專題1-7 嵌套（復合）函數(shù)問題綜合（解析版）

專題1-7嵌套（復合）函數(shù)，分段函數(shù)綜合問題嵌套函數(shù)的零點數(shù)量、零點范圍、參數(shù)范圍等問題常見于高考和各類模擬試題的壓軸小題?？梢哉f是函數(shù)中最困難的部分都不為過，如果能把該板塊內(nèi)容理解透徹，那你對函數(shù)的理解有上了一個新的臺階。我們常見有兩類嵌套函數(shù)分別是：“自（互）嵌套型”和“二次嵌套型”，解題的主要思路是:首先通過“換元”達到“解套”的目的，再利用數(shù)形結合的思想解決具體問題即可。1.嵌套函數(shù)形式：形如f2.解決嵌套函數(shù)零點個數(shù)的一般步驟(1)換元解套，轉化為t＝g(x)與y＝f(t)的零點．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判斷圖象交點個數(shù)．注：抓住兩點：(1)轉化換元；(2)充分利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)．目錄題型一嵌套（復合）函數(shù)求值問題 2題型二分段函數(shù)等值線（方程根之間的數(shù)量關系） 3題型三分段函數(shù)，復合函數(shù)由單調(diào)性求取值范圍 9題型四分段函數(shù)的滿足某條件求參數(shù)范圍 11題型五關于的f(x)的一元二次方程或嵌套函數(shù) 13題型六分段函數(shù)與嵌套函數(shù)綜合（畫2個函數(shù)圖像） 17

重點題型·歸類精講重點題型·歸類精講題型一嵌套（復合）函數(shù)求值問題已知是定義域為的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)，都有，則的值為________.【答案】【解析】令，則再令，則，則任意時，恒成立，且函數(shù)y＝f(t)單調(diào)，則_________.【答案】【解析】令，則，再令,則有，則所以.已知函數(shù)f(x)是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，且滿足，則函數(shù)的解析式_______，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_______.【答案】；【解析】（1）令，則，則（2），由單調(diào)性可知題型二分段函數(shù)等值線（方程根之間的數(shù)量關系）設函數(shù)若函數(shù)有三個零點:，則________.【答案】11【解析】令，結合圖像，關于t方程有2個相等的實根，設顯然t＝1，則則，，則已知函數(shù)若存在實數(shù)，且，則的取值范圍是．答案解析 畫出的圖象如圖所示，一方面，由及，，可得；另一方面，及，，所以，有，且，故．故答案為．已知函數(shù)有三個零點，則=（）A.B.8C.15D.16【答案】B【解析】，，由題可知與有3個交點，如圖則僅有一個根，解得或（舍），設，則，，故選B設函數(shù)，關于的方程有4個不相等的實數(shù)根，則的最小值為【答案】36【解析】，可知函數(shù)圖像關于x=3對稱當，，圖像如下錯解：顯然（并不能取到等號）正解：，則，，，，令所以再令，則（如果比較熟練可以直接令一次換元即可）已知函數(shù).，若關于x的方程有四個不同的且有則的取值范圍是_______【答案】 【解析】圖像如下，顯然，，則∵，∴已知函數(shù),若方程有4個不同的實根，且,則.【答案】9【解析】顯然，∴【相似題】已知函數(shù)，若方程有四個不同的解且則的取值范圍為()A.(－1，＋∞)B.(－1，1]C.(－∞，1)D.[－1，1)【答案】B【解析】顯然為減函數(shù)，而，所以選B已知函數(shù)，若實數(shù)a,b,c滿足0<a<b<c，且,下列結論中恒成立的是()A.ab=1B.C.a+c<2bD.【答案】ABD已知函數(shù),若方程有4個根分別為，且,則的取值范圍是______【答案】（多選）已知函數(shù),若，且,則下列結論正確的是（） A． B． C． D．【答案】BCD已知函數(shù)，則.若存在,使得則.【答案】（1）；（2）6【解析】圖像如下，設，顯然，則已知函數(shù)，若方程有四個不同的實根滿足則的取值范圍是（）A．(0，3) B．（0，4] C．（3，4] D．(1，3)答案A解析作出函數(shù)的圖象如圖：根據(jù)條件，結合圖形可知，且，其中則，中其中，因為在上單調(diào)遞增，故（多選）已知函數(shù).若且，則下列結論正確的有（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】可知，其中，，所以（取不到等號），則（取不到等號），則題型三分段函數(shù)，復合函數(shù)由單調(diào)性求取值范圍設函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，則實數(shù)a取值范圍為_________．【答案】【分析】在每一段上為單調(diào)遞增，且在端點位置要保持f（x）在R上為增函數(shù)，則，解得已知且,函數(shù)的圖像恒過定點，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則a的取值范圍是______【答案】【解析】易知m=1，n=2，則，顯然在上遞減，則，且在上恒成立，得綜上，設函數(shù)是定義在R上的增函數(shù),則實數(shù)a取值范圍是.【答案】【解析】考慮3個部分因為為增函數(shù)，易知a>0；的單調(diào)增區(qū)間為；所以a≥22個端點大小比較：綜上，已知f(x)＝loga(ax2﹣x)（a＞0且a≠1）在上是增函數(shù)，則實數(shù)a取值范圍是．【答案】【解析】除了分析單調(diào)性還要考慮真數(shù)部分大于零顯然在上恒成立，所以由同增異減可得綜上，題型四分段函數(shù)的滿足某條件求參數(shù)范圍若函數(shù)的值域為,則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】已知且a≠1)，若f(x)有最小值，則實數(shù)a取值范圍是____________【答案】【分析】分a＞1和0＜a＜1討論，再求出x≤1和x＞1時函數(shù)值的范圍，結合f(x)圖像最小值得關于a的不等式求解．【解答】解：①當a＞1時，若x≤1，f(x)＝EQa\S\UP6(x)＋a單調(diào)遞增，此時a＜f(x)≤2a；若1＜x＜a，f(x)＝a－x＋1單調(diào)遞減，x＞a，f(x)＝x－a＋1單調(diào)遞增，故x＞1時，f(x)的最小值為f(a)＝1，故若f(x)有最小值，則a＞1；②當0＜a＜1時，若x≤1，f(x)＝EQa\S\UP6(x)＋a單調(diào)遞減，此時f(x)≥2a；若x＞1，f(x)＝x－a＋1單調(diào)遞增，此時f(x)＞2－a，故若f(x)有最小值，則2a≤2－a，即EQ0＜a≤\F(2,3)．綜上，實數(shù)aEQ的取值范圍是．函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值,實數(shù)a的范圍()A.B.C.D.【答案】D【解析】，如圖所示，，要使區(qū)間上既有最大值又有最小值,則,即，且，，（舍），.綜上，設函數(shù)，若恰有2個零點,則實數(shù)a的取值范圍是_______.【答案】【解答】當x＜1時，的取值范圍是；方程的解為若在上有一個零點，則，而也存在一個零點，所以，此時若在上沒有零點，則或，即或而也存在兩個零點，所以，此時已知函數(shù)若存在使得則的取值范圍為.【答案】【解析】畫出大致圖像，顯然——錯解要注意，之間存在聯(lián)系，不是相互獨立的，正解：設，即，；則，，所以法二：，∵，∴題型五關于的f(x)的一元二次方程或嵌套函數(shù)已知，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A先換元再十字相乘得到一個零點，再討論另外一個零點的范圍已知函數(shù),.①若方程有兩個解,則的取值范圍為；②若不等式在R上恒成立,則m的取值范圍為．(第一空1分,第二空2分)答案．解析①由題意為向下平移兩個單位，再將軸下方部分翻折到上方，注意時,結合圖象可得;②令,則對任意恒成立,時的取值范圍是,則.設函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)是．【答案】5【解析】令，則，得當t＝2時，有2個對應的x，當時，有3個對應的x綜上，有5個零點.（天津高考）已知函數(shù)(a＞0，且a≠1)在R上單調(diào)遞減，且關于x的方程恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是________.【答案】【解析】在R上單調(diào)遞減，顯然結合圖像可知在必有一個交點，所以也恰有一個交點所以恰有一個負數(shù)解，即在上存在一個零點，有2個相同的根，△=0解得或a＝1（舍）一個正根和一個負根：一個根為0和一個負根綜上，或（多選）設定義域為R的函數(shù)，若關于x的方程有且僅有三個不同的實數(shù)解x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．下列說法正確的是 （）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】令，設m，n為關于t方程的根，則和的解一共有3個，即直線y＝m與y＝n與圖像有3個交點畫出圖像觀察，顯然m＝n＝1，則則，，代入t＝1，有a＋b＋1＝0所以，答案為ABD已知函數(shù)，若對任意的,恒成立,求實數(shù)c的取值范圍.【答案】【解析】易證是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，所以記，則有關于t的二次不等式在上恒成立，∵，∴即可，得，∵，∴【相似題】——改數(shù)據(jù)已知函數(shù)，若對任意的,恒成立,求實數(shù)c的取值范圍.【答案】【解析】易證是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，所以記，則有關于t的二次不等式在上恒成立，∵，∴即可，得，∵，∴已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為______.【答案】7【解析】圖像如下,令，則的根為，有2個根，有3個根，有2個根，已知關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】首先在上恒成立，分參得記，，則有在上恒成立，即當時，在上的最大值小于1∵，即∴當時，在上的最小值大于1∵，即∴綜上，題型六分段函數(shù)與嵌套函數(shù)綜合（一般畫2個函數(shù)圖像來分析）已知函數(shù)，若方程至少有3個不相等的實根，則實數(shù)a的取值范圍是_________【答案】(1,2]【解析】畫出2個函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，分，，三種情況討論令，當時，對應1個x，當時，對應2個不同的x，

當時，，有1個實數(shù)根；當時，有3個根，，共對應3個不同的x；當時，，對應2個不同的x設定義域為R的函數(shù)若關于x的函數(shù)有8個不同的零點，則實數(shù)b的取值范圍是_________.答案解析：圖像如下，令，顯然關于t的方程有2個不等實數(shù)根且，令，則已知定義域為R的函數(shù)若關于x的函數(shù)有5個不同的零點.,則.【答案】【解析】令，則，顯然當時，有3三不同的x與之對應，當時，有2個不同的x與之對應，所以，則已知函數(shù)，若方程恰有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_________.【答案】【解析】圖像如下，觀察圖像，對a的范圍進行分類討論令，①當時，，有1個實數(shù)根；②當時，有3個根，設，則則無實數(shù)根，有3個不同的實數(shù)根，無實數(shù)根；所以當時，有3個不同的實數(shù)根；當時，有2個實數(shù)根，，有3個不同的實數(shù)根(i)若,即，則有2個不同的實數(shù)根，此時有5個不同的實數(shù)根；(ii)若,即則有1個實數(shù)根，此時有4個不同的實數(shù)根；(iii)若,即，則無實數(shù)根，此時有3個不同的實數(shù)根；當時，，此時有2個不同的實數(shù)根，綜上，【補充】以上分類討論太過繁瑣，考慮到考試的時間，需要根據(jù)圖像特點優(yōu)化思路令，，則只看的部分，方程恰有5個不同的實數(shù)根，所以肯定是“3”+“2”的模式，則方程的2個根，，根據(jù)，的取值范圍，再結合圖像，則.已知，則方程的根個數(shù)可能是A．3 B．4C．5D．6【答案】ABD【解析】令，分析的根，當t＝－1時，對應一個x，當t＞－1時，對應2個x當a＝1時，有2個交點，此時t＝－1或2，則x＝0或±2，有3個根當a＝0時，有2個交點，此時t＝0或1，則有4個根當0＜a＜1時，有3個交點，此時有6個根已知函數(shù)，若關于x的方程恰有個實數(shù)根,求m的取值范圍.【答案】【解析】函數(shù)圖像如下令，根據(jù)圖像，方程有2個非負實數(shù)根，，且，令，當時，，此時，滿足要求；當，時，，不等式無解；當，時，不等式無解；綜上，已知函數(shù)則方程的根的個數(shù)可能為（）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】AB【解析】函數(shù)圖像如下，令，則，當時，，設，作與，當時，有2個根； 當時，有5個根；當時，有4個根；當時，有3個根；當時，有2個根；故選AB．知函數(shù)若函數(shù)恰有8個零點，則m的取值范圍是________.【答案】【解析】令，結合的圖像分析，要使函數(shù)恰有8個零點，需使方程在內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根，分參得，則，且要滿足【錯誤】錯因分析：忽視了t的個數(shù)！本質(zhì)是數(shù)形結合思想這里可以理解為y＝m與y＝－t2＋4t－1有2個交點時，m的取值范圍．【正解】記，則已知函數(shù)，若函數(shù)，恰有個不同的零點，則實數(shù)取值范圍為_________.答案因式分解即可，（2023·浙江·二模）已知函數(shù)，則至多有______個實數(shù)解.【答案】7【分析】分類討論的大小關系脫掉絕對值符號，求導，判斷函數(shù)單調(diào)性，進而作出函數(shù)的大致圖象，設，則即，從而將的解的個數(shù)問題轉化函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，數(shù)形結合，即可求得答案.【詳解】由可得，由知，，當時，，，當時，，在單調(diào)遞增，當時，，在單調(diào)遞減，當時，，，在單調(diào)遞增，則可作出函數(shù)的大致圖像如圖：三個圖分別對應時的情況，設，則即，則的解的個數(shù)問題即為的交點個數(shù)問題，結合的圖象可知的交點個數(shù)最多是3個，即為圖2個和圖3所示情況，不妨設交點橫坐標為，當如圖2所示時，，此時