高三數(shù)學不等式練習題

不等式（山東省鄆城第一中學274700）張鐘誼不等式是中學數(shù)學的重點內(nèi)容，是學習數(shù)學其它各部分學問所必不行少的工具，也是歷年高考考查的重點內(nèi)容。復習提要因為不等式的性質(zhì)、不等式的證明、不等式的解法、含有肯定值的不等式是高考考試內(nèi)容，因此必需：（1）駕馭不等式的性質(zhì)及其證明，駕馭證明不等式的幾種常用方法，駕馭兩個和三個（不要求四個和四個以上）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這兩個定理。并能運用上述性質(zhì)、定理和方法解決一些問題；（2）在嫻熟駕馭一元一次不等式（組）、一元二次不等式的解法的基礎上，初步駕馭其他的一些簡潔的不等式的解法；（3）會用不等式例題及評注例1（1996年上海高考題）假如，則間的關(guān)系是（）（A）（B）（C）（D）解：分別在同一坐標系中作的圖像（如圖1）便知應選（B）。評注：利用特例分析法，并嫻熟駕馭對數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)是確保解決對數(shù)問題的基本保證。例2不等式的解集為__________。（1995年全國高考題）解：原不等式等價于，由指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增可知：。所以原不等式的解集為。評注：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的純熟運用是解本題的關(guān)鍵。例3解不等式（1985年全國高考題）解法1：原不等式等價：或解（1）、（2）得原不等式的解集為解法2：設且，則從而解得。評注：對于無理不等式的解法一般采納等價轉(zhuǎn)化為不等式組來處理，留意分類探討，同時還應采納正難則反的策略求解。例4已知，對于的的值都有成立，則對這些的值都有。證明：令評注：本例論證突破的關(guān)鍵有兩處：一是對的恒等變形；二是對的恒等變形。在此基礎上運用條件及肯定值不等式性質(zhì)達到證明的目的。近年高考題中的高檔題都考查到這些思想方法的運用。例5已知，問是否存在正整數(shù)，使不等式恒成立？假如存在，求出全部值；假如不存在，試說明理由。解：，原不等式等價于，此式恒成立的充要條件是，當且僅當，即當依次成（遞減）等差數(shù)列時，上式取“=”號。，而且，故存在正整數(shù)，使原不等式恒成立。評注：這道探究問題較難求解，但適當拆分因式，用基本不等式求解，不但解法新奇，而且過程也簡捷。例6過曲線的直線軸交于點，其中。（1）用；（2）證明；（3）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：（1）點，直線方程為，令可解得（2）由欲證，只需證，即，只需證?？捎脭?shù)學歸納法證明。（3）要使恒成立，只需。評注：這是一道不等式、數(shù)列、函數(shù)的綜合問題，它以二次曲線為背景，以直線方程為基礎，建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，進而證明不等式，并通過證明數(shù)列是遞減數(shù)列完成解不等式。診斷檢測（一）選擇題1.若（）2.已知中最大的為（）3.設，則下列各式中正確的是（）4.與不等式解集相同的不等式（）5.已知都是不等于1的正數(shù)，則的最小值是（）（A）3（B）-3（C）0（D）不存在（二）填空題6.設從小到大排列是_______________。7.使不等式都成立的的關(guān)系式為________________。8.不等式的解集為___________。9.不等式的解集為______________。10.若函數(shù)能取得負值，則實數(shù)的取值范圍是____________。（三）解答題11.已知。12.定義在（-2，2）上的奇函數(shù)是減函數(shù)，且，求實數(shù)的取值范圍。13.已知的最小值。14.設的最值。答案與提示：（一）1.D2.C3.A4.B5.D（二）6.7.8.9.10.（三）11.略證：（逆向運用公式）由,三式相加并留意，則。12.略解：首先考慮定義域有：，因為上為減函數(shù)，所以。取兩個范圍的交集得。留意：求解不等式問題切勿忽視函數(shù)的定義域。13.略解：，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為9。留意：若另解為：，最小值為8。這種解法是錯誤的，因為兩次運用均值不等式，但取等號條件分別為和，而這兩式不能同時成立。14.略解：設，即，比較此式兩邊的系數(shù)，得，依題意，得，的最小值是5，最大值是10。留意：有時變形是不行逆的，本題忽視這一點，易出錯。思想與方法結(jié)合下面實例，挖掘解決不等式問題的思路與方法。例7（1985年上海市高考題）對于一切大于1的自然數(shù)，證明：。證法1：（1）當時，左邊，右邊，左邊>右邊，不等式成立。（2）假設時不等式成立，即，兩邊乘以依據(jù)（1）、（2）對于大于1的自然數(shù)，原不等式成立。證法2：設說明：證明不等式，常用的方法有比較法、綜合法、分析法、數(shù)學歸納法和反證法。本題留意了依據(jù)欲證不等式的特點敏捷選擇，并恰當?shù)亍胺趴s代換”，這是證不等式不行忽視的兩點。例8解不等式解法1：（轉(zhuǎn)化為等價不等式組）原式等價于解（1）得，解集為時，解集為。解法2：（整體換元）令解法3：（通過局部換元后，用數(shù)形結(jié)合或探討法求解）令，，由圖像視察可得：說明：嫻熟駕馭代數(shù)（有理、無理）及超越（指數(shù)、對數(shù)、三角）不等式的解法是高考中檔試題的一個較為穩(wěn)定的命題重點和熱點，化高次為低次，化無理為有理，化多元為一元，化超越為代數(shù)，以及等價轉(zhuǎn)化，分類探討，數(shù)形結(jié)合，換元法等數(shù)學思想方法在本題多種解法中均有體現(xiàn)。例9二次函數(shù)的系數(shù)都是整數(shù)且，在（0，1）內(nèi)有兩個不等的根，求最小的正整數(shù)。解：令的兩根為，且，于是，，，得，。同理，且等號不同時成立，所以，，而，所以，故最小的正整數(shù)。說明：實系數(shù)一元一次、一元二次方程的實根與系數(shù)的關(guān)系，構(gòu)成了高考重點、難點、熱點問題，這類問題的解決要運用實系數(shù)方程實根分布的理論，這也是中學數(shù)學的一個重要內(nèi)容，它體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想及數(shù)形結(jié)合的方法，不等式與方程互化的思想，本題正是運用了這些思想方法，才使問題化繁為簡，順當獲解。例10設，，為常數(shù)，，試求的最小值。解法1：明顯，于是有當時，的最小值為。解法2：本題也可用判別式法。令,，有最小值。解法3：用三角換元法設，則說明：最值問題也構(gòu)成不等式在高考中的重點、難點、熱點問題，駕馭和運用兩個和三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理是解決這類問題必不行少的基本技能與技巧。強化訓練（一）選擇題1.已知則（）2.若的最大值為（）3.已知函數(shù)的圖像如圖2，當時，有，則正確的結(jié)論是（）4.不等式的解集是（）5.不等式組的解集是（）6.不等式的解集是（）7.母線長為1的圓錐體積最大時，其側(cè)面綻開圖圓心角等于（）（二）填空題8.給出下列四個命題：（1）若；（3）若，則；（4）若，其中真命題的序號是__________。9.，則的大小關(guān)系為___________。10.若，使不等式在R上不是空集的的取值范圍是__________。11.不等式的解集是___________。12.設一長方體的體積為，則它的表面積的最小值為____________。13.若點在直線圖像上（其中為直角三角形三邊長，為斜邊），則的最小值為_____________。14.已知三個不等式：（1），（2），（3）。以其中兩個作為條件，余下的一個作為結(jié)論，則可組成_______個正確的命題。（三）解答題15.設，解關(guān)于的不等式，16.給出函數(shù)，對隨意，且，試比較的大小關(guān)系。17.若。18.在某兩個正數(shù)之間，若插入一個數(shù)，使成等差數(shù)列；若插入兩個數(shù)成等比數(shù)列，求證：。19.某工廠用平爐（主要運用焦炭，同時也用電）或電爐冶煉合金鋼，用平爐冶煉每噸鋼的費用為S元，用電爐冶煉每噸鋼的費用為P元，若每噸焦炭為元，工業(yè)用電每百度為元，則的關(guān)系為：，假如平爐比電爐煉一噸的費用低或相同，則用平爐生產(chǎn)，否則用電爐生產(chǎn)。（1）假如平爐與電爐冶煉費用相同，試將每噸焦炭價格表示為百度電費價的函數(shù)；（2）假如每百度工業(yè)用電的價格在60元以上，用平爐生產(chǎn)，則每噸焦炭的最高限價是多少元？20.是否存在實數(shù)，使得當時，不等式恒成立，若存在，求出的范圍，若不存在，說明理由。答案與提示：1.A2.C3.D4.A5.C6.C7.A8.（1）（2）（3）9.10.11.12.13.414.315.解：原不等式等價于不等式組當且。當。當，故此時不等式組的解為。16.解：故17.證明：要證，就是要證，即要證，即證，成立。成立。18.解：由題意可知：用，應用均值不等式，得19.解：本題是采納兩種方式冶煉合金鋼問題。（1）由題意S=P，得；（2）用平爐生產(chǎn)時，，即，故若每百度工業(yè)用電的價格在60元以上，用平爐生產(chǎn)時每噸焦炭的最高價是1530元。20.略解：假設存在實數(shù)，使題中的不等式恒成立，即使（1）恒成立。令取得最小值2，故要證（1）恒成立，需且只需。復習建議1.利用函數(shù)思想處理不等式有關(guān)問題利用函數(shù)思想處理不等式問題，不但能供應有效的思路方法，而且對于提高學問的遷移實力，培育創(chuàng)建性思維也是大有裨益的。如：利用二次函數(shù)的圖像探討實系數(shù)一元二次方程根的分布問題，解（或證明）不等式問題。例11當恒成立，求的取值范圍。簡析：對于這個含參數(shù)的不等式，若將不等式分別成含參數(shù)與不含參數(shù)兩部分，把不含參數(shù)的部分視為一個函數(shù)，利用其最值處理，參數(shù)的取值范圍將能快捷求出。解：由要使原不等式在[1，2]上恒能成立，即不等式（1）、（2）在[1，2]上恒成立，只需。例12正數(shù)。分析：簡潔看出互為倒數(shù)，右式的示意我們不能用均值不等式來證明，但正數(shù)“”，又示意我們可能要用到均值不等式，此時若能利用函數(shù)思想來處理，將會得到簡捷的證明。事實上，由于函數(shù)上是增函數(shù)，且。證明：（略）總之，復習中應重視利用函數(shù)思想處理不等式有關(guān)問題，以培育和提高自身的數(shù)學素養(yǎng)。2.重視不等式的應用不等式在方程、函數(shù)、參數(shù)及最值（值域或范圍）中的廣泛應用，幾乎滲透到中學數(shù)學的各個章節(jié)，在解應用題中應用也非常廣泛，近年來高考試題中的不等式的分數(shù)比重居高不下，特殊是均值不等式的應用出現(xiàn)的頻率很高，因而復習中應特殊留意。例13（2000年全國新教材高考題）用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，假如所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，則高為多少時容器的容積最大？并求它的最大容積。分析：本題的原解法是用導數(shù)學問實施的，但據(jù)題意及列式特點，配湊“和”為定值，借用均值不等式仍可獲簡解。解：設容器的底面短邊長為，則長邊長為，其高為。于是，長方體的容積為：當且僅當，故所制作的容器的高是1.2m時，其容積取得最大值。例14某機關(guān)在“精減人員”中，對部分人員實行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領(lǐng)取工資的100%，從其次年起，以后每年只能在原單位按上一年的領(lǐng)取工資。該機關(guān)依據(jù)分流人員的特長，安排創(chuàng)辦新的經(jīng)濟實體，該經(jīng)濟實體預料第一年屬投資階段，沒有利潤，其次年每人可獲b元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年基礎上遞增50%。假