自動控制原理課件

2024/4/141第1章緒論知識點 自動控制理論的發(fā)展簡史 被控對象、被控量、控制裝置和自動控制系統(tǒng)的基本概念 三種控制方式，特別是閉環(huán)控制 由系統(tǒng)工作原理圖繪制方框圖的方法，并能正確判別系統(tǒng)的控制方式 系統(tǒng)常用的分類方法及分類，各類系統(tǒng)的含義和信息特征 自動控制系統(tǒng)的基本要求2024/4/1421.1引言1.1.1自動控制技術及應用自動控制理論與實踐的不斷發(fā)展，為人們提供了設計最佳系統(tǒng)的方法，大大提高了生產(chǎn)率，同時促進了科學技術的進步。所謂自動控制，就是指在沒有人直接參與的情況下，利用外加的設備（稱為控制器）操作被控對象（如機器、設備或生產(chǎn)過程）的某個狀態(tài)或參數(shù)（稱為被控量）使其按預先設定的規(guī)律自動運行。如化工生產(chǎn)中合成氨反應塔內(nèi)的溫度和壓力能夠自動維持恒定不變，雷達跟蹤和指揮儀所組成的防空系統(tǒng)能使火炮自動地瞄準目標，無人駕駛飛機能按預定軌道自動飛行，人造地球衛(wèi)星能夠發(fā)射到預定軌道并能準確回收等等，都是應用自動控制技術的結(jié)果。自動控制理論就是研究自動控制共同規(guī)律的技術科學，它的發(fā)展初期是以反饋理論為基礎的自動調(diào)節(jié)原理，隨著工業(yè)生產(chǎn)和科學技術的發(fā)展，現(xiàn)已發(fā)展成為一門獨立的學科——控制論?？刂普摪üこ炭刂普?、生物控制論和經(jīng)濟控制論。2024/4/143在科學技術飛速發(fā)展的今天，自動控制技術所起的作用越來越重要，無論是在宇宙飛船、導彈制導、雷達定位等尖端技術領域中，還是在機械制造工業(yè)、石油、化工、醫(yī)藥工業(yè)等的過程控制中，都有自動控制技術的應用，并且它所取得的成功都是巨大的。因此，自動控制技術已成為現(xiàn)代社會生活中不可缺少的重要組成部分。2024/4/1441.1.2自動控制理論的發(fā)展

隨著生產(chǎn)的發(fā)展，控制技術也在不斷地發(fā)展，尤其是計算機的更新?lián)Q代，更加推動了控制理論不斷地向前發(fā)展。控制理論的發(fā)展過程一般可分為三個階段：（1）第一階段。時間為本世紀40～60年代，稱為“經(jīng)典控制理論”時期。經(jīng)典控制理論主要是解決單輸入單輸出問題，主要采用傳遞函數(shù)、頻率特性、根軌跡為基礎的頻域分析方法。此階段所研究的系統(tǒng)大多是線性定常系統(tǒng)，對非線性系統(tǒng)，分析時采用的相平面法一般也不超過兩個變量，經(jīng)典控制理論能夠較好地解決生產(chǎn)過程中的單輸入單輸出問題。這一時期的主要代表人物有伯德（H.W.Bode1905～）和伊文思（W.R.Evans）。伯德于1945年提出了簡便而實用的伯德圖法。1948年，伊文思提出了直觀而又形象的根軌跡法。2024/4/145（2）第二階段。時間為本世紀60～70年代，稱為“現(xiàn)代控制理論”時期。這個時期，由于計算機的飛速發(fā)展，推動了空間技術的發(fā)展。經(jīng)典控制理論中的高階常微分方程可轉(zhuǎn)化為一階微分方程組，用以描述系統(tǒng)的動態(tài)過程，即所謂狀態(tài)空間法。這種方法可以解決多輸入多輸出問題，系統(tǒng)既可以是線性的、定常的，也可以是非線性的、時變的。這一時期的主要代表人物有龐特里亞金、貝爾曼（Bellman），及卡爾曼（R.E.Kalman，1930～）等人。龐特里亞金于1961年發(fā)表了極大值原理；貝爾曼在1957年提出了動態(tài)規(guī)化原則；1959年，卡爾曼和布西發(fā)表了關于線性濾波器和估計器的論文，即所謂著名的卡爾曼濾波。2024/4/146（3）第三階段。時間為本世紀70年代末至今。70年代末，控制理論向著“大系統(tǒng)理論”和“智能控制”方向發(fā)展。前者是控制理論在廣度上的開拓，后者是控制理論在深度上的挖掘?！按笙到y(tǒng)理論”是用控制和信息的觀點，研究各種大系統(tǒng)的結(jié)構方案、總體設計中的分解方法和協(xié)調(diào)等問題的技術基礎理論。而“智能控制”是研究與模擬人類智能活動及其控制與信息傳遞過程的規(guī)律，研究具有某些仿人智能的工程控制與信息處理系統(tǒng)。2024/4/1471.2自動控制技術中的基本控制方式（1）系統(tǒng)。即為達到某—目的，由相互制約的各個部分按—定規(guī)律組成的、具有一定功能的整體。（2）自動控制系統(tǒng)。指能夠?qū)Ρ豢貙ο蟮墓ぷ鳡顟B(tài)進行自動控制的系統(tǒng)，它一般由控制裝置（控制器）和被控對象所組成。（3）控制裝置。則是指對被控對象起控制作用的設備總體。（4）被控對象。是指要求實現(xiàn)自動控制的機器、設備或生產(chǎn)過程。例如，汽車、飛機、煉鋼、化工生產(chǎn)的鍋爐等。2024/4/148自動控制系統(tǒng)的性能，在很大程度上取決于系統(tǒng)中的控制器為了產(chǎn)生控制作用而必須接收的信息，這個信息有兩個可能的來源：1）來自系統(tǒng)外部，即由系統(tǒng)輸入端輸入的參考輸入信號。2）來自被控對象的輸出端，即反映被控對象的行為或狀態(tài)的信息。把從被控對象輸出端獲得的信息通過中間環(huán)節(jié)（稱為反饋環(huán)節(jié)）再送回控制器的輸入端的過程，稱為反饋。傳送反饋信息的載體，稱為反饋信號。是否采用反饋，對控制系統(tǒng)的各個指標（即穩(wěn)定性、快速性、準確性）影響很大。因此系統(tǒng)的基本控制方式也按有無反饋分為三大類：開環(huán)控制、閉環(huán)控制、復合控制。2024/4/1491.2.1開環(huán)控制開環(huán)控制是一種最簡單的控制方式，其特點是在控制器與被控對象之間只有正向控制作用而沒有反饋控制作用，即系統(tǒng)的輸出量對控制量沒有影響。開環(huán)控制系統(tǒng)的示意圖如圖1-1所示。圖1-1開環(huán)控制系統(tǒng)2024/4/1410如圖1-2所示，電動機拖動負載開環(huán)控制系統(tǒng)。圖1-2電動機開環(huán)控制系統(tǒng)2024/4/14111.2.2閉環(huán)控制

閉環(huán)控制是指控制裝置與被控對象之間既有正向作用，又有反向聯(lián)系的控制過程，即如果控制器的信息來源中包含有來自被控對象輸出的反饋信息，則稱為閉環(huán)控制系統(tǒng)，或稱為反饋控制系統(tǒng)，如圖1-3所示。2024/4/1412圖1-3閉環(huán)控制系統(tǒng)2024/4/1413在控制系統(tǒng)中，控制裝置對被控對象所施加的控制作用，若能取自被控量（輸出量）的反饋信息（反饋量），即根據(jù)實際輸出來修正控制作用，實現(xiàn)對被控對象進行控制的任務，那么這種控制原理稱為反饋控制原理。正是由于引入了反饋信息（反饋量），使整個控制過程成為閉合的，因此，按反饋控制原理建立起來的控制系統(tǒng)，叫做閉環(huán)控制系統(tǒng)。在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，其控制作用的基礎是被控量（輸出量）與給定值之間的偏差，這個偏差是各種實際擾動所導致的總“后果”，它并不區(qū)分其中的個別原因。因此，這種系統(tǒng)往往同時能夠抵制多種擾動，而且對系統(tǒng)自身元部件參數(shù)的波動也不甚敏感。2024/4/14141.2.3其他控制方式目前以反饋原理為基礎的經(jīng)典控制理論已經(jīng)形成完整的理論體系并有了工程實現(xiàn)的方法。隨著空間技術的發(fā)展，特別是電子計算機已作為自動控制系統(tǒng)的一個重要組成部分，現(xiàn)代控制理論亦日益顯示出其強大的生命力，并在實踐中得到成功的應用。在此基礎上，一些其他的控制方式也已經(jīng)在工業(yè)控制過程中得到了相應的應用，如最優(yōu)控制、自適應控制和智能控制等現(xiàn)代高精度的自動控制系統(tǒng)，已在國防和工業(yè)生產(chǎn)中得以實現(xiàn)。下面對這些控制方式做簡要的介紹。2024/4/14151．最優(yōu)控制最優(yōu)控制是要求控制系統(tǒng)實現(xiàn)對某種性能標準最好的控制，這種性能標準稱為性能指標（也叫目標函數(shù)）。它通常要求優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn)、低耗、高效率，一般是與時間、燃料消耗和能源供給等有關。例如，鋼鐵冶煉過程往往希望時間最短或燃料最?。贿h程飛機希望實現(xiàn)每單位體積燃料的最大飛行距離，以提高飛機的遠航能力；人造衛(wèi)星運載火箭希望實現(xiàn)燃料消耗最少等。其中最簡單的一種是時間最優(yōu)控制（即快速最優(yōu)控制），它在自動化儀表、電機電壓控制及軋鋼機控制中得到廣泛應用。2024/4/14162．隨動控制系統(tǒng)隨動控制系統(tǒng)的主要特點是輸入給定信號的變化規(guī)律是事先不能確定的隨機信號，這類系統(tǒng)的任務是使輸出快速、準確地跟隨給定信號的變化而變化，故稱作隨動控制系統(tǒng)。顯然，由于輸入在不斷地變化，系統(tǒng)跟隨性能就成為這類系統(tǒng)中要解決的主要矛盾，當然，系統(tǒng)的干擾也不能忽視，但與跟隨性相比，應放在第二位來解決。2024/4/14173．程序控制系統(tǒng)程序控制系統(tǒng)與隨動控制系統(tǒng)不同之處就是它的給定輸入不是隨機不可知，而是按事先預定的規(guī)律變化。這類系統(tǒng)往往適用于特定的生產(chǎn)工藝或工業(yè)過程，按所需要的控制給定輸入，要求輸出按預定的規(guī)律變化。設計這類系統(tǒng)比隨動系統(tǒng)有針對性，由于變化規(guī)律已知，可根據(jù)要求事先選擇方案，保證控制性能和精度。2024/4/14181.4.2按系統(tǒng)特性分類任何系統(tǒng)都是由各種元部件組成的。從控制理論的角度看，這些元部件的性能可用其輸入輸出特性來進行分析，根據(jù)系統(tǒng)中元部件的特性不同，可以將系統(tǒng)分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，在下面具體介紹。2024/4/14191．線性系統(tǒng)當系統(tǒng)中各元件輸入輸出特性是線性特性，系統(tǒng)的狀態(tài)和性能以線性微分方程或差分方程來描述時，這種系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。所謂線性特性是指元件的靜特性是一條過原點的直線，也稱這樣的元件為線性元件，因此，由線性元件組成的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的一個突出的特點就是滿足疊加定理，所以在判別系統(tǒng)是線性或非線性時，可運用疊加定理來判斷。2024/4/14202．非線性系統(tǒng)系統(tǒng)中只要存在一個元件為非線性元件，系統(tǒng)的微分方程就由非線性方程來描述，這樣的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。由于非線性系統(tǒng)的多樣性，在數(shù)學上較難處理，疊加原理也不成立，研究起來也不方便，所以只有在一定條件下用近似分析的方法來處理。2024/4/14211.4.3按系統(tǒng)信號形式分類1．連續(xù)控制系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)的特點是系統(tǒng)中各元件的輸入信號和輸出信號都是時間的連續(xù)函數(shù)，這類系統(tǒng)的運動狀態(tài)是用微分方程來描述的。連續(xù)系統(tǒng)中各元件傳輸?shù)男畔⒃诠こ躺戏Q為模擬量，多數(shù)實際物理系統(tǒng)都屬于這一類，其輸入輸出一般用和來表示。2024/4/14222．離散控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)中只要存在一處的信號脈沖序列或數(shù)碼時，該系統(tǒng)即為離散系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的狀態(tài)和性能一般用差分方程來描述，實際物理系統(tǒng)中，信息的表現(xiàn)形式為離散信號的并不多見，往往是控制上的需要，將連續(xù)系統(tǒng)離散化，即采樣。采樣過程通常是通過采樣開關把連續(xù)的模擬量變?yōu)槊}沖序列，這樣的系統(tǒng)一般又稱為采樣控制系統(tǒng)。2024/4/14231.5自動控制系統(tǒng)的基本要求1.5.1穩(wěn)定性一個控制系統(tǒng)能正常工作的首要條件是系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，由于控制系統(tǒng)是具有反饋作用的閉環(huán)系統(tǒng)，因此，系統(tǒng)有可能趨向振蕩或不穩(wěn)定，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法工作的。穩(wěn)定的控制系統(tǒng)在階躍信號或擾動信號的作用下，其響應的暫態(tài)過程應該是收斂的。如果系統(tǒng)設計不當，則在階躍信號下或擾動信號的作用下，相應的幅值振蕩可能成為等幅振蕩，甚至成為振幅逐漸增大的發(fā)散振蕩，發(fā)生這種情況的系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)穩(wěn)定性包括兩個方面的含義。（1）系統(tǒng)穩(wěn)定，稱為絕對穩(wěn)定，即通常所說的穩(wěn)定性。（2）輸出響應振蕩的強烈程度，稱為相對穩(wěn)定性。例如系統(tǒng)是絕對穩(wěn)定的，但是在階躍信號作用下，響應振蕩很強烈，而且振蕩的衰減很慢，則該系統(tǒng)雖然屬于穩(wěn)定系統(tǒng)，但相對穩(wěn)定性差。2024/4/14241.5.2快速性在實際控制過程中，不僅要求系統(tǒng)穩(wěn)定，而且要求被控量能迅速按照輸入信號所規(guī)定的形式變化，即要求系統(tǒng)具有一定的響應速度。由于系統(tǒng)中總包含一些慣性元件，因此在輸入信號作用下，系統(tǒng)的響應總要經(jīng)過暫態(tài)過程之后才能達到穩(wěn)態(tài)。在控制系統(tǒng)的輸出響應中，調(diào)整時間是直接反映系統(tǒng)響應快慢的一個指標，這將在后面第三章介紹。2024/4/14251.5.3準確性對于控制系統(tǒng)的準確性要求是控制系統(tǒng)設計中需要考慮的指標之一，要求系統(tǒng)準確性（穩(wěn)態(tài)精度）高，一般采用穩(wěn)態(tài)誤差來表示。系統(tǒng)在輸入信號的作用下，其響應經(jīng)過暫態(tài)過程進入穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)的輸出量與希望值之間的誤差，稱為穩(wěn)態(tài)誤差。2024/4/14261.6本課程的性質(zhì)和任務《自動控制原理及應用》課程是電子信息類專業(yè)，特別是自動化專業(yè)的一門專業(yè)基礎課，該課程是為學生建立系統(tǒng)觀點、掌握控制原理的一門必修課程。本門課程的前續(xù)課程是：高等數(shù)學、電工基礎、工程數(shù)學等，在學習了以上內(nèi)容以后進入本門課程的學習。本門課程一共包括8章，前面7章主要介紹經(jīng)典控制理論的內(nèi)容，第8章介紹現(xiàn)代控制理論的基本概念。在前面7章中，主要介紹經(jīng)典控制理論的主要分析方法：數(shù)學模型的建立、時域分析法、根軌跡分析法、頻率分析法、控制系統(tǒng)的綜合與校正、采樣控制系統(tǒng)基礎；第8章主要介紹現(xiàn)代控制理論的相關內(nèi)容。Sunday,April14,202427

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型Sunday,April14,202428知識點系統(tǒng)微分方程的建立方法

Laplace變換的定義及性質(zhì)傳遞函數(shù)的定義及性質(zhì)控制系統(tǒng)中的典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)的數(shù)學模型動態(tài)結(jié)構圖的建立方法及簡化準確求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)自動控制系統(tǒng)中微分方程、傳遞函數(shù)、動態(tài)結(jié)構圖之間的關系及相互轉(zhuǎn)換Sunday,April14,2024292.1微分方程[數(shù)學模型]：描述控制系統(tǒng)變量（物理量）之間動態(tài)關系的數(shù)學表達式。常用的數(shù)學模型有微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構圖，信號流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。

例如對一個微分方程，若已知初值和輸入值，對微分方程求解，就可以得出輸出量的時域表達式。據(jù)此可對系統(tǒng)進行分析。所以建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是對系統(tǒng)進行分析的第一步也是最重要的一步。

控制系統(tǒng)如按照數(shù)學模型分類的話，可以分為線性和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)。概述Sunday,April14,202430[線性系統(tǒng)]：如果系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱其為線性系統(tǒng)。疊加原理說明，兩個不同的作用函數(shù)同時作用于系統(tǒng)的響應，等于兩個作用函數(shù)單獨作用的響應之和。

線性系統(tǒng)對幾個輸入量同時作用的響應可以一個一個地處理，然后對每一個輸入量響應的結(jié)果進行疊加。[線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)]：可以用線性定常（常系數(shù)）微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時間的函數(shù)，則這類系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。

宇宙飛船控制系統(tǒng)就是時變控制的一個例子（宇宙飛船的質(zhì)量隨著燃料的消耗而變化）。概述Sunday,April14,202431

古典控制理論中（我們所正在學習的），采用的是單輸入單輸出描述方法。主要是針對線性定常系統(tǒng)，對于非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，解決問題的能力是極其有限的。[非線性系統(tǒng)]：如果不能應用疊加原理，則系統(tǒng)是非線性的。

下面是非線性系統(tǒng)的一些例子：概述Sunday,April14,202432第一節(jié)控制系統(tǒng)的微分方程Sunday,April14,202433

微分方程的編寫應根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過程中所遵循的物理定理來進行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學中的牛頓定理，熱力學中的熱力學定理等?？刂葡到y(tǒng)的微分方程Sunday,April14,202434控制系統(tǒng)的微分方程由②：，代入①得：這是一個線性定常二階微分方程。①②[解]：據(jù)基爾霍夫電路定理：輸入輸出LRCi[例2-1]：寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程。Sunday,April14,202435[例2-2]求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。[解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。mfmFF圖2圖1根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個兩階定常微分方程。X為輸出量，F(xiàn)為輸入量。在國際單位制中，m,f和k的單位分別為：控制系統(tǒng)的微分方程Sunday,April14,202436[例2-3]電樞控制式直流電動機這里輸入是電樞電壓ua和等效到電機轉(zhuǎn)軸上的負載轉(zhuǎn)矩Mc，輸出是轉(zhuǎn)速w

電樞回路方程為

其中ea

為反電勢此時激磁電流為常數(shù)，所以Ce稱為電動機電勢常數(shù)

Cm稱為電動機轉(zhuǎn)矩常數(shù)，再根據(jù)牛頓定律可得機械轉(zhuǎn)動方程電機通電后產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)的微分方程Sunday,April14,202437其中和分別稱為電磁時間常數(shù)和機電時間常數(shù)整理得分別是轉(zhuǎn)速與電壓傳遞系數(shù)和轉(zhuǎn)速與負載和傳遞系數(shù)。這里已略去摩擦力和扭轉(zhuǎn)彈性力?？刂葡到y(tǒng)的微分方程Sunday,April14,202438[需要討論的幾個問題]：1、相似系統(tǒng)和相似量：我們注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一樣的。這是因為：若令（電荷），則例2-1①式的結(jié)果變?yōu)椋嚎梢?，同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學模型。相似系統(tǒng)和相似量[定義]具有相同的數(shù)學模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。例2-1和例2-2稱為力-電荷相似系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中分別與為相似量。[作用]利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個易于實現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對復雜的系統(tǒng)，實現(xiàn)仿真研究。Sunday,April14,2024392、非線性元件（環(huán)節(jié)）微分方程的線性化在經(jīng)典控制領域，主要研究的是線性定?？刂葡到y(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學模型是線性常系數(shù)的微分方程，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其最重要的特性便是可以應用線性疊加原理，即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個輸入引起的輸出疊加得到。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化Sunday,April14,202440

若描述系統(tǒng)的數(shù)學模型是非線性（微分）方程，則相應的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，這種系統(tǒng)不能用線性疊加原理。在經(jīng)典控制領域?qū)Ψ蔷€性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應用中，除了含有強非線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對于非線性方程，可在工作點附近用泰勒級數(shù)展開，取前面的線性項?？梢缘玫降刃У木€性環(huán)節(jié)。

設具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)為:y=f(x)，若取某一平衡狀態(tài)為工作點，如下圖中的。A點附近有點為，當很小時，AB段可近似看做線性的。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化AByx0Sunday,April14,202441AByx0設f(x)在點連續(xù)可微，則將函數(shù)在該點展開為泰勒級數(shù)，得：若很小，則，即式中，K為與工作點有關的常數(shù)，顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性表示。為了保證近似的精度，只能在工作點附近展開。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化Sunday,April14,202442對于具有兩個自變量的非線性方程，也可以在靜態(tài)工作點附近展開。設雙變量非線性方程為：，工作點為。則可近似為：式中：，。 為與工作點有關的常數(shù)。閱讀教材例[2-5]求液壓伺服油缸的線性化數(shù)學模型。[注意]：⑴上述非線性環(huán)節(jié)不是指典型的非線性特性（如間隙、庫侖干摩擦、飽和特性等），它是可以用泰勒級數(shù)展開的。⑵實際的工作情況在工作點附近。⑶變量的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點附近的非線性情況及變量變化范圍有關。非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化Sunday,April14,202443[例2-4]：倒立擺系統(tǒng)非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化

該系統(tǒng)由小車和安裝在小車上的倒立擺構成。倒立擺是不穩(wěn)定的，如果沒有適當?shù)目刂屏ψ饔玫剿厦妫鼘㈦S時可能向任何方向傾倒。這里我們只考慮二維問題，即認為倒立擺只在圖所在的平面內(nèi)運動。若有合適的控制力u作用于小車上可使擺桿維持直立不倒。這實際是一個空間起飛助推器的姿態(tài)控制模型(姿態(tài)控制問題的目的是要把空間助推器保持在垂直位置)。設小車和擺桿的質(zhì)量分別為M和m，擺桿長為，且重心位于幾何中點處，小車距參考坐標的位置為，擺桿與鉛垂線的夾角為，擺桿重心的水平位置為，垂直位置為

Sunday,April14,202444畫出倒立擺系統(tǒng)隔離體受力圖非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化設擺桿和小車結(jié)合部的水平反力和垂直反力為H和V，略去擺桿與小車、小車與地面的摩擦力?？傻梅匠倘缦拢?/p>

⒈擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動運動⑴

式中J為擺桿圍繞其重心的轉(zhuǎn)動慣量，為垂直力關于其重心的力矩，為水平力關于其重心的力矩。

⒉擺桿重心的水平運動 ⑵

⒊擺桿重心的垂直運動 ⑶

⒋小車的水平運動 ⑷

Sunday,April14,202445因為在這些方程中包含和，所以它們是非線性方程。

非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化若假設角度很小，則和。可得下列線性化方程：

⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻由⑹和⑻可得 ⑼由⑸、⑺和⑻得 ⑽

當忽略轉(zhuǎn)動慣量J時當考慮轉(zhuǎn)動慣量時Sunday,April14,2024463.線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟：⑴確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。⑵對系統(tǒng)中每一個元件列寫出與其輸入、輸出量有關的物理的方程。⑶對上述方程進行適當?shù)暮喕?，比如略去一些對系統(tǒng)影響小的次要因素，對非線性元部件進行線性化等。⑷從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關系的微分方程。線性系統(tǒng)微分方程的編寫步驟Sunday,April14,202447[例2-6]：編寫下圖所示的速度控制系統(tǒng)的微分方程。負載-+-+

功率放大器測速發(fā)電機[解]：⑴該系統(tǒng)的組成和原理；⑵該系統(tǒng)的輸出量是，輸入量是，擾動量是線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子[例2-6]Sunday,April14,202448線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子[例2-6]⑸消去中間變量：推出之間的關系：顯然，轉(zhuǎn)速既與輸入量有關，也與干擾有關。⑷各環(huán)節(jié)微分方程：運放Ⅰ：，運放Ⅱ：功率放大：，反饋環(huán)節(jié)：電動機環(huán)節(jié)：見例2-4測速-運放Ⅰ運放Ⅱ功放電動機⑶速度控制系統(tǒng)方塊圖：Sunday,April14,202449線性系統(tǒng)微分方程的編寫例子[例2-6]⑴對于恒值調(diào)速系統(tǒng)，=常量，則。轉(zhuǎn)速的變化僅由負載干擾引起。增量表達式如下：⑵對于隨動系統(tǒng)，則=常數(shù)，，故：根據(jù)上式可以討論輸出轉(zhuǎn)速跟隨給定輸入電壓的變化情況。⑶若和都是變化的，則對于線性系統(tǒng)應用疊加原理分別討論兩種輸入作用引起的轉(zhuǎn)速變化，然后相加。[增量式分析](上式等號兩端取增量)：Sunday,April14,202450①定義：如果有一個以時間t為自變量的函數(shù)f(t)，它的定義域t>0，那么下式即是拉氏變換式：

,式中s為復數(shù)。記作一個函數(shù)可以進行拉氏變換的充分條件是：⑴t<0時，f(t)=0；⑵t≥0時，f(t)分段連續(xù)；⑶。F(s)—象函數(shù)，f(t)—原函數(shù)。記為反拉氏變換。復習拉氏變換4、復習拉氏變換Sunday,April14,202451⑴線性性質(zhì)：⑵微分定理：⑶積分定理：（設初值為零）⑷時滯定理：⑸初值定理：復習拉氏變換②性質(zhì)：Sunday,April14,202452⑹終值定理：⑺卷積定理：③常用函數(shù)的拉氏變換：單位階躍函數(shù)：單位脈沖函數(shù)：單位斜坡函數(shù)：單位拋物線函數(shù)：正弦函數(shù)：其他函數(shù)可以查閱相關表格獲得。復習拉氏變換Sunday,April14,2024535、線性方程的求解：研究控制系統(tǒng)在一定的輸入作用下，輸出量的變化情況。方法有經(jīng)典法，拉氏變換法和數(shù)字求解。在自動系統(tǒng)理論中主要使用拉氏變換法。[拉氏變換求微分方程解的步驟]：①對微分方程兩端進行拉氏變換，將時域方程轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程。②求拉氏反變換，求得輸出函數(shù)的時域解。線性方程的求解Sunday,April14,202454[例子]求[例2-6]速度控制系統(tǒng)微分方程的解。假設沒有負載干擾，并且各項初值均為零。[解]速度控制系統(tǒng)微分方程為：對上式各項進行拉氏變換，得：即：當輸入已知時，求上式的拉氏反變換，即可求得輸出的時域解。線性方程的求解（例子）Sunday,April14,202455小結(jié)系統(tǒng)微分方程的列寫；相似量、相似系統(tǒng)，非線性環(huán)節(jié)的線性化；線性方程的求解（用拉氏變換法）；拉氏變換及性質(zhì)。4/14/20247:17:51PM562.2Laplace變換基礎控制系統(tǒng)的微分方程，是在時域中描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學模型，在給定外作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應，這種方法比較直觀，尤其是借助于電子計算機，可迅速而準確地求解結(jié)果。但是，如果系統(tǒng)中某個參數(shù)變化或者結(jié)構形式改變，則需要重新列寫并求解微分方程，不便于對系統(tǒng)進行分析與設計。用拉氏變換將線性常微分方程轉(zhuǎn)化為易處理的代數(shù)方程，可以得到系統(tǒng)在復數(shù)域中的數(shù)學模型，稱為傳遞函數(shù)。它不僅可以表征系統(tǒng)動態(tài)特性，而且可以研究系統(tǒng)的結(jié)構或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。經(jīng)典控制理論廣泛應用的頻率法和根軌跡法，就是在傳遞函數(shù)基礎上建立起來的。因此，拉氏變換成為自動控制理論的數(shù)學基礎。4/14/20247:17:51PM572.2.1拉氏變換的概念若將實變量t的函數(shù)f(t)，乘以指數(shù)函數(shù)e-st（其中s=σ+jω，是一個復變數(shù)），再在0到∞之間對t進行積分，就得到一個新的函數(shù)F(s)。F(s)稱為f(t)的拉氏變換，可用符號L[f(t)]表示。4/14/20247:17:51PM582.2.2常用函數(shù)的拉氏變換實用中，常把原函數(shù)與象函數(shù)之間的對應關系列成對照表的形式。通過查表，就能夠知道原函數(shù)的象函數(shù)，或象函數(shù)的原函數(shù)，常用函數(shù)的拉氏變換的對照表如表2-1所示。4/14/20247:17:51PM592.2.3拉氏變換的基本定理（1）線性定理。兩個函數(shù)和的拉氏變換等于兩個函數(shù)拉氏變換的和，即：（2-26）函數(shù)放大倍的拉氏變換等于函數(shù)拉氏變換的倍，即：（2-27）（2）微分定理。函數(shù)求導的拉氏變換，等于函數(shù)拉氏變換乘以的求導次冪（初始條件需為零）。即當初始條件時，。同理，若初始條件為：（2-28）4/14/20247:17:51PM602.3傳遞函數(shù)4/14/20247:17:51PM61

傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以：

不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)過程。

了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構變化時系統(tǒng)動態(tài)過程的影響--分析

可以對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對傳遞函數(shù)的要求---綜合傳遞函數(shù)的基本概念4/14/20247:17:51PM62一、傳遞函數(shù)的基本概念將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）當傳遞函數(shù)和輸入已知時Y(s)=G(s)X(s)。通過反變換可求出時域表達式y(tǒng)(t)。傳遞函數(shù)的基本概念傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸出量的拉氏變換之比。稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)式中：x（t）—輸入，y（t）—輸出為常系數(shù)設系統(tǒng)或元件的微分方程為：4/14/20247:17:51PM63[關于傳遞函數(shù)的幾點說明]傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對應。且與系統(tǒng)的動態(tài)特性一一對應。傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構和參數(shù)有關，與系統(tǒng)的輸入無關。只反映了輸入和輸出之間的關系，不反映中間變量的關系。傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是s的有理分式，對實際系統(tǒng)而言分母的階次n大于分子的階次m，此時稱為n階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)的基本概念4/14/20247:17:51PM64傳遞函數(shù)的基本概念例１[例1]求電樞控制式直流電動機的傳遞函數(shù)。[解]已知電樞控制式直流電動機的微分方程為：方程兩邊求拉氏變換為：令，得轉(zhuǎn)速對電樞電壓的傳遞函數(shù)：令，得轉(zhuǎn)速對負載力矩的傳遞函數(shù)：最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：4/14/20247:17:51PM65傳遞函數(shù)的基本概念例2[例2]求下圖的傳遞函數(shù)：4/14/20247:17:51PM66傳遞函數(shù)的基本概念例2[例2]求下圖的傳遞函數(shù)：4/14/20247:17:51PM67傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式[傳遞函數(shù)的幾種表達形式]：表示為有理分式形式：式中：—為實常數(shù)，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。表示成零點、極點形式：式中：稱為傳遞函數(shù)的零點，稱為傳遞函數(shù)的極點?！獋鬟f系數(shù)4/14/20247:17:51PM68傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式寫成時間常數(shù)形式：分別稱為時間常數(shù)，K稱為放大系數(shù)顯然：，若零點或極點為共軛復數(shù)，則一般用2階項來表示。若為共軛復極點，則：或其系數(shù)由或求得；4/14/20247:17:51PM69若有零值極點，則傳遞函數(shù)的通式可以寫成：傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式

從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應的傳遞函數(shù)，是一些最簡單、最基本的一些形式。式中：或：4/14/20247:17:51PM70比例環(huán)節(jié)二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時域特征和復域（s域）特征。時域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應。s域特性研究系統(tǒng)的零極點分布。

比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。（一）比例環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數(shù)：4/14/20247:17:51PM71積分環(huán)節(jié)

有一個0值極點。在圖中極點用“”表示，零點用“”表示。K表示比例系數(shù)，T稱為時間常數(shù)。（二）積分環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數(shù)：0S平面j04/14/20247:17:51PM72積分環(huán)節(jié)實例積分環(huán)節(jié)實例：①RC圖中，為轉(zhuǎn)角，為角速度。可見，為比例環(huán)節(jié)， 為積分環(huán)節(jié)。②電動機（忽略慣性和摩擦）齒輪組4/14/20247:17:51PM73（三）慣性環(huán)節(jié)時域方程：傳遞函數(shù)：當輸入為單位階躍函數(shù)時,有，可解得： ，式中：k為放大系數(shù)，T為時間常數(shù)。當k=1時，輸入為單位階躍函數(shù)時,時域響應曲線和零極點分布圖如下：通過原點的斜率為1/T，且只有一個極點（-1/T）。1yt00.632T通過原點切線斜率為1/TjRe0S平面慣性環(huán)節(jié)4/14/20247:17:51PM74求單位階躍輸入的輸出響應：

可見，y(t)是非周期單調(diào)升的，所以慣性環(huán)節(jié)又叫作非周期環(huán)節(jié)。慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應4/14/20247:17:51PM75①R2C-+R1而R②C兩個實例：慣性環(huán)節(jié)實例4/14/20247:17:51PM76振蕩環(huán)節(jié)（四）振蕩環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數(shù)：上述傳遞函數(shù)有兩種情況：當時，可分為兩個慣性環(huán)節(jié)相乘。即：傳遞函數(shù)有兩個實數(shù)極點：4/14/20247:17:51PM77振蕩環(huán)節(jié)分析y(t)t0單位階躍響應曲線極點分布圖[分析]：y(t)的上升過程是振幅按指數(shù)曲線衰減的的正弦運動。與有關。反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率。當時，曲線單調(diào)升，無振蕩。當時，曲線衰減振蕩。越小，振蕩越厲害。若，傳遞函數(shù)有一對共軛復數(shù)。還可以寫成：設輸入為：則4/14/20247:17:51PM78解：當時，有一對共軛復數(shù)極點。所以：解得：[例]：求質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的和。（見例2-2，p11）振蕩環(huán)節(jié)例子4/14/20247:17:51PM79微分環(huán)節(jié)（五）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時域形式有三種形式：①②③相應的傳遞函數(shù)為：①②③分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點，只有零點。分別是零、實數(shù)和一對共軛零點（若）。在實際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。4/14/20247:17:51PM80式中：y(t)x(t)R1R2C[實例]微分環(huán)節(jié)實例4/14/20247:17:51PM81延遲環(huán)節(jié)（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱時滯，時延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個延遲時間后，完全復現(xiàn)輸入信號。如右圖所示。其傳遞函數(shù)為：延遲環(huán)節(jié)是一個非線性的超越函數(shù)，所以有延遲的系統(tǒng)是很難分析和控制的。為簡單起見，化簡如下：或x(t)ty(t)t4/14/20247:17:51PM82（七）其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié)如等，它們的極點在s平面的右半平面，我們以后會看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。稱為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。其他環(huán)節(jié)4/14/20247:17:51PM83小結(jié)傳遞函數(shù)的基本概念；傳遞函數(shù)的列寫（由微分方程和系統(tǒng)原理圖出發(fā)）；典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)（單位階躍響應及其零極點分布）。Sunday,April14,2024842.4典例環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)Sunday,April14,202485結(jié)構圖的基本概念一、結(jié)構圖的基本概念：

我們可以用結(jié)構圖表示系統(tǒng)的組成和信號流向。在引入傳遞函數(shù)后，可以把環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)標在結(jié)構圖的方塊里，并把輸入量和輸出量用拉氏變換表示。這時Y(s)=G(s)X(s)的關系可以在結(jié)構圖中體現(xiàn)出來。[定義]：表示變量之間數(shù)學關系的方塊圖稱為函數(shù)結(jié)構圖或方塊圖。X(t)Y(t)電位器[例]：結(jié)構：結(jié)構圖：微分方程：y(t)=kx(t)

若已知系統(tǒng)的組成和各部分的傳遞函數(shù)，則可以畫出各個部分的結(jié)構圖并連成整個系統(tǒng)的結(jié)構圖。X(s)G(s)=KY(s)Sunday,April14,202486結(jié)構圖的基本概念[例2-10].求例2-6所示的速度控制系統(tǒng)的結(jié)構圖。各部分傳遞函數(shù)見例2-8，羅列如下：比較環(huán)節(jié)：運放Ⅰ：運放Ⅱ：功放環(huán)節(jié)：Sunday,April14,202487

將上面幾部分按照邏輯連接起來，形成下頁所示的完整結(jié)構圖。反饋環(huán)節(jié)：返回例2-8電動機環(huán)節(jié)：-Sunday,April14,202488

在結(jié)構圖中，不僅能反映系統(tǒng)的組成和信號流向，還能表示信號傳遞過程中的數(shù)學關系。系統(tǒng)結(jié)構圖也是系統(tǒng)的數(shù)學模型，是復域的數(shù)學模型。結(jié)構圖的基本概念-Sunday,April14,202489結(jié)構圖的等效變換二、結(jié)構圖的等效變換：[定義]：在結(jié)構圖上進行數(shù)學方程的運算。[類型]：①環(huán)節(jié)的合并；

--串聯(lián)

--并聯(lián)

--反饋連接

②信號分支點或相加點的移動。[原則]：變換前后環(huán)節(jié)的數(shù)學關系保持不變。Sunday,April14,202490（一）環(huán)節(jié)的合并：有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種形式。

環(huán)節(jié)的并聯(lián)：

反饋聯(lián)接：環(huán)節(jié)的合并

環(huán)節(jié)的串聯(lián)：…Sunday,April14,202491（二）信號相加點和分支點的移動和互換：

如果上述三種連接交叉在一起而無法化簡，則要考慮移動某些信號的相加點和分支點。①信號相加點的移動：把相加點從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端信號相加點的移動Sunday,April14,202492信號相加點的移動和互換

把相加點從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端：Sunday,April14,202493②信號分支點的移動：分支點從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端信號分支點的移動和互換Sunday,April14,202494信號相加點和分支點的移動和互換

分支點從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端：[注意]：相臨的信號相加點位置可以互換；見下例Sunday,April14,202495信號相加點和分支點的移動和互換

同一信號的分支點位置可以互換：見下例

相加點和分支點在一般情況下，不能互換。常用的結(jié)構圖等效變換見表2-1

所以，一般情況下，相加點向相加點移動，分支點向分支點移動。Sunday,April14,202496結(jié)構圖等效變換例子||例2-11[例2-11]利用結(jié)構圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。[解]：不能把左圖簡單地看成兩個RC電路的串聯(lián),有負載效應。根據(jù)電路定理，有以下式子：---Sunday,April14,202497結(jié)構圖等效變換例子||例2-11總的結(jié)構圖如下：

為了求出總的傳遞函數(shù)，需要進行適當?shù)牡刃ё儞Q。一個可能的變換過程如下：-----①--②Sunday,April14,202498結(jié)構圖等效變換例子||例2-11--③-④Sunday,April14,202499結(jié)構圖等效變換例子||例2-12[解]：結(jié)構圖等效變換如下：[例2-12]系統(tǒng)結(jié)構圖如下，求傳遞函數(shù)。-+相加點移動-+①Sunday,April14,2024100-+②結(jié)構圖等效變換例子||例2-12Sunday,April14,2024101閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

閉環(huán)控制系統(tǒng)（也稱反饋控制系統(tǒng)）的典型結(jié)構圖如下圖所示：-+

圖中，，為輸入、輸出信號，為系統(tǒng)的偏差，為系統(tǒng)的擾動量，這是不希望的輸入量。由于傳遞函數(shù)只能處理單輸入、單輸出系統(tǒng)，因此，我們分別求 對和對的傳遞函數(shù)，然后疊加得出總的輸出量。Sunday,April14,2024102給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（一）給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)：令，則有：-輸出量為：上式中，稱為前向通道傳遞函數(shù)，前向通道指從輸入端到輸出端沿信號傳送方向的通道。前向通道和反饋通道的乘積稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。含義是主反饋通道斷開時從輸入信號到反饋信號之間的傳遞函數(shù)。Sunday,April14,2024103又若單位反饋系統(tǒng)H(s)=1，則有：開環(huán)傳遞函數(shù)=前向通道傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的偏差E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)就是系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)偏差傳遞函數(shù)：-給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Sunday,April14,2024104擾動輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（二）擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)：此時R(s)=0,結(jié)構圖如下：輸出對擾動的傳遞函數(shù)為：輸出為：一般要求由擾動量產(chǎn)生的輸出量應為零。系統(tǒng)的誤差為-C(s),偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，擾動作用下偏差傳遞函數(shù)為：-+Sunday,April14,2024105給定輸入和擾動輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(三）給定輸入和擾動輸入同時作用下的閉環(huán)系統(tǒng)根據(jù)線性迭加原理：輸出：偏差：[提示]：各個傳遞函數(shù)都具有相同的分母，分母稱為控制系統(tǒng)的特征表達式。Sunday,April14,20241062.5、2.6動態(tài)結(jié)構圖的等效變換結(jié)構圖的概念和繪制方法；結(jié)構圖的等效變換（環(huán)節(jié)的合并和分支點、相加點的移動）；閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（給定作用和擾動作用共同下）；特征表達式（特征方程）。作業(yè)：2-8，2-9，2-11Sunday,April14,20241072.3、2.4、2.5動態(tài)結(jié)構圖Sunday,April14,2024108結(jié)構圖的基本概念一、結(jié)構圖的基本概念：

我們可以用結(jié)構圖表示系統(tǒng)的組成和信號流向。在引入傳遞函數(shù)后，可以把環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)標在結(jié)構圖的方塊里，并把輸入量和輸出量用拉氏變換表示。這時Y(s)=G(s)X(s)的關系可以在結(jié)構圖中體現(xiàn)出來。[定義]：表示變量之間數(shù)學關系的方塊圖稱為函數(shù)結(jié)構圖或方塊圖。X(t)Y(t)電位器[例]：結(jié)構：結(jié)構圖：微分方程：y(t)=kx(t)

若已知系統(tǒng)的組成和各部分的傳遞函數(shù)，則可以畫出各個部分的結(jié)構圖并連成整個系統(tǒng)的結(jié)構圖。X(s)G(s)=KY(s)Sunday,April14,2024109結(jié)構圖的基本概念[例2-10].求例2-6所示的速度控制系統(tǒng)的結(jié)構圖。各部分傳遞函數(shù)見例2-8，羅列如下：比較環(huán)節(jié)：運放Ⅰ：運放Ⅱ：功放環(huán)節(jié)：Sunday,April14,2024110

將上面幾部分按照邏輯連接起來，形成下頁所示的完整結(jié)構圖。反饋環(huán)節(jié)：返回例2-8電動機環(huán)節(jié)：-Sunday,April14,2024111

在結(jié)構圖中，不僅能反映系統(tǒng)的組成和信號流向，還能表示信號傳遞過程中的數(shù)學關系。系統(tǒng)結(jié)構圖也是系統(tǒng)的數(shù)學模型，是復域的數(shù)學模型。結(jié)構圖的基本概念-Sunday,April14,2024112結(jié)構圖的等效變換二、結(jié)構圖的等效變換：[定義]：在結(jié)構圖上進行數(shù)學方程的運算。[類型]：①環(huán)節(jié)的合并；

--串聯(lián)

--并聯(lián)

--反饋連接

②信號分支點或相加點的移動。[原則]：變換前后環(huán)節(jié)的數(shù)學關系保持不變。Sunday,April14,2024113（一）環(huán)節(jié)的合并：有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種形式。

環(huán)節(jié)的并聯(lián)：

反饋聯(lián)接：環(huán)節(jié)的合并

環(huán)節(jié)的串聯(lián)：…Sunday,April14,2024114（二）信號相加點和分支點的移動和互換：

如果上述三種連接交叉在一起而無法化簡，則要考慮移動某些信號的相加點和分支點。①信號相加點的移動：把相加點從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端信號相加點的移動Sunday,April14,2024115信號相加點的移動和互換

把相加點從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端：Sunday,April14,2024116②信號分支點的移動：分支點從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端信號分支點的移動和互換Sunday,April14,2024117信號相加點和分支點的移動和互換

分支點從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端：[注意]：相臨的信號相加點位置可以互換；見下例Sunday,April14,2024118信號相加點和分支點的移動和互換

同一信號的分支點位置可以互換：見下例

相加點和分支點在一般情況下，不能互換。常用的結(jié)構圖等效變換見表2-1

所以，一般情況下，相加點向相加點移動，分支點向分支點移動。Sunday,April14,2024119結(jié)構圖等效變換例子||例2-11[例2-11]利用結(jié)構圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。[解]：不能把左圖簡單地看成兩個RC電路的串聯(lián),有負載效應。根據(jù)電路定理，有以下式子：---Sunday,April14,2024120結(jié)構圖等效變換例子||例2-11總的結(jié)構圖如下：

為了求出總的傳遞函數(shù)，需要進行適當?shù)牡刃ё儞Q。一個可能的變換過程如下：-----①--②Sunday,April14,2024121結(jié)構圖等效變換例子||例2-11--③-④Sunday,April14,2024122結(jié)構圖等效變換例子||例2-12[解]：結(jié)構圖等效變換如下：[例2-12]系統(tǒng)結(jié)構圖如下，求傳遞函數(shù)。-+相加點移動-+①Sunday,April14,2024123-+②結(jié)構圖等效變換例子||例2-12Sunday,April14,2024124結(jié)構圖等效變換例2[例2]系統(tǒng)結(jié)構圖如下，求傳遞函數(shù)。Sunday,April14,2024125結(jié)構圖等效變換例2Sunday,April14,2024126結(jié)構圖等效變換例2Sunday,April14,2024127結(jié)構圖等效變換例2Sunday,April14,2024128閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)三、閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

閉環(huán)控制系統(tǒng)（也稱反饋控制系統(tǒng)）的典型結(jié)構圖如下圖所示：-+

圖中，，為輸入、輸出信號，為系統(tǒng)的偏差，為系統(tǒng)的擾動量，這是不希望的輸入量。由于傳遞函數(shù)只能處理單輸入、單輸出系統(tǒng)，因此，我們分別求 對和對的傳遞函數(shù)，然后疊加得出總的輸出量。Sunday,April14,2024129給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（一）給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)：令，則有：-輸出量為：上式中，稱為前向通道傳遞函數(shù)，前向通道指從輸入端到輸出端沿信號傳送方向的通道。前向通道和反饋通道的乘積稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。含義是主反饋通道斷開時從輸入信號到反饋信號之間的傳遞函數(shù)。Sunday,April14,2024130又若單位反饋系統(tǒng)H(s)=1，則有：開環(huán)傳遞函數(shù)=前向通道傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的偏差E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)就是系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)偏差傳遞函數(shù)：-給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Sunday,April14,2024131擾動輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（二）擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)：此時R(s)=0,結(jié)構圖如下：輸出對擾動的傳遞函數(shù)為：輸出為：一般要求由擾動量產(chǎn)生的輸出量應為零。系統(tǒng)的誤差為-C(s),偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，擾動作用下偏差傳遞函數(shù)為：-+Sunday,April14,2024132給定輸入和擾動輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(三）給定輸入和擾動輸入同時作用下的閉環(huán)系統(tǒng)根據(jù)線性迭加原理：輸出：偏差：[提示]：各個傳遞函數(shù)都具有相同的分母，分母稱為控制系統(tǒng)的特征表達式。Sunday,April14,2024133小結(jié)結(jié)構圖的概念和繪制方法；結(jié)構圖的等效變換（環(huán)節(jié)的合并和分支點、相加點的移動）；閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（給定作用和擾動作用共同下）；特征表達式（特征方程）。Sunday,April14,20241342.6動態(tài)結(jié)構圖的等效變換Sunday,April14,20241352.6.1動態(tài)結(jié)構圖的等效變換法則

動態(tài)結(jié)構圖的等效變換是利用方框圖進行數(shù)學運算，并對方框圖進行變換和簡化。對于復雜的系統(tǒng)結(jié)構圖，其方框圖之間的連接可能是錯綜復雜的，但都是從三種最基本的連接方式演變出來的。這就是結(jié)構圖等效變換中的環(huán)節(jié)合并，另一類是引出點或相加點的移動，在下面的內(nèi)容中具體介紹。1．給定輸入信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

（1）串聯(lián)環(huán)節(jié)的合并。相互間無負載效應的環(huán)節(jié)串聯(lián)，如圖2-23所示，即前一個環(huán)節(jié)的輸出是后一個環(huán)節(jié)的輸入，各環(huán)節(jié)依次連接。Sunday,April14,2024136U(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)

（a）

（b）

圖2-23串聯(lián)連接由圖2-23（a）圖可知：消去中間變量，可得：

則等效傳遞函數(shù)為：Sunday,April14,2024137（2-54）

由此，我們可以得知，兩個或兩個以上環(huán)節(jié)串聯(lián)（相互間無負載效應的影響），其等效傳遞函數(shù)等于各個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。（2）并聯(lián)環(huán)節(jié)的合并。并聯(lián)各環(huán)節(jié)有相同的輸入量，而輸出量等于各環(huán)節(jié)輸出量之代數(shù)和，如圖2-24所示。R(s)G1(s)G2(s)C1(s)C2(s)C(s)±R(s)G1(s)±G1(s)C(s)

（a）（b）圖2-24并聯(lián)連接Sunday,April14,2024138由圖2-24（a）可知：消去中間變量、可得：則等效傳遞函數(shù)為：

（2-55）由此可知，兩個或兩個以上的環(huán)節(jié)并聯(lián)，其等效傳遞函數(shù)為各個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。Sunday,April14,2024139（3）反饋連接。連接形式是兩個方框反向并聯(lián)，如圖2-25所示，相加點處做加法時為正反饋，做減時為負反饋。R(s)E(s)B(s)C(s)H(s)G(s)±R(s)C(s)C(s)1G(s)H(s)

（a）（b）圖2-25反饋連接由圖2-25（a）可知：Sunday,April14,2024140消去中間變量、可得等效傳遞函數(shù)為：G(S)（2-56）2．分支點（或引出點）的移動

在前面，我們介紹了環(huán)節(jié)的合并，接下來介紹分支點（或引出點）的移動，其具體的法則如下：（1）分支點前移。分支點前移的等效變換法則是：乘C分支點所經(jīng)過的傳遞函數(shù)。如圖2-26所示。Sunday,April14,2024141RCCCCRG(s)前移G(s)G(s)圖2-26分支點前移（2）分支點后移分支點后移的等效變換法則是：除以分支點所經(jīng)過的傳遞函數(shù)。如圖2-27所示。

CRRG(s)G(s)后移R1G(s)RC圖2-27分支點后移

Sunday,April14,20241423．相加點移動

在前面，我們介紹了分支點（或引出點）的移動，接下來介紹相加點的移動，其具體的法則如下：（1）相加點前移。相加點前移等效變換法則：除以相加點所經(jīng)過的傳遞函數(shù)。如圖2-28所示。RG(s)前移X±C±G(s)1G(s)XCR圖2-28相加點前移Sunday,April14,2024143（2）相加點后移。相加點后移等效變換法則：乘以相加點所經(jīng)過的傳遞函數(shù)。如圖2-29所示。后移RG(s)CX±G(s)G(s)±XCR圖2-29相加點后移2.6.2動態(tài)結(jié)構圖的等效變換舉例

Sunday,April14,2024144

例2.7：圖2-30網(wǎng)絡的動態(tài)結(jié)構圖如圖2-31（a）。圖中有方框的并聯(lián)連接、串聯(lián)連接和反饋連接，對結(jié)構圖進行等效變換，求出網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。R1C+R2uruC+--圖2-30RC網(wǎng)絡

解：首先用并聯(lián)連接將2-31（a）變換為（b）；再用串聯(lián)連接法則將結(jié)構圖等效為典型的單回路結(jié)構（見圖（c））；最后用反饋法則將圖（c）等效為圖（d）。Sunday,April14,2024145方框內(nèi)是網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)，，，則網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為：，即為所求。GsurucR2-1R2GsurucR2-1R2

（a）（b）Sunday,April14,2024146uruc-ucur

（a）（b）圖2-31RC網(wǎng)絡動態(tài)結(jié)構圖例2.8：系統(tǒng)結(jié)構圖如圖2-32所示，求傳遞函數(shù)。G1G2G3H1H2H3R(s)---C(s)圖2-32系統(tǒng)結(jié)構圖

Sunday,April14,2024147解：由圖2-32可得圖2-33化簡動態(tài)結(jié)構圖：經(jīng)過化簡，得到傳遞函數(shù)為：

由上面的例子，我們可以總結(jié)出簡化結(jié)構圖的步驟：（1）確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。如果系統(tǒng)有多個輸入量，每次只保留一個輸入量，令其他輸入量為零，分別對每個輸入量進行結(jié)構圖簡化，求得有關的傳遞函數(shù)。對于有多個輸出量的系統(tǒng)，也應該按類似的方法分別處理。（2）如果結(jié)構圖中有交叉連接，應移動某些引出點或相加點，將交叉點連接消除。（3）對于多回路無交叉連接的結(jié)構圖，應從內(nèi)回路開始，由里向外進行變換，直至將結(jié)構圖變?yōu)橐粋€等效的方框，得到所求的傳遞函數(shù)。Sunday,April14,2024148H3G1R(s)-H1G2G3H2C(s)1G3--1G3（a）

G1H3R(s)-G2H3--H1G3H1G3C(s)（b）Sunday,April14,2024149G1R(s)-G1G31+G2G3H3+G2G2H1G3C(s)圖2-33化簡動態(tài)結(jié)構圖的步驟Sunday,April14,20241502.7自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Sunday,April14,2024151脈沖函數(shù)2.7.1閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

自動控制系統(tǒng)一般受到兩類輸入信號作用，一類是對系統(tǒng)有用的信號，或稱給定信號；另一類信號是擾動信號，或稱干擾信號。給定信號通常加在控制裝置的輸入端；干擾信號一般作用在被控對象上，也可能出現(xiàn)在其他元部件上，甚至可能混雜在輸入信號中。一個系統(tǒng)往往有多個擾動信號，但是一般只考慮其中最主要的。在下面的內(nèi)容中，主要介紹自動控制系統(tǒng)中常用的傳遞函數(shù)。如圖2-34所示，閉環(huán)控制系統(tǒng)典型結(jié)構圖。在該結(jié)構圖中，從輸入信號到輸出信號之間的通道，稱為前向通道；從輸出信號到反饋信號之間的通道，稱為反饋通道。Sunday,April14,2024152

將圖2-34所示方框的輸出信號線斷開，即斷開系統(tǒng)的反饋通道。這時反饋信號與輸入信號之比，稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。（2-57）

即系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。Sunday,April14,2024153G1(s)R(s)-B(s)N(s)C(s)G2(s)H(s)-圖2-34閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構圖例2.9：求例2.7所求得的系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構圖的開環(huán)傳遞函數(shù)。解：該系統(tǒng)是一個雙回路控制系統(tǒng)，先求內(nèi)環(huán)的傳遞函數(shù)為：。

Sunday,April14,2024154

這樣，前向通道有兩個串聯(lián)方框，反饋通道傳遞函數(shù)，故系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為前向通道兩個方框傳遞函數(shù)和反饋通道傳遞函數(shù)的乘積，即開環(huán)傳遞函數(shù)為：。2.7.2閉環(huán)傳遞函數(shù)

1．給定輸入信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

令擾動量，由圖2-34即可得到圖2-35，輸出量 與輸入量之間的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：Sunday,April14,2024155G1(s)R(s)-B(s)C(s)