第03講實(shí)際問題與二元一次方程組（知識(shí)解讀達(dá)標(biāo)檢測(cè)）（原卷版）

第03講實(shí)際問題與二元一次方程組【題型1二元一次方程應(yīng)用】【題型2二元一次方程組應(yīng)用雞兔同籠問題】【題型3二元一次方程組應(yīng)用幾何問題】【題型4二元一次方程組應(yīng)用球賽積分問題】【題型5二元一次方程組應(yīng)用配套問題】【題型6二元一次方程組應(yīng)用經(jīng)濟(jì)問題】【題型7二元一次方程組應(yīng)用方案問題】考點(diǎn)1：二元一次方程（組）應(yīng)用的解題步驟步驟1．審題：透徹理解題意，弄清問題中的已知量和未知量，找出問題給出和涉及的相等關(guān)系；2．設(shè)元（未知數(shù)）：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)；3．列代數(shù)式和方程組：用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，根據(jù)題中給出的等量關(guān)系列出方程組，一般情況下，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的；4．解方程組；5．檢驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的根是否符合題意；6．作答：檢驗(yàn)后作出符合題目要求的答案．二、基本公式單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)利潤(rùn)=實(shí)際售價(jià)成本實(shí)際售價(jià)=標(biāo)價(jià)（原價(jià)）×折扣利潤(rùn)率=×100【題型1二元一次方程應(yīng)用】【典例1】（2023秋?河西區(qū)期末）有m輛客車及n個(gè)人，若每輛客車乘40人，則還有10人不能上車；若每輛客車乘43人，則最后一輛車有2個(gè)空位．給出下面五個(gè)等式：①40m+10＝43m﹣2；②40m﹣10＝43m+2；③；④；⑤43m＝n+2．其中正確的是（）A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④【變式11】（2023春?靖江市期末）《孫子算經(jīng)》中有個(gè)數(shù)學(xué)問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？這道題的意思是：今有若干人乘車，每三人乘一車，最終剩余2輛車；每二人乘一車，最終剩余9人無車可乘，問有多少人，多少輛車？在用二元一次方程組解決該問題時(shí)，若已經(jīng)列出的一個(gè)方程是y＝3（x﹣2），則符合題意的另一個(gè)方程是（）A．y＝2x+9 B．y＝2x﹣9 C．x＝ D．x＝【變式12】（2023春?賓陽(yáng)縣期末）《緝古算經(jīng)》中記載：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍幾何？”大意為：今有50只鹿進(jìn)圈舍，小圈舍可以容納4頭鹿，大圈舍可容納6頭鹿，若每個(gè)圈舍都住滿，求需要多少圈舍？設(shè)需要大圈舍y間，小圈舍x間，則x與y的方程可列為（）A．4y+6x＝50 B．50+4x＝6y C． D．【變式13】（2023春?海淀區(qū)期末）將一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減少5cm，寬變成現(xiàn)在的2倍，就成為了一個(gè)正方形，設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm，則下列方程中正確的是（）A．x+5＝2y B．x+5＝y(tǒng)+2 C．x﹣5＝2y D．x﹣5＝y(tǒng)+2【題型2二元一次方程組應(yīng)用雞兔同籠問題】【典例2】（2023?綠園區(qū)開學(xué)）飼養(yǎng)場(chǎng)有黑兔和白兔共150只，白兔比黑兔多30只，黑兔和白兔各有多少只？【變式21】（2023春?宜陽(yáng)縣期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《孫子算經(jīng)》中有著名的“雞兔同籠”問題，其原文為“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”．其大意是“現(xiàn)有若干只雞和若干只兔放在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)共有35個(gè)頭，從下面數(shù)共有94只腳，問籠子里雞和兔各有多少？請(qǐng)你用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解答．【變式22】（2022秋?牡丹區(qū)期末）七年級(jí)某班現(xiàn)有班費(fèi)45元，計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種小禮品共10件作為班級(jí)主題班會(huì)學(xué)生活動(dòng)的獎(jiǎng)品，它們的單價(jià)分別為4元、5元．若45元班費(fèi)正好用完，求甲、乙兩種小禮品各購(gòu)買多少件．【題型3二元一次方程組應(yīng)用幾何問題】【典例3】（2023春?秦州區(qū)校級(jí)期中）小明在拼圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)8個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形如圖1那樣，恰好可以拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，小紅看見了，說“我來試一試．”結(jié)果小紅七拼八湊，拼成如圖2那樣的正方形，中間還留了一個(gè)洞，恰好是邊長(zhǎng)為2cm的小正方形！試求圖2這個(gè)正方形的面積．【變式31】（2023秋?東莞市期末）如圖，由七個(gè)完全一樣的小長(zhǎng)方形組成的大長(zhǎng)方形ABCD，CD＝7，求長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)．【變式32】（2022秋?薛城區(qū)期末）列二元一次方程組解應(yīng)用題：某居民小區(qū)為了綠化小區(qū)環(huán)境，建設(shè)和諧家園．準(zhǔn)備將一塊周長(zhǎng)為76米的長(zhǎng)方形空地，設(shè)計(jì)成長(zhǎng)和寬分別相等的9塊小長(zhǎng)方形，如圖所示．計(jì)劃在空地上種上各種花卉，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，綠化每平方米空地造價(jià)210元，請(qǐng)計(jì)算，要完成這塊綠化工程，預(yù)計(jì)花費(fèi)多少元？【變式33】（2022春?連山區(qū)期中）如圖，在大長(zhǎng)方形ABCD中，放入六個(gè)相同的小長(zhǎng)方形．（1）求小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬；（2）求陰影部分的面積．【題型4二元一次方程組應(yīng)用球賽積分問題】【典例4】（2022春?思明區(qū)校級(jí)期中）某次籃球聯(lián)賽積分榜如表所示：隊(duì)名比賽場(chǎng)次勝場(chǎng)負(fù)場(chǎng)積分前進(jìn)1410424東方149523遠(yuǎn)大147721恒大1441018藍(lán)天1401414（1）通過觀察積分表，填空：勝一場(chǎng)得分，負(fù)一場(chǎng)得分．（2）雄鷹隊(duì)也參加了本次籃球聯(lián)賽，獲得積分25分，問雄鷹隊(duì)的勝、負(fù)場(chǎng)次情況．（3）聯(lián)賽中還有一個(gè)隊(duì)伍，隊(duì)長(zhǎng)向當(dāng)?shù)亟M織者匯報(bào)，說隊(duì)伍在比賽中獲得勝場(chǎng)和負(fù)場(chǎng)的積分一樣多，請(qǐng)你通過數(shù)學(xué)計(jì)算判斷該隊(duì)長(zhǎng)是否說謊．【變式41】（2020春?下陸區(qū)期末）有40支隊(duì)520名運(yùn)動(dòng)員參加籃球、足球比賽，其中每支籃球隊(duì)10人，每支足球隊(duì)18人，每名運(yùn)動(dòng)員只能參加一項(xiàng)比賽．籃球隊(duì)、足球隊(duì)各有多少支參賽？【變式42】（2023?皇姑區(qū)開學(xué)）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，他們約定：每射中一發(fā)記20分，脫靶一發(fā)扣12分．兩個(gè)人各打10發(fā)，共得208分，其中甲比乙多得64分．（1）求甲、乙兩人各得多少分（2）求甲、乙兩人各射中多少發(fā)．【變式43】（2023秋?蘭州期末）在一次有12個(gè)隊(duì)參加的足球循環(huán)賽（每?jī)申?duì)之間必須比賽一場(chǎng)）中，規(guī)定勝一場(chǎng)記3分，平一場(chǎng)記1分，負(fù)一場(chǎng)記0分．某隊(duì)在這次循環(huán)賽中所勝場(chǎng)數(shù)比所負(fù)場(chǎng)多兩場(chǎng)，結(jié)果積18分，問該隊(duì)?wèi)?zhàn)平幾場(chǎng)？【題型5二元一次方程組應(yīng)用配套問題】【典例5】（2022春?沐川縣期末）某工廠生產(chǎn)如圖1所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板，做成如圖2所示的豎式與橫式兩種長(zhǎng)方體形狀的無蓋紙盒，其中豎式紙盒由4個(gè)長(zhǎng)方形和1個(gè)正方形紙板做成，橫式紙盒由3個(gè)長(zhǎng)方形和2個(gè)正方形紙板做成（給定的長(zhǎng)方形和正方形紙板都不用裁剪，也不考慮接縫）．（1）現(xiàn)有長(zhǎng)方形紙板340張，正方形紙板160張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完，求兩種紙盒生產(chǎn)個(gè)數(shù)．（2）紙板車間共有78名工人，每個(gè)工人一天能生產(chǎn)70張長(zhǎng)方形紙板或者100張正方形紙板，已知一個(gè)豎式紙盒與一個(gè)橫式紙盒配套，要求紙板車間一天生產(chǎn)的紙板由其它車間做成豎式紙盒與橫式紙盒配套，問紙板車間應(yīng)該如何安排工人生產(chǎn)兩種紙板？【變式51】（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）某機(jī)械廠加工車間平均每人每天加工甲種零件10個(gè)或乙種零件16個(gè)，已知3個(gè)甲種零件和2個(gè)乙種零件配成一套，共有85名工人全員參加生產(chǎn)，問怎樣安排人員才能使每天加工的甲、乙零件數(shù)剛好配套？、【變式52】（2022秋?會(huì)寧縣期末）紅星服裝廠要生產(chǎn)一批某種型號(hào)的學(xué)生服裝，已知3米長(zhǎng)的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套，計(jì)劃用600米長(zhǎng)的這種布料生產(chǎn)，應(yīng)分別用多少布料生產(chǎn)上衣和褲子才能恰好配套？共能生產(chǎn)多少套？【變式53】（2022秋?全椒縣期末）在手工制作課上，老師組織班級(jí)同學(xué)用硬紙制作圓柱形茶葉筒．全班共有學(xué)生50人，其中男生x人，女生y人，男生人數(shù)比女生人數(shù)少2人．已知每名同學(xué)每小時(shí)剪筒身40個(gè)或剪筒底120個(gè)．（1）求這個(gè)班男生、女生各有多少人？（2）原計(jì)劃男生負(fù)責(zé)剪筒底，女生負(fù)責(zé)剪筒身，若要求一個(gè)筒身配兩個(gè)筒底，請(qǐng)說明每小時(shí)剪出的筒身與筒底能否配套？如果不配套，請(qǐng)說明如何調(diào)配人員，才能使每小時(shí)剪出的筒身與筒底剛好配套？【題型6二元一次方程組應(yīng)用經(jīng)濟(jì)問題】【典例6】（2023秋?敦煌市期末）如圖，A，B兩地由公路和鐵路相連，在這條路上有一家食品廠，它到B地的距離是到A地距離的2倍，現(xiàn)該食品廠從A地購(gòu)買原料，全部制成食品（制作過程中有損耗）賣到B地，兩次運(yùn)輸（第一次：A地→食品廠，第二次：食品廠→B地）共支出公路運(yùn)費(fèi)15600元，鐵路運(yùn)費(fèi)20600元．已知公路運(yùn)費(fèi)為1.5元/（千米?噸），鐵路運(yùn)費(fèi)為1元/（千米?噸）．（1）求該食品廠到A地，B地的鐵路距離分別是多少千米？（2）求該食品廠買進(jìn)原料及賣出食品各多少噸？（3）若該食品廠此次買進(jìn)的原料每噸花費(fèi)5000元，要想該批食品銷售完后工廠共獲利863800元，求賣出的食品每噸售價(jià)是多少元？（利潤(rùn)＝總售價(jià)﹣總成本﹣總運(yùn)費(fèi)）【變式61】（2023秋?光明區(qū)期末）足球是世界第一運(yùn)動(dòng)，2022年世界杯足球賽再一次點(diǎn)燃了人們對(duì)足球運(yùn)動(dòng)的熱情．世界杯期間光明區(qū)某文具店用14400元購(gòu)進(jìn)了甲、乙兩款足球，一共200個(gè)．兩款足球的進(jìn)價(jià)和標(biāo)價(jià)如下表：類別甲款足球乙款足球進(jìn)價(jià)/（元/個(gè)）8060標(biāo)價(jià)/（元/個(gè)）12090（1）求該文具店的甲、乙兩款足球分別購(gòu)進(jìn)多少個(gè)？（2）該文具店為了加快銷售，回籠資金，決定對(duì)甲款足球打8折銷售，乙款足球打9折銷售，若所購(gòu)的足球全部售出，則該文具店能獲利多少元？【變式62】（2023秋?羅湖區(qū)期末）為進(jìn)一步落實(shí)“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，有效開展“陽(yáng)光體育”活動(dòng)，某中學(xué)計(jì)劃從體育用品商場(chǎng)購(gòu)買乒乓球拍和乒乓球用于學(xué)生社團(tuán)活動(dòng)．若購(gòu)買2副球拍和3盒乒乓球則共需75元；若購(gòu)買3副球拍和2盒乒乓球則共需100元．（1）求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的價(jià)格．（2）學(xué)校計(jì)劃采購(gòu)乒乓球拍20副和乒乓球30盒．元旦期間，商場(chǎng)搞促銷活動(dòng)：甲商場(chǎng)全部商品打9折出售，乙商場(chǎng)買2副乒乓球拍送一盒乒乓球，請(qǐng)問在哪個(gè)商場(chǎng)采購(gòu)合算？請(qǐng)說明理由．【變式63】（2022秋?阜新縣校級(jí)期末）某中學(xué)用1000元資金為全校在大型藥店購(gòu)進(jìn)普通醫(yī)用口罩、N95口罩兩種口罩共350個(gè)，該大型藥店的普通醫(yī)用口罩、N95口罩成本價(jià)和銷售價(jià)如表所示：類別/單價(jià)成本價(jià)（元/個(gè)）銷售價(jià)（元/個(gè)）普通醫(yī)用口罩0.82N95口罩48（1）該校在大型藥店購(gòu)進(jìn)普通醫(yī)用口罩、N95口罩各多少個(gè)？（2）銷售完這350個(gè)普通醫(yī)用口罩、N95口罩，該大型藥店共獲得多少利潤(rùn)？【題型7二元一次方程組應(yīng)用方案問題】【典例7】（2022秋?鄆城縣期末）2020年2月，“新冠“疫情日趨嚴(yán)重，“雷神山“醫(yī)院急需新型救護(hù)車，某企業(yè)為了向醫(yī)院捐獻(xiàn)救護(hù)車，派人到汽車銷售公司了解到，新型救護(hù)車共有A、B兩種型號(hào)，2輛A救護(hù)車、3輛B型救護(hù)車的進(jìn)價(jià)共計(jì)80萬元；3輛A型救護(hù)車、2輛B型救護(hù)車的進(jìn)價(jià)共計(jì)95萬元．（1）求A、B兩種型號(hào)的救護(hù)車每輛進(jìn)價(jià)分別為多少萬元？（2）若該企業(yè)計(jì)劃正好用200萬元購(gòu)進(jìn)以上兩種型號(hào)的新型救護(hù)車（兩種型號(hào)的救護(hù)車均購(gòu)買），該企業(yè)共有哪幾種購(gòu)買方案？【變式71】（2022秋?新城區(qū)校級(jí)期末）已知：用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨11噸，某物流公司現(xiàn)有26噸貨物，計(jì)劃A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？（2）請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案；（3）若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次．請(qǐng)選出最省錢車方案，并求出最少租車費(fèi)．【變式72】（2023春?集美區(qū)校級(jí)期中）今年疫情期間某物流公司計(jì)劃用兩種車型運(yùn)輸救災(zāi)物資，用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運(yùn)10噸；用1輛A型車和2輛B型車一次可運(yùn)11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物資，計(jì)劃同時(shí)租用A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿．（1）1輛A型車和1輛B型車都裝滿物資一次可分別運(yùn)多少噸？（2）請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案，并把符合要求的租車方案都列出來；（3）若A型車每輛需租金每次100元，B型車每輛租金每次120元，請(qǐng)從（2）中的方案里選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．【變式73】（2023秋?彰武縣期末）2023上海國(guó)際車展于2023年4月18日正式開幕，新能源汽車成為本次車展的亮點(diǎn)．某汽車銷售公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批新能源汽車嘗試進(jìn)行銷售，據(jù)了解1輛A型新能源汽車、3輛B型新能源汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)55萬元；4輛A型新能源汽車、2輛B型新能源汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)120萬元．（1）求A、B兩種型號(hào)的新能源汽車每輛的進(jìn)價(jià)分別為多少萬元；（2）若該公司計(jì)劃正好用200萬元購(gòu)進(jìn)以上兩種型號(hào)的新能源汽車（兩種型號(hào)的新能源汽車均購(gòu)買），請(qǐng)你通過計(jì)算幫該公司求出全部的購(gòu)買方案．一．選擇題（共9小題）1．（2023春?遷安市期中）小明用20元錢去買筆，一支鋼筆5元錢，一支鉛筆1元錢，如果將這20元恰好花完，則購(gòu)買方案共有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種2．（2023春?承德期末）《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問題，原文如下：“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)，物價(jià)各幾何？”大意是：有幾個(gè)人一起去買一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人數(shù)及該物品的價(jià)格，小明用二元一次方程組解決此問題，若已經(jīng)列出一個(gè)方程8x﹣3＝y(tǒng)，則符合題意的另一個(gè)方程是（）A．7x﹣4＝y(tǒng) B．7x+4＝y(tǒng) C． D．3．（2023秋?梅縣區(qū)期末）“踐行垃圾分類?助力雙碳目標(biāo)”主題班會(huì)結(jié)束后，米樂和琪琪一起收集了一些廢電池，米樂說：“我比你多收集了7節(jié)廢電池”琪琪說：“如果你給我8節(jié)廢電池，我的廢電池?cái)?shù)量就是你的2倍．”如果他們說的都是真的，設(shè)米樂收集了x節(jié)廢電池，琪琪收集了y節(jié)廢電池，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B． C． D．4．（2023秋?禪城區(qū)期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中記載“雞兔同籠”問題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？若設(shè)兔子有x只，雞有y只，則下列方程組中正確的是（）A． B． C． D．5．（2023秋?馬關(guān)縣期末）《增刪算法統(tǒng)宗》是清代數(shù)學(xué)家梅玨成對(duì)明代數(shù)學(xué)家程大位所著的《算法統(tǒng)宗》進(jìn)行增刪修正后著成的珠算書，其中記載了一道“繩索量竿”的問題，大意是：有一根竿子和一根繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5尺；將繩索對(duì)折后再去量竿，就比竿短5尺，設(shè)竿長(zhǎng)x尺，繩索長(zhǎng)y尺，可列方程組為（）A． B． C． D．6．（2023秋?槐蔭區(qū)期末）如圖，8塊相同的小長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，設(shè)每塊小長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm，下列方程組正確的是（）A． B． C． D．7．（2023?海州區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知□＝△+△+△+△，□﹣Δ＝4.8，則Δ＝（）A．7.2 B．6.4 C．5.4 D．1.68．（2023秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）某車間35名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺栓12個(gè)或螺母18個(gè)．一個(gè)螺栓要配兩個(gè)螺母，問應(yīng)該分配（）名工人生產(chǎn)螺栓，才能使當(dāng)天的螺栓和螺母剛好配套？A．13 B．14 C．15 D．169．（2023春?黔東南州期末）打折前，買60件A商品和30件B商品用了1080元，買50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，買500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（）A．200元 B．300元 C．400元 D．500元二．填空題（共4小題）10．（2023春?宿遷期末）若x的2倍與y的差是10，那么可用二元一次方程表示為．11．（2022春?硚口區(qū)期末）現(xiàn)有1角，5角，1元硬幣各10枚，從中共取出15枚，共值7元．則5角硬幣取出了枚．12．（2023?九龍坡區(qū)校級(jí)開學(xué)）從甲地到乙地有一段上坡與一段平路，如果保持上坡每小時(shí)騎行走30km，平路每小時(shí)騎40km，下坡每小時(shí)騎行走50km，那么從甲地到乙地53min，從乙地到甲地需41min．若設(shè)坡路長(zhǎng)xkm，平路長(zhǎng)ykm，根據(jù)題意，可列方程組為．13．（2023秋?前郭縣期末）一艘輪船在A、B兩地之間航行，順?biāo)叫行枰?小時(shí)，逆水航行需要5小時(shí)．已知該輪船在靜水中的速度是12千米/時(shí)，A、B兩地之間的距離為千米．三．解答