2024經(jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律的教學(xué)涵義1

2024經(jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律的教學(xué)涵義1“經(jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律”的教學(xué)涵義經(jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律，是我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題的一般過(guò)程和方法，也闡明了一個(gè)簡(jiǎn)單但很深刻的教學(xué)原理。“經(jīng)驗(yàn)”是具體的，“規(guī)律”則是抽象的?！耙?guī)律”不是從天而降的，而是從具體經(jīng)驗(yàn)中經(jīng)過(guò)不斷歸納、概括才能得到的。如何才能培養(yǎng)學(xué)生“從經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的能力呢？我想，如下兩點(diǎn)很要緊：首先，要培養(yǎng)學(xué)生“從一般規(guī)律的高度考察具體事例”的意識(shí)，逐步養(yǎng)成“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”的習(xí)慣。這是觀(guān)念問(wèn)題，是思維習(xí)慣問(wèn)題，也是思想方法問(wèn)題，需要一個(gè)長(zhǎng)期的、潛移默化的過(guò)程，需要有意識(shí)地培養(yǎng)。其次，要讓學(xué)生掌握觀(guān)察事例、從經(jīng)驗(yàn)中歸納規(guī)律、把具體事例中得到的東西概括到全體中去的基本方法，使他們逐步學(xué)會(huì)歸納、學(xué)會(huì)抽象、學(xué)會(huì)概括，進(jìn)而形成“從經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的能力。眾所周知，“具體”中蘊(yùn)含的信息具有豐富性、多樣性，觀(guān)察也可以有不同角度，因而從同一事例中可發(fā)現(xiàn)不同規(guī)律；同時(shí)，表面的東西大家都能看到，“藏”在背后的才有“含金量”。所以，面對(duì)具體事例，關(guān)鍵是“你怎么看？”這是看問(wèn)題的角度、高度以及切入點(diǎn)，需要知識(shí)的支撐，還需要?dú)v練。學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)“不是做不到，而是想不到”的尷尬，主要是他們的閱歷還不足以使自己“想得到”。這似乎是一層“窗戶(hù)紙”，但捅破它卻并不容易，需要有數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的靈活運(yùn)用能力。例如對(duì)于公式1+2+…+n=，能將右邊看成n個(gè)相加的結(jié)果，進(jìn)而想到是數(shù)列1，2，…，n的“等差中項(xiàng)”，是這n個(gè)數(shù)的“平均數(shù)”，并最終形成對(duì)等差數(shù)列求和具有一般意義的“利用平均數(shù)，將求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為n個(gè)相同數(shù)的求和”，這就體現(xiàn)了看問(wèn)題的高度，需要很好的把握等差數(shù)列的性質(zhì)（特別是“當(dāng)m+n=p+q時(shí)，am+an=ap+aq”）。把簡(jiǎn)單的事情搞清楚，并能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這是需要高層次思維和高水平能力的。再看“二項(xiàng)式定理”的例子。從乘法公式的角度，通過(guò)整式運(yùn)算，學(xué)生在初中就知道(a+b)2=a2+2ab+b2和(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。如何升華這些經(jīng)驗(yàn)，使之能用于“歸納規(guī)律，獲得猜想”呢？這里需要一個(gè)新的觀(guān)察角度，要用排列組合的觀(guān)點(diǎn)分析原始運(yùn)算過(guò)程：對(duì)于(a+b)2=a2+2ab+b2，還原到(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2，分析展開(kāi)式（從什么角度？），看項(xiàng)數(shù)、每一項(xiàng)的次數(shù)和系數(shù)。因?yàn)槟繕?biāo)是要得到(a+b)n的展開(kāi)式，因此要有“從特殊性中尋找一般性”的思想：n=2時(shí)，項(xiàng)數(shù)3，次數(shù)2，每一項(xiàng)的形式是a2-kbk（k=0，1，2）（這是“一般化”的觀(guān)點(diǎn)，需要?dú)w納，需要教師引導(dǎo)）。接下來(lái)的關(guān)鍵是要用組合知識(shí)對(duì)“如何獲得展開(kāi)式的某一項(xiàng)”作出解釋。當(dāng)k=0時(shí)，=a2，是由2個(gè)（a+b）都不選b得到的，相當(dāng)于從2個(gè)（a+b）中取0個(gè)b（即都取a）的組合數(shù)；當(dāng)k=1時(shí)，=ab，是由一個(gè)（a+b）選a，另一個(gè)（a+b）選b得到的，由于b選定后，a的選法就唯一確定，因此，ab出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)（a+b）中取1個(gè)b的組合數(shù)，即ab共有個(gè)；當(dāng)k=2時(shí)，=b2，是由2個(gè)（a+b）都選b得到的，相當(dāng)于從2個(gè)（a+b）中取2個(gè)b的組合數(shù)。最終有：。顯然，學(xué)生具備上述分析過(guò)程中用到的所有知識(shí)，但他們?nèi)薄翱磫?wèn)題的高度”，不會(huì)“從新角度看舊問(wèn)題”。因此，為了有利于學(xué)生找到“規(guī)律”，需要進(jìn)一步提供經(jīng)驗(yàn)支持，即讓學(xué)生仿照上述過(guò)程獨(dú)立完成對(duì)，的展開(kāi)式的探究。順便提及，代數(shù)中的公式和定理，絕大部分都是用歸納法由低次到高次，由一元、二元到多元逐步歸納而發(fā)現(xiàn)，然后再用歸納論證去確立其正確性。因此，代數(shù)教學(xué)中，一定要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生積累“歸納地去探索、發(fā)現(xiàn)，再歸納地定義、歸納地論證”的經(jīng)驗(yàn)。1．已知當(dāng)，不等式恒成立，則的取值范圍是．解法一：結(jié)合的圖象分類(lèi)討論：當(dāng)，即時(shí)，，解得當(dāng)，即時(shí)，，解得當(dāng)，即時(shí)，，解得綜上可知：或解法二：當(dāng)時(shí)顯然成立當(dāng)時(shí)，有或進(jìn)而有：或所以或綜上：或2．設(shè)實(shí)數(shù)使得不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則滿(mǎn)足條件組成的集合是。解法一：設(shè)當(dāng)時(shí)，所以所以，解得當(dāng)時(shí)，所以所以，解得綜上，解法二：由齊次化思想，令，則原不等式為轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立易得所以，解得2015年浙江第18題3.設(shè)函數(shù)，記為在上的最大值（1）設(shè)，求證：（2）若，請(qǐng)求出的最值。證明：（1）因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸或證法一：規(guī)劃視角故，又結(jié)合，可以從規(guī)劃視角來(lái)解題，以為橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)建系，畫(huà)出可行域如圖1所示，目標(biāo)函數(shù)視為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的倍，顯然當(dāng)取點(diǎn)時(shí)同理，可行域如圖2所示，目標(biāo)函數(shù)視為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的倍，顯然當(dāng)取點(diǎn)時(shí)綜上，證法二：絕對(duì)值不等式解法三：令，則在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出和的圖象，兩者取其大，則顯然當(dāng)時(shí)，故（2）解法一：規(guī)劃視角顯然又是一個(gè)規(guī)劃問(wèn)題了。以為橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)建系，畫(huà)出可行域如圖中的藍(lán)色部分。這里畫(huà)圖時(shí)注意到上下兩條拋物線(xiàn)恰與兩條直線(xiàn)相切（這里命題人命題時(shí)可能又是兩邊夾的應(yīng)用）目標(biāo)函數(shù)，（當(dāng)然這個(gè)目標(biāo)函數(shù)也可以理解為一個(gè)正方形逐漸變大）顯然當(dāng)在第一象限（含坐標(biāo)軸）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)當(dāng)在第二象限時(shí)，目標(biāo)函數(shù)當(dāng)在第三象限時(shí)，目標(biāo)函數(shù)當(dāng)在第四象限時(shí)，目標(biāo)函數(shù)綜上，的最大值為3，最小值為0。解法二：顯然，而時(shí)，，，所以可以取到，所以又由（1）的逆否命題可知當(dāng)時(shí)，必有，且（i）若，則（ii）若，則，所以，從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，，綜上，的最大值為3，最小值為0。解法三：顯然，而時(shí)，，，所以可以取到，所以由故故或又，故4.（2015重慶理科第16題）若函數(shù)的最小值為5，則________．解法一：按照兩類(lèi)分類(lèi)討論，畫(huà)出的折線(xiàn)圖，圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，求得或解法二：由題意得，從而設(shè)的圖象是以為頂點(diǎn)的開(kāi)口向上的“V”形圖。的圖象是以為頂點(diǎn)的開(kāi)口向下（開(kāi)口比的圖象開(kāi)口大）的“V”形圖，且與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為。當(dāng)或時(shí)，，所以若函數(shù)的最小值為5，則或5.已知，對(duì)任意滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)，都有成立，則的最大值是．解法一：顯然于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值當(dāng)時(shí)，容易得到，由圖可知直線(xiàn)在上的值域?yàn)榈淖蛹?，于是斜率必然在?nèi)，故從而當(dāng)時(shí)，原式取到最大值為40解法二：絕對(duì)值不等式因?yàn)楣?，同解法一練?xí)：若對(duì)任意滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)，都有成立，則的取值范圍是．如圖，易得點(diǎn)評(píng)：本題就是將一次函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)，異曲同工。6.（2012杭州一模）設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)，．若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為．解法一：令，則令，則故的最小值為解法二：待定系數(shù)法與題中所給不等式相比對(duì)，待定系數(shù)可得解得，故故的最小值為7.已知函數(shù)，且。對(duì)恒成立，則的最小值為。解法一：齊次化思想根據(jù)條件有，則因此令，則解法二：由題意可知，即此時(shí)已經(jīng)轉(zhuǎn)成齊次式了，所以分子分母同除則當(dāng)且僅當(dāng)及時(shí)，即時(shí)取得。解法三：根據(jù)條件有，則故令得當(dāng)且僅當(dāng)及時(shí)取得最小值，即時(shí)取得。解法四：令，得，代入得解法五：待定系數(shù)法假設(shè)，化簡(jiǎn)為又故比對(duì)系數(shù)得，得因?yàn)?，所以因?yàn)椋跃挡坏仁叫值芩膫€(gè)同根生，老大名叫冪平均；老二算術(shù)平均數(shù)，老三幾何求平均，調(diào)和平均小弟弟，兩兩結(jié)合六出戲，一正二定三相等，最值證明要注意。解釋?zhuān)簩?duì)于兩個(gè)正數(shù)，我們稱(chēng)為的冪平均數(shù)，為的算術(shù)平均數(shù)，為的幾何平均數(shù)，為的調(diào)和平均數(shù)。它們的大小關(guān)系是，這四個(gè)平均數(shù)類(lèi)似同胞兄弟，即“兄弟四個(gè)同根生，老大名叫冪平均；老二算術(shù)平均數(shù)，老三幾何求平均，調(diào)和平均小弟弟”。這四個(gè)平均數(shù)兩兩結(jié)合可以產(chǎn)生六個(gè)均值不等式，即“兩兩結(jié)合六出戲”。利用這些均值不等式求最值或證明不等式的時(shí)候，需要考慮每個(gè)變量是正數(shù)；如果求和的最小值時(shí)，需要考慮積是否是常數(shù)，如果求積的最大值時(shí)，需要考