高考數(shù)學(xué)解題36個破題方法

【高中數(shù)學(xué)】高考數(shù)學(xué)解題36個破題方法

數(shù)學(xué)破題36個大招

月錄

第1關(guān)：極值點(diǎn)偏移問題-對數(shù)不等式法..............................................3

第2關(guān)：參數(shù)范圍問題一常見解題6法..................................................7

第3關(guān)：數(shù)列求和問題一解題策略8法.................................................11

第4關(guān)：絕對值不等式解法問題一7大類型.............................................15

第5關(guān)：三角函數(shù)最值問題一解題9法.................................................22

第6關(guān)：求軌跡方程問題一6大常用方法...............................................28

第7關(guān)：參數(shù)方程與極坐標(biāo)問題一“考點(diǎn)”面面看......................................42

第8關(guān)：均值不等式問題一拼湊8法..................................................48

第9關(guān)：不等式恒成立問題一8種解法探析.............................................55

第10關(guān)：圓錐曲線最值問題一5大方面...............................................61

第11關(guān)：排列組合應(yīng)用問題一解題21法............................................65

第12關(guān)：幾何概型問題一5類重要題型...............................................73

第13關(guān)：直線中的對稱問題一4類對稱題型............................................76

第14關(guān)：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題一4大解題技巧......................................78

第15關(guān)：函數(shù)中易混問題一11對....................................................84

第16關(guān)：三項(xiàng)展開式問題一破解“四法”.............................................90

第17關(guān)：由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)問題一“不動點(diǎn)”法....................................92

第18關(guān)：類比推理問題一高考命題新亮點(diǎn).............................................95

第19關(guān)：函數(shù)定義域問題一知識大盤點(diǎn).............................................102

第20關(guān)：求函數(shù)值域問題一7類題型16種方法.........................................110

第21關(guān)：求函數(shù)解析式問題一7種求法............................................133

第22關(guān)：解答立體幾何問題一5大數(shù)學(xué)思想方法.......................................137

第23關(guān)：數(shù)列通項(xiàng)公式一常見9種求法..............................................144

第24關(guān)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題一9種錯解剖析..............................................156

第25關(guān)：三角函數(shù)與平面向量綜合問題一6種類型.....................................159

第26關(guān)：概率題錯解分類剖析一7大類型.............................................166

第27關(guān)：抽象函數(shù)問題一分類解析.................................................169

第28關(guān)：三次函數(shù)專題一全解全析..................................................173

第29關(guān)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題一大盤點(diǎn)....................................186

第30關(guān)：解析幾何與向量綜合問題一知識點(diǎn)大掃描...................................196

第31關(guān)：平面向量與三角形四心知識的交匯..........................................197

第32關(guān)：數(shù)學(xué)解題的“靈魂變奏曲”一轉(zhuǎn)化思想.......................................201

第33關(guān)：函數(shù)零點(diǎn)問題一求解策略.................................................214

第34關(guān)：求離心率取值范圍一常見6法..............................................219

第35關(guān)：高考數(shù)學(xué)選擇題一解題策略...............................................222

第36關(guān)：高考數(shù)學(xué)填空題一解題策略................................................233

第1關(guān)：極值點(diǎn)偏移問題一對數(shù)不等式法

我們熟知平均值不等式：a，bGR

一十一

ab

即"調(diào)和平均數(shù)“小于等于〃幾何平均數(shù)"小于等于"算術(shù)平均值“小于等于''平方

平均值"

等號成立的條件是a=b

我們還可以引入另一個平均值：對數(shù)平均值：

a-b

】na-Inb

那么上述平均值不等式可變?yōu)椋簩?shù)平均值不等式

Va>b,aWb

以下簡單給出證明：

不妨設(shè)a>b,設(shè)@/*,則原不等式變?yōu)?

“Al."—）〈Mx

X+1yfx

以下只要證明上述函數(shù)不等式即可

以下我們來看看對數(shù)不等式的作用.

題目1:(2015長春四模題)已知函數(shù)/(x)=e3-ax有兩個零點(diǎn)〈，則下列說法錯

誤的是_

A.a>eB.xi+xz〉2C.x2>lD.有極小值點(diǎn)*，且

xi+x2<2x

【答案】C

【解析】函數(shù)f(x)導(dǎo)函數(shù)：

f'(x)=e2-a

有極值點(diǎn)x=Ina,而極值f(na)=a-alna<0:a>8,A正確

2

f(x)有兩個零點(diǎn)：eA-am=O,e-ax2=O,BP：

xl=lna+lnxi①

x2=lna+lnx2(2)

①-②得：

x1-x2=lnx1-lnx2

根據(jù)對數(shù)平均值不等式：

2Inij-lnx,「勺

x+x〉2,需1〉J兩，XX〈1B正確，c錯誤

而①+②得：x+x=2lna+lnxA2<2Ina,即D成立

題目2:(2011遼寧理)已知函數(shù)/(x)=lnx-M+(2-a)x

若函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于A,B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：

f'(xo)<0

【解析】原題目有3問，其中第二問為第三問的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式

直接去證明第三問：

維.鬲

設(shè)A(X,f(X)),B(X2.f(xz)),石<,則編日

lnX|-ax；>(2-a)X|=0

Inx2-ax^+(2-。)芻=03

①②得.lnxlTnx2-a(Xi+x2)(x「x2)+(2-a)(X1-X2)=O,化簡得：

---------1----------=占工—>o

a(x1+x1)-(2-a)InXj-lnXj③

而根掘?qū)?shù)乎均值不等式：

髓竭「函覆§

③等式代換到上述不等式

1之一1

<———"n----------------</

a(x,+x,)-(2-a)------22ax0-(2-a)-----@

根據(jù)：如。-(2-a)x〉0(由③得出).?.④式變?yōu)椋?/p>

2ax0-(2-a)x-l>0=(2x+l)(ax-l)>0

(2x+)>0,：物白￡.一。在函數(shù)單咸區(qū)間中，BP：：f(xn)<C

題目3:(2010天津理)已知函數(shù)f(x)=xe-*(xeR)如果x片?，af(x)=f(x2)

證明：x+xz>2

【解析】原題目有3問，其中第二問為第三問的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式

直接去證明第三問：

設(shè)f(")=f(x2)=c,鐮扇呻籥國管(xirx。兩邊取對數(shù)

lnx-XI=lnc?

lnx2-x2=lnc(2)

①②得：

財(cái)嬤尸西礴°

根掘?qū)?shù)平均值不等式

X1+4>11—X?=]

2inx,-Inx,

:X+X2>2

題目4:(2014江蘇南通市二模)設(shè)函數(shù)f(x)=e?-ax+a(ae其圖象與x軸交

于A(xi,0)B(x2,0)兩點(diǎn)，且Xi、

f'(J丙2)〈o(f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))

證明：

【解析】根掘題意：e-ax+a=0e8-axz+a=0移項(xiàng)取對數(shù)得：

Xi=ln(xT)+lna①

x2=ln(x2-l)+lna(2)

①②得：-x2=ln(x「1)-Im(x2-1),即：

(凝-1)-(/T)_]

ln(xt-I)—ln(x^-1)

根據(jù)對數(shù)平均值不等式；

V(X11)-1)

婀-1)舊-1)

ln(x,-l)-lo(xa-l)

:(X,-1)(x2-l)<l=ln(x,-l)(x2-l)<o,①+②得：

x1+x2=2lna+ln(x1-l)(x2-l)<21na

根掘均值不等式：

函數(shù)f(x)在(-,Ina)單調(diào)遞威

f'(VxxXO

題目5:已知函數(shù)f(x)=xhx與直線丫=m交于A(,y),B(X2,yz)兩點(diǎn)

求證」＜丑＜7

【解析】由為Inx=m,x21n二m,可得：

m

國①.讓

①-②得:

芯受二監(jiān)=

InX|In(InX)-InX]In號In芻

①+②得:

_/n(lnM+lnX])

Inxjn與④

根據(jù)對數(shù)平均值不等式

2lnx)-InX,

利用③④式可得

用(InJr|+Ex0〉-m

21ndinX]Inx11nx2

由題于y=m與y=xlnx交于不同兩點(diǎn)，易得出則m＜0

，上式簡化為:

ln(x?x2)<-2=lne~2

0<X|X3

第2關(guān)：參數(shù)范圍問題一常見解題6法

求解參數(shù)的取值范圍是一類常見題型。近年來在各地的模擬試題以及高考試題中更是屢屢出

現(xiàn).學(xué)生遇到這類問題，較難找到解題的切入點(diǎn)和突破口，下面介紹幾種解決這類問題的策略和方

法.

一、確定“主元”思想

常量與變量是相對的，一般地，可把已知范圍的那個看作自變量，另一個看作常量.

例1.對于滿足oWpW4的一切實(shí)數(shù)”，不等式x+px>4xtp3恒成立，求x的取值范圍.

e[0.4]

分析：習(xí)慣上把x當(dāng)作自變量，記函數(shù)y=x，+(p-4)x+3-p,于是問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)p時(shí)y>0

恒成立，求x的范圍，解決這個問題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程實(shí)根分布原理，這是相當(dāng)復(fù)雜

的.若把x與p兩個量互換一下角色，即p視為變量，x為常量，則上述問題可轉(zhuǎn)化為在[0,4]內(nèi)

關(guān)于P的一次函數(shù)大于。恒成立的問題，

解：設(shè)f(p)=(x-l)p+x2-4x+3,當(dāng)x=l時(shí)顯然不滿足題意.

由題設(shè)知當(dāng)oWpW4時(shí)/⑺〉。恒成立，...f⑹*代⑷〉o即x2_4x+3〉0且

解得x>3或x<-1.；.x的取值范圍為x>3或x<-1.

二、分離變量

對于一些含參數(shù)的不等式問題，如果能夠?qū)⒉坏仁竭M(jìn)行同解變形，將不等式中的變量和參

數(shù)進(jìn)行分離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將

問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題。

例2.若對于任意角日總有sir?0+2mcos8+4m-l<0成立，求m的范圍.

分析與解：此式是可分離變量型，由原不等式得m(2cos0+4)<cos2°

2mv"J

又(:059+2〉0,則原不等式等價(jià)變形為〃<cosf+2制“評.

cos3&cos28

根據(jù)邊界原理知，21n必須小于CQS&+2甘勺最小值，這樣問題化歸為怎樣求⑦號8*2的最小值,因

code=(cos"/-4(8$e+2)+4=皿外2+二--4247=0

為8s6+2cos6+2cos8+2

即cos0=0時(shí)，有最小值為0,故m<0.

評析：一般地，分離變量后有下列幾種情形：

①f(x)，g(k)=[f(x)]min^g(k)

②f(x)>g(k)=g(k)<[f(x)]min

③f(x)<g(k)[f(x)]maxWg(k)

④f(x)<g(k)臺[f(x)]max<g(k)

三、數(shù)形結(jié)合

對于含參數(shù)的不等式問題，當(dāng)不等式兩邊的函數(shù)圖象形狀明顯，我們可以作出它們的圖象，來

達(dá)到解決問題的目的.

例3.設(shè)xe[-4,0],若不等式

恒成立，求a的取值范圍.

分析與解：若設(shè)函數(shù)二Jx(-4-x),則

2,

(x+2)+y=4(y120)

,其圖象為上半圓.

4.

y,=-x+1-o

設(shè)函檢3，其圖象為直線.

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象如圖，

依題意要使半圓恒在直線下方，只有圓心(-2.0)到直線

一.8+3-如一

4x-3y+3-3a=0

的距離-且l-a〉0時(shí)成立，即a的取值氾圍為

a<-5

四、分類討論

當(dāng)不等式中左、右兩邊的函數(shù)具有某些不確定因素時(shí)，應(yīng)用分類討論的方法來處理，分類討論

可使原問題中的不確定因素變成確定因素，為問題的解決提供新的條件。

例4.當(dāng)xe[2,8]時(shí),不等式1082a2-4x>7恒成立，求a的取值范圍.

gV

解：⑴當(dāng)2a〈DI時(shí)，由題設(shè)知凝京力恒成立，即即吟而xe[2,8];

工一、

版a—d嘿另解得a￡(_00,」)U(l,+00)

2I

(2)當(dāng)0<2a?_1<1時(shí)，由題設(shè)知痂白步耳亙成立,即爵次)輸，而xe[2,8].

￡“一，3金、…晚3、

W武4七(-二Lk)U(二~.二)

紓T.解得4J-4a的取值范圍是

。--)u(曰$ua網(wǎng)

五、利用判別式

當(dāng)問題可化為一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立的問題，可用判別式來求解.

分組求和法.

例4求數(shù)列{n(n+l)(2n+l)}的前n項(xiàng)和.

解：設(shè)ag=k(k+1)(2k+1)=2x3+3k2+k

S,=￡￡々+1)(2左+1)左'+￡

JI-JU1

將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得：

a內(nèi)，

2￡?duì)t+3工二+工k

5.=UIU)JU】

_2(F+23+???+1)+3(12+22+―+n2)+(l+2+???+n)

-2("+。2卜.("+1)(2力+1)f.(力+1)

=~2-2-2~

5、褻項(xiàng)相消法求和

有些數(shù)列求和的問題，可以對相應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式加以變形，將其寫成兩項(xiàng)的差，這樣整個

數(shù)列求和的各加數(shù)都按同樣的方法裂成兩項(xiàng)之差，其中每項(xiàng)的被減數(shù)一定是后面某項(xiàng)的減數(shù)，從而

經(jīng)過逐項(xiàng)相互抵消僅剩下有限項(xiàng)，可得出前n項(xiàng)和公式，這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體

應(yīng)用，也稱為分裂通項(xiàng)法。它適用于型（其中｛a,｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)）、

部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。常見拆項(xiàng)公式有:

I_____(1_____1\L—髭昌?一/

ax=f(n+l)-f(n)(2?-lX2n+4)-2-2?+1>勰豳引潮盛整-M

____!=Lf_!1_)右二卡（、'。一、仿）

M(>H4X?+2)2(旬?+2)/

---------------------=tan("+D'-tan

cos?-cos(?+l)-

:----------3—1-----------------]

力5—1)(〃+2)2/5+1)(力+DS+2)等

{a}+：?...鎘布

例5設(shè)數(shù)列的前2項(xiàng)的和333n-1,2,3,勃篦

解：由題意得：a=4*-2(其中n為正整數(shù))

用?3<2叫:?沙-葉;*L號第7叩(2?7]

2133(11、

耳.丁嚴(yán)而7刁2xlrri-r,-iJ

6、并項(xiàng)求和

針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí),

可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求和S。

例6設(shè)數(shù)列｛a,)的首項(xiàng)為a,=l,前n項(xiàng)和S滿足關(guān)系式：

3S-(2t+3)S4=3,(t>0,n=2,3,4,…)設(shè)數(shù)列｛a,｝的公比為f(),作數(shù)列｛b,｝使

d■/(----).("-2.3.4.…)，求和：bb-b2b3+b3b「bubs-+b2n-lb2n-b2b2a+l

解:由題意知｛a,｝為等比數(shù)列，得a.二(1+3)-蚊(Q)_3啾21.31

2n+1

故：從3，可知｛bzm」)和｛bzn｝是首項(xiàng)分別為1和3,公差均為3的等差數(shù)列。

+

于是bib?-b2b3+b3b4-b4bs+…+bz-Ibz-b2b2

_

=b2(bi-b3)+b4(b3bs)+b6(bs-b7)+—+b2n(bznT+b2m+l)

-----外―十--------J

?一3(左+九+…十,-3233

4

二一9(2/

7、累加法

給出數(shù)列(S,)的遞推式和初始值，若遞推式可以巧妙地轉(zhuǎn)化為S,-S-=f(n)型，可以

考慮利用累加法求和，此法也叫疊加法。

1、當(dāng)a>0時(shí),

f(x)|<a<^-a<f(x)<a

f(x)|>aQf(x)>a或f(x)<-a

2、當(dāng)a=0

f(x)|<a,無解

|f(x)|>a使f(x)W0的解集

3、當(dāng)a<0時(shí)，

f(x),<a，無解

if(x)>a住y=f(x)成立的X的解集

2

x-x<2

例1不等式的解集為()

A(-1,2)B(-l,1

c(-2,1)p(-2,2)

解：

x2-x<2

因m為,所以-2<x?-x<2

即

X3-X+2>0

x1-x-2<0

解得：

xeR

-1<x<2

所以XG(T，2),故選A

類型二：形如a<{?x)<b(b>a〉0)型不等式

解法：將原不等式轉(zhuǎn)化為以下不等式進(jìn)行求解:

a<If(x)i<b(b>a>0)^>a<f(x)<B

-b<|f(x)|<-a

或

需要提醒一點(diǎn)的是，該類型的不等式容易錯解為：

a<|f(x)|<b(b>a>O)^a<f(x)<B

l<x+l<3

例2不等式的解集為()

(0.2)(-2,0)U⑵4)

A.B

D(-4,-2)U(0,2)

c(-4,0)

解：

I<x+1<3^l〈x+l〈3或-3,<x+l<-l

00<*<2或-4<*<-2,故選D

類型三；形如"X)kg(x),f(x)l>g(x)型不等式，這類不等式如果用分類討論的方法求

解，顯得比較繁瑣，其簡潔解法如下

解法：把8(x)看成一個大于零的常數(shù)a進(jìn)行求解，即:

f(x)I<g(x)<=>-g(x)<f(x)<g(x)

>g(x)O/(x)>g(x)或〃X)<-g(x]

例3設(shè)函數(shù)f(x)=2x-l+x+3,若f(x)W5,則X的取值范圍是

解：

f(x)W5o|2x-l|+x+3W5

0|2xT〈-x+2Ox-2W2xTW-x+2

2x-lNx-2

2x-1M-x+2

x2-1

?-1<x<1「一1

，故填：-'

f(x)|<g(x)|

類型四：形如型不等式

解法：可以利用兩邊平方，通過移項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為：“兩式和”與“兩式差”的積的方法進(jìn)行，即:

f(x)|<|g(x)|o|f(x)12<g(x)2

o[f(x)]?-[g(x)]2〈o0[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]<0

例4不等式2xT1原-21〈°的解集為_

解：

2x-l-x-2|<0^>|2x-Kx-2|

o|2x-?<|x-2i2o(2x-l)2-(x-2)2<0

o[(2x-l)+(x-2)][(2x-D-(x-2)]<0

臺-1<x<1

所以原不等式的解集為

f(x)I<f(x),1f(x)I>f(x)

類型五：形如型不等式

解法：先利用絕對值的定義進(jìn)行判斷，再進(jìn)一步求解，即：

f(x)|<f(x)

,無解

[f(x)I>f(x)of(x)〈0

國T碎島M則

例5解關(guān)于X的不等式?

解：

/7號耳M一非E胃十嚙猊?r"/E跟頻血

II衿1rf

(1)當(dāng)。二0時(shí)，原不等式等價(jià)于:

(2)當(dāng)a〉0時(shí)，原不等式等價(jià)于:

(3)當(dāng)a〈0時(shí)，原不等式等價(jià)于：

.1

X-I—一—

或a

,1

x>1—

Oxvl成a

綜上所述

(1)當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為：

(2)當(dāng)a〉0時(shí)，原不等式的解集為:

(3)當(dāng)aa<0時(shí)，原不等式的解集為：

類型六：形如使X/卜bnI/，IXF|+|XFI恒成立型不等式.

A|用|Wa±bIWa則

解法：利用和差關(guān)系式：，結(jié)合極端性原理即可解得，即：

卜一〃k一同一卜一3[)1=(x-n)|=卜-川

cWk-m1+XFOcW(x-m|-1x-m)=(x-m)-(x-n)=n-m

5

x+3I—|xTIWa2—3a

例6不等式7對任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[{-co,-l]U[4,+co)B[-00,-2]U[5,+00)

c.1.2]p[00,-l]U[2,+oo)

解：

設(shè)函數(shù)

f(x)=lx+3|-xT|W|(x+3)-(xT)=4

所以

f(x)mm=4

x+3—xTWa2.3a

而不等式'對任意的實(shí)數(shù)X恒成立

故a?-3a24=aW-1或a24,故選擇A

類型七：形如

[(x)-g(x)<a,|f(x)]-[g(x)]>a(a為常數(shù))

f(x)|-|g(x)|<h(x),|f(x)|-|g(x)|>h(x)

[f(x)]+|g(x)|<a,[f(x)]+|g(x)]>a(a為常數(shù))

f(x)|+|g(x)<h(x),|f(x)+|g(x)|>h(x)

1、解法：對于解含有多個絕對值項(xiàng)的不等式，常采用零點(diǎn)分段法，根據(jù)絕對值的定義分段去

掉絕對值號，最后把各種情況綜合得出答案，其步驟是：找出零點(diǎn)，確定分段區(qū)間；分段求解，確

定各段解集；綜合取并，去掉所求解集，亦可集合圖像進(jìn)行求解.

2x-l|<A+1

例7解不等式

八?!

好包凰那國曾

分析：找出零點(diǎn)：必

確定分段區(qū)間：？2

解：(1)當(dāng)x<0時(shí)，原不等式可化為：-2x+l<-x+l

解得：X>0因?yàn)閤<0,所以X不存在

(2)當(dāng)蛔禺礴做時(shí)，原不等式可化為：_2x+l<x+l

解得：x〉o又因?yàn)榍啵裕?/p>

國^^=5

(3)當(dāng)松時(shí)，原不等式可化為：2x_l<x+l,

解得：x<2又曾，所以我

{xp<x<2}

綜上所述，原不等式的解集為：

2、特別地，對于形如

[f(x)|+|g(x)|<a,|f(x)]+|g(x)]>a(a為常數(shù))

f(x)+|g(x)|<h(x),[f(x)|+|g(x)|>h(x)

型不等式的解法，除了可用零點(diǎn)分段法外，更可轉(zhuǎn)化為以下不等式，即：

f(x)|+g(x)|<h(x)o

|/(x)+g(x)|vMx)

L/(x)-g(x)|<*(x)

|/(x)|+|g(x)|>A(x)o|/(x)+g(x)|>Mx)戌|/(x)-g(x)|>A(x)

例8設(shè)函數(shù)f(x)=x-l+x-a|

(1)若a=-1,解不等式f(x)

(2)如果Vx€R,f(x)》2,

求a的范圍

解：

⑴當(dāng)a=一時(shí)，

f(x)=lx-1+x+l

由f(x)23得:

f(x)=x-1+x+123

即：

卜一l)+(x+1)N耳或(x+l)|>3

解得：

售國

2x|23然鳥=黃展遂g

，即：遨或看

故不等式f(x)》3的解集為：

卜小產(chǎn)或弱

(2)由f(x)22得:

x-1|+|x-a|22

即：

卜-1)+卜-。)22亞|(x-l)-(x-a)|>2

即：

|2x-(a+l)|s2或卜-1|之2

因?yàn)閅xCR,f(x)>2恒成立，

所以aT22成立，解得：

故a的取值范圍為：

{-00,-1]U(3,+00)

絕對值不等式一直是高中教學(xué)中的一個難點(diǎn)，我們通過化歸思想將其進(jìn)行等價(jià)變換，從而遴

免了繁瑣的討論，減小了運(yùn)算量，以上所介紹的七種類型的含有絕對值的不等式總體上囊括了近幾

年高考中有關(guān)的題目，當(dāng)然方法可能并不為一，在解決此類問題的時(shí)候很多人也比較喜歡使用數(shù)形

結(jié)合的方法來處理，這其實(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)形式多樣化的統(tǒng)一美.

方法是多種多樣的，只是無論多么優(yōu)秀的方法最終也是用來解題的工具，如果我們僅僅是停

留在最求方法的多樣化而忽略了數(shù)學(xué)的本質(zhì)一一思想，那么就有點(diǎn)得不償失了

第6關(guān)：三角函數(shù)最值問題一解題9法

三角函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)運(yùn)算工具，三角函數(shù)最值問題是三角函數(shù)中的基本內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)

中經(jīng)常涉及的問題。這部分內(nèi)容是一個難點(diǎn)，它對三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應(yīng)用要求較高。

解決這一類問題的基本途徑，同求解其他函數(shù)最值一樣，一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性

（如有界性等），另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)（二

次函數(shù)等）最值問題。下面就介紹幾種常見的求三角函數(shù)最值的方法：

—配方法

若函數(shù)表達(dá)式中只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，切它們次數(shù)是2時(shí)，一般就需要通過配方或換元

將給定的函數(shù)化歸為二次函數(shù)的最值問題來處理。

例1函數(shù)y=-sMx-3c°sx+3的最小值為（）

A.2B.0CD.6

［分析本題可通過公式8Mx=l-cos2x將函數(shù)表達(dá)式化為y=cos?x_3cosx+2因含有

cox的二次式，可換元，令cos_t，則_1WtW1,y=t2_3t+2,配方，得

-1st$1,當(dāng)t=l時(shí)，即coss=l時(shí)，Ymm=0,選B.

例2求函數(shù)y=5sinx+cos2x的最值

［分析］:觀察三角函數(shù)名和角，其中一個為正弦，一個為余弦，角分別是單角和倍角，所

以先化簡，使三角函數(shù)的名和角達(dá)到統(tǒng)一。

2233

y-5sinx+(l-2sinx)=-2smx+5smx+1=sin-

豳8133

TWsinxW1,:施混33屏LJ^-2x?—=—6

sinx=l.這0霹*=-2X《+|=4

二引入輔助角法

^=-cos2x+—smxcosx+l(xe

例3己知函數(shù)22當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的

集合。

［分析］此類問題為y=asir?x+bsinxcosx+ccosX的三角函數(shù)求最值問題，它可通

過降次化簡整理為y=asinx+bcosx型求解。

解

11+co$2x^V310Q、上5ifloV5

，22224442122J4

=^Stn|2x+5l+-2x+5=?+2*/r,

216J46264

三利用三角函數(shù)的有界性

在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個最基本也是最重要的特征一一有界性，利用正

弦函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值的最基本方法。

2c8X+1

y-------------

例4求函數(shù)2co5x-l的值域

ACOSX4-6

y=---------------7

［分析］此，:ccosx-d型的三角函數(shù)求最值問題，分子、分母的三角函數(shù)同名、同角，

這類三角函數(shù)一般先化為部分分式，再利用三角函數(shù)的有界性去解?；蛘咭部上扔梅唇夥?，再用三

角函數(shù)的有界性去解。

21

/=lco$jqS1一yS：

解法一：原函數(shù)變形為2cosx-\，可直接得到：-VJ’N

1

COST=-2J1LVcosx|^1,：J<1.一y<-

解法_：原函數(shù)變形為”3或

例5已知函數(shù)f(x)=2smx(smx+ccsx)

，求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值。

［分析］在本題的函數(shù)表達(dá)式中，既含有正弦函數(shù)，又有余弦函數(shù)，并且含有它們的二次式，

故需設(shè)法通過降次化二次為一次式，再化為只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的表達(dá)式。

/(x)=2$max+2stnxco?x=1-cot2x+sm2x=l+^s?(2x-g)

f(x)的最小正周期為n,最大值為1+J2。

四引入?yún)?shù)法(換元法)

對于表達(dá)式中同時(shí)含有sinx+cosx,與sinxcosx的函數(shù)，運(yùn)用關(guān)系式

2

(sinxicosx)=l±2sinXCOSX,一般都可采用換元法轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)去求最值，但必須要

注意換元后新變量的取值范圍。

例6求函數(shù)y=5111*+（：0$*+51（^（：0$*的最大值。

［分析］解："inxcos-l+2sinxcosx令，皿+嚕寸

+則

1nxe。$入=一1（:€1"夜）爵1勺1蟲-J2,J2

2高，其中I匚

五利用基本不等式法

利用基本不等式求函數(shù)的最值，要合理的拆添項(xiàng)，湊常數(shù)，同時(shí)要注意等號成立的條件，否則

會陷入誤區(qū)。

14

?=「-+——

例7求函的sm'xcos'x的最值。

14

解：＞_sm?xcos2x_l+cot3x+4(Htan2x)=5+cotJx+4tanJ5+2x2=9

當(dāng)且僅當(dāng)。。也x=4tan2x即cotx=±J2時(shí)，等號成立，故m=9。

水利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單訓(xùn)性

2

例8已知xe（0,"）,求函數(shù)1-'UlZ+$mx的最小值。

遨/牛-德―

［分析］此題為磁作遜三角函數(shù)求最值問題，當(dāng)sing>0,a>l,不能用均值不等式求最值，適

合用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來求解。

smx=￡,（0<工Wl）j=1+14

設(shè)”，在（0,1）上為威函數(shù)，當(dāng)t=l時(shí)，Ymm=3。

七數(shù)形結(jié)合

由于srV2x+cos?x=l,所以從圖形考慮，點(diǎn)(cosx,sins)在單位圓上，這樣對一類既含有正弦

函數(shù)，又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問題可考慮用幾何方法求得。

一smx辦、

y=-------------(0<x<編

例9求函數(shù)‘2-CO”的最小值。

0-smx

一八；-------

［分析］法一：將表達(dá)式改與成?'c'ry可看成連接兩點(diǎn)A(2,0)與點(diǎn)(cosx,sinx)的直線的

斜率。由于點(diǎn)(cosx,sinx)的軌跡是單位圓的上半圓(如圖)，所以求y的最小值就是在這個半圓上求

一點(diǎn)，使得相應(yīng)的直線斜率最小。

設(shè)過點(diǎn)A的切線與半圓相切與點(diǎn)B,則aWy<0

5/r73

kg=tan----S-......

可求建63

避「黜’

所以y的最小值方置(此時(shí)缸

Ja2+b2sin(x+)

法二：該題也可利用關(guān)系式asinx+bcosx=(即引入輔助角法)和有界性來

求解。

八判別式法

see3x*tanx

例10求函力see2x+tanx的最值。

［分析］同一變量分子、分母最高次數(shù)齊次，常用判別式法和常數(shù)分離法。

sec2x-tanxtanJx-tanx+1

tec2r4-t^nx

(y-1)tan2x+(y+l)tanx+(y-l)=0

解.：尸1,tanx=0,x=kn(kGn)

y#l

時(shí)此時(shí)一元二次方程總有實(shí)數(shù)解

:△=(y+l)2-4(y-l)2>0,:(3y-l)(y-3)WO

x=br+w=3

由y=3,tanx=-1,

A=3，tanx=1/=之k+:,k=z

由