2024數(shù)學(xué)論文《導(dǎo)數(shù)題中“任意、存在”型的歸納辨析》

2024數(shù)學(xué)論文《導(dǎo)數(shù)題中“任意、存在”型的歸納辨析》導(dǎo)數(shù)題任意以及存在的分類解析導(dǎo)數(shù)題是高考題中的?？?，而且大都以壓軸題的面目出現(xiàn)，所以拿下導(dǎo)數(shù)題是邁入高分段的標(biāo)志。導(dǎo)數(shù)題雖年年有，但卻悄然之中發(fā)生著些改變。這其中，尤以關(guān)于“任意”、“存在”的內(nèi)容最為明顯?！叭我狻?、“存在”可以說(shuō)是導(dǎo)數(shù)題最為明顯的特色，從早期單一型，發(fā)展到現(xiàn)今的混合型。下面對(duì)此作一歸納。一．單一函數(shù)單一“任意”型例1．已知函數(shù)的最小值為,其中。(1)求的值；(2)若對(duì)任意的,有成立,求實(shí)數(shù)的最小值。解析：(1)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所。（2）設(shè)，則問(wèn)題等價(jià)于對(duì)恒成立，即。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，，所以。由，若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，矛盾。從而，解得。即實(shí)數(shù)的最小值是。點(diǎn)評(píng)：“任意”的意思是不管取給定集合中的哪一個(gè)值，得到的函數(shù)值都要滿足給定的不等式，它有兩種形式：“對(duì)任意的，恒成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，”；“對(duì)任意的，恒成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，”。二．單一函數(shù)單一“存在”型例2.已知函數(shù)()，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解析：?！撸嗲业忍?hào)不能同時(shí)取，所以，即，因而，令，又，當(dāng)時(shí)，，，從而（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），所以在上為增函數(shù)，故的最小值為，所以a的取值范圍是．點(diǎn)評(píng)：“存在”的意思是取遍給定集合中的每一個(gè)值，都至少有一個(gè)函數(shù)值滿足給定的不等式，它有兩種形式：“存在，使得成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，”；“存在，使得成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，”。三．單一函數(shù)雙“任意”型例3.設(shè)函數(shù)。（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意及任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解析：（1），當(dāng)，即時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令得。當(dāng)，即時(shí)，令得或令得。綜上，當(dāng)時(shí)，在定義域上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值，，，由得，所以。點(diǎn)評(píng)：“任意，恒有”等價(jià)于“大于”，而。例4.已知函數(shù)。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè).如果對(duì)任意，，求的取值范圍。解析：（1）的定義域?yàn)椋?，+∞）.，當(dāng)時(shí)，＞0，故在（0，+∞）單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，＜0，故在（0，+∞）單調(diào)減少；當(dāng)-1＜＜0時(shí)，令=0，解得。則當(dāng)時(shí)，＞0；時(shí)，＜0。故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少。（2）不妨假設(shè)，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）單調(diào)減少，從而，等價(jià)于，。（*）令，則（*）等價(jià)于在單調(diào)遞減，即。從而故a的取值范圍為。點(diǎn)評(píng)：本題容易得出的錯(cuò)誤。因?yàn)榈仁絻蛇叾加凶兞?，一邊變化?huì)引起另一邊變化，這種情況要將等式兩邊移至一邊，通過(guò)分離變量，來(lái)構(gòu)造新的函數(shù)以達(dá)到解題的目的。四．單一函數(shù)雙“存在”型例5．設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)。（1）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，。若存在使得成立，求的取值范圍。解析：（1），則，解得。，令，得，由于是極值點(diǎn)，所以，得。所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增減，在上單調(diào)遞增減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么在區(qū)間上的值域是，而，，，那么在上的值域?yàn)?。又在上是增函?shù)，所以它在上的值域是，由于，所以只須且只須且，解得。故的取值范圍是。點(diǎn)評(píng)：“存在使得”等價(jià)于“”，而要通過(guò)與的值域來(lái)得到。五．雙函數(shù)“任意”+“存在”型：例5．已知函數(shù)，，若存在，對(duì)任意，總有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解析：題意等價(jià)于在上的最大值大于或等于在上的最大值。，由得，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在（0，1）上，。又在上的最大值為，所以有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是。點(diǎn)評(píng)：，使得成立。同樣，，使得成立。例6．設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間．（2）設(shè)，函數(shù)．若對(duì)于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍．解析：（1），令，即，解得：，的單增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為和。（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即；又，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，又對(duì)于任意，總存在，使得成立，即，解得：點(diǎn)評(píng)：“對(duì)任意，存在，使得成立”等價(jià)于“的值域包含于的值域”。六．雙函數(shù)“任意”+“任意”型例7．設(shè)，．（1）如果存在，使得成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)；（2）如果對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解析：（1）存在，使得成立等價(jià)于。由，可得在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以=，，所以，從而滿足條件的最大整數(shù)。（2）由，得在上的最大值為1.則對(duì)任意的，都有成立等價(jià)于對(duì)恒成立，也等價(jià)于對(duì)恒成立。記，，。記，，由于，,所以在上遞減，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，所以，所以。點(diǎn)評(píng)：，使得成立七．雙函數(shù)“存在”+“存在”型例8．已知函數(shù)，。若存在，，使，求實(shí)數(shù)取值范圍。解析：，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，。依題意有，所以。又，從而或，解得。即實(shí)數(shù)取值范圍是。點(diǎn)評(píng)：，使得成立，同樣，使得成立。例9．已知函數(shù)，。是否存在實(shí)數(shù)，存在，，使得成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.解析：在上是增函數(shù)，故對(duì)于，.設(shè)，當(dāng)時(shí)，。要存在，使得成立，只要，考慮反面，若，則或，解得或。從而所求為點(diǎn)評(píng)：“，使得成立”等價(jià)于“的值域與的值域相交非空”。從以上例題可以看出，導(dǎo)數(shù)題的發(fā)展軌跡是從單一函數(shù)往雙函數(shù)發(fā)展，從單一變量往雙變量甚至是多變量發(fā)展，從單一任意或存在往任意存在混合上發(fā)展。不管怎樣發(fā)展，它們的基礎(chǔ)還是單函數(shù)的任意與存在性問(wèn)題。對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的問(wèn)題，雖然以上例題歸納得很清楚，但真正解題中，往往還是容易迷惑。我們知道，面對(duì)兩個(gè)或多個(gè)變量的時(shí)候，可以先把其中的一個(gè)當(dāng)成是變量，其它的當(dāng)成是常量，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量的常規(guī)題了。這里同樣可以采取類似的方法，在和中，依次把一個(gè)當(dāng)成是常量，另一個(gè)當(dāng)成是變量，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了前面熟悉的單函數(shù)單任意（或存成）題了。比如“，使得成立”，就可以先把當(dāng)成是常量，“，使得成立”等價(jià)于，再反過(guò)來(lái)，再把當(dāng)成是常量，“，使得成立”等價(jià)于，綜合以上兩方面，就得出了“，使得成立”的正確結(jié)論。導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課標(biāo)解讀1、整體定位《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的整體定位如下：“微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開(kāi)創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段。導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。在本模塊中，學(xué)生將通過(guò)大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程，理解導(dǎo)數(shù)概念，了解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)。通過(guò)該模塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生將體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其豐富內(nèi)涵，感受導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，了解微積分的文化價(jià)值?！睘榱烁玫乩斫庹w定位，需要明確以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：（1）要防止將導(dǎo)數(shù)僅僅作為一些規(guī)則和步驟來(lái)學(xué)習(xí)，而忽視它的思想和價(jià)值。由于在中學(xué)階段，學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)極限，而導(dǎo)數(shù)又作為一種特殊的極限，我們?nèi)绾翁幚磉@部分內(nèi)容呢？導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用在編排上更側(cè)重于思想和概念的本質(zhì)，不能把導(dǎo)數(shù)作為一種特殊的極限（增量比的極限）來(lái)處理，而是通過(guò)實(shí)際的背景和具體應(yīng)用事例—膨脹率、加速度、增長(zhǎng)率等實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，認(rèn)識(shí)和理解導(dǎo)數(shù)的概念，同時(shí)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的認(rèn)識(shí)和理解。（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算不宜要求過(guò)高由于沒(méi)有學(xué)習(xí)極限，因此，我們不能過(guò)多地要求學(xué)生利用極限去求過(guò)于復(fù)雜的函數(shù)導(dǎo)數(shù)。這里，只要求學(xué)生能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=的導(dǎo)數(shù)；能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f(a+b)）的導(dǎo)數(shù)。（3）注重導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)和生活實(shí)踐中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐?wèn)題最一般，最有效的工具。這里，我們要求學(xué)生能借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值。以及利用導(dǎo)數(shù)解諸如運(yùn)動(dòng)速度、物種繁殖、綠化面積增長(zhǎng)率等實(shí)際問(wèn)題，以及利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題。（4）關(guān)注數(shù)學(xué)文化重視和學(xué)生一起收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時(shí)代背景和有關(guān)人物的資料，并進(jìn)行交流；體會(huì)微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價(jià)值。2、課程標(biāo)準(zhǔn)的要求（1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義①通過(guò)對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵。②通過(guò)函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算①能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=的導(dǎo)數(shù)。②能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f(a+b)）的導(dǎo)數(shù)。③會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表。（3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用①結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，若利用函數(shù)定義求解，一般較為復(fù)雜，學(xué)生失分率高，新教材引入導(dǎo)數(shù)以后，有效地解決了這一難題。利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性的法則為：在區(qū)間D上，若，則在D上是增函數(shù)；若，則在D上是減函數(shù)。反之，若在D內(nèi)可導(dǎo)，且若在D上是增（減）函數(shù)，則一定有。例1.證明函數(shù)在［0，2］上是減函數(shù)。解：，當(dāng)時(shí)，。∴函數(shù)在［0，2］上是減函數(shù)例2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：令得：（1）當(dāng)或時(shí)，，所以，；（2）當(dāng)或時(shí)，所以，∴的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，。解含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性時(shí)，需分類討論參數(shù)，確定的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性。例3.求函數(shù)在上的最大值（其中）。解：令，則求在（0，1］上的最大值當(dāng)時(shí)，顯然在（0，1］上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，令得：，易知時(shí)，為增函數(shù)時(shí)，為減函數(shù)。于是若（此時(shí)）則在（0，1］上為增函數(shù)此時(shí)若（此時(shí)）則在上為增函數(shù)在上為減函數(shù)所以由以上討論知當(dāng)時(shí)，時(shí)，從以上例題可以看出，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，其求解過(guò)程思路流暢、簡(jiǎn)捷，便于掌握。從離心率看圓錐曲線間的關(guān)系早在17世紀(jì)初，在當(dāng)時(shí)關(guān)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象能從一個(gè)形狀連續(xù)地變到另一個(gè)形狀的新思想的影響下，法國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述．他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點(diǎn)和離心率，并指明拋物線還有一個(gè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的焦點(diǎn)，直線是圓心在無(wú)窮遠(yuǎn)處的圓．從而他第一個(gè)掌握了這樣的事實(shí)：橢圓、拋物線、雙曲線、圓，都可以從其中的一個(gè)連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€(gè)，從而辯證地看到了各類圓錐曲線間的關(guān)系．下面我們從離心率對(duì)圓錐曲線的形狀的影響入手，來(lái)研究圓錐曲線間的關(guān)系，為了討論這個(gè)問(wèn)題，我們首先在同一直角坐標(biāo)系中把橢圓、拋物線、雙曲線這三種曲線的方程統(tǒng)一起來(lái)．1．橢圓、拋物線、雙曲線的統(tǒng)一方程將橢圓按向量平移得到，即．作橢圓的半通徑（即過(guò)橢圓焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的半弦），用表示，易證，同時(shí)易知．故橢圓的方程可寫(xiě)成．類似地，將雙曲線按向量平移得到，即．作雙曲線的半通徑（即過(guò)雙曲線焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的半弦），用表示，易證，同時(shí)易知．故雙曲線方程可寫(xiě)成．對(duì)于拋物線，為半通徑長(zhǎng)，離心率，它也可寫(xiě)成，于是在同一坐標(biāo)系下，三種曲線有統(tǒng)一方程，其中是曲線的半通徑長(zhǎng)，當(dāng)，，時(shí)分別表示橢圓、拋物線、雙曲線．2．從離心率看圓錐曲線間的關(guān)系設(shè)橢圓、雙曲線、拋物線有相同的半通徑，即統(tǒng)一方程中的不變，令離心率變化，在這種情況下，我們討論曲線變化趨勢(shì)．在同一坐標(biāo)系下，作出這三種曲線如圖所示，設(shè)，，分別是拋物線焦點(diǎn)、橢圓的左焦點(diǎn)和雙曲線的右焦點(diǎn)，則有，，，所以．這說(shuō)明點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，而點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)．由此，我們來(lái)看三種曲線的位置關(guān)系（由曲線的對(duì)稱性，只考慮第一象限內(nèi)的情況），從統(tǒng)一方程不難看出，當(dāng)任意取定時(shí)，設(shè)橢圓、拋物線和雙曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，，，有．這說(shuō)明，雙曲線在拋物線上側(cè)，而橢圓在拋物線下側(cè)．下面我們進(jìn)一步討論圓錐曲線間的關(guān)系．（1）當(dāng)離心率由小于1無(wú)限趨近于1時(shí)，．（符號(hào)“→”表示無(wú)限趨近于）．即．這說(shuō)明橢圓的左焦點(diǎn)無(wú)限趨近于拋物線的焦點(diǎn)，且橢圓在第一象限內(nèi)向上移動(dòng)無(wú)限接近拋物線．又因?yàn)椋裕捎谟尚∮?無(wú)限趨近于1，所以．這說(shuō)明橢圓右焦點(diǎn)沿軸正向趨于無(wú)限遠(yuǎn)．因此可以看出，在橢