正方形∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∵∠ADE+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠ADE，∵l3∥l4，∴∠1＝∠DCG，∠ADE＝∠DCG，在△AED與△DGC中，，∴△AED≌△GDC（AAS），∴AE＝GD＝1，ED＝GC＝3，∴AD＝＝，故答案為：；（2）如圖2過點(diǎn)B作BE⊥L1于點(diǎn)E，反向延長BE交L4于點(diǎn)F，則BE＝1，BF＝3，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠FBC＝90°，∵∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠FBC＝∠EAB，當(dāng)AB＜BC時(shí)，AB＝BC，∴AE＝BF＝，∴AB＝＝；如圖3當(dāng)AB＞BC時(shí)，同理可得：BC＝，∴矩形的寬為：，；（3）如圖4過點(diǎn)E′作ON垂直于l1分別交l1，l3于點(diǎn)O，N，∵∠OAE′＝30°，則∠E′FN＝60°∵AE′＝AE＝1，故E′O＝，E′N＝，E′D′＝，由勾股定理可知菱形的邊長為：＝＝．10．四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點(diǎn)E在邊AD所在直線上，連接CE，以CE為邊，作正方形CEFG（點(diǎn)D，點(diǎn)F在直線CE的同側(cè)），連接BF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，請直接寫出BF的長；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，AE＝1；①求點(diǎn)F到AD的距離；②求BF的長；（3）若BF＝3，請直接寫出此時(shí)AE的長．【解答】解：（1）作FH⊥AB于H，如圖1所示：則∠FHE＝90°，∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴AD＝CD＝4，EF＝CE，∠ADC＝∠DAH＝∠BAD＝∠CEF＝90°，∴∠FEH＝∠CED，在△EFH和△CED中，，∴△EFH≌△CED（AAS），∴FH＝CD＝4，AH＝AD＝4，∴BH＝AB+AH＝8，∴BF＝＝＝4；（2）過F作FH⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)H，作FM⊥AB于M，如圖2所示：則FM＝AH，AM＝FH，①∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝3，同（1）得：△EFH≌△CED（AAS），∴FH＝DE＝3，EH＝CD＝4，即點(diǎn)F到AD的距離為3；②∴BM＝AB+AM＝4+3＝7，F(xiàn)M＝AE+EH＝5，∴BF＝＝＝；（3）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的左側(cè)時(shí)，過F作FH⊥AD交AD于點(diǎn)H，交BC延長線于K．如圖3所示：同（1）得：△EFH≌△CED，∴FH＝DE＝AE+4，EH＝CD＝4，∴FK＝8+AE，在Rt△BFK中，BK＝AH＝EH﹣AE＝4﹣AE，由勾股定理得：（4﹣AE）2+（8+AE）2＝（3）2，解得：AE＝1或AE＝﹣5（舍去），∴AE＝1；②當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的右側(cè)時(shí)，過F作FH⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)H，交BC延長線于K，如圖4所示：同理得：AE＝2+或2﹣（舍去）．③當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，可得：（8﹣AE）2+（4+AE）2＝90，解得AE＝5或﹣1，5＞4不符合題意．綜上所述：AE的長為1或2+．名師點(diǎn)睛撥開云霧開門見山弦圖模型，包含兩種模型：內(nèi)弦圖模型和外弦圖模型.（一）內(nèi)弦圖模型：如圖，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點(diǎn)E，BF⊥CG于點(diǎn)F，CG⊥DH于點(diǎn)G，DH⊥AE于點(diǎn)H，則有結(jié)論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.注意局部弦圖注意局部弦圖（二）外弦圖模型：如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點(diǎn)，且四邊形EFGH是正方形，則有結(jié)論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.包含“包含“一線三垂直”典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)例題1.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，分別以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，連接EG，若AB=12，BC=16，求△AEG的面積.變式練習(xí)>>>1．如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點(diǎn)E在邊AD上，連接CE，以CE為邊作正方形CEFG，點(diǎn)D，F(xiàn)在直線CE的同側(cè)，連接BF，若AE=1，求BF的長.例題2.如圖，以Rt△ABC的斜邊BC在△ABC同側(cè)作正方形BCEF，該正方形的中心為點(diǎn)O，連接AO.若AB=4，AO=，求AC的長.變式練習(xí)>>>2．如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E都在同一條直線上，四邊形X，Y，Z都是正方形，若該圖形總面積是m，正方形Y的面積是n，則圖中陰影部分的面積是___________.例題3.如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，D為△ABC外一點(diǎn)，滿足∠CBD=90°，BC=BD，若，求AC的長.變式練習(xí)>>>3．點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PB=10cm，△APB的面積是60cm2，△CPB的面積是30cm2．求正方形ABCD的面積.例題4.在邊長為10的正方形ABCD中，內(nèi)接有6個(gè)大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形邊上的小正方形的頂點(diǎn)，如圖所示，求這六個(gè)小正方形的面積.變式練習(xí)>>>4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A的雙曲線y＝（x＞0）同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)B，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，∠AOB＝∠OBA＝45°，則k的值為．例題5.如圖，在等腰Rt△ACB和等腰Rt△DCE中，∠AXB=∠DCE=90°，連接AD，BE，點(diǎn)I在AD上，若IC⊥BE，求證：I為