2023-2024學年廣東省肇慶市高二年級上冊期中數(shù)學模擬試題(含解析)

2023-2024學年廣東省肇慶市高二上冊期中數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.若直線經(jīng)過工。,0）,44,-3如）兩點，則該直線的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【正確答案】C

【分析】由斜率公式與斜率的定義求解即可

【詳解】因為直線經(jīng)過ZQ,0）,8（4,-3行）兩點，

所以直線48的斜率為左=空走=-百.

1-4

設(shè)直線43的傾斜角為0,貝Ijtan6?=-Vi,

又0°4。＜180°,

所以。=120°,

所以直線43的傾斜角為120。.

故選：C

-IXU1

2.已知丫為直線/的方向向量，由分別為平面心6的法向量，則下列說法中，正確的

有（）

A.勺//%=0〃4B.〃1_L"2=a_L/?

C.V//MJol/laD.v_L〃]=/_La

【正確答案】B

【分析】由題意，根據(jù)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，可得答案.

【詳解】對于A,由"7/〃；，則平面a,夕平行或重合，而a〃夕，可得〃）/〃；，故A錯誤;

對于B,由則a*1■夕，反之也成立，故B正確；

對于C,由則/_La,反之，由〃/a,則丫_1勺，故C錯誤；

對于D,由v_L〃i，則〃/a或/ua,反之，由/_La,則丫〃勺，故D錯誤：

故選：B.

3.若bc<o,ab>U,貝lj直線QX+勿+c=0的圖象只能是()

B.

C.D.

【正確答案】D

【分析】由一般式方程轉(zhuǎn)化為截距式方程，根據(jù)斜率與截距的取值，可得答案.

【詳解】由題意，b^O,將方程ax+如+c=0轉(zhuǎn)化為y=易知一￡<0,-￡>0,

bbbb

故選：D.

4.若異面直線小乙的方向向量分別是。=(0，-2,-1),6=(2,4,0),則異面直線4與4的夾

角的余弦值等于()

24

A.——cD.

5-I-45

【正確答案】D

【分析】由空間向量夾角的坐標運算求異面直線4與4的夾角的余弦值，注意夾角范圍.

0-8+04

【詳解】設(shè)4，，2所成的角為。，則cos6=

岳2石5

故選：D

5.已知過點尸(3,1)的直線與圓(工-1)2+(歹-2)2=5相切，且與直線x-加yT=0垂直，則加=

)

AC.-2D.2

-4B?I

【正確答案】C

【分析】先求出過點P(3,l)的直線與圓(x-l)2+(y-2)2=5相切的直線方程，利用兩直線垂

直列方程求出m.

【詳解】設(shè)過點尸(3,1)的直線為/.

(1)當/的斜率不存在時，直線/“=3圓(乂-1)2+。-2)2=5的圓心到/的距離為

|3-1|=2*6'，所以不是圓的切線，不合題意.

(2)當/的斜率存在時，直線/)-1=無('-3)由題意可得：啜曰=6解得：A=2.

因為/與直線xr?y-l=O垂直，所以2x^=-l,解得：m=-2.

m

故選：C

6.如圖，在三棱錐。一/BC中，設(shè)04=。，OB=b，OC=c>若AN=NB，BM=2MC?

則MV=()

1X2、1Xif2>1x1,x1>1X1>

A.—a+—b——cB.——a——b+—cC.—a——b——cD.——a+-b+-c

263263263263

【正確答案】A

【分析】利用空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算求解.

..................................................1、一

【詳解】MN=BN-BM=-BA--BC9

=](Q4_Q8卜3(0C-O8),

1"X1rN)

=-OA+-OB——OC,

263

1x1x2>

=—a+—b——c,

263

故選：A.

7.如圖，在平行六面體/8CD-48CQI中，=4D=AB=2,NBAD=；,

TT八八

ZBAA,=ZA}AD=-,則()

DiCl

/,////

...J--'c

//z//

/B

A.12B.8C.6D.4

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間向量加法的運算性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和定義進行求解即

可.

【詳解】

AB,AD}={<AB+AA^AD+AA^=AB-AD+AB-AA{+AD-AAX+AA^

nAB.AD,=0+2x2x—F2X2X—+2?=8,

1'22

故選：B

8.已知兩點Z（-3,2）,8（2,l）,過點尸（0,-1）的直線與線段/B有交點，則直線/的傾斜角的

取值范圍為（）

713兀]「八兀713兀

A.-y,—B.0,—

_44J4[24」

3

C八兀]D,|「_兀4,兀2），兀兀

【正確答案】A

（分析】分別求出點P與線段力8端點所成直線的斜率,即可得直線/的斜率范圍，再由傾

斜角與斜率關(guān)系求傾斜角范圍即可求解.

【詳解】由題意：如下圖所示：

T

所以心，=釗=-1，⑥8=用=1，則””（口,一1]

口,+8）,

—J—UZ—U

若直線/的傾斜角同。孫則“ta?所以。嗚爭,

故選.A

二、多選題

9.設(shè)直線/:ox+(2〃+3)y-3=0與〃-2)x+ay-1=0,則()

A.當。=一2時，l//nB.當a=g時，/_L〃

C.當〃/〃時，/、〃間的距離為好D.坐標原點到直線”的距離的最大值為也

22

【正確答案】ACD

【分析】利用直線平行、垂直的判定判斷A、B；由直線平行求參數(shù)a,再代入驗證，進而

應(yīng)用平行線距離公式求距離，由點線距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)求原點到直線〃的距離最值,

即可判斷C、D.

【詳解】A：“=-2時，/:2x+y+3=0,〃：2x+y+；=0,易知〃/〃，正確；

B：a=g時，/:x+lly-9=0,〃:5x-y+3=0,則1lx(-l)+5xl=-6*0,故/_L〃不成立,

錯誤；

C：〃/〃時，a2=(2a+3)(a-2),則/-a-6=(a-3)(a+2)=0,可得a=3或a=-2,

當a=3時，/:x+3y-l=0,n;x+3y-\=0,兩線重合，排除；

3-1I-

所以。=-2,由A知：它們的距離“=2=V5,正確；

垂)2

D：坐標原點到直線〃的距離〃="竟節(jié)=誨呆7,故所1時初l當，正確?

故選：ACD

10.下列說法中，正確的有()

A.過點尸(1,2)且在x、V軸截距相等的直線方程為x+y-3=0

B.圓Y+/=4與圓x2+/-8x-6y+16=0的位置關(guān)系是夕卜切

C.直線x-6y+l=0的傾斜角為60”

D.過點(5,4)且傾斜角為90,的直線方程為x-5=0

【正確答案】BD

【分析】利用直線的截距式方程可判斷A選項；判斷兩圓的位置關(guān)系，可判斷B選項：求

出直線的傾斜角，可判斷C選項；求出所求直線的方程，可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，當直線過原點時，設(shè)所求直線方程為夕=去，代入點P的坐標可得

k=2,

當直線不過原點時，設(shè)所求直線方程為x+y=〃，代入點。的坐標可得。=3.

綜上所述，過點尸（1,2）且在X、y軸截距相等的直線方程為x+y-3=0或y=2x,故A錯

誤；

對于B選項，圓/+貫=4的圓心為（0,0）,半徑為2,

圓/+/—8x-6y+16=0的標準方程為（x-4）2+（y-3）2=9,圓心為（4,3）,半徑為3,

圓心品巨為d=,（4-0）2+（3-0）2=5=3+2,

因此，圓x?+y2=4與圓x2+V-8x-6y+16=0的位置關(guān)系是外切，B對；

對于C選項，直線x-島+1=0的斜率為乎，該直線的傾斜角為30”，C錯；

對于D選項，過點（5,4）且傾斜角為90”的直線方程為x-5=0,D對.

故選:BD.

11.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）

A.若向量｛a,6,可是空間的一個基底，則｛a+b,a-6，W也是空間的一個基底

B.若廣，；0，則強的夾角是銳角

人---3

C.己知。=（-1,1,2）/=（0,2,3）,若ka+b與2a-b垂直，貝此=*

D.空間向量二（-2,-1,1），，:（3,4,5）夾角的余弦值為-立

6

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)空間向量基底概念得到加=X〃+W+ZC,設(shè)出〃?=X]（a+。）+乂-b）+Z1C，

計算出七=守，必=土干,z=4且不全為0,A正確；B選項，舉出反例；C選項，由垂直

列出方程，求出左=-1,C錯誤；利用空間向量夾角余弦公式求出答案.

【詳解】向量｛2芯是空間的一個基底，故存在不全為0的x/,z使得任意向量

m=xa+yb+zc9

貝Ij設(shè)加=X](〃+b)+必(Q_6)+Z/=僅]+乂)+包―必1+Z[C,

x-山

r1-2

X[+必=X

對照系數(shù)可知：,X|-M=y,解得：

z=z.

IlZ=Z]

故x“M，Z|不全為0,故A正確：

若a,b共線且同向，此時滿足廣6>0,但夾角為0,不是銳角，B錯誤；

ka+h'=(-k,k,2k)+(0,2,3)=(-4,女+2,2月+3),

=(-2,2,4)-(0,2,3)=(-2,0,1),

3

由題意得：2A'+2左+3=0,解得：k―――,C錯誤；

4

/X卡式(-2,-1,1).(3,4.5),分56

空間向量c°s(哂=浦="+1+79+16+25=京了一不'。正確?

故選：AD

12.如圖，已知長方體/BCr>-44CQ|中，四邊形/8CD為正方形，AB=2,AAt=72,

E,尸分別為Z8,8c的中點.則()

A.A}E1DFB.點4、E、尸、G四點共面

C.直線CQ與平面8AGC所成角的正切值為&D,三棱錐E-GDF的體積為正

2

【正確答案】BCD

【分析】利用反證法判斷A；利用直線平行判斷B；利用線面角的定義判斷C；利用錐體體

積公式判斷D.

【詳解】對于/,假設(shè)由題意知8c人平面4Eu平面Z/R/,

?1.AtE±BC,又8。1。尸=尸，.?.4E，平面/8CD,由長方體性質(zhì)知力￡與平面/BCD不

垂直，故假設(shè)不成立，故/錯誤；

對于8,連接EF,AC,4G，由于￡，尸分別為48,8c的中點，.?.￡尸〃ZC,又因為

長方體Z8CD-44G。，知A￡//AC,:.EF"A￡,所以點4、E、尸、四點共面，故8

正確；

對于C,由題意可知。C_L平面.?./OCC為直線G。與平面88。。所成角，在直

角△OCG中，CC\=近,8=2,則tan/OCC=*=7J=C,故。正確：

對于D,連接。E,C、E,AB=AD=2,則

1113

=

SyDEF=$wABCD-ADE~S'BEF-S\CDF2x2——X2x1——X1X1—-X1x2=—,利用等體積法

知：展QF=VC,-DEF=1-5VD￡FCC\=}gx6=孝,故。正確

故選：BCD

三、填空題

13.過兩直線2x+y-8=o與x-2y+l=0的交點，且與直線3x-4y-8=0垂直的直線的方

程為.

【正確答案】4x+3y-18=0

【分析】求出兩直線交點坐標，再根據(jù)所求直線與直線3x-4y-8=0垂直，確定所求直線

斜率，再利用點斜式即可得到答案.

12x4-y—8=0Ix=3/、

【詳解】根據(jù)題意可得J.2；，+i=0，解得，p=2'則兩直線交點坐標為(3,2)，

4

又所求直線與直線3x-4y-8=0垂直，則所求直線的斜率為左=-§,

則所求直線方程為y-2=-g(x-3),整理得4x+3y-18=0,

故答案為.4x+3y-18=0

14.直線/：x+y-3=0被圓C：x2+V-6x+8y-ll=0截得的弦長為.

【正確答案】4近

【分析】求出圓心和半徑，再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線/的距離，然后利用

半徑，圓心距和弦的關(guān)系可求出弦長

【詳解】由f+y2_6x+8y-ll=0,得(x-3f+(y+4)2=36,

所以圓C的圓心為(3,-4),半徑為6,

13-4-311-

因為圓心到直線/的距離為J一尸」=272,

72

所以直線/被圓C截得的弦長為216y2可=46.

故4近

15.已知直線/過定點4(3,2,1),且；:(1,0,1)為其一個方向向量，則點尸(3,3,2)到直線/的

距離為.

【正確答案】—

22

【分析】利用空間中的點到直線的距離公式求解即可.

八八(近向XX萬

【詳解】設(shè)4=4。=(0,1,1),〃X=r,則〃?〃=——

卬I22\2

16.已知圓G：(x-a)2+(y-a)2=8(a>0)與圓6：/+/-2》-2了=0沒有公共點，則實數(shù)

。的取值范圍為

【正確答案】0<"2或a>4

【分析】根據(jù)兩圓無公共點，可知兩圓相離或者內(nèi)涵，故根據(jù)圓心距和兩圓半徑的關(guān)系即可求

解.

【詳解】圓G的圓心為G(a,。)，半徑4=20,圓C?的圓心為。2(1，1)，半徑圓

心距|。?|=]("1)，("1)2=0|"小因為兩圓沒有公共點，所以兩圓外離或內(nèi)含，則

|。。2|>{+々或仁。2|<上々，即忘|"1|>3忘或0|"1|<&',又因為4>0,所以0<4<2

或a>4.

故答案為：0<”2或a>4.

四、解答題

17.直線4：2x+5y-12=0與直線/2：-3x+y+l=0相交于點A,直線/過點A且與直線

2x-y+l=0平行.

(1)求直線/的方程；

(2)求圓心在直線/上且過點0(0,0),8(2,0)的圓的方程.

【正確答案】(l)2x-y=0；

⑵(x-l>+(y-2)2=5.

【分析】(1)由題可得/(1,2),然后根據(jù)直線的位置關(guān)系可設(shè)/：2x-y+c=0,進而即得;

(2)根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得圓心和半徑，即得.

f2x+5y-12=0[x=1/、

【詳解】(1)由。-，八，可得、，即/L2,

|-3x+y+l=0[y=2'

由題可設(shè)直線/：2x-y+c=0,又直線/過點”(1,2),

所以c=0,

所以直線/的方程為2x-y=0；

(2)因為圓心在直線/上且過點。(0,0),8(2,0),

由0(0,0),8(2,0),可得線段08的中垂線方程為x=l,

由Uo,可得H，

所以圓心坐標為（1,2）,半徑為廠=彳方=石，

所以圓心在直線/上且過點。（0,0）,8（2,0）的圓的方程為（*-1）2+（夕_2）2=5.

18.如圖在棱長為1的正方體中，E為44的中點，尸為的中點，H為

?！┑闹悬c，K為84的中點.

（1）求直線4H到直線KC的距離;

（2）求直線FC到平面AEC,的距離.

【正確答案】（1）率

（2）當

6

【分析】（1）建立空間直角坐標系，經(jīng)過計算可發(fā)現(xiàn)4"http://KC,則直線4"到直線KC的距

離可轉(zhuǎn)化成點4到直線KC的距離，然后利用向量方法進行求解即可；

（2）經(jīng)過計算可發(fā)現(xiàn)/C〃平面/EG，則直線FC到平面/EG的距離可轉(zhuǎn)化成C到平面

/EC的距離，然后利用向量方法進行求解即可

以2為原點，Dd，D￡,4。所在直線分別為X,Z軸，建立如圖所示的空間直角坐

標系，

則4(1,0,0),c(4LOj)，G(o』,0,〃(0,0,9，《1,1,小,尸1。

所以謂［［TO1),冷［-1,0,g),則4/1長8，即4/力Kd,則4〃//KC,

所以直線4H到直線KC的距離可轉(zhuǎn)化成點4到直線KC的距離,

KA,在K?上的投影向量的長度為

所以點4到直線KC的距離d=g4=粵.

所以直線4〃到直線KC的距離為當

(2)由⑴可得灌二NC：1(-1,1,-1),

設(shè)平面ZEG的法向量為1(x,y,z),

XT1

n-AE=—y-z=0一

由，2，令歹=2,則x=l,z=l,得〃=(1,2,1),

n-ACt=—x+y—z=O

因為尸3；;0,所以尸m則尸C〃平面NEC，

所以直線FC到平面的距離可轉(zhuǎn)化成C到平面NEG的距離，

則CG=(O,O,-l),

|c%)二1=顯

所以直線FC到平面AEC［的距離［=

|?|a6

19.已知平行四邊形48co的三個頂點的坐標為4(-1,4),C(3,2).

(1)求平行四邊形ABCD的頂點D的坐標.

(2)求四邊形N8CO的面積.

(3)求/8C邊Z8上的高所在直線方程.

【正確答案】(1)0(5,7)；

⑵24；

(3)2x+5y-16=0.

【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合中點坐標公式計算得解.

(2)求出直線BC的方程，再求出頂點A到直線BC的距離及線段BC的長即可計算得解.

(3)求出直線N8的斜率即可求得N8C邊N8上的高所在直線方程.

【詳解】(1)Y-8的頂點?-1,4),5(-3,-1),C(3,2),則對角線ZC中點為(1,3),

于是得對角線5。的中點是(1,3),設(shè)。(x,y),因此有辭=1,U=3'解得:x=5

7=7

所以平行四邊形的頂點。(5,7).

(2)因8(-3,-1),C(3,2),即有直線8c斜率左=注少=^,直線BC的方程:

y-2=；(x-3),即x-2y+l=0,

因此，點/到直線8c的距離為上二巴1=4

而18cz6?+3?=#，

V5V5

從而得S“SCO=￡X3石=24,

所以四邊形的面積為24.

,-1-45

(3)依題意，直線AB的斜率G—=5'則/8C邊N8上的高所在直線的斜率為

_2

f

5

于是有：y-2=-j(x-3),即2x+5y_16=0.

所以N8C邊上的高所在直線的方程為2x+5y-16=0.

20.已知圓心為M的圓經(jīng)過4-2,6),8(6,0),C(-8,-2)這三個點.

(1)求圓M的標準方程：

(2)直線/過點P(4,6),若直線/被圓M截得的弦長為10,求直線/的方程.

【正確答案】⑴(x+l)2+(y+l)2=50

(2)12x-35y+162=0或x=4

【分析】(1)設(shè)圓加的標準方程為(x-a『+(y-b)2=/&>0),帶入三點坐標解方程組可

得答案；

(2)當直線/的斜率不存在時，得直線方程求弦長；當直線/的斜率存在時，設(shè)其方程為

y-6=k(x-4),利用圓心到直線的距離、圓的半徑、弦的一半構(gòu)成的直角三角形計算可得

答案.

【詳解】(1)設(shè)圓股的標準方程為(》-“+(尸6)2=，&>0),

因為過4-2,6),8(6,0),C(-8,-2),所以

222

(-2-a)+(6-b)=rfa=-l

■(6-t/)2+(O-Z>)2=r2，解得"=-1,

(-8一療+(-2-6)2十z卜=50

所以圓M的標準方程為(x+l)2+(y+l)2=50；

(2)當直線/的斜率不存在時，其方程為x=4,

x=4fx=4f%=4

由\27\2_A?解得｛/1或(久,

(x+1)+(y+l)=50[y=4[y=_6

所以直線/被圓例截得的弦長為4-(-6)=10,符合題意；

當直線/的斜率存在時，設(shè)其方程為y-6=Mx-4),即米-》-4左+6=0,

|一/+1_妹+6|_|7—5對

圓心w(-1,-1)到直線/的距離為d=

因為直線/被圓M截得的弦長為10,所以-=/+(')一,

即50=(K)+25,解得人=1|,

直線/的方程為12x-35y+162=0.

綜上所述，直線/的方程為12x-35y+162=0或x=4.

21.如圖，已知PZ平面N8C。，底面為矩形，PA=AD=AB=2,M,N分別為

AB,PC的中點.

(1)求證：mV//平面E4。；

(2)求PD與平面PMC所成角的正弦值；

(3)求平面PA/C與平面尸/。的夾角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析：

⑵冬

3

⑶半.

【分析】(1)若E為尸。中點，連接易證⑷必歸為平行四邊形，則A/N//4E,根

據(jù)線面平行的判定證結(jié)論；

(2)構(gòu)建空間直角坐標系，求PD的方向向量與平面尸MC的法向量，應(yīng)用向量夾角坐標表

示求線面角的正弦值；

(3)由“=(1,0,0)是面勿。的一個法向量，結(jié)合(2)并應(yīng)用向量夾角坐標表示求面面角的

余弦值；

【詳解】(1)若E為尸。中點，連接又M、N為AB、PC的中點，底面/8C0為

矩形，

所以NE"CD且NEJcD,^AM=-AB=-CD且/A///。，

222

所以NE"AM且NE=AM,故NMNE為平行四邊形，

故MV//ZE,又MNN面P4D,4Eu面R4D,則MN〃面P4D.

(2)由題意，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標系，PA=AD=AB=2,

UUU'、

所以P(0,0,2),Q(0,2,0),M(1,O,O),C(2,2,0),則尸。=(0,2,-2)，PM=(1,0,-2),

PC=(2,2,-2),

,、??，,、

若機：(x,y,z)是面PMC的一個法向量，則也魏一'-'一°,令x=2,故

[mPC=2x+2y-2z=0

..一八八八

所以尸。與平面PMC所成角的正弦值為|cos<PD,m>|=儂啾=廠4=也

\PD\\m\2V2xV63

(3)由(2)知：加二(2,-1,1)是面PMC的一個法向量，又；:(1,0,0)是面尸4。的一個法向

量，

所以cos<〃?,〃>=出幺=3=池，故平面PMC與平面尸/。的夾角的余弦值遠.

|m||n|V633

22.如圖多面體/8CDE/中，四邊形Z8C。是菱形，入15c=60。，E4_L平面N8CZ),

EAHBF,AB=AE=2BF=2

(1)證明：平面ENC,平面E/C；

(2)在棱EC上有一點M，使得平面MBD與平面ABC