2022-2023學(xué)年湖北省孝感市漢川市八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2022-2023學(xué)年湖北省孝感市漢川市八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷

1.下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.V6B.V-5C.V8D.y/~a

2.下列各組數(shù)中，能構(gòu)成勾股數(shù)的是（）

A.1,1,y/~2B.1,口,2C.6,8,10D.5,12,15

3.平行四邊形ABC。中，乙4=50。，則NB的度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.130°D.150°

4.設(shè)一個直角三角形的兩直角邊分別是a,b,斜邊是c.用一把最大刻度是的直尺，可

以一次直接測得c的長度，則小匕的長可能是（）

A.a=5,b=12B.a=6,b=8C.a=4.b=10D.a=3,b=11

5.下列命題的逆命題成立的是（）

A.平行四邊形的對角線相等B.菱形的對角線互相垂直

C.矩形的對角線互相平分且相等D.對頂角相等

6.等式Va?—4a+4=2—a成立的條件是（）

A.a>2B.a<2C.a>—2D.a<-2

7.如圖，AB=BC=CD=DE=EF=1,AB1BC,AC1CD,AD1DE,AE1EF,則

AF的長為（）

A.yTZB.GC.2D.y/~5

8.如圖，在菱形ABC。中，連接AC,4B=4C,點E、尸分別是4B、BC上的點，且AE=BF,

連接AF、CE交于點、H,連接。”交AC于點。.則下列結(jié)論：?AF=CE；②NCHF=60。；

③O”平分N4HC；④若48=1,則S英唱“口=今.其中正確的個數(shù)是（）

D

o.

A.4B.3C.2D.1

9.要使根式QTG有意義，那么x的取值范圍是.

10.已知一個直角三角形的兩直角邊的長分別為6c加，8cm那么這個直角三角形斜邊上中

線的長為cm.

11.己知。、方為兩個連續(xù)整數(shù)，且a<C<b,則a+b=.

12.如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為“，化簡a+Va?-4a+4=.

13.如圖，已知04=OB,NC=90。，OC=1,BC=2.數(shù)軸上點A表示的數(shù)是

14.如圖，在平行四邊形ABC。中，以點4為圓心，AB的長為

半徑畫弧交AO于點E,再分別以點8、E為圓心，大于：BE的

長為半徑畫弧，兩弧交于點兒連接4月并延長交BC于點兒

連接EF,AF與BE相交于點。，如果BE=8,AB=5,那么四

邊形AEFB的面積為.

15.勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”.觀察下列勾

股數(shù)：3,4,5；5,12,13：7,24,25；這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差

為1.柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6,8,10；8,15,17；

若此類勾股數(shù)的勾為2血（血>3,m為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含m的式子表示）.

16.如圖，RtZkABC中，ZC=90°,AC=4,BC=6,。是AB的中點,

P是8c邊上的一動點，貝iJPA+PD的最小值為.

17.計算：

(1)2<T7-3>^3;

(2)2>Tl8x4+

N2

18.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個小格的頂點叫做格點，設(shè)頂點在格點上的三角形為

格點三角形，按下列要求畫圖.

(1)請你在網(wǎng)格圖中畫出邊長為=24，BC=<T0>力C=的格點三角形;

(2)判斷△ABC的形狀，說明理由，并求出△ABC的面積.

19.如圖，在△ABC中，點。，E,F分別是AB,AC,8c的中點，連接。E,BE,FE.

(1)求證：四邊形BDEF為平行四邊形；

(2)若NBEC=90。，BC=8,求四邊形8OE尸的周長.

20.春天到了，奇奇和妙妙一同去春游.如圖，有一座景觀橋AB,他倆一同坐在離橋頭A100〃?

的涼亭。處，準備從橋的不同方向到達景點C.奇奇先走到橋尾B到岸邊后再坐船到景點C,

妙妙先走到橋頭4到岸邊，再沿與橋AB垂直的小路AC走200,〃到達景點C,若距離均以直

線計算，且兩人所經(jīng)過的距離相等，請利用所學(xué)知識計算橋AB的長是多少？

21.學(xué)習完《二次根式》后，思思發(fā)現(xiàn)了下面這類有趣味的試題，請你根據(jù)她的探索過程,

解答下列問題：

(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

①7471=?2+IJ(A-I)=

②口:c=(c+W)君-C)=C-C；

=(2+A)^Z<3)=2—G

計算』=——;

(2)觀察歸納，寫出結(jié)論：qn+；+,n=:(n21且〃為正整數(shù))

(3)靈活運用，提升能力：

計算：((￡?+思本+熹+…+審熹克麗)('■癡+1〉

22.如圖1,在硬紙板平行四邊形ABC。中，過點。作CEJ.BC于點E,沿。E剪下AOEC,

平移至△4尸B處.

圖I圖2

(1)四邊形AOEF的形狀為；

(2)已知AD=10,平行四邊形A8CO的面積為60.在⑴中的四邊形ADE尸的EF邊上取一點M,

使EM=8,如圖2,剪下AOME,平移至AAHF處，拼成四邊形4HM0.

①求證：四邊形A"加力是菱形；

②求四邊形AHMD的兩條對角線的長.

23.如圖1,在矩形ABCD中，點￡為對角線AC上的一點(不與點A重合),將△ADE沿射線

AB方向平移到△BCF的位置，點E的對應(yīng)點為點凡過點E作EG〃BC,交FB的延長線于點G,

連接4G.

DCDC

(1)求證：△EGAWABCF；

(2)求證：四邊形ACFG是平行四邊形；

(3)如圖2,連接CG,若48=4,BC=2,當CF最小時，則CG的長為.

24.如圖，矩形A8C。中，CD=4,NCBD=30°.一動點P從B點出發(fā)沿對角線8。方向以

每秒2個單位長度的速度向點。勻速運動，同時另一動點。從。點出發(fā)沿QC方向以每秒1

個單位長度的速度向點C勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.

設(shè)點P、Q運動的時間為/秒(t>0).過點P作PE1BC于點E,連接￡Q,PQ.

(1)求證：PE=DQ；

(2)四邊形PEQQ能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的/值；如果不能，說明理由.

(3)當r為何值時，APQE為直角三角形？請說明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：A,/石是6的算術(shù)平方根，6>0,所以一石是二次根式，選項4正確，符合題意;

B,<^5，-5<0,無意義，故廠^不是二次根式，選項B錯誤，不符合題意；

C,弼=2不是二次根式，選項C錯誤，不符合題意；

D,廠5,沒有明確a的范圍，存在a<0的情況，不能保證廣有意義，故，々不是二次根式，選

項。錯誤，不符合題意；

故選：A.

利用二次根式的定義進行篩選即可.

本題考查了二次根式的定義，掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】C

【解析】解：A、不是正整數(shù)，

這一組數(shù)不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；

B、不是正整數(shù)，

??.這一組數(shù)不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；

C、-：62+82=102,

??.這一組數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)，符合題意；

。、???52+122豐152,

二這一組數(shù)不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；

故選：C.

根據(jù)勾股數(shù)的定義進行逐一判定即可：凡是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，稱之為

勾股數(shù).

本題考查了勾股數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的概念.

3.【答案】C

【解析】解：因為平行四邊形A8C。中，AD//BC,

??Z-B+Z-A=180°,

:.Z.B=180°-50°=130°.

則的度數(shù)是130。.

故選：C.

根據(jù)平行四邊形的對邊平行，同旁內(nèi)角互補即可求解.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì).

4.【答案】B

【解析】解：A、：a=5,b=12,

.■-c>b>10,斜邊長超過直尺最大刻度，不能直接測量，不符合題意；

B、?：a=6,b=8,

c=Va2+b2=10,可以直接測量，符合題意；

Cs???a=4,b=10,

.■.c>b=10,斜邊長超過直尺最大刻度，不能直接測量，不符合題意；

D'''a=3,b=11,

.?.c>b>10,斜邊長超過直尺最大刻度，不能直接測量，不符合題意；

故選：B.

斜邊能被一把最大刻度是10cm的直尺，直接測得長度，那么斜邊c的長度不能超過直尺的最大刻

度，且要是有理數(shù)，據(jù)此求解即可.

本題主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟知直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的

平方是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】C

【解析】解：A、逆命題：對角線相等的四邊形是平行四邊形，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平

行四邊形判定，故此逆命題不成立，不符合題意；

3、逆命題：對角線互相垂直的四邊形是菱形，根據(jù)對角線垂直且平分的四邊形是菱形，故此逆命

題不成立，不符合題意；

C、逆命題：對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故此逆命題成立，符合題意；

。、逆命題：相等的角是對頂角，而相等的角不一定是對頂角，故此逆命題不成立，不符合題意；

故選：C.

根據(jù)菱形、平行四邊形、矩形，對頂角的性質(zhì)分別判斷得出即可.

本題考查了菱形、平行四邊形、矩形，對頂角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)，正確寫出逆命題是解題的

關(guān)鍵.

6.【答案】B

［解析］解：丫Va2-4a+4=2-a，

J(a-=2-a,J(a_2尸=|a-2|=2—a

???|a—2|=2—a,

CL-2WO,

-a<2,

故選：B.

根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得、a2-4a+4=|a-2|=2-a，由此可得a-2WO,據(jù)此求解即可.

本題主要考查了化簡二次根式，正確得到|a-2|=2-a是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】D

【解析】解：在RtAABC中，AB=BC=1,NB=90。，

???AC=VAB2+BC2=「，

同理4。=VAC2+CD2=y/~3,AE=VAD2+DE2=2，AF=VAE2+EF2=V-5，

故選：D.

利用勾股定理先求出AC,再求出4力，進而求出4E即可求出AF的長.

本題主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】A

【解析】解：?.?菱形ABC。，AB=AC,

:.AB=AC=BC=CD=DA,

??.△ABC是等邊三角形，

???/,EAC=Z-FBA=60°,

EA=FB

???Z.EAC=乙FBA=60°,

AC=BC

EAC^LFBALSAS),

???AF=CE,

故①正確；

???△E4cg△FBA(SASy

???Z-ACE=Z-BAF,

vZ-CFH=Z.ACE+MAH,

:.Z.CFH=Z.EAH+Z.CAH=Z.BAC=60°,

故②正確；

過點A作4M1BC于點、M,

???△4BC是等邊三角形，AB=1,

：.BM=CM=^BC=\,AM=J/_(y=?,

???S菱形ABCD=BC.AM=與,

故④正確;

AD

?.?菱形ABC。，AB=AC,

???AB=AC=BC=CD=DA,BC//DA,

??.△4BC是等邊三角形，AEAC=AFBA=60"

???Z.EAC=乙FBA=/.ADC=Z.ACD=Z.DAC=60°,

???乙FHC=^LADC=60",

???4、H、C、。四點共圓，

4AHD=^ACD=MHD=/.CAD=60°,

故QH平分乙4HC；

故③正確；

故選：A.

根據(jù)菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，四點共圓計

算判斷即可.

本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，四點

共圓，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】x<1

【解析】解：由題意可知：1一尤20,

**,X1,

故答案為：x<1.

根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案.

本題考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)

題型.

10.【答案】5

【解析】解：一個直角三角形的兩直角邊的長分別為65b8cm,

則斜邊長為d@+82=10cm,

斜邊上中線的長為￥=5cm,

故答案為：5.

根據(jù)勾股定理求出斜邊長，再根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半求解即可.

本題考查了勾股定理和直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理求出斜

邊長，利用斜邊中線的性質(zhì)求解.

11.【答案】5

【解析】解：K7<9,

???2<C<3.

???a、6為兩個連續(xù)整數(shù)，

??a=2,b=3,

a+b=2+3=5.

故答案為：5.

先估算出門的取值范圍，得出。，6的值，進而可得出結(jié)論.

本題考查的是估算無理數(shù)的大小，先根據(jù)題意求出a,h的值是解答此題的關(guān)鍵.

12.【答案】2

【解析】

【分析】

此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，關(guān)鍵是掌握|a|.

根據(jù)|a|進行二次根式化簡，再去絕對值合并同類項即可.

【解答】

解：原式=a+|a—2|=a+2-a=2,

故答案為：2.

13.【答案】+

【解析】解：???。4=OB,4c=90。，OC=1,BC=2,

■■OA=OB=VI2+22-A/-5；

???點A在原點左側(cè)，表示負數(shù)，

故點A表示的數(shù)是-仁.

故答案為：—虧.

根據(jù)勾股定理計算04=OB=V12+22=C，結(jié)合數(shù)軸的意義計算數(shù)即可.

本題考查了勾股定理，數(shù)軸上表示數(shù)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】24

【解析】解：根據(jù)題意，可知AF是/BAE的平分線，AB=AE,

?.Z.EAF=Z.BAF.

???四邊形A8CQ是平行四邊形，

???BF//AE,

，Z.EAF=Z.AFB,

:.Z.ABF=乙BAF,

:.AB=BF,

???AE=BF.

vBF〃AE,

???四邊形ABFE是平行四邊形.

vAB=BF,

???四邊形A8FE是菱形，

???BO=；BE=4,AF=2A0,BE1AF.

在Rt△48。中，AO—>JAB2—BO2=V52-42=3?

:.AF=6,

二四邊形ABFE的面積是-BE=6x8xj=24.

故答案為：24.

根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟可知A尸是NBAE的平分線，再證明四邊形AEF8是菱形，然后根據(jù)勾股定理

求出A0,最后根據(jù)菱形面積公式求出答案即可.

本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，求菱形的

面積等，判斷四邊形ABFE是菱形是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】m2+l

【解析】解：Tm為正整數(shù)，

???2巾為偶數(shù)，設(shè)其股是。，則弦為a+2,

根據(jù)勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2,

解得Q=m2—1,

?,?弦為Q+2=Tn?-1+2=加2+1；

故答案為：m2+1.

根據(jù)題意得2m為偶數(shù)，設(shè)其股是內(nèi)則弦為a+2,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.

本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

16.【答案】3，石

【解析】解：如圖：作點。關(guān)于直線8c的對稱點。，連接4力，交BC于點、P,點P即為所求作

的點，DD'交BC于點、E,

iB

^DE=D'E,PD=PD',

???。是43的中點，

BA2

???AC1BC,DE1BC,

:.DD'"BC,

???△BDEs^BAC,

?BD__BE_DE_1

：，~BA='BC=~AC=29

.5E_DE_1

??TnT-5'

:.BE=3,DE=2,

:.EC=BC-BE=6—3=3,D'E=DE=2,

r

vDD//ACf

??.△ED'Ps^CAP,

..&=史

CACP

,2_EP

A4-3-EP'

解得EP=1,

■.PC=EC-EP=3-1=2,

???PD'=VEP2+D'E2=Vl2+22=V-5-

AP=VAC2+PC2=742+22=2”，

AD'=AP+PD'=2AT5+V-5=3門，

PA+PD=PA+PD'=3門，

故答案為：3，虧.

作點。關(guān)于直線BC的對稱點。，連接40',交BC于點P,點P即為所求作的點，交BC于點

E,首先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，即可求得QE=Z)'E=2,EP=1,CP=2,再根據(jù)勾股

定理即可求解.

本題考查了最短路徑問題，軸對稱圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，準確找到

點尸的位置是解決本題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：(1)2^^7-3/3

=2x3c-3AT3

=6c-3c

=3A/-3.

,—Fl―「

(2)2<^8X45+3^^^+q

Ii,—

=2x4x18x+3xV12-T-3

=8x34-3x2

=30.

【解析】(1)先化簡二次根式，再合并即可；

(2)先利用二次根式乘除法則計算，再合并即可.

本題考查了二次根式的運算，解題關(guān)鍵是熟練運用二次根式混合運算的法則進行計算.

18.【答案】解:(1)如圖所示.

(2)△ABC是直角三角形，理由如下：

V(2。)2+(y/~2)2=(AHL0)2-

AB2+AC2=BC2,

??.△ABC是直角三角形，

SXABC=]X2yl2XV~2-2,

△4BC的面積為2.

【解析】(1)根據(jù)勾股定理，可得2。是2x2正方形的對角線，中是lx3矩形的對角線，門

是1x1正方形的對角線，畫出圖形，即可解答；

(2)計算三邊長的平方，根據(jù)勾股定理可得△ABC是直角三角形，再進一步計算面積，即可解答.

本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計，勾股定理，理解題意是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】(1)證明：???點。，E分別是AB,AC的中點，

DE是△ABC的中位線，

DE//BC,

同理可證Efy/BD,

.??四邊形8CEF為平行四邊形；

(2)解：ABEC=90°,點F是8c的中點，

???EF=^BC=BF=4,

又?.?四邊形8OEF為平行四邊形，

.??四邊形BDEF為菱形.

四邊形8OEF的周長=4x4=16.

【解析】(1)根據(jù)三角形中位線定理分別證明。E〃8C,EF//BD,即可證明四邊形BOEF為平行

四邊形；

(2)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EF=^BC=BF=4,進而證明四邊形

BDEF為菱形,再由菱形周長公式求解即可.

本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定，三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，

靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】解：設(shè)橋AB長為x%,則BD=(X—100)m,由題可知，AD+ACBD+BC,

/.100+200=x—100+be,

橋尾

涼亭。

橋九4

景點C

?1?BC=(400—x)m,

為直角三角形，

.-.AB2+AC2=BC2,

：./+2002=(400-X)2,

解得：x=150,

答：橋AB長150m.

【解析】設(shè)橋AB長為xm,貝IJBD=Q-100)m,利用兩人所經(jīng)過的距離相等，求得BC=(400-

x)m,在RtA/lBC中，利用勾股定理列式計算即可求解.

本題考查了勾股定理的應(yīng)用，能從實際問題中抽象出勾股定理并應(yīng)用解決問題是關(guān)鍵.

21.【答案】V-6—y/~SVn+1—V-n

【解析】解：(1)-

vb十V5

故答案為：/石-，石；

(2)根據(jù)題中的規(guī)律，可得y“+：+G=-q.

故答案為：Vn+1-V-ns

1111._____

(3)(^=——+-=~=+----=+--?+/_..)(<^024+1)

\T2+1O+>T22+0V2024+，2023

={yH.-1+…+AT2024-V2023)(72024+1)

=(V2024-1)(，2024+1)

=2024-1

=2023.

(1)根據(jù)二次根式運算法則化簡即可；

(2)按照題中規(guī)律，即可解答；

(3)運用(2)中的規(guī)律，先化簡前一個括號中的式子，再根據(jù)平方差公式計算，即可解答.

本題考查了二次根式的混合運算，數(shù)字的變化類，分母有理化，發(fā)現(xiàn)式子中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】矩形

【解析】(1)解：?.?四邊形ABCZ)是平行四邊形，

AD//BC,

由平移可知：AF//DE,

四邊形AOE尸是平行四邊形，

DE1BC,

乙DEB=90°,

二四邊形AQEF為矩形，

故答案為：矩形.

(2)①證明：?.?在硬紙板平行四邊形ABCD中，AD=10,平行四邊形ABC。的面積為60,

ADxDE=10DE=60,DE=6,

???△2HF是由△"ME平移得到，

AH//DM,AH=DM,

???四邊形AHMD是平行四邊形，

在Rt△CEM中，DM=VDE2+EM2=V62+82=10=AD.

??.平行四邊形AHWO是菱形.

②解：如圖，連接AM,DH,

HFME

圖2

在Rt△4FM中，F(xiàn)M=EF-EM=10-8=2,

AM=VAF2+FM2=762+22=

在Rt△OEH中，HE=MH+EM=10+8=18,

???DH=VDE2+HE2=V62+182=

???四邊形AHMD的兩條對角線的長分別為2cU、6口石.

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)即可得到四邊形AOE尸是平行四邊形，根據(jù)DE1BC即可

判斷出四邊形AOEk為矩形；

(2)①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)即可得到四邊形AHMD是平行四邊形，根據(jù)線段AD的

長度及平行四邊形ABC。的面積即可求出OE的長度，根據(jù)EM的長度及勾股定理即可求出DM

的長度，即可得到4D=DM,即可判斷出結(jié)論成立；②在RtA/lFM中根據(jù)勾股定理即可求出AM

的長度，在Rt△CEH中根據(jù)勾股定理即可求出HD的長度，即可得到答案.

本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平移的性質(zhì)等知識點，熟練掌握

其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

23.【答案】紅詈

【解析】(1)證明：由平移可知：AE=BF,AE//BF,

??Z-ACB=乙FBC,

vEG//BC,

???Z.AEG=Z-ACB.

:.Z-AEG=乙FBC,

vEG//BC,CE//BG.

???四邊形CEG8是平行四邊形，

.?.EG=BC,

在△EGA和中，

(AE=BF

\^AEG=LFBC,

(EG=BC

??.△EGA^H8"(S4S),

(2)證明：?.,四邊形CEG8是平行四邊形,

ACE=GB.

vAE=BF,

??.CE+AE=GB+BF.

AC-GF,

???△EGA^LBCF

???GA=CF

二四邊形AC/G是平行四邊形.

(3)解：由(1)可得△EGA絲△BCF(SAS),

:.CF=DE,即當。E取最小值時，C尸才取最小值,

vAB=4,BC=2,乙ABC=90",

AC=VAB2+BC2=2底,

當CEL4c時，OE取最小值，

11

■■■S^ACD=^AC-DE=^AD-CD,

AC-DE=AD-CD,即2cXDE=2x4，

解得：DE=~^

CF=DE=*，

由(2)可得：四邊形ACFG是平行四邊形，

???GF=AC—2V~~5?

??,NF=Z.DEA=90°,