中考數(shù)學一輪復習課件二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)2

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)1.二次函數(shù)的概念（1）一般地，形如

（a，b，c是常數(shù)，

a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù).（2）特別地，當a≠0，b＝c＝0時，y＝ax2是二次函數(shù)的特殊

形式.y＝ax2＋bx＋c

2.解析式的三種形式（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）；（2）頂點式：

（a，h，k為常數(shù)，

a≠0，（h，k）為頂點坐標）；y＝a（x－h(huán)）2＋k

（3）交點式：

（a，x1，x2為常

數(shù)，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標，a≠0）.三者之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：y＝a（x－x1）（x－x2）

3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）二次函數(shù)的圖象是一條

?.（2）二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)拋物線

頂點式：y＝a（x－h(huán)）2＋k（a，

h，

k是常數(shù)，

a≠0）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）交點式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常數(shù)，a≠0）大致圖象a＞0a＜0a＞0a＜0a＞0a＜0

開口方向

?

?

?

?

?

?

?

?

?向上

向下

向上

向下

向上

向下

頂點式：y＝a（x－h(huán)）2＋k（a，

h，

k是常數(shù)，

a≠0）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）交點式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常數(shù)，a≠0）對稱軸直線x＝

?直線x＝

?直線＝

?頂點坐標

?

?

?

?

h

（h，k）

）

－

頂點式：y＝a（x－h(huán)）2＋k（a，

h，

k是常數(shù)，

a≠0）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）交點式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常數(shù)，a≠0）增

減性在對稱

軸左

側(cè)，即

當x＜h

時，y隨x的增大

而

；

在對稱

軸左

側(cè)，即

當x＜h

時，y隨x的增大

而

；

在對稱軸左側(cè)，即

當x＜－

時，y隨的增大而

?；在對稱

軸左側(cè)，即當x＜－時，y

隨x的增

而

??；在對稱

軸左

側(cè)，即

當x＜

?

?時，y隨x的增大

而

；

在對稱

軸左側(cè)，即當x

＜

?

?時，y隨

x的增大

而

；

減小

增大

減小

增大

減小

增大

頂點式：y＝a（x－h(huán)）2＋k（a，

h，

k是常數(shù)，

a≠0）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）交點式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常數(shù)，a≠0）增

減性在對稱

軸右

側(cè)，即

當x＞h

時，y隨x

的增大

而

?

?在對稱

軸右側(cè)，即當x＞h

時，y隨x

的增大

而

?

?在對稱軸右

側(cè)，即當x＞－時，y

隨x的增大

而

?

?在對稱

軸右側(cè)，即

當x＞－

時，y隨x的增大

而

?

?在對稱

軸右側(cè)，即當x

＞

?

?

時，y隨x

的增大

而

?

?在對稱

軸右側(cè)，即當x

＞

?

時，y隨

x的增大

而

?

?

增大

減小

增大

減小

增大

減小

頂點式：y＝a（x－h(huán)）2＋k（a，

h，

k是常數(shù)，

a≠0）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）交點式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常數(shù)，a≠0）最值拋物線有最低點，當x＝h時，y有最小值，y最小值

＝

?拋物線有最高點，當x＝h時，y有最大值，y最大值

＝

?拋物線有最低點，當x＝－

時，y有最小值，y最小值＝

?拋物線有最高點，當x＝－時，y有最大值，y最大值＝

?拋物線有最低點，當x＝

?

?

時，y有

最小值，y最小值＝

?

拋物線有最高點，當x

＝

?

?

時，y有

最大值，y最大值＝

?

k

k

－

－

注意點若二次函數(shù)解析式以y＝a（x－x1）（x－x2）＋c（a，c，x1，x2

是常數(shù)，a≠0）給出，則相關(guān)性質(zhì)可參考交點式進行直觀想象.4.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象特征與a，b，c之間的關(guān)系字母符號圖象的特征aa＞0開口

?a＜0開口

?｜a｜越大開口越

?向上

向下

小

字母符號圖象的特征a，bb＝0對稱軸為

?軸ab＞0（a與

b同號）對稱軸在y軸

側(cè)（“左同”）ab＜0（a與

b異號）對稱軸在y軸

側(cè)（“右異”）y

左

右

字母符號圖象的特征cc＝0經(jīng)過

?c＞0與y軸

?相交c＜0與y軸

?相交b2－4acb2－4ac＝0與x軸有

?交點（頂點）b2－4ac＞0與x軸有

?交點b2－4ac＜0與x軸

?交點原點

正半軸

負半軸

唯一的

兩個

沒有

字母符號圖象的特征a，b，c滿足的相等關(guān)系a＋b＋c＝0圖象經(jīng)過點

?a－b＋c＝0圖象經(jīng)過點

?4a＋2b＋c＝0圖象經(jīng)過點

?4a－2b＋c＝0圖象經(jīng)過點

?（1，0）

（－1，0）

（2，0）

（－2，0）

字母符號圖象的特征a，b，c滿足的不等關(guān)系a＋b＋c＞0當x＝

時，對應的函數(shù)值y＞

0，即點（1，y1）位于

?

?a－b＋c＞0當x＝

時，對應的函數(shù)值y

＞0，即點（－1，y1）位于

?

?1

x軸上方

－1

x軸

上方

字母符號圖象的特征a，b，c滿足的不等關(guān)系4a＋2b＋c＞0當x＝

時，對應的函數(shù)值y＞

0，即點（2，y1）位于

?

?4a－2b＋c＞0當x＝

時，對應的函數(shù)值y

＞0，即點（－2，y1）位于

?

?2

x軸上方

－2

x軸

上方

二次函數(shù)解析式的確定及圖象的平移1.二次函數(shù)解析式的確定待定系數(shù)法求解析式的步驟：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式（根據(jù)給出的條件，巧設(shè)解析式，

如已知頂點坐標或?qū)ΨQ軸，可設(shè)頂點式；再如已知圖象與x軸

交點坐標，則可設(shè)交點式等等）；（2）根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；（3）解方程（組），求出待定系數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解

析式.

已知條件常設(shè)表達式拋物線上任意三點一般式：y＝ax2＋bx＋c與x軸的兩個交點A（x1，0），B（x2，0）＋任意一點交點式：y＝a（x－x1）（x－x2）

已知條件常設(shè)表達式與x軸的一個交點＋對稱軸＋任意一點頂點式：y＝a（x－h(huán)）2＋k頂點C（h，k）＋任意一點對稱軸＋最值＋任意一點2.二次函數(shù)圖象的平移（1）平移的解題步驟：①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點式y(tǒng)＝a（x－h(huán)）2＋k，確定其頂

點坐標；②保持拋物線的開口大小及方向均不變（

），

平移頂點坐標（h，k）即可.a不變

注意點拋物線平移的本質(zhì)為拋物線的平移→拋物線上點的平移→拋

物線上頂點的平移→拋物線頂點式.（2）平移的規(guī)律：平移前的解析式移動方向平移后的解析式規(guī)律y＝a（x－h(huán)）2＋k向左平移m個

單位y＝a（x－h(huán)＋

m）2＋k

?向右平移m個

單位y＝a（x－h(huán)－

m）2＋k右減左加

平移前的解析式移動方向平移后的解析式規(guī)律y＝a（x－h(huán)）2＋k向上平移m個

單位y＝a（x－h(huán)）2＋

k＋m上加向下平移m個

單位y＝a（x－h(huán)）2＋

k－m

?下減

①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點式y(tǒng)＝a（x－h(huán)）2＋k，確定其頂

點坐標；②保持拋物線的開口大小不變（

），再將

頂點坐標（h，k）沿坐標軸翻折即可.③翻折的規(guī)律：｜a｜不變

3.二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)（1）拋物線沿著坐標軸翻折的解題步驟：平移前的解析式沿哪條直線翻折平移后的

解析式規(guī)律y＝a（x－h(huán)）2＋kx軸y＝－a（x－h(huán)）2－ka

，h

?

，k變?yōu)?/p>

?y軸y＝a（x＋h）2＋ka

，h變?yōu)?/p>

?

，k

?變?yōu)橄喾磾?shù)

不

變

相反數(shù)

不變

相反

數(shù)

不變

注意點①拋物線翻折的本質(zhì)為拋物線的翻折→拋物線上點的翻折→關(guān)

注拋物線的開口，并對頂點進行翻折→拋物線頂點式；②將拋物線y＝a（x－h(huán)）2＋k沿著直線x＝m（或y＝k）翻折，

其解題策略與沿著坐標軸翻折一致，同學們不妨一試.①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點式y(tǒng)＝a（x－h(huán)）2＋k，確定其頂點

坐標；②保持拋物線的開口大小不變，方向相反（a變?yōu)?/p>

?），頂點坐標（h，k）

?.相反數(shù)

不變

（2）拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°的解題步驟：注意點①拋物線y＝a（x－h(huán)）2＋k繞頂點旋轉(zhuǎn)180°，即是拋物線沿著

直線y＝k翻折而得到；②拋物線y＝a（x－h(huán)）2＋k繞點（h，n）旋轉(zhuǎn)180°，即是拋物

線沿著直線y＝n翻折而得到，同學們不妨一試.

類型一

二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)

A.y1＜y2＜y3B.y1＜y3＜y2C.y3＜y2＜y1D.y2＜y3＜y1D2.函數(shù)y＝ax－a和y＝ax2＋2（a為常數(shù)，且a≠0），在同一平面

直角坐標系中的大致圖象可能是（C）

A.

B.

C.

D.C3.對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c為常數(shù)，

且a≠0）如圖所示，某同學得出了以下結(jié)論：①abc＜0；②b2

＞4ac；③4a＋2b＋c＞0；④a＋b≤m（am＋b）（m為任意實

數(shù)）；⑤當x＞1時，y隨x的增大而增大，其中結(jié)論正確的個數(shù)

為（B）A.2B.3C.4D.5第3題圖B4.（2023·溫州模擬）已知點A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在拋物線y＝（x－1）2－2上，點A在點B左側(cè)，下列選項

正確的是（D）A.若c＜0，則a＜c＜bB.若c＜0，則a＜b＜cC.若c＞0，則a＜c＜bD.若c＞0，則a＜b＜cD5.（2023·杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝a（x－m）（x－m－k）（a＞0，

m，k是實數(shù)），則（A）A.當k＝2時，函數(shù)y的最小值為－aB.當k＝2時，函數(shù)y的最小值為－2aC.當k＝4時，函數(shù)y的最小值為－aD.當k＝4時，函數(shù)y的最小值為－2aA6.（2023·福建質(zhì)檢）二次函數(shù)y＝ax2－2ax＋c（a＞0）的圖象過

A（－3，y1），B（－1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四個

點，下列說法一定正確的是（C）A.若y1y2＞0，則y3y4＞0B.若y1y4＞0，則y2y3＞0C.若y2y4＜0，則y1y3＜0D.若y3y4＜0，則y1y2＜0C7.已知二次函數(shù)y＝（x＋m－3）（x－m）＋3，點A（x1，y1），

B（x2，y2）（x1＜x2）是其圖象上兩點（B）A.若x1＋x2＞3，則y1＞y2B.若x1＋x2＜3，則y1＞y2C.若x1＋x2＞－3，則y1＞y2D.若x1＋x2＜－3，則y1＜y2B8.已知點A（m，y1），B（m＋4，y2），C（x0，y0）在二次函數(shù)

y＝ax2＋2ax＋c（a≠0）的圖象上，且C為拋物線的頂點.若

y0≤y1＜y2，則m的取值范圍是（B）A.m＜－3B.m＞－3C.m≤－3D.m≥－3B類型二

二次函數(shù)解析式的確定及圖象的平移9.把函數(shù)y＝－3x2的圖象向右平移2個單位，再向下平移1個單

位，得到的圖象解析式為（A）A.y＝－3（x－2）2－1B.y＝－3（x＋2）2－1C.y＝－3（x－1）2＋2D.y＝－3（x－1）2－210.寫出一個二次函數(shù)

?，使該

二次函數(shù)最小值為0，且經(jīng)過點（1，0）.Ay＝（x－1）2（答案不唯一）

（1）（－1，3），（2，6），（1，3）；

解：（1）∵函數(shù)過（－1，3），（2，6），（1，3）設(shè)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

11.根據(jù)二次函數(shù)圖象上三個點的坐標，求函數(shù)的解析式.解：（2）∵函數(shù)過（－1，0），（3，0），∴設(shè)函數(shù)y＝a（x＋1）（x－3），又∵函數(shù)過（0，3）∴－3a＝3，解之得a＝－1，∴y＝－（x＋1）（x－3）即y＝－x2＋2x＋3（2）（－1，0），（3，0），（0，3）.

（2）平移拋物線，平移后的頂點為P（m，n）.若S△OBP＝3，

設(shè)直線x＝k，在這條直線的右側(cè)原拋物線和新拋物線均呈上

升趨勢，求k的取值范圍.

13.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c過點A（0，2），且拋物線上任意

不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0

時，（x1－x2）（y1－y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1－x2）

（y1－y2）＜0.以原點O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另

兩個交點為B，C，且B在C的左側(cè)，△ABC有一個內(nèi)角為60°.

求拋物線的解析式.解：∵拋物線過點A（0，2），∴c＝2，當x1＜x2＜0時，x1－x2＜0，由（x1－x2）（y1－y2）＞0，得到y(tǒng)1－y2＜0，∴當x＜0時，y隨x的增大而增大，同理當x＞0時，y隨x的增

大而減小，∴拋物線的對稱軸為y軸，且開口向下，即b＝0，∵以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與拋物線交于另兩點B，C，如圖所示，

1.下列y與x的數(shù)量關(guān)系中，y是x的二次函數(shù)的是（

C

）A.y＝ax2＋bx＋cB.y＝（x－2）2－x（x－1）C.y－x2＝0D.y2＝x22.二次函數(shù)y＝（x＋3）（x－1）圖象的對稱軸為（

B

）

A.x＝1B.x＝－1C.x＝－2D.x＝2CB課后練習3.對于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0），不存在x的值，使得y≤0成

立.則下列結(jié)論，正確的是（

B

）A.a＞0，b2－4ac＞0B.a＞0，b2－4ac＜0C.a＜0，b2－4ac＜0D.a＜0，b2－4ac＞0B4.（2023·湖北）已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的圖象與x

軸的一個交點坐標為（－1，0），對稱軸為直線x＝1，下結(jié)列

論中：①a－b＋c＝0；②若點（－3，y1），（2，y2），（4，

y3）均在該二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；③若m為任意實

數(shù)，則am2＋bm＋c≤－4a；④方程ax2＋bx＋c＋1＝0的兩實數(shù)

根為x1，x2，且x1＜x2，則x1＜－1，x2＞3.正確結(jié)論的序號

為（

B

）A.①②③B.①③④C.②③④D.①④B5.若二次函數(shù)y＝2（x－1）2－1的圖象如圖所示，則坐標原點可

能是（

A

）A.點AB.點BC.點CD.點D第5題圖A6.（2022·杭州）已知二次函數(shù)y＝x2＋ax＋b（a，b為常數(shù)）.命題①：該函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，0）；命題②：該函數(shù)的圖

象經(jīng)過點（3，0）；命題③：該函數(shù)的圖象與x軸的交點位于y

軸的兩側(cè)；命題④：該函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x＝1.如果這四個命題中只有一個命題是假命題，則這個假命題是（

A

）A.命題①B.命題②C.命題③D.命題④A7.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2－2ax上的

點，下列命題正確的是（

C

）A.若｜x1－1｜＞｜x2－1｜，則y1＞y2B.若｜x1－1｜＞｜x2－1｜，則y1＜y2C.若｜x1－1｜＝｜x2－1｜，則y1＝y(tǒng)2D.若y1＝y(tǒng)2，則x1＝x2C8.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的最大值為a－b＋c，且M（－4，

c），N（－3，m），P（1，m），Q（2，n），R（3，n＋1）

中只有兩點不在該二次函數(shù)圖象上，下列關(guān)于這兩點的說法正

確的是（

C

）A.這兩點一定是M和NB.這兩點一定是Q和RC.這兩點可以是M和QD.這兩點可以是P和QC9.（2022·福建）已知拋物線y＝x2＋2x－n與x軸交于A，B兩點，

拋物線y＝x2－2x－n與x軸交于C，D兩點，其中n＞0.若AD＝

2BC，則n的值為

?.8

10.求下列拋物線的頂點坐標與對稱軸.（2）用公式法：y＝2x2＋3x－5.

11.在平面直角坐標系xOy中，點（1，m）和點（3，n）在拋物

線y＝ax2＋bx（a＞0）上.（1）若m＝3，n＝15，求該拋物線的對稱軸；

（2）若點（－1，y1），（2，y2），（4，y3）在該拋物線上.

若mn＜0，比較y1，y2，y3的大小，并說明理由.解：（2）∵y＝ax2＋bx（a＞0），∴拋