垂徑定理課件北師大版數(shù)學九年級下冊2

3.3垂徑定理九年級下

北師版1.經(jīng)歷探索并證明垂徑定理及其逆定理的過程，理解并掌握垂徑定理及其逆定理.2.運用垂徑定理及其逆定理解決相關問題.學習目標重點難點新課引入如果我們在⊙O中任意畫一條弦AB，如圖，觀察下面的圖形，它還是軸對稱圖形嗎？若是，你能找到它的對稱軸嗎？●

OABCDM●OABCDM└新知學習圖中有哪些等量關系？說一說你的理由.思考③AM=BM，①CD是直徑②CD⊥AB可推得條件結論④⑤

能不能用所學過的知識證明你的結論？探究●

OABCDM└證明：如圖，連接OA，OB，則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.∵∠AOD=180°-∠AOC，∠BOD=180°-∠BOC，∴∴∠AOD=∠BOD.∴∵CD是直徑，且CD⊥AB，∴AM=BM.垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.幾何語言：∴歸納●OABCDM└ABOCDEOABCABOEABDCOE下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？是不是，因為沒有垂直是不是，因為CD沒有過圓心思考例1如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.·OABECD解：連接OA∵

CE⊥AB于D，∴設OC=xcm，則OD=x-2,根據(jù)勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得x=5，即半徑OC的長為5cm.涉及垂徑定理時添加輔助線，常常通過連半徑或作弦心距構造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.OABC·rd歸納例2如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？

·OABCDE解：(1)連接AO,BO,則AO=BO,又

AE=BE，OE=OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）

與

相等嗎？

與

相等嗎？為什么？（2）由垂徑定理可得

，.·OABCD圓的兩條直徑互相平分，但不一定互相垂直，如下圖中，≠.只有平分非直徑的弦才有上題的結論.

思考直徑是弦嗎？如果平分直徑，上題的結論成立嗎？歸納垂徑逆定理的推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧.∵CD為⊙O的直徑∴CD⊥AB又∵AE=BE∴·OABCDE幾何語言：垂徑定理的本質(zhì)是:滿足其中任兩條，必定同時滿足另三條（1）一條直線過圓心（2）這條直線垂直于弦（3）這條直線平分不是直徑的弦（4）這條直線平分不是直徑的弦所對的優(yōu)?。?）這條直線平分不是直徑的弦所對的劣弧1.如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足為點P，則OP的長為(

)A．3B．2.5C．4D．3.5C針對訓練2.如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB=

cm．16·OABE3.趙州橋（如圖）是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結果保留小數(shù)點后一位）.分析：解決此問題的關鍵是根據(jù)趙州橋的實物圖畫出幾何圖形.解：如圖，用AB表示主橋拱，設AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與弧AB相交于點C，連接OA，根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點，C是弧AB的中點，CD就是拱高.由題設可知AB=37，CD=7.23，OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R≈27.3.因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.∴

AD=AB=×37=18.5，弦a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關系：

d+h=r

ABCDOhrd歸納弓形中重要數(shù)量關系例3如圖,—條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。磮D中

,點O是

所在圓的圓心），其中CD=600m，E為

上一點，且OE丄CD，垂足為F，EF=90m.求這段彎路的半徑.EODCFEODCF設彎路的半徑為Rm，則OF=(R-90)m.∵OE

⊥CD，在Rt△OCF中，根據(jù)勾股定理，得OC2=CF2+OF2，

即R2=3002

+(R-90)2.解這個方程，得R=545.所以，這段彎路的半徑為545m.解：連接OC.∴

CF=CD=×600=300(m).針對訓練1.《九章算術》被尊為古代數(shù)學“群經(jīng)之首”，其卷九勾股定理篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這個木材，鋸口深CD等于1寸，鋸道AB長1尺，則圓形木材的直徑是（）（1尺＝10寸）A．12寸

B．13寸

C．24寸 D．26寸D2.在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為

5cm，油面寬

AB為

6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?/p>

8cm，則油面

AB上升了（）cm．A．1 B．3 C．3或4 D．1或7D3.如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8,P為AB上的一個動點，那么OP長的取值范圍

.BAOP3cm≤OP≤5cm1.（2022云南省卷）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若AB＝26，CD＝24，則∠OCE的余弦值為()A.

B.C.

D.B隨堂練習2.（2022四川瀘州）如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DO的延長線交⊙O于點E.若AC＝4

，DE＝4，則BC的長是()A．1B．C．2D．4C

5.如圖，⊙P與y軸交于點M（0,﹣4），N（0,﹣10），圓心P的橫坐標為﹣4．則⊙P的半徑為（）A．3B．