2023-2024學(xué)年四川省仁壽南區(qū)高一年級上冊期末考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省仁壽南區(qū)高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測

模擬試題

一、單選題

1.sin240的值是()

A.；B.--C.且D.-也

2222

【正確答案】D

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式sin(7t+a)=-sina即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可知,sin240=sin(180+60),

利用誘導(dǎo)公式sin(?t+a)=-sina可得sin(180+60)=-sin60=一去

即sin240

2

故選：D

2.已知集合=產(chǎn)±45,kez1,尸=卜|》=勺詈±90/ez],.則集合M,P之間的

關(guān)系為()

A.M=PB.MPC.PMD.McP=0

【正確答案】B

【分析】化簡集合，根據(jù)集合的關(guān)系即得.

【詳解】因為M=]x|x=W6±45,%ez[={x|x=(2Z:±l>45,ZeZ},

P=J-±90，左eZ卜{x|x=（%±2>45入z},

所以MP.

故選：B.

3.設(shè)角4的終邊經(jīng)過點那么2sin，+cos〃等于（）

22

A.—B.—C.1D.—1

55

【正確答案】D

【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義可求出sinacos。的值，從而可求得答案

【詳解】解:因為角。的終邊經(jīng)過點P

一43

所以sin6=-5,cos。=g,

所以2sin8+cos6=2x

故選：D

4.若Y—(a+l)x+b<0的解集是(―5,2),則a+6等于()

A.-14B.-6C.6D.14

【正確答案】A

【分析】由一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)。、6,即可得a+6.

【詳解】???f—(a+l)x+8<0的解集為(―5,2),

?，--5和2為方程x?—(a+l)x+/>=0的兩根，

-5+2=。+1a=-4

???有，解得

-5x2=/?h=-iOf

/.a+Z?=—14.

故選：A.

5.對于任意實數(shù)4,b,c,d,下列命題中正確的是()

A.若a>b,存0,貝ljac>bcB.若a>b,則ac^bc2

C.若a^hc2,則a>bD.若a>b,則L<'

ab

【正確答案】C

【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐一判斷選項，即得結(jié)果.

【詳解】若〃?，c<0,則〃c>〃c,所以A錯誤；

若a>b,c=0則〃，=宜,所以B錯誤；

若ac2〉*,則c2>o//>Z?,所以C正確；

若。=1,6=-1滿足a泌，但所以D錯誤；

ab

故選：c

本題考查不等式性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.

6.已知/(￡]=占，則函數(shù)/(x)的解析式是()

YY

A./(x)=----("T)B./(x)=——(xw-4且xrO)

-1+x'/1+x

c.，(x)=aD，'(x)=l+x

【正確答案】B

【分析】根據(jù)換元法求解析式即可.

【詳解】解：由題知xwO且XH-1,令/=1,則x=!(rxO且/二一1),

xt

“‘卜/=汨(tx-l且七0),

14--

t

V

/(x)=^^-(XH-1且xwO).

故選:B.

e*t<0

7.已知函數(shù)〃x)=,'一,g[x}=f{x}-a.若g(x)存在2個零點，則”的取值范圍是()

Inx,x>0

A.(—1,0)B.[—1,0)C.(0,1)D.(0,1]

【正確答案】D

【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，作出函數(shù)f(x)的圖象，由y=/(x)與直線了=。有兩個交點，可

得〃的取值范圍.

【詳解】依題意，函數(shù)y=〃x)的圖象與直線產(chǎn)。有兩個交點，

作出函數(shù)圖象如下圖所示，

由圖可知，要使函數(shù)y=〃x)的圖象與直線y=a有兩個交點，則()<awi

故選：D

8.已知g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)〃b,有g(shù)(a)-g(〃)<0,若

a-h

g(〃?)+g(〃L2)>0,則實數(shù)機的取值范圍是()

A.(3,-+w)B.(T?,3)C.(l,+°o)D.(-w,l)

【正確答案】D

【分析】由gS)-g(3<0可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,用奇偶性可將關(guān)系式

a-h

8(〃。+8(〃?-2)>0變形為8(加)>8(2-祖)，根據(jù)單調(diào)性就可以求出.

【詳解】對任意實數(shù)〃b,有g(shù)(“)r(,<0,所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減,

a-h

又因為函數(shù)g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且g(w)+g(w-2)>(),則g(m)>g(2-m),所以

m<2一相,2m<2,得用<1.

故選：D

二、多選題

9.以下各式化簡結(jié)果為sina的有()

A.cosatanaB.71-cos2a

33,sinasina

C.sina+sinacos4cr+sincrcos-aD.-----；------------；----

1+sina1-sina

【正確答案】AC

【分析】分別對每個選項式子進行化簡即可判斷.

ein(y

【詳解】對A,原式=cosa?一^=sina,故A正確；

cosa

對B,原式二Jsin2a=卜in,故B錯誤；

對C,原式=sin，a+sinacos?a(cos2a+sin2a)

=sin3a+sinacos2a=sina(sin2a+cos2a)=sina,故C正確；

sina(1-sina)-sina(1+sina)-2sin2a-2sin2a

對D,7=-2tan2a故D錯誤.

(l+sina)(l-sina)l-sin2acosa

故選：AC.

10.下列說法正確的是()

A.“這2>兒”是7>?，的充分不必要條件

B.“肛>0”是“x+y>0”的必要不充分條件

C.命題“HxeR,/+1=()，，的否定是，，玉€1<,丁+1*0”

D.D.已知a,6,ceR,方程ax?+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0

【正確答案】AD

【分析】A.由不等式的性質(zhì)求解判斷；B.由不等式的性質(zhì)求解判斷；C.由含有一個量詞的命

題的否定的定義求解判斷；D.將1代入方程求解判斷.

【詳解】A.由ac2>be2>得。2(4-％)>0,則/>0,a-b>0,即。>6,故充分；由“>)，得4-匕>0,

pl!|?(a-&)>0,故不必要;故正確;

B.由個>0,得x>0,y>0或x<0,y<0,貝ijx+y>0或x+y<0,故不充分；當x=-l,y=2時，

滿足x+y>o,但個<0,故不必要，故錯誤；

C.命題“KrwR,/+1=0”是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，即“VxeR,Y+lwO”,

故錯誤；

D.當a+/?+c=0時，1為方程or?+/?x+c=O的—個根，故充分；當方程ox?+%x+c=0有——個根

為1時，代入得。+匕+c=0,故必要，故正確；

故選：AD

11.下列不等式成立的是()

090302

A.0.2">0.2B.log0J2>log033C.log,,2<logt22D.O.2<0.3

【正確答案】BCD

【分析】A.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得解；B.利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得解；C.先利用對數(shù)

運算化簡，再利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷得解；D.利用幕函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷得解.

【詳解】A.因為指數(shù)函數(shù)y=0.2,單調(diào)遞減，1.1>0.9,所以02」<0.2a9,所以該選項錯誤；

B.因為對數(shù)函數(shù)y=log0-3X在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，2<3,所以logo.32>log033,所以該選項正確；

C.log,32=-^-,log,22=-^-,因為lg2>0,lgl.2>0,lgl.3>0,又

1g1-31g1.2

lgl.3>lg1.2,Alogl32<log122,所以該選項正確；

D.由基函數(shù)y=/-3在(0,+co)上單調(diào)遞增得0.2。3<0.303,由指數(shù)函數(shù)y=0.3,單調(diào)遞減得

0.303<0.302,所以0.203<0.302.所以該選項正確.

故選：BCD

1—X

12.關(guān)于函數(shù)/。)=愴；一,下列命題正確的是()

A.對于任意尤e(-1,1),都有f(x)+/(-x)=0；

B.f(x)在(-1,1)上是增函數(shù)；

c-對于任意％，-，都有"％)+加)=綜蒙);

D./?(力=/(》)—x存在唯一的零點.

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對數(shù)運算、零點等知識確定正確答案.

【詳解】A選項，^|>O,(x-l)(x+l)<O,-l<x<l,所以〃x)的定義域是(-1,1),

/(_x)=lgll^=lgfk^y="]glz￡=_/(x),所以f(x)+f(-x)=O,所以A選項正確.

1-xU+xy1+x

1

2-

-

B選項,f(O)=lgl=OJ3

2-

C選項，/(占)+/(々)=愴尸■+1glz&'=lg]1+玉七一(M+/)

1I人1I1++(%+x2)

]一+々

(占+々]=loi+x也=卜i+oY.+w),

&X+X

U+^2；1,l21+X1X2+(X1+X2)'

l+XjX2

所以c選項正確.

)1+2

D選項，/(x)=1g=1gZ(-L-)=|gf_]+-^—],

l+x1+xIx+lJ

所以f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.

y=x在(—1/)上單調(diào)遞增，

所以網(wǎng)x)=/(x)—X,在(-1/)上單調(diào)遞減,

由于〃(0)=0,所以/7(x)=/(x)-X存在唯一的零點，D選項正確.

故選：ACD

三、填空題

e1_2

l08i4

13.計算lgj+21g2-(1)+83=.

【正確答案】1

【分析】利用指數(shù)幕和對數(shù)的運算性質(zhì)化簡即可得到結(jié)果.

51--S~T51o

【詳解】lg-+21g2-(-)l0834+83=lg-+lg22-3-|og-4+(23)3=lg-x4--+2-=1.

23212/4

故1.

sin（-3兀+a）+cos（a-兀）

14.已知tan（5?r+a）=2,則1In971的值為

cosa-----+sin——+a

22

【正確答案】3

sin（-3兀+a）+cos（a-兀）tana+1

【分析】利用誘導(dǎo)公式得tana=2,對原式化簡得8s.一與9兀tana-1，代入數(shù)

4-sin一+a

2

據(jù)即可.

【詳解】因為tan（5ir+a）=tana=2,

所以

sin（-37i+cr）+cos（a-兀）sin（兀+a）+cos（兀一a一sina-cosa

a弋9兀一sina+cosa

cos+sin—+acos!a++sinq+a

12

sina+cosatana+1_

-----------------=------------=3.

sina—cosatana-1

故3.

15.函數(shù)/（同uloggsiA/Zsinx-l的增區(qū)間為.

【正確答案】2E+5,2E+學(xué)］(keZ)

26)

【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.

因為/（x）=logcosiX是減函數(shù),

1kTt+—<x<2lai+—（kGZ）,〃乂、乂…

所以當22<'時，函數(shù)單調(diào)遞增,

2sinx-l>0

玩

一

TT37r

22kii+—<x<2kli+2

2kli+—<x<2kit+—（kGZ）2也G

由，22=<五z)

兀

2sinx-l>02E+—<x<2E+6一

6

冗57r

2/at+-<x<2kK+—（keZ）,

26

,,_,71_.571

故2lat+—,2lai+—（keZ）

若『⑷閆八師則!+!+黑的最小值是

16.已知/（x）=lgx,a>0,b>°'

【正確答案】8

【分析】先通過已知條件與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出mb關(guān)系ab=l,再通過已知得出“+〃>(),化簡

3+3半得到。+6+E，再通過基本不等式求解即可得出答案.

abab“a+ba+b

【詳解】Q/(x)=lgx,若|/(a)|=|FS)|,

b=J,即ab=\,

a>0,b>0,

/.6f+/?>0

1116ab1116a+h16.

「?一5-+--4-----=—+—+----=-----+----=。+6+也28,

a~bab~a+baba+baba+ba+b

當且僅當。+b=￡時取等號，

，士+4+3半的最小值是8-

a~bab~a+h

故8

四、解答題

17.已知p：函數(shù)7(x)=x在R上單調(diào)遞減，q：關(guān)于x的方程x2-2利+/_1=。的兩根

都大于1.

(1)當巾=5時，p是真命題，求a的取值范圍；

(2)若p為真命題是q為真命題的充分不必要條件，求小的取值范圍.

【正確答案】(1)(5,6)；(2)m>2.

【分析】(1)由機=5,得到兀0=(?-5)%,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解；

(2)先根據(jù)命題為真，化簡命題p,q,然后根據(jù)p為真命題是q為真命題的充分不必要條件求

解.

【詳解】(1)因為m=5,所以/)=(a-5)x

因為P是真命題，

所以

解得5Va<6.

故a的取值范圍是(5,6)

(2)若p是真命題，則0<a-mVl,解得,"<a<〃]+l.

關(guān)于x的方程/-2公+。2-1=0的兩根分別為a-1和“+1.

若17是真命題，則。7>1,解得a>2.

因為p為真命題是q為真命題的充分不必要條件，

所以m>2.

18.已知函數(shù)〃月=正如土1(4>0)為奇函數(shù)，且方程/(另=2有且僅有一個實根.

ax

(1)求函數(shù)“X)的解析式：

(2)設(shè)函數(shù)8(月=111/(爐).求證：函數(shù)y=g(x)為偶函數(shù).

X24.1

【正確答案】(1)f(x)=芋；(2)證明見解析.

【分析】(1)由函數(shù)/(x)為奇函數(shù)可得b值，再由方程f(x)=2有唯一實根即可得解;

(2)利用⑴的結(jié)論求出g(x)的解析式并求出其定義域，再由奇偶函數(shù)定義討論即得.

【詳解】⑴因函數(shù)為奇函數(shù),則〃x)=-〃x),

x2+&X4-1(-x)—/?(—%)+1/1g相?八ZB?八

H即n--------=-------7—；-----,化商得2/zr=0,得6=0,

axa\x)

〃力=立1,且方程/(x)=2有且僅有一個實根，得三1=2,即/一2℃+1=0,

axax

所以(Ta)?-4x4=0,得/=i,而。>0,解得a=l,即有〃犬)=一，

所以函數(shù)“X)的解析式為〃力=三也；

⑵由(1)知g(x)=Inf(e')=ln(=l)=ln(e*+1),g(x)的定義域為R，

e

則g(-X)=ln(e-*+e*)=g(x),

所以函數(shù)y=g(x)為偶函數(shù).

19.已知函數(shù)/(x)=log"(x-l)+2(a>0,且"1),過點(3,3).

(1)求實數(shù)〃的值；

(2)解關(guān)于x的不等式/(2:3)</(12-2")

【正確答案】(1)2(2){A|2<￥<log25}

(1)將點(3,3)代入函數(shù)計算得到答案.

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域得到解得答案.

【詳解】(1)/(3)=log?(3-1)+2=3,log?2=1,:.a=2/(x)=log2(x-l)+2.

(2)/(x)=log2(x-1)+2的定義域為{x|x>l},并在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

r

/(2-3)</(12-2^),.-.l<2^-3<12-2㈤,不等式的解集為｛x\2<x<log25).

本題考查了函數(shù)解析式，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.

20.設(shè)函數(shù)〃x)=Asin(2x+e)(A>0,0<9<]),函數(shù)的最小值為一2,且*=三為函數(shù)

的一個零點.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若對任意的xw0,(,不等式/(x)>“-3恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

-TT

【正確答案】⑴--+k^,-+k7r伙eZ)

(2)(—4)

【分析】(1)利用最小值和零點可求得f(x)的解析式，4-1+2^<2^+|<|+2^(^€7),

解不等式即可求得單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)利用正弦型函數(shù)值域的求法可求得〃x)在0,-上的最小值，由m-可求得加的

取值范圍.

【詳解】(1)A=—2,；.A=2；

x=?為的一個零點，.?.與+e="(ZeZ),解得：.?一=而一,化eZ),

又0<夕<],.?.0=g,...J'(x)=2sin(2x+?)；

令一卷+2%%%eZ),解得：一苔+人左4+eZ),

,冗jr

\/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為一逐+收■，石+%萬(ZeZ).

(2)當xw0,?時，2x+~Ge,/./(x)G[1,2]；

?JJVz\0

jr

對任意的XC0,-,/(x)>帆一3恒成立，.,.m-3</(x)min=l,解得：“<4；

即實數(shù)加的取值范圍為(-8,4).

21.興泉鐵路起于江西，途經(jīng)三明，最后抵達泉州(途經(jīng)站點如圖所示).這條“客貨共用”鐵路是

開發(fā)沿線資源、服務(wù)革命老區(qū)的重要鐵路干線，是打通泉州港通往內(nèi)陸鐵路貨運的重要方式，將

進一步促進山海協(xié)作，同時也將結(jié)束多個山區(qū)縣不通客貨鐵路的歷史.目前，江西興國至清流段

已于2021年9月底開通運營，清流至泉州段也具備了開通運營條件，即將全線通車.預(yù)期該路線

通車后，列車的發(fā)車時間間隔f(單位：分鐘)滿足24”20.經(jīng)市場調(diào)研測算，列車載客量與發(fā)

車時間間隔”目關(guān)，當104Y20時列車為滿載狀態(tài)，載客量為720人；當24f<10時，載客量會

減少，減少的人數(shù)與(12-f)的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為3分鐘時的載客量為396人.記列

車載客量為P(t).

興泉鐵路線路圖：

興泉鐵路

(1)求P。)的表達式；

(2)若該線路每分鐘的凈收益為Q(r)=斗牛理-60(元)，問當發(fā)車時間間隔為多少時，該線

路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.

-4r+96r+144,2<r<10

【正確答案】(1)P⑺=■

720,10W20

(2)時間間隔為3分鐘時，每分鐘的凈收益最大為84元

【分析】(1)當10孕<20時，p(z)=720,當24f<10時，可設(shè)p(r)=7204(12-尸，由題可求

出火，即可得到答案.

(2)由(1)知：。(。=，,結(jié)合基本不等式和函數(shù)單調(diào)性即可求出的凈收

^^-60,10<?<20

益最大值.

【詳解】(1)由題知，當104f<20時，p(t)=720

當24f<10時,可設(shè)Mf)=720-4(12-7)2,

又發(fā)車時間間隔為3分鐘時的載客量為396人，

p(3)=720-Z(12-3)2=396,解得A=4.

2

此時p(t)=720-4x(12-r)=-4?+96r+144,24r<10

-4/2+96r+144,2<r<10

720J0<Z<20

72

132-8r——,2<r<10

(2)由(1)知：Q(f)=，

^^-60,10<Z<20

?；24f<10時，e(z)<132-2^8f-y=84,

當且僅當，=3等號成立,

，24f<10時，QQ)max=Q⑶=84,

當104f420上，QQ)單調(diào)遞減，則［⑴皿=Q(10)=48,

綜上，時間間隔為3分鐘時，每分鐘的凈收益最大為84元.

22.已知函數(shù)/'(x)=x2+3|x-4(aeR).

⑴若〃x)在上的最大值和最小值分別記為M(a),m(a),求M(a)-m(a)；

(2)設(shè)若［〃x)+443對xQ—1,1］恒成立，求3。+6的取值