《數(shù)學(xué)史》第13章20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀(Ⅲ)

第13章20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀(Ⅲ)現(xiàn)代數(shù)學(xué)成果十例

13.1哥德爾不完全性定理

哥德爾是奧地利著名數(shù)學(xué)家,不完備性定理是他在1931年于《論<數(shù)學(xué)原理>及有關(guān)系統(tǒng)中的形式不可判定命題》中提出來的。這一理論使數(shù)學(xué)根底研究發(fā)生了劃時代的變化,更是現(xiàn)代邏輯史上很重要的一座里程碑哥德爾哥德爾〔1906—1978〕生于捷克的布爾諾，卒于美國普林斯頓。早年在維也納大學(xué)攻讀修讀理論物理、根底數(shù)學(xué)，后來又轉(zhuǎn)研數(shù)理邏輯、集合論。但1940年代中就將注意力投放在哲學(xué)上，并參加哲學(xué)小組活動。1930年獲博士學(xué)位。其博士論文證明了「狹謂詞演算的有效公式皆可證」。之后在維也納大學(xué)工作。1938年到美國普林斯頓高等研究院任職，1948年參加美國籍。1953年成為該所教授。

哥德爾開展了馮·諾伊曼和伯奈斯等人的工作，其主要奉獻(xiàn)在邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)根底方面。在20世紀(jì)初，他證明了哥德爾不完全性定理,這一著名結(jié)果發(fā)表在1931年的論文中。他還致力于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的研究，在1930年采用一種不同的方法得到了選擇公理的相容性證明。3年以后又證明了〔廣義〕連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的相容性定理，并于1940年發(fā)表。他的工作對公理集合論有重要影響，而且直接導(dǎo)致了集合和序數(shù)上的遞歸論的產(chǎn)生。性格哥德爾是個要求嚴(yán)格的人。因此，他很多的想法在生前都沒有正式發(fā)表甚至記錄，要逝世后從其手稿找出。他不喜歡談?wù)撟约夯蚴艿阶⒛俊８绲聽栐笸鹾圃谒篮蟛趴梢园l(fā)表一篇有關(guān)他的傳記。他在學(xué)術(shù)研究之外的東西，都不公開發(fā)表意見。他亦討厭旅行。他自幼多病，而且從小便患了疑病癥。他還患過抑郁癥。后來他在普林斯頓的醫(yī)院絕食而死，因為他認(rèn)為那些食物有毒。

國籍

雖然他的傳記列出很多國家，他通常被視為奧地利人。他出生在奧匈帝國的布爾諾，在十二歲時成為捷克斯洛伐克公民，在二十三歲時成為奧地利公民。當(dāng)希特勒吞并奧地利時，哥德爾自動成為德國人。1948年4月，哥德爾夫婦宣誓成為美國公民。在獲得美國公民前接受面試時，假設(shè)不是愛因斯坦等老朋友的拼命阻止，哥德爾對美國憲法較真的探究將使例行的審核程序難以進(jìn)行下去。

哥德爾第一不完全定理設(shè)系統(tǒng)S包含有一階謂詞邏輯與初等數(shù)論，如果S是一致的，那么下文的T與非T在S中均不可證。哥德爾第二不完全定理如果系統(tǒng)S含有初等數(shù)論，當(dāng)S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內(nèi)證明。

第一不完備性定理任意一個包含算術(shù)系統(tǒng)在內(nèi)的形式系統(tǒng)中，都存在一個命題，它在這個系統(tǒng)中既不能被證明也不能被否認(rèn)。第二不完備性定理任意一個包含算術(shù)系統(tǒng)的形式系統(tǒng)自身不能證明它本身的無矛盾性。但是哥德爾不完全性定理的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)學(xué)的范圍。它不僅使數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)發(fā)生革命性的變化，引發(fā)了許多富有挑戰(zhàn)性的問題，而且還涉及哲學(xué)、語言學(xué)和計算機(jī)科學(xué)，甚至宇宙學(xué)。2002年8月17日，著名宇宙學(xué)家霍金在北京舉行的國際弦理論會議上發(fā)表了題為《哥德爾與M理論》的報告，認(rèn)為建立一個單一的描述宇宙的大統(tǒng)一理論是不太可能的，這一推測也正是基于哥德爾不完全性定理。

哥德爾不完全性定理的影響

哥德爾不完全性定理的影響

哥德爾不完全性定理一舉粉碎了數(shù)學(xué)家兩千年來的信念。他告訴我們，真與可證是兩個概念。可證的一定是真的，但真的不一定可證。某種意義上，悖論的陰影將永遠(yuǎn)伴隨著我們。無怪乎大數(shù)學(xué)家外爾發(fā)出這樣的感慨：“上帝是存在的，因為數(shù)學(xué)無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。”13.2高斯-博內(nèi)公式的推廣

高斯－博內(nèi)公式有許多重要應(yīng)用，其中之一就是關(guān)于曲面上向量場奇點的龐加萊定理:設(shè)S是緊致無邊界的可定向曲面。對于S上任何只有孤立奇點的向量場,它在所有奇點處的指標(biāo)之和等于S的歐拉示性數(shù)。因為球面〔以及與球面同胚的閉曲面〕的歐拉示性數(shù)為2,所以球面上的向量場必有奇點。這一點可比喻如下：假設(shè)把地球上各地的風(fēng)速看成一個向量場，那么任何時候地球上總有一個地方?jīng)]有風(fēng)。

陳省身生于1911年，15歲考上南開大學(xué)，是第一位獲得國際數(shù)學(xué)界最高榮譽(yù)“沃爾夫數(shù)學(xué)獎”的華人。1943年，32歲的陳省身完成了關(guān)于高斯-博內(nèi)公式的簡單內(nèi)蘊(yùn)證明，這篇論文被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上劃時代的論文，他因此被國際數(shù)學(xué)界尊稱為“微分幾何之父”。1985年，陳省身創(chuàng)辦南開大學(xué)陳省身數(shù)學(xué)研究所，培養(yǎng)了大批優(yōu)秀的青年數(shù)學(xué)家，為我國的數(shù)學(xué)事業(yè)做出了重大奉獻(xiàn)。2000年，89歲的陳省身葉落歸根，定居母校南開大學(xué)，九旬高齡時仍親自為本科生講課、指導(dǎo)研究生。

13.3米爾諾怪球米爾諾約翰·米爾諾〔1931－〕，美國數(shù)學(xué)家。他的主要奉獻(xiàn)在于微分拓?fù)?、K-理論和動力系統(tǒng)及其著作。他曾獲得1962年度菲爾茲獎、1989年度沃爾夫獎及2011年度阿貝爾獎。生平

米爾諾出生于美國新澤西州奧蘭治。在普林斯頓大學(xué)就讀本科期間，證明了Fary–Milnor定理。之后，他在進(jìn)入普林斯頓大學(xué)的研究生院，并完成了論文《IsotopyofLinks》。獲得博士學(xué)位后，他繼續(xù)在普林斯頓工作。1962年，米爾諾因他在微分拓?fù)漕I(lǐng)域的工作獲得菲爾茲獎。之后，他又獲得了美國國家科學(xué)獎?wù)隆?967年〕、LeroyPSteelePrize〔1982年，2004年，2011年〕、沃爾夫獎〔1989年〕。他還著有許多出色的書籍。這些書通俗，簡潔而又嚴(yán)謹(jǐn)。2011年，他因其“在拓?fù)?，幾何和代?shù)的開拓性發(fā)現(xiàn)”獲得了阿貝爾獎。作為回應(yīng)，他告訴《新科學(xué)家》，“這感覺非常好”(“Itfeelsverygood”)，并說“早上6點的總是讓人感到意外?！?/p>

微分拓?fù)鋵W(xué)在20世紀(jì)50年代由于米爾諾等的工作而進(jìn)入了黃金時期。此前，數(shù)學(xué)家們都以為在流形上只存在一種微分結(jié)構(gòu)。但1956年，美國數(shù)學(xué)家米爾諾卻在七維球面上找到了28種不同的微分結(jié)構(gòu)。這一令人震驚的結(jié)論為這種七維流形贏來了“米爾諾怪球”的著稱。

米爾諾怪球觸發(fā)的微分拓?fù)鋵W(xué)的開展可以說是奇峰迭起。其中尤以4維歐幾里得空間微分流形的有關(guān)結(jié)論最為引人注目。

1980年以前，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明了，除4維外，所有的歐幾里得空間都只具有一種微分結(jié)構(gòu)。1982年，英國牛津大學(xué)的數(shù)學(xué)家唐納爾遜證明了在4維歐幾里得空間上存在著與通常不同的微分結(jié)構(gòu)。也就是說世界數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家們從牛頓時代以來所慣用的微分結(jié)構(gòu)并不是唯一可能的。不久又有人證明了在4維歐幾里得空間上可以有無窮多種微分結(jié)構(gòu)，通常的微分結(jié)構(gòu)只不過是其中之一。究竟是什么原因造成了四維時空的與眾不同。數(shù)學(xué)家們目前還不能答復(fù)這個事關(guān)重大的問題。

13.4阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理可以表達(dá)為：“對任何一個線性橢圓微分算子D，下面的公式成立：D的分析指標(biāo)=D的拓?fù)渲笜?biāo)?！卑⒌賮?辛格指標(biāo)定理M.F.阿蒂亞生于英國，阿蒂亞給出了阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理，解決了李群表示論等，把不動點原理推廣到一般形式。阿蒂亞1929年4月22日生于倫敦，1949年入劍橋三一學(xué)院學(xué)習(xí)，1952年畢業(yè)，1955年獲博士學(xué)位，1954—1958年任研究員，1958—1961年任講師，1961年去牛津大學(xué)任高級講師，1963—1969年任塞維爾幾何講座教授：1969一1972年任美國普林斯頓高等研究院數(shù)學(xué)教授。1973年回牛津任皇家學(xué)會研究教授，199O年回劍橋任三一學(xué)院院長。阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理阿蒂亞的最重大奉獻(xiàn)是同辛格在1963年證明了指標(biāo)定理，把拓?fù)洳蛔兞客ㄟ^解析不變量來表示。由這個定理可以推出許多數(shù)學(xué)上的重要定理，其證明也涉及數(shù)學(xué)上諸多領(lǐng)域，特別是偏微分算子和他參與建立的K理論。K理論是第一個重要的廣義上同調(diào)理論。有廣泛應(yīng)用，英國拓?fù)鋵W(xué)家亞當(dāng)斯〔J.Adams〕曾用來解決球面上獨立向量場的數(shù)目問題。到1970年阿蒂亞啟動新一輪研究，即標(biāo)準(zhǔn)理論和拓?fù)渑c幾何關(guān)系，進(jìn)而導(dǎo)致20世紀(jì)最后25年低維拓?fù)浼皫缀魏屠碚撐锢砣缌孔訄稣撆c弦論的奇妙關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，它把拓樸、幾何和物理都帶到一個全新的境界。

阿蒂亞是英國倫敦皇家學(xué)會會員，美國國家科學(xué)院和法國科學(xué)院外籍院士，1983年獲爵上稱號，1990—1995年任皇家學(xué)會會長，1990年他任新建牛頓數(shù)學(xué)科學(xué)研究所首任所長，在這些位置上對科學(xué)政策、教育與研究方向發(fā)揮重大作用。

13.5孤立子與非線性偏微分方程〔1965〕

13.6四色問題〔1976〕

13.7分形與混沌〔1977〕