2022年高考理科數(shù)學復習考點：拋物線

考點42拋物線

【命題趨勢】

拋物線也是高考的重點、難點，常出現(xiàn)在高考的選擇題或填空題中，多考查拋物線的幾何性

質，也常出現(xiàn)在高考中的解答題中，作為壓軸題，多考查直線與拋物線的位置關系.

(1)了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.

(2)掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質.

【重要考向】

一、拋物線的定義和標準方程

二、拋物線的簡單幾何性質及其應用

三、焦點弦問題

四、直線與拋物線的位置關系

1.拋物線的定義

平面內與一個定點F和一條定直線/(/不經過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線.

點F叫做拋物線的焦點，直線1叫做拋物線的準線，拋物線關于過焦點F與準線垂直的

直線對稱，這條直線叫拋物線的對稱軸，簡稱拋物線的軸.

注意：直線/不經過點F,若/經過F點，則軌跡為過定點F且垂直于定直線/的一條直

線.

2.拋物線的標準方程

⑴頂點在坐標原點，焦點在X軸正半軸上的拋物線的標準方程為產2Px(p>0)；

⑵頂點在坐標原點，焦點在x軸負半軸上的拋物線的標準方程為y2=2px(p>0);

⑶頂點在坐標原點，焦點在y軸正半軸上的拋物線的標準方程為x2=2py(p>0);

⑷頂點在坐標原點，焦點在y軸負半軸上的拋物線的標準方程為x"2py(p>0).

【巧學妙記】

,\\uwANaaNuAAAiAA$AA心ANAAANAAAAAAN

1.求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點的位置、開口

方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)P,只需一個

條件就可以確定拋物線的標準方程.

2.用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟：

根據條件確定拋物線的焦點在哪,

條坐標軸上及開口方向

根據條件列出關丁P的方程）

<福程｛解方程，粒P代人所設方程為所求）

若無法確定拋物線的位置，則需分類討論.特別地，已知拋物線上一點的坐標，

般有兩種標準方程.

例d

1.（2021?四川達州市?高三二模（理））已知點直線/：1=—：,動點P到點F與

到直線/的距離相等.

（1）求動點P的軌跡C的方程：

【答案】⑴/--X；

【分析】

（1）根據條件列等式，求軌跡方程；（2）首先觀察一條切線時x=3,求點A的坐標，再

設另一條切線y-424（x-3）,利用直線與圓相切，求得點B的坐標，計算MNAB的

值.

【詳解】

解：（1）設點P（x,y）,根據題意得：（JI,

2

化簡得動點P的軌跡方程為v'；X

2.(2020■漣水縣第一中學高二月考)求適合下列條件的拋物線的標準方程：

(1)過點M(-6,6)；

(2)焦點F在直線上3x-2y-6=0上.

【答案】⑴y2=-6x或x2=6y;(2)y2=8x或x2=-12y.

【分析】

⑴討論拋物線開口方向，結合拋物線標準方程及過定點即可求拋物線方程.

⑵討論拋物線焦點的位置，結合拋物線標準方程即可求拋物線方程.

【詳解】

⑴拋物線過點M(￡6),知：拋物線開口向上或向左，

令y2=-2px,貝卜2Px(-6)=36,p=3,即y2=-6x,

令x2=2py,貝！］2Px6=36,p=3,即x2=6y,

綜上有：拋物線的標準方程為y2-6x或x2=6y.

(2)焦點F在直線l:3x-2y-6=O上，

當焦點在x軸上時，則焦點(2,0),即有產區(qū),

當焦點在y軸上時，則焦點(0,-3),即有x2=12y,

綜上有：拋物線的標準方程為y2=8x或x2=12y.

3.(2021?全國高二)點M(53)到拋物線尸x2的準線的距離為6,那么拋物線的標準方

程是()

A.?'I,B.i_L或一二「工

C.?J,，D.x2=12y或x2=-36y

【答案】D

【分析】

3

將丫=2*2轉化為/■二J,分類討論a>0和a<0兩種情況，利用拋物線性質，列出關于

a的方程求解即可.

【詳解】

將丫=2*2轉化為X,二L丫，

a"

當a>0時，拋物線開口向上，準線方程)=_1_,點M(5,3)到準線的距離為3+1-=6.

Aa4/J

解得aN-L,所以拋物線方程為y=_!_/,即x2=12y

12'I?

當a<0時，拋物線開口向下，準線方程、=__L,點M(5,3)到準線的距離為3+」=6.

4/iI4〃

解得a.--L或a=-L(舍去)，所以拋物線方程為y.—Lf即x2=-36y

Ml)」在

所以拋物線的方程為x2=12y或x?=-36y

D

4

何對稱性關于X軸對稱關于X軸對稱關于y軸對稱關于y軸對稱

性

焦點尸（-*。）

質嗚.0）內嶗

V2—^

準線方程X=-

9，5,7

頂點坐標原點（0,0

離心率e=l

2.拋物線的焦半徑

拋物線上任意一點P（x°,y。）與拋物線焦點F的連線段，叫做拋物線的焦半徑.

根據拋物線的定義可得焦半徑公式如下表：

拋物

線方y(tǒng)2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

程

焦半

徑公

式

【巧學妙記】

確定及應用拋物線性質的關鍵與技巧：

⑴關鍵：利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線等性質時，關鍵是將拋物線

方程化成標準方程.

（2）技巧：要結合圖形分析，靈活運用平面兒何的性質以圖助解，

IAA1.

4.（2021?全國高考真題）拋物線產2Px（陷）的焦點到直線尸+1的距離為J2,則

5

p=（）

A.1B.2c,272D.4

【答案】B

【分析】

首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得P的值.

【詳解】

拋物線的焦點坐標為例，

其到直線x-y+l=O的距離：，s2rz.

d=-j[=V2

Jl+I

解得：p=2（p=-6舍去）.

占姆：B.

5.（2021?重慶八中高三其他模擬）已知F是拋物線以x2的焦點，點Rxo,yo）在拋物線

上，且|用2則yo=

【答案】—

【分析】

本題可根據拋物線的定義得出結果.

【詳解】

拋物線y=4x2即/=：j,焦點“0.5)

因為點Rxo,yo）在拋物線上且I阱2,

所以結合拋物線定義易知，V=21=—

°1616

故答物—

1A

6

6.（2021?安徽高三月考（理））已知拋物線產加小功的焦點F到準線的距離為2,

過焦點F的直線與拋物線交于AB兩點，且;A中3|FBL則線段AB的中點到Ytt的

距離為__________

【答案】-

【分析】

根據題意得到P的值，過點A作AD垂直于準線/于點D,過點B作BE垂直于/于點E,

延長AB交1于點C,再利用三角形相似得到BC和AC的關系，從而得到BF,AF,CF

的關系，求出AD=4,即可得到答案。

【詳解】

焦點F到準線的距離為p=2,

過點A作AD垂直于準線/于點D,過點B作BE垂直于1于點E,延長AB交1于點C,

則△BCES/SACD,

所以更

ACADAF3

記BC=x,則AC=3x,

因為|AFF3|FB|,

所以HFAHi.iAf-MiF-v

42，

況為b=8C+M=°X,F為AC的中點，

所以AD=2FG=4,所以":K4.

即1,BK-:

即線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為|4/>1*M

2a

故答案為：-

a

7

焦點弦問題

拋物線的焦點弦

拋物線的焦點弦即過焦點F的直線與拋物線所成的相交弦.

焦點弦公式既可以運用兩次焦半徑公式得到，也可以由數(shù)形結合的方法求出直線與拋物線的

兩交點坐標，再利用兩點間的距離公式得到，設AB為焦點弦，A(X1,yx),B(X2,y2),

則

拋物線

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

方程

IAB1=p-(X1+X2)

焦點弦AB|=p+(xi+x2)IAB|=p+(yi+y2)|AB|=p-(yi+y2)

公式

其中，通過拋物線的焦點作垂直于對稱軸而交拋物線于A,B兩點的線段AB,稱為拋物線的

通徑.

對于拋物線y2=2px(p>0),由人(30))，弘，「小可得lAB|=2p,故拋物線的通

徑長為2P.

【巧學妙記】

8

:直線AB過拋物線y2=2px(p>0)的焦點，交拋物線于A(xi,yi),B(x2,y2)兩點,

:如圖:

/

:(I)yiy2=-p2,iv.￡

[(2)ABI=x+x+p,Xi+xmXX2=p,即當x=x時，弦長最短為2P.

?

?

;(3)蘇+矗為定嗎

Z

；⑷弦長W用”為AB的傾斜角).

Z

；(5)以AB為直徑的圓與準線相切.

；(6)焦點F對A,B在準線上射影的張角為90°.

【典例】.

7.(2021?全國高三專髏東習)過拋物線yMx的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，若F

是線段AB的中點，則A|BR)

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

依據題意可知線段AB為拋物線的通徑可得結果.

【詳解】

由題可知：線段AB為拋物線的通徑

所以|AB|=4

搬：D

8.(2021?湖南益陽市?高三二模)已知拋物線C:『=4x的焦點為F,過F的直線/交拋物線于

A(xl,y:),B(xz,yJ兩點，且A,B在其準線上的射影分別為Ai,B1,則下列結論正確的是()

A.若直線@x軸，則|AB|=2B.ti;

9

C.yi*yz=-4D.81f8二;

【答案】CD

【分析】

設出直線/的方程，聯(lián)立直線/與拋物線C的方程組，消元得一元二次方程，根據各選項條

件經計算判斷得解.

【詳解】

拋物線C的焦點F(1,O),準線方程X=-1,

顯然/不垂直于y軸，設/的方程為x=my+l,

f.r="八.1

由《、?得：/-4my-4=0,yi,yz是此方程的二根，

y"?4.r

選項A,直線幾x軸，m=0,yi=2,yz2=-2,貝！JAB|=4,即選項A錯誤；

選項B,yryz=?4,則.K|,即選項B錯誤；

1?4416

選項C,yryz=-4,即選項C正確；

選項D,如圖中，由拋物線的定義知，|AF|二|AiA|,QQAAiF=QAFAI,

同理可得，SM*MBIFOB-BSR).

,即選項D正確.

22

故選：CD

10

9.(2021?合肥市第六中學高三其他模擬(理))已知拋物線產2Px(pX))的焦點為F,

迸且儲斗角為三的直線1與拋物線相交于AB兩點，AB|=8,過AB兩點分別作拋物

4

線的切線，交于點Q.下列說法不正確的是()

A.QA±QB

RAAOB(O為坐標原點)的面積為2J2

C麗?同=2

D.若M(l,l)p是拋物線上一動點，則|PMH歷的最小值為2

【答案】c

【分析】

設直線I的方程、A(x,y;)3(x2,y2),并與拋物線方程聯(lián)立利用韋達定理和IAB|=8得

P,

再利用求導判斷A;利用％=S31r叫,hl?陽?閭)可判斷B；

1188

由由?麗.府麗-3)(號山可判斷"過M作PW與N,利用

PM|+|PF|=|PM|+|PM|可判斷D.

【詳解】

由已知的焦點為卜|所以直線I的方程為丁=入一,

設A(xi,yi),B(X2,y2)(xx>0,x2>0),

直線方程與拋物線方程聯(lián)立、='-2,整理得，/-3*+乙=0.

)'=2內

5

所以X+X2=3p,rX,=—1

,F4

由|AB|=x+x2+p=3p+p=8,得尸2,代入：dApt.'，l)得

11

Xi+x2=6,xix2=1,

所以y2=4x,開方可得y=24x或y=-24K(x>0),

可得A(x,yi)在y=2<K,因為y'=+,所以％=jr-

B(X2,y2)在y=-24x,因為y'--丁,所以人必=

x

隼以A1M?4.=--~-",QA_LQB,故A正確

J%也JVW

2

由|x-x|=|x-x|=?x+x2)-4x-x2=472,

?$*?一$-?”》［網仞?扣巾故B正確

因為={+§=%+1.|8尸|='.1

所以—處幽―!___________?-

|必\BF\WIMM(%WH+i)

88

=--------------二一=I,故c錯誤

x心?%?x,?】8

ilyMxl得產i2,所以M在拋物線內部，拋物線的準線方程為bc=l,

過M作PN口與N,交拋物線與軸,所以|PNHPF],所以IPMHWPMHPN],

當MPN在一條直線上時IPMHPN]最小，此時IRWFHPMH小牛2

故D正確.

Sfcizt：C

12

直線與拋物線的位置關系

直線與拋物線的位置關系

直線與拋物線相交時，直線拋物線有一個或兩個公共點.

(1)直線與拋物線有兩個交點臺相交.

當直線與拋物線只有一個公共點時.，除了直線與拋物線相切外，還有可能是直線與拋物

線相交，此時直線與拋物線的對稱軸平行或重合.

直線與拋物線沒有交點O相離.

【巧學妙記】

在拋物線y2=2px(p>0)中，以M(xo,yo)為中點的弦所在直線的斜率

10.(2021?全國高三專題練習(理))若直線/:y=+1與拋物線C:y2=2px(p>0)只有

1個公共點，則拋物線c的準線方程為

［答案】X■——

2

【分

聯(lián)立直線與拋物線方程，利用△=()求出P即可得出準線方程.

【詳解】

IVi.3可得x-p-2,將工=一：.代入y~px,消去x可得y2-2py+3P=0,

'22

因為直線1與拋物線C只有1個公共點，

所以△=(-2p)2-12p=0,即p2-3p=0,解得p=0(舍去)或p=3,

13

所以拋物線c的準線方程為x?一±3

故答案為：X=~—

11.(2021?湖南高三月考)已知過點(0,-4)且傾斜角的余弦值為由的直線方程為

q

，若該直線與拋物線x2=2py(p>0)只有一個公共點，則拋物線的準線方程為

【答案】y=2x-4y—1

【分析】

由傾斜角的余弦值求出其正切值，即直線的斜率，由題意求出直線的方程，將直線與拋物線

聯(lián)立，由相切可得判別式為求出P的值，進而求出準線方程.

【詳解】

解：由直線的傾斜角的余弦值為近可得直線的正切值為2,即直線的斜率為2,

又過(0,-4),所以直線的方程為：y=2x-4,

ys—4

,,整理可得：x2-4px+8p=0,

1X-=2/n-

由直線與拋物線相切，

所以B=0,即@=16p2-4X8p=0,解得p=2,

所以準線方程為：尸

?

故答案為：y=2x-4,y=~l.

12.(2021?全國高三專酶習(理))已知點AQ2),若直線/：V=、+:與拋物線

Cy2=2px(p>0)只有1個公共點，則拋物線C上的動點P到拋物線C的準線與點A的

距離之和的最小值為

【答案】2

2

【分析】

14

聯(lián)立直線1與拋物線C的方程，由△=()可求得P的值，可得出拋物線C的方程，然后作出

圖形，利用拋物線的定義結合三點共線可求得結果.

【詳解】

3

聯(lián)立.''*2>可得y2-2py+3P=0,

/=2/M

...pX),由△=4p2-12P=0,可得產3,所以，拋物線C的方程為丫2*\

拋颯的焦點為「(:.()],準線方程為x--如下圖所示:

過點P作PE垂直于拋物線C的準線于點E,由拋物線的定義可得|用時

5

2

當且僅當A、P、F三點共線且P為線段AF與拋物線C的交點時，APHPE)取得最小

畤

故答案為：—

2

15

跟蹤訓練

一、單選題

1.（2021?黑龍江哈爾濱市?哈九中高三其他模擬（文））已知點P是拋物線產爪上的動點，

過點P作直線x=-l的垂線，垂足為M,點A的坐標是則AP|+|PM|的最小值

是（）

A.2B,5C,-D.12

222

2.（2021?四川省綿陽南山中學高三其他模擬（理））拋物線C:產2pxW的焦點為

F,準線為1,點M在拋物線上.以M為圓心的圓M與準線1相切于點Q,Q的縱坐標為

由pR5,0）是圓M與x軸不同于F的另一個交點，則P的值為（）

A.5B.4C.3D.2

3.（2021?四川成都市?石室中學高二期中）已知F是拋物線y2=4x的焦點，A，B是該拋

物線上的兩點，|AF刊BF|十則線段AB的中點至加軸的距離為（）

A.-B.1C.2D.1

12

4.（2021?重慶高三其他模擬）若雙曲線［i''|的實軸的兩個端點與拋

物線x2=-4by的焦點是一個等邊三角形的頂點，則該雙曲線的離心率為（）

A.B.d3C.2D,2d3

q

二、多選題

5.（2021-河北衡水中學高三其他模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C:y2=4x

的焦點為F,準線為I,過點F且斜率大于0的直線交拋物線C于A,B兩點（其中A在B

的上方），過線段AB的中點M且與x軸平行的直線依次交直線OA.OB」于點P,Q,

N.貝U()

16

A.|PM|=|NQ|

B.若P,Q是線段MN的三等分點，則直線AB的斜率為2J2

C.若P,Q不是線段MN的三等分點，則一定有

D.若P,Q不是線段MN的三等分點，則一定有［NQMoql

6.（2021?普寧市普師高級中學高三其他模擬）在平面直角坐標系xQy中，拋物線產6x的

焦點為F,準線為IP為拋物線上一點，PALLA為垂足.若直線AF的斜率仁心，

則下列結論正確的是（）

A.準線方程為x=-3B.焦點坐標*

C.點P的坐標/；H,3赤）D.PF的長為3

7.（2021?山東高三其他榭為已知P為拋物線產4x上一動點，F(xiàn)為拋物線的焦點,

M（2,l）,直線1與拋物線交于點AJB,下列結論正確的是（）

A.|MP|+|PF|的最小值為4

B.若直線1過點F,則以AF為直徑的圓與y軸相切

C.存在直線1,使得A,B兩點關于直線x-y+l=O對稱

D.設拋物線準線與x軸交點為Q,若直線1過點F,則有/AQF=NBQF

三、填空題

8.（2021?吉林松原市?高三月考）已知拋物線CxJy的焦點為F,拋物線C上一點A

17

滿足版=3,則以點A為圓心，AF為半徑的圓截x軸所得弦長為.

9.(2021?遼寧鐵嶺市?高三二模)拋物線Cy=4x的焦點為F,準線為是C上在

第一象限內的一點，點N在1上，已知MFUNFJMFE,則直線MN與y軸交點P

的坐標為___________

10.(2021-四川成都市-石室中學高三三模)已知直線經過拋物線產卻x(1M)的焦點F

并交拋物線于AB兩點，則IAF0,且在拋物線的準線上的一點。茜足CB=2BF,

則p=_____

四、解答題

11.(2021?河南洛陽市?高三其他模擬(文))設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為E點P(4,

m)(m>0)是拋物線C上一點，且［PF1=5.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若A,B為拋物線C上異于P的兩點,且PABPB.記點A,B到直線y=-4的距離分別為a,

b,求證：ab為定值.

12.(2020-河北高三其他模擬(文))已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點

P(2,y0)在C上，且|PF|=4.

(1)求C的方程；

(2)過點P作兩條直線L,Lz,分別交C于點A,B,若以線段AB為直徑的圓過點P,

試討論直線AB是否過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由.

^^真題再現(xiàn)

一、單選題

1.(2021?全國高考真題)拋物線產牛@>0)的焦點到直線尸+1的距離為J2,則

p=()

A.1B.2C,2也D.4

2.(2020?北京高考真題)設拋物線的頂點為O,焦點為F,準線為1.P是拋物線上異于O

18

的一點，過P作PQ，I于Q,則線段FQ的垂直平分線（）.

A.經過點0B.經過點P

C.平行于直線OPD.垂直于直線OP

3.（2020?全國高考真題（理））已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點

的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,貝Up=（）

A.2B,3C.6D.9

二、填空題

4.（2021北京高考真題）已知拋物線C:y2=4x,焦點為F,點M為拋物線C上的點，

且F|M|=6,則M的橫坐標是;作MN_Lx軸于N,則Swy=

5.（2021?全國高考真題）已知0為坐標原點，拋物線Cy^ZpxS>。）的焦點為F,

P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQJ_OP,若|FQ=6,則C的準

線方程為

三、解答題

6.（2021?浙江高考真題）如圖，已知F是拋物線儼=2px3>0）的焦點，M是拋物線的

準線與x軸的交點，且MFR

（1）求拋物線的方程；

（2）設過點F的直線交拋物線與A、B兩點，斜率為2的直線/與直線AB,X軸

19

依次交于點P,Q,R,N,且R|NP=|PNi?|QN|,求直線/在x軸上截距的范圍.

7.（2020?浙江高考真題）如圖,已知橢圓C」+、拋物線C2：y2=2px（p>0）,

點A是橢圓G與拋物線Cz的交點，過點A的直線/交橢圓G于點B,交拋物線C2于M（B,

M不同于A）.

（四）若存在不過原點的直線/使M為線段AB的中點，求p的最大值,

:煤模擬檢測

一、單選題

1.（2021?天津市南開區(qū)南大奧宇培訓學校高三其他模擬）已知雙曲線'---1（?.（）./,1）1

h'

與拋物線產4cx（其中VaW）交于AB兩點，若iAB0c,則雙曲線的離心率

為（）

A.43B.2c.45DJ2+1

2.（2021?黑龍江高三其他模擬（理））已知F是拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點，直

線1與拋物線C相交于P,Q兩點，滿足二二，記線段PQ的中點A到拋物線C的

準線的距離為d,則「：的最大值為（）

/a

20

A.3B.43C.正D.1

a3

3.（2021?安徽師范大學附屬中學高三其他模擬（理））已知雙曲線的一條漸近線為尸2x,

且經過拋物線『的焦點，則雙曲線的標準方程為（）.

A.=]B.y-丁5

C.D.4x2-y2=l

4

4.（2021?四川高三月考（理））設拋物線（2戶2Px（廬0）的焦點為F,準線為1,

M（5,yo）為拋物線C上一點，以M為圓心的圓M與準線I相切，且過點E（9,O）,則拋

物線的方程為（）

A.y2=4xB.y2=2xc.y2=36xD.y2=4x或

y2=36x

5.（2021?云南民族大學附屬中學高三月考（理））已知斜率為四的直線過拋物線

C:yMx的焦點F且與拋物線C相交于A3兩點，過AB分別作該拋物線準線的

垂線，垂足分別為A31，=4,則k的值為（）

A3B.iC.2D,1

445，

二、多選題

6.（2021?河北衡水市?高三其他模擬）已知拋物線C滬mx（nl>0）的焦點為R4,0）,直

線1經過點F交C于A,B兩點，交y軸于點P,若PB=2BF,則（）

A°c（8476]

A.m=8B.點B的坐標為j丁士—

21

C.\.\fi\、"D.弦AB的中點到y(tǒng)軸的距離為；

7.(2021?重慶八中高三其他模擬)已知拋物線Ciy=8x的焦點F與雙曲線C2：

三一￡=|的右焦點重合，且Ci與C2交于A,B兩點，則下列說法正確的是()

2/

A.雙曲線的離心率e=42

B.拋物線的準線被雙曲線所截得的線段長度為V2

C.|AF|=6+3Y2

D.在拋物線上存在點P使得△PAB為直角三角形

8.(2021?遼寧高三其他模擬)己知平面上的線段1及點P,任取1上一點Q,稱線段PQ長

度的最小值為點P到線段1的距離，記作d(P,I).已知線段L:x=-l(-2WyW2),

L2:x=l(-2<y<0),點P為平面上一點，且滿足d(P,L)=d(P/2),若點P的軌跡為

曲

線C,A,B是第一象限內曲線C上兩點，點F(1,O)且：.口〃Y絲，則()

A.曲線C關于x軸對稱B.點A的坐標為(；，?

C.點B的坐標力["]D.AFAB的面積為—

',22)16

9.(2021?全國高三其他模擬)己知F為拋物線y*4x的焦點，點P在拋物線上，過點F

的直線1與拋物線交于BC兩點，O為坐標原點，拋物線的準線與x軸的交點為M.則下

列說法正確的是()

A.ZOMB的最大值為勺—

B.若點A(4,2),則P|A|+|PF|的最小值為5

C.無論過點F的直線1在什么位置，總有NOMB=NOMC

D.若點C在拋物線準線上的射影為D,則B、0、D三點共線

22

三、填空題

10.(2021?廣東佛山市?石門中學高三其他模擬)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,準線

為1,A,B是拋物線上的兩個動點，且滿足，/XFB=--設線段AB的中點M在1上的投影

為N,則的最大值是

11.(2021?山西太原市?太原五中高三二模(理))在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線關

于x軸對稱，頂點在原點O,且過點P(2,4),則該拋物線的方程是

12.(2021?北京高三其他模擬)已知雙曲線，v-二|1的一個焦點與拋物線8x+y2=0的

m

焦點重合，則該雙曲線的離心率為

13.(2021?江蘇南通市?高三一模)已知拋物線C:v=-X?上的點M到焦點的距離為5,則

點M到y(tǒng)軸的距離為

14.(2021?江蘇南通市?高三二模)已知F為拋物線y』2x的焦點，A(a,2),點P在拋物

線上且滿足PF=PA,若這樣的點P有且只有一個，則實數(shù)a的值為

四、解答題

15.(2021?山東煙臺市?高三其他模拂已知拋物線CxnrMeO)的焦點F至慎械的

距離為1.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過F的直線與拋物線C相交于A,B兩點，在A,B處分別作C的切線，交點為P.

(i)證明：AB1FP;

(ii)若直線FP交C于M,N兩點(M在線段FP上)，求四邊形AMBN面積的最小值，

16.(2021?江蘇南通市?高三其他模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線

y=a與y軸交于點M,與拋物線C交于點N.

⑴若u-2|ALV：/?、，求拋物線C的方程；

(2)若a=P(定值)，拋物線C上的兩個動點E,G滿足ENJ_GN,求證：直線EG過定

23

點.

17.(2021?浙江高二期末)已知拋物線x吆2py(y>0)，其焦點為E拋物線上有相異兩

點A(x,%),B(X2,y2).

(1)若AF〃x軸，且經過點A的拋物線的切線經過點(1,0),求拋物線方程;

(2)若p=2,且|AF|+|BFF4,線段AB的中垂線交x軸于點C,求4ABC面積的最

大值

參考答案

跟蹤訓練

1.D

【分析】

設拋物線y2=2x的焦點為F,由拋物線的定義可得p.\i\|/平|+可得

|的+儼“卜|時+|a1+；,利用A、P、F三點共線時，lAWM取1小值可得

結果.

【詳解】

如下圖所示：

24

拋物線y2=2x的焦點為

M+|PM|=網+網NM=心+(0T『+|=y

當且僅當A、P、F三點共線時，等號成立，

因此，AP卅PMI的最小值為1

2

故選：D.

【點睛】

方法點睛：拋物線定義的兩種應用：

(1)實現(xiàn)距離轉化，根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的

距離，因此，由拋物線的定義可以實現(xiàn)點與點之間的距離與點到準線的距離的相互轉化，從

而簡化某些問題；

(2)解決最值問題，在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物

線的定義進行轉化，即化折線為直線解決最值問題.

2.D

【分析】

,3

根據yw=yo=43p,求得X”=-P，從而結合拋物線定義求得MF|=|MQ|=2p,從

而求得=§+==￡解得P的值.

【詳解】

25

Byw=yo=^3p,

JX”「，結合拋物線定義知，

可町=幽=；/?+勺

作MN_LEF,則N為EF的中點,

Nrl=q(2p)-(d5n)=P：

n<

JOf--2/>-p5,故p=2

皿：D

3.C

【分析】

根據拋物線的方程求出焦點和準線方程，利用拋物線的定義，列出方程，求出A,B的中點

橫坐標，即可求出線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離，

【詳解】

因為F是拋物線y2Hx的焦點，

所以R1Q),準線方程x=l,

設A3,yi),B(X2,y2),

所以|AF+BF=X+1+X2+1=6,

所以XI+X2=4,

26

所以線段AB的中點橫坐標為2,

所以線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為2.

故選：C.

【點睛】

關鍵點點睛：解題的關鍵是利用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的

距離.

4.C

【詳解】

略

5.AB

【分析】

設直線方程為直線方程代入拋物線方程應用韋達定

y=k(x-l),A(Xi%),B(x2,y2),

理得

從而可表示出點坐標，然后求出點坐標，判斷各選項，

Xt+x2,Xix2,MP,Q,N

【詳解】

拋物線C:y2=4x的焦點為F(1,O),準線l:x=T

設直線方程為

ABy=k(x-l),k>O,A(xj,yi),B(x2?2),

2

聯(lián)立消去y得卜2x2-(2^2+4)x+k=0,A>0

y2=4.t

由韋達定理得：4

r,.i"1Ajx2=1,

k

?卷?直線MN方程為y

對于A,①ORA共線，.ft-力，孫■處?電.■工■乂,同理k=上

BXw-Xp=xo-xy,即|MP|=|NQ|,故A正確;

27

對于B,若P,Q是線段MN的三等分點，則儼Q|-；

4

22

v,-v.=2v?-,yy2=k(xx-l)(x2-l)=k(xx2-xx-x2+l)=-4,

K

+力>'-4乂力■楞.16,二舊76?弋”,又k>o,解得:

k=242,故B正確；

對于c,由k2x2-(2k2+4)x+k2=0得、=-----..-.....

又色=吟已團

聞網二511+2-2>/?71-4(1?乂)a(Vm.IxTPTT.J)

當k>2J射，00|>田，故選昔；

對于D,由圖可知iNQg,而I。。?\\只要0<k<2,就有OQ|>1>|NQ|,故

D錯.

故選：AB.

28

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查拋物線的焦點弦的性質，及直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是

通過直線與拋物線聯(lián)立結合韋達定理求出M點坐標，然后求出P.Q,N點坐標，再依次判

斷選項，考查學生的運算求解能力，邏輯推理能力，屬于難題.

6.BC

【分析】

由拋物線方程判斷AB,先求出A點坐標再求P點坐標，從而求出PF的長，進而可判斷CD.

【詳解】

由拋物線方程為產6孔

二焦點坐標廣(g.o)準線方程為，A錯B對

?.?直線AF的斜率為-V3,

...直線AF的方程為y/jK-：

“一;時，y=3^3,

VPA±1,A為垂足,

29

..?點用勺縱坐標海J3,可得期的坐標為|：.3萬卜對;

根據拋物線的定義可知IPFH